CN105181510B

CN105181510B - 一种梯度材料宏观等效弹性模量的计算方法

Info

Publication number: CN105181510B
Application number: CN201510654378.8A
Authority: CN
Inventors: 段世慧; 王立凯; 张生贵; 郭绍伟; 郭瑜超
Original assignee: AVIC Aircraft Strength Research Institute
Current assignee: AVIC Aircraft Strength Research Institute
Priority date: 2015-10-10
Filing date: 2015-10-10
Publication date: 2018-06-05
Anticipated expiration: 2035-10-10
Also published as: CN105181510A

Abstract

本发明涉及梯度材料力学分析技术领域，具体涉及一种梯度材料宏观等效弹性模量的计算方法，以解决现有梯度材料的宏观等效弹性模量获取效率低的问题。计算方法包括如下步骤：得到均匀介质层的平均应力与各相材料内部应力的关系式；得到夹杂相的扰动应变差值ε′与等效本征应变间ε^*的关系式；得到扰动应力差σ′、基体相的扰动应力以及基体相的扰动应变；确定各均匀介质层平均应力和平均应变的关系式；得到各均匀介质层的等效模量L；得到各均匀介质层的等效体积模量K和等效剪切模量G。本发明能够获取梯度区宏观等效弹性模型及泊松比数值，从而得到梯度区处材料性能分布情况，以便于进行细节应力分析，能够极大地缩短对梯度区进行细节分析的建模工作量。

Description

一种梯度材料宏观等效弹性模量的计算方法

技术领域

本发明涉及梯度材料力学分析技术领域，具体涉及一种梯度材料宏观等效弹性模量的计算方法。

背景技术

增材制造技术是一种快速成型技术，该技术通过三维设计数据采用材料逐层累加的方式进行产品生产，相对于传统的材料去除(切削加工)技术，是一种“自下而上”的材料累积制造技术。使用增材制造技术时，将在两种不同材料的过渡区中形成一种梯度材料。

增材制造技术在降低制造成本缩短制备时间，但是也给工程分析带来了挑战；特别是针对结构分析时，要求输入材料的弹性模量等力学参数，但是梯度材料实际上是一种特殊的材料形式，其弹性模量是一个与母材性及结构几何形状及梯度区位置相关的变量；按常规方法对梯度材料的梯度区进行分析时，必须利用细观力学方法对梯度区进行细化，梯度区的等效宏观材料参数获取较慢，使得结构分析建模过程工作繁重、代价高。

发明内容

本发明的目的是提供一种梯度材料宏观等效弹性模量的计算方法，以解决现有梯度材料的宏观等效弹性模量获取效率低的问题。

本发明的技术方案是：

一种梯度材料宏观等效弹性模量的计算方法，其中，梯度材料形成于两种预定的各向同性材料的过渡区中，所述过渡区材料的力学性能沿一预定方向呈梯度变化，且所述过渡区是具有颗粒夹杂微结构形式的多个均匀介质层的集合体，计算方法包括如下步骤：

步骤一、根据场量平均理论得到均匀介质层的平均应力与各相材料内部应力的关系式为：

其中，V表示所述梯度材料中夹杂相的体积分数，各相材料内部应力包括基体相的平均应力σ₀以及所述夹杂相的平均应力σ₁；

进一步，所述基体相中平均应力σ₀与所述基体相中平均应变ε₀关系式为：

其中，表示所述基体相的扰动应力，L₀表示所述基体相的刚度张量，表示所述基体相的扰动应变；

所述夹杂相中平均应力σ₁与所述基体相中平均应变ε₀关系式为：

其中，σ′表示所述夹杂相的扰动应力相对于所述基体相的扰动应力的扰动应力差值，ε′表示所述夹杂相的扰动应变相对于所述基体相的扰动应变的扰动应变差值，L₁表示所述夹杂相的刚度张量；

步骤二、根据Eshelby等效夹杂理论引入等效本征应变ε^*，进一步得到所述夹杂相中平均应力σ₁与所述基体相中平均应变ε₀关系式为：

步骤三、得到所述夹杂相的扰动应变差值ε′与等效本征应变间ε^*的关系式为：

ε′＝Sε^* (5)，

其中，S为Eshelby张量；

步骤四、得到所述扰动应力差σ′、所述基体相的扰动应力σ～以及所述基体相的扰动应变ε～分别为：

σ′＝L₀(ε′-ε^*)＝L₀(S-I)ε^* (6)，

其中，I表示一个与S同阶的单位矩阵；

步骤五、得到所述等效本征应变ε^*为：

ε^*＝{L₀+(L₁-L₀)[VI+(1-V)S]}^-1(L₀-L₁)ε₀ (9)；

步骤六、确定各均匀介质层平均应力和平均应变的关系式为：

步骤七、根据均匀介质层平均应力和平均应变的关系式，得到各均匀介质层的等效模量L为：

L＝{I+V[L₀+(L₁-L₀)(VI+(1-V)S)]^-1(L₀-L₁)}^-1L₀ (11)；

步骤八、各均匀介质层的等效体积模量K和等效剪切模量G分别为：

其中，K₀表示所述基体相的等效体积模量，G₀表示所述基体相等效剪切模量，K₁表示所述夹杂相的等效体积模量、G₁表示所述夹杂相等效剪切模量，K_p、G_p为中间量，

可选地，所述的梯度材料宏观等效弹性模量的计算方法还包括：

步骤九，计算所述夹杂相的体积分数分布函数：

其中，x为所要计算部位在梯度区中的坐标位置，h为梯度区的中体厚度，n表示一个预定输如参数；

进一步，得到均匀介质层的等效体积模量K和等效剪切模量G为：

可选地，在所述步骤三中，

夹杂相为球形夹杂，Eshelby张量中的各分量形式分别为：

其中，ν为各向同性材料的泊松比。

可选地，在所述步骤七中：

L＝(3K，2G)；L₀＝(3K₀，2G₀)；L₁＝(3K₁，2G₁)。

本发明的有益效果：

本发明的梯度材料宏观等效弹性模量的计算方法，能够获取梯度区宏观等效弹性模型及泊松比数值，从而得到梯度区处材料性能分布情况，以便于进行细节应力分析，能够极大地缩短对梯度区进行细节分析的建模工作量。

附图说明

图1是等效夹杂过渡区细观模型示意图；

图2是梯度结构示意图；

图3是梯度区在各方向受力下的示意图；

图4是本发明一个优选实施例中金属梯度梁的截面示意图；

图5是图4实施例中金属梯度梁的梯度区材料等效计算结果。

具体实施方式

这里将详细地对示例性实施例进行说明，其示例表示在附图中。下面的描述涉及附图时，除非另有表示，不同附图中的相同数字表示相同或相似的要素。

本发明的梯度材料宏观等效弹性模量的计算方法中，梯度材料形成于两种预定的各向同性材料的过渡区中，且过渡区材料的力学性能沿一预定方向呈梯度变化。基于过渡区的力学性能在两相材料间呈梯度变化的特性，我们依据细观力学方法中颗粒夹杂思想和场平均理论，采用如下假定：

1)、假定过渡区是由两相材料构成的颗粒夹杂复合材料区，并将其中一种材料定义为基体，另一种材料定义为夹杂相；

2)、假定过渡区是由一系列均匀介质层集合而成的，其力学性能是沿着过渡区的厚度方向连续变化的；

3)、模型中采用的细观代表单元的尺度远远小于宏观尺度，在宏观尺度上表现为过渡区的一个质点；

4)、将过渡区假定为如图1中的1b所示的结构形式，即具有颗粒夹杂微结构形式的多个均匀介质层的集合体。

本发明的梯度材料宏观等效弹性模量的计算方法中包括如下步骤：

步骤一、采用细观力学方法中的Mori-Tanaka场平均理论来得到各相材料内的应力-应变关系。如图1所示，假定图示的微结构颗粒增强过渡区均匀介质层受到平均应力的作用，基体相的平均应力和平均应变分别为σ₀和ε₀，相应的夹杂相的平均应力和应变分别为σ₁和ε₁，根据场量平均理论得到均匀介质层的平均应力与各相材料内部应力的关系式为：

其中，V表示所述梯度材料中夹杂相的体积分数，各相材料内部应力即基体相的平均应力σ0以及夹杂相的平均应力σ₁；

进一步，基体相中平均应力σ₀与基体相中平均应变ε₀关系式为：

其中，表示基体相的扰动应力，L₀表示基体相的刚度张量，表示基体相的扰动应变；

夹杂相中平均应力σ₁与基体相中平均应变ε₀关系式为：

由于夹杂相的存在，基体相产生扰动应力和扰动应变而在夹杂相中所产生的扰动应力和应变相对于基体相的扰动应力和应变分别存在应力差值和应变差值；即σ′表示所述夹杂相的扰动应力相对于基体相的扰动应力的扰动应力差值，ε′表示夹杂相的扰动应变相对于基体相的扰动应变的扰动应变差值，L₁表示所述夹杂相的刚度张量。

步骤二、得到各个应力分量中各项的具体描述形式；具体是根据Eshelby等效夹杂理论引入等效本征应变ε^*，进一步得到夹杂相中平均应力σ₁与基体相中平均应变ε₀关系式为：

步骤三、得到夹杂相的扰动应变差值ε′与等效本征应变间ε^*的关系式为：

ε′＝Sε^* (5)，

其中，S为Eshelby张量。需要说明的是，S是与夹杂相的形状以及材料的泊松比ν相关的量，对于各向同性材料来说其表达形式为：

对于两个主半轴相等的椭球夹杂情形，张量的分量分别为：

其中λ为椭球夹杂的两个主半轴的比值，函数g表示如下：

本实施例中，优选夹杂相为球形夹杂，Eshelby张量中的各分量形式分别为：

其中，ν为各向同性材料的泊松比。

步骤四、得到扰动应力差σ′、基体相的扰动应力以及基体相的扰动应变分别为：

σ′＝L₀(ε′-ε^*)＝L₀(S-I)ε^* (6)；

其中，I表示一个与S同阶的单位矩阵。

步骤五、得到等效本征应变ε^*为：

ε^*＝{L₀+(L₁-L₀)[VI+(1-V)S]}^-1(L₀-L₁)ε₀ (9)。

L＝{I+V[L₀+(L₁-L₀)(VI+(1-V)S)]^-1(L₀-L₁)}^-1L₀ (11)；

进一步通过考虑夹杂形状以及等效刚度张量与体积模量和剪切模量的关系：

L＝(3K，2G)；L₀＝(3K₀，2G₀)；L₁＝(3K₁，2G₁)。

步骤八、得到过渡区各均匀介质层的等效体积模量K和等效剪切模量G分别为：

其中，K₀表示所述基体相的等效体积模量，G₀表示所述基体相等效剪切模量，K₁表示所述夹杂相的等效体积模量、G₁表示所述夹杂相等效剪切模量；

K_p、G_p是为了公式(12)、(13)表述清晰而引入的两个中间量，

进一步，本发明的梯度材料宏观等效弹性模量的计算方法中，梯度结构如图2的2a所示，其是由两种母体和中间的过渡区(图中M部分)组成，夹杂相的体积分数分布函数为：

其中，x为所要计算部位在梯度区中的坐标位置；h为梯度区的中体厚度；n表示一个与工艺相关的预定输如参数，是根据具体工艺条件、基材，再通过标定实验得到。

中间过渡区的力学性能具有特殊的特性，即过渡区材料力学性能沿x方向呈梯度变化，沿y、z方向无变化；图2中，2a为金属梯度部分，2b是在过渡区平行于yz平面取切片，2c是平行于xy平面取切片；对各个方向的切片受力分析如图3所示，其中，3a是沿x方向的受力，3b是沿z方向的受力，3c是沿y方向的受力。

最终得到描述过渡区沿复合结构梯度方向等效模量的变化趋势，即均匀介质层的等效体积模量K和等效剪切模量G为(过渡区的等效模量与x的关系式)：

本发明通过所建立的细观力学模型，从理论上给出过渡区沿复合结构梯度方向各个等效模量的变化趋势，即过渡区的等效刚度张量、体积模量和剪切模量同过渡区的位置变量x间的关系显式，最后得到过渡区等效模量的表述形式，从而为过渡区等效力学性能的预测提供理论模型。

如图4所示，以某金属梯度复合梁模型为例，上下缘条与腹板所用材料不同，两种材料连接处形成梯度区(M)。缘条为材料1，腹板为材料2。材料1：E1＝50GPa，ν＝0.31；材料2：E1＝90GPa，ν＝0.31。E1、E2表示的是构成梯度区的两种不同基材的弹性模量，ν表示泊松比，该算例中对两种基材取相同值。

以梁受弯为分析工况，通过本方法可获取梯度区宏观等效弹性模型及泊松比数值，并以曲线形式绘出梯度区处材料性能分布情况如图5所示(其中，横坐标表示梯度方向，纵坐标表示弹性模量)，在进一步的梯度区细节应力分析中可以按照梯度位置与图5的对应关系去等效弹性模量进行分析。该过程将极大的缩短对梯度区进行细节分析的建模工作量，是一种有效的工程预估方法。

以上所述，仅为本发明的具体实施方式，但本发明的保护范围并不局限于此，任何熟悉本技术领域的技术人员在本发明揭露的技术范围内，可轻易想到的变化或替换，都应涵盖在本发明的保护范围之内。因此，本发明的保护范围应以所述权利要求的保护范围为准。

Claims

1.一种梯度材料宏观等效弹性模量的计算方法，其中，梯度材料形成于两种预定的各向同性材料的过渡区中，所述过渡区材料的力学性能沿一预定方向呈梯度变化，且所述过渡区是具有颗粒夹杂微结构形式的多个均匀介质层的集合体，其特征在于，计算方法包括如下步骤：

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所述基体相中平均应力σ₀与所述基体相中平均应变ε₀关系式为：

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ε′＝Sε^* (5)，

其中，S为Eshelby张量；

步骤四、得到所述扰动应力差σ′、所述基体相的扰动应力以及所述基体相的扰动应变分别为：

σ′＝L₀(ε′-ε^*)＝L₀(S-I)ε^* (6)，

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其中，I表示一个与S同阶的单位矩阵；

步骤五、得到所述等效本征应变ε^*为：

ε^*＝{L₀+(L₁-L₀)[VI+(1-V)S]}^-1(L₀-L₁)ε₀ (9)；

步骤六、确定各均匀介质层平均应力和平均应变ε的关系式为：

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L＝{I+V[L₀+(L₁-L₀)(VI+(1-V)S)]^-1(L₀-L₁)}^-1L₀ (11)；

2.根据权利要求1所述的梯度材料宏观等效弹性模量的计算方法，其特征在于，还包括：

步骤九，计算所述夹杂相的体积分数分布函数：

3.根据权利要求2所述的梯度材料宏观等效弹性模量的计算方法，其特征在于，在所述步骤三中，

夹杂相为球形夹杂，Eshelby张量中的各分量形式分别为：

其中，ν为各向同性材料的泊松比。

4.根据权利要求3所述的梯度材料宏观等效弹性模量的计算方法，其特征在于，在所述步骤七中：

L＝(3K，2G)；L₀＝(3K₀，2G₀)；L₁＝(3K₁，2G₁)。