CN103234805A - 一种功能梯度材料板的弹性模量的测量方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种功能梯度材料板弹性模量的测量方法。首先通过物质空间守恒定律、弹性力学应变能密度公式、材料系数关系，设置材料系数和泊松比的计算公式，并代入弹性模量的计算公式；然后将待测功能梯度材料板划分为多个三角形单元；起始节点一端夹持固定，另一端施加水平拉力；测量变形后各节点的位移；将弹性模量已知的两节点的弹性模量和泊松比及各节点位移代入设置的计算公式，求解出三角形单元节点上未知的弹性模量，之后重复进行，直到计算出全部三角形单元节点的弹性模量。对弹性模量二维分布的功能梯度材料板，本发明能通过测量板受力状态下的位移推算出弹性模量，不损伤被测板，并很方便、较精确的计算功能梯度材料板的弹性模量。

Description

一种功能梯度材料板的弹性模量的测量方法

技术领域

本发明涉及一种细观复合性材料的弹性模量的测量方法，尤其是涉及一种功能梯度材料板的弹性模量的测量方法。

背景技术

功能梯度材料是一类通过材料的细观复合技术，使材料的要素（组分）从一侧向另一侧连续变化，从而使材料的性质和功能呈梯度渐变的新型材料。

对于均匀材料，弹性模量是一个常数，容易测定。而对于功能梯度材料，其弹性模量是空间坐标的函数，是一系列变化的数值，测定相对困难。已有的功能梯度材料力学性能研究中，国内外学者通常将功能梯度材料的弹性模量假设成某些特定的函数，如指数函数，由于将功能梯度材料的弹性模量假设成某些特定函数的方法未对其弹性模量进行力学方法的测量，因此测量精度较差。

发明内容

本发明提供了一种功能梯度材料板弹性模量的测量方法，对于弹性模量二维分布的薄板，能够通过测量板材在受力状态下产生的变形量，即板上各点的位移来推算出各点的弹性模量。

本发明采用以下技术方案来实现：

一种功能梯度材料板的弹性模量的测量方法，其特点是，所述方法包括以下步骤：

步骤1，建立三角形单元，其三个顶点为节点i、j、k，通过物质空间守恒定律、弹性力学的应变能密度公式、材料系数关系，设置材料系数

的计算公式

$M_1{\left({\tilde{E}}^{\left(i\right)}\right)}^2{\tilde{E}}^{\left(j\right)}+M_2{\tilde{E}}^{\left(i\right)}{\tilde{E}}^{\left(j\right)}{\tilde{E}}^{\left(k\right)}+M_3{\left({\tilde{E}}^{\left(i\right)}\right)}^2{\tilde{E}}^{\left(k\right)}+M_4{\left({\tilde{E}}^{\left(j\right)}\right)}^2{\tilde{E}}^{\left(i\right)}+M_5{\left({\tilde{E}}^{\left(j\right)}\right)}^2{\tilde{E}}^{\left(k\right)}+M_6{\tilde{E}}^{\left(j\right)}{\tilde{E}}^{\left(k\right)}{\tilde{E}}^{\left(i\right)}$

$+M_7{\tilde{E}}^{\left(k\right)}{\tilde{E}}^{\left(i\right)}{\tilde{E}}^{\left(j\right)}+M_8{\left({\tilde{E}}^{\left(k\right)}\right)}^2{\tilde{E}}^{\left(j\right)}+M_9{\left({\tilde{E}}^{\left(k\right)}\right)}^2{\tilde{E}}^{\left(i\right)}=0,$

和泊松比ν的计算公式

${\mathrm{\ν}}^{\left(k\right)}=\ln \frac{({\mathrm{\ν}}^{\left(i\right)}-{\mathrm{\ν}}^{\left(k\right)}){\mathrm{\γ}}_i{\tilde{E}}^{\left(i\right)}+({\mathrm{\ν}}^{\left(j\right)}-{\mathrm{\ν}}^{\left(k\right)}){\mathrm{\γ}}_j{\tilde{E}}^{\left(j\right)}}{({\mathrm{\ν}}^{\left(k\right)}-{\mathrm{\ν}}^{\left(i\right)}){\mathrm{\β}}_i{\tilde{E}}^{\left(i\right)}+({\mathrm{\ν}}^{\left(k\right)}-{\mathrm{\ν}}^{\left(j\right)}){\mathrm{\β}}_j{\tilde{E}}^{\left(j\right)}},$ ${\mathrm{\ν}}^{\left(k\right)}=\ln \frac{({\mathrm{\ν}}^{\left(k\right)}-{\mathrm{\ν}}^{\left(i\right)}){\mathrm{\β}}_i{\tilde{E}}^{\left(i\right)}+({\mathrm{\ν}}^{\left(k\right)}-{\mathrm{\ν}}^{\left(j\right)}){\mathrm{\β}}_j{\tilde{E}}^{\left(j\right)}}{({\mathrm{\ν}}^{\left(i\right)}-{\mathrm{\ν}}^{\left(k\right)}){\mathrm{\γ}}_i{\tilde{E}}^{\left(i\right)}+({\mathrm{\ν}}^{\left(j\right)}-{\mathrm{\ν}}^{\left(k\right)}){\mathrm{\γ}}_j{\tilde{E}}^{\left(j\right)}},$ 其中，M_t（t=1,2…9）为物质坐标位移泊松比耦合系数，

为三角形单元的各节点的材料系数

ν⁽ⁱ⁾、ν^(j)、ν^(k)为三角形单元的各节点的泊松比ν，β_i、β_j、γ_i、γ_j为节点i、j的物质坐标，已知三角形单元中两个节点的弹性模量E和泊松比ν，可以求解得到第三个节点的材料系数

和泊松比ν，将第三个节点的材料系数

泊松比ν代入弹性模量E的计算公式

计算得到三角形单元第三个节点的弹性模量；

步骤2，测量待测功能梯度材料板的尺寸，并将待测功能梯度材料板划分为多个三角形单元，三角形单元的每个顶点设为一个节点，第一个三角形单元的起始节点1和节点2的弹性模量E和泊松比ν设为已知；

步骤3，通过仪器将待测功能梯度材料板起始节点一端夹持固定，对待测功能梯度材料板另一端施加大小和方向已知的水平拉力F；

步骤4，测量待测功能梯度材料板发生变形后各个节点的位移；

步骤5，将待测功能梯度材料板第一个三角形单元的节点1和节点2的弹性模量E和泊松比ν，以及步骤4中测量得到的待测梯度功能材料板的第一个三角形单元的三个节点即节点1、节点2和节点6变形后的位移分别代入步骤1设置的材料系数

的计算公式、泊松比ν的计算公式和弹性模量E的计算公式进行计算，得到第一个三角形单元的原先未知弹性模量的节点6的弹性模量E和泊松比ν；

步骤6，考虑计算和第一个三角形单元有公共两个节点的下一个单元，用步骤5的方法，可计算得到下一个三角形单元第三个顶点节点的弹性模量E和泊松比ν；对与第一个三角形单元有两个公共节点的下一个三角形单元重复步骤5，计算得到下一个三角形单元的原先未知弹性模量的节点的弹性模量E和泊松比ν；

步骤7，持续重复步骤5和步骤6，直到计算得到步骤2中划分的多个三角单元的所有节点的弹性模量E和泊松比ν。

上述的功能梯度材料板的弹性模量的测量方法，其特点是，所述步骤1中还包含：

步骤1.1，基于物质空间守恒定律建立全导数方程D_i(ζ_jS_ij+U_kσ_ki)=0，其中，D_i表示全导数，ζ_jS_ij+U_kσ_ki为守恒量，ζ_j为空间坐标的对称变换，S_ij为能量-动量张量，U_k为物理变量的对称变换，σ_ki为应力；

步骤1.2，建立三角形单元，设定三角形单元的三个顶点节点的材料系数需满足的方程 ${\mathrm{\ζ}}_i\frac{\∂\tilde{E}}{{\∂x}_i}+2A\tilde{E}=0,$ ${\mathrm{\ζ}}_i\frac{\∂G}{{\∂x}_i}+2\mathrm{AG}=0,$ ${\mathrm{\ζ}}_1\frac{\∂\mathrm{\ν}}{{\∂x}_1}+{\mathrm{\ζ}}_2\frac{\∂\mathrm{\ν}}{{\∂x}_2}=0$ 并求解，其中，(x₁,x₂)为点的空间坐标，G为剪切模量，A为常数；

步骤1.3，应用格林公式对步骤1.1中的物质空间守恒定律全导数方程沿着步骤1.2建立的三角形单元逆时针方向积分，得到守恒律的积分形式∫∫_Δ(D₁P₁+D₂P₂)dx₁dx₂=∮_C-P₂dx₁+P₁dx₂=0，其中，P_i=ζ_jS_ij+U_kσ_ki为守恒量，C为围成三角形单元的闭合积分路线，其方向为逆时针，Δ为C围成的三角形区域；

步骤1.4，对步骤1.3得到的守恒律的积分形式∫∫_Δ(D₁P₁+D₂P₂)dx₁dx₂=∮_C-P₂dx₁+P₁dx₂=0、步骤1.2得到的材料系数需满足的方程

弹性模量E与剪切模量G以及泊松比ν之间的关系E=2(1+ν)G联合求解并化简，得到材料系数

的计算公式 $M_1{\left({\tilde{E}}^{\left(i\right)}\right)}^2{\tilde{E}}^{\left(j\right)}+M_2{\tilde{E}}^{\left(i\right)}{\tilde{E}}^{\left(j\right)}{\tilde{E}}^{\left(k\right)}+M_3{\left({\tilde{E}}^{\left(i\right)}\right)}^2{\tilde{E}}^{\left(k\right)}+M_4{\left({\tilde{E}}^{\left(j\right)}\right)}^2{\tilde{E}}^{\left(i\right)}+M_5{\left({\tilde{E}}^{\left(j\right)}\right)}^2{\tilde{E}}^{\left(k\right)}+M_6{\tilde{E}}^{\left(j\right)}{\tilde{E}}^{\left(k\right)}{\tilde{E}}^{\left(i\right)}$ $+M_7{\tilde{E}}^{\left(k\right)}{\tilde{E}}^{\left(i\right)}{\tilde{E}}^{\left(j\right)}+M_8{\left({\tilde{E}}^{\left(k\right)}\right)}^2{\tilde{E}}^{\left(j\right)}+M_9{\left({\tilde{E}}^{\left(k\right)}\right)}^2{\tilde{E}}^{\left(i\right)}=0,$

和泊松比ν的计算公式 ${\mathrm{\ν}}^{\left(k\right)}=\ln \frac{({\mathrm{\ν}}^{\left(i\right)}-{\mathrm{\ν}}^{\left(k\right)}){\mathrm{\γ}}_i{\tilde{E}}^{\left(i\right)}+({\mathrm{\ν}}^{\left(j\right)}-{\mathrm{\ν}}^{\left(k\right)}){\mathrm{\γ}}_j{\tilde{E}}^{\left(j\right)}}{({\mathrm{\ν}}^{\left(k\right)}-{\mathrm{\ν}}^{\left(i\right)}){\mathrm{\β}}_i{\tilde{E}}^{\left(i\right)}+({\mathrm{\ν}}^{\left(k\right)}-{\mathrm{\ν}}^{\left(j\right)}){\mathrm{\β}}_j{\tilde{E}}^{\left(j\right)}},$ ${\mathrm{\ν}}^{\left(k\right)}=\ln \frac{({\mathrm{\ν}}^{\left(k\right)}-{\mathrm{\ν}}^{\left(i\right)}){\mathrm{\β}}_i{\tilde{E}}^{\left(i\right)}+({\mathrm{\ν}}^{\left(k\right)}-{\mathrm{\ν}}^{\left(j\right)}){\mathrm{\β}}_j{\tilde{E}}^{\left(j\right)}}{({\mathrm{\ν}}^{\left(i\right)}-{\mathrm{\ν}}^{\left(k\right)}){\mathrm{\γ}}_i{\tilde{E}}^{\left(i\right)}+({\mathrm{\ν}}^{\left(j\right)}-{\mathrm{\ν}}^{\left(k\right)}){\mathrm{\γ}}_j{\tilde{E}}^{\left(j\right)}},$ 当三角形单元中两个节点材料系数、泊松比为已知，三个节点坐标、位移为已知时，可以通过求解材料系数的计算公式和泊松比ν的计算公式得到第三个节点的材料系数

和泊松比ν；

步骤1.5，将步骤1.4计算得到的三角形单元的第三个节点的材料系数

和泊松比ν代入弹性模量的计算公式

计算得到第三个节点的弹性模量和泊松比。

上述的功能梯度材料板的弹性模量的测量方法，其特点是，所述步骤5中还包含：

步骤5.1，将待测功能梯度材料板上第一个三角形单元的弹性模量已知的节点1和节点2的弹性模量和泊松比代入材料系数关系式

计算得到节点1和节点2的材料系数

步骤5.2，将待测功能梯度材料板第一个三角形单元的弹性模量已知的节点1和节点2的材料系数、泊松比和步骤4中测量得到的第一个三角形单元的三个节点变形后的位移分别代入到步骤1中设置的材料系数

的计算公式和泊松比ν的计算公式中，计算得到第一个三角形单元中原先未知弹性模量的节点6的材料系数

和泊松比ν；

步骤5.3，将步骤5.2计算得到的第一个三角形单元中的原先未知弹性模量的节点6的材料系数

和泊松比ν代入到弹性模量E的计算公式

中，计算得到节点6的弹性模量E。

本发明具有如下有益效果：

本发明由于通过有限元理论建立三角形单元，当三角形单元三个节点处的坐标和位移被测定后，通过已知的三角形单元中任意两节点的弹性模量和泊松比可计算出第三点的弹性模量和泊松比；通过弹性力学的应变能密度公式、材料系数关系，通过测量功能梯度材料板上各点的位移，计算出各点的弹性模量；本发明在对功能梯度材料板进行弹性模量测量时，只需通过现有设备拉伸薄板得到节点的位移，对被测板材不会造成损伤，可以很方便、较精确的计算出功能梯度材料板的弹性模量。本发明计算精度高，误差可以控制，测量简便，适当调整有限元网络，可以进一步提高计算精度。

附图说明

图1为本发明功能梯度材料板的弹性模量的测量方法的流程图；

图2为本发明功能梯度材料板的弹性模量的测量方法中建立计算方程的流程图；

图3为本发明功能梯度材料板的弹性模量的测量方法中三角形单元的示意图；

图4为本发明功能梯度材料板的弹性模量的测量方法中划分三角形单元的示意图；

图5为本发明功能梯度材料板的弹性模量的测量方法中待测材料板受力示意图；

图6为本发明功能梯度材料板的弹性模量的测量方法中对待测材料板进行拉伸的示意图；

图7为本发明功能梯度材料板的弹性模量的测量方法中仿真验证的流程图。

具体实施方式

以下结合附图，通过详细说明一个较佳的具体实施例，对本发明做进一步阐述。

本发明适用于弹性系数二维分布的薄板情况。并且本发明测量方法中将弹性模量和泊松比设为与二维坐标相关的函数。

如附图1所示，本发明一种功能梯度材料板的弹性模量的测量方法，包括以下步骤：

步骤1，建立三角形单元，通过物质空间守恒定律、弹性力学的应变能密度公式、材料系数关系，设置材料系数

的计算公式和泊松比ν的计算公式，建立功能梯度材料板上各点材料系数、泊松比、坐标、位移之间的关系，并通过弹性模量E与材料系数

、泊松比ν的关系，计算得到三角形单元第三个节点的弹性模量。配合参阅附图2，其详细过程包含以下步骤：

步骤1.1，基于物质空间守恒定律建立全导数方程

D_i(ζ_jS_ij+U_kσ_ki)=0，                （1a）

其中，D_i表示全导数，ζ_jS_ij+U_kσ_ki为守恒量，下标i,j,k遵从爱因斯坦求和约定；守恒量中的S_ij为能量-动量张量，能量-动量张量的计算方程为：

S_ij=Wδ_ij-σ_kiu_k,j，                (1b)

其中u_k,j是位移关于坐标的导数，δ_ij为克罗内克符号，W为薄板的应变能密度。应变能密度W的计算方程为：

$W=\frac{1}{2}({\text{\σ}}_{11}{\mathrm{\ϵ}}_{11}+{\mathrm{\σ}}_{22}{\mathrm{\ϵ}}_{22}+2{\mathrm{\σ}}_{12}{\mathrm{\ϵ}}_{12})$

；(1c)

$=\frac{1}{2}\tilde{E}{(u_{\mathrm{1,1}}+u_{\mathrm{2,2}})}^2+G[\frac{1}{2}{(u_{\mathrm{1,2}}+u_{\mathrm{2,1}})}^2-2u_{\mathrm{1,1}}{u}_{\mathrm{2,2}}]$

在以上方程中，σ_ki为应力；ε_ij为应变；ζ₁=Bx₁+Ω₃x₂+C₁和ζ₂=Bx₂-Ω₃x₁+C₂为可能的空间坐标的对称变换，(x₁,x₂)为点的空间坐标；U₁=Au₁+Ω₃u₂和U₂=Au₂-Ω₃u₁为可能的物理变量的对称变换；(u₁,u₂)为位移矢量；G为剪切模量，为材料系数

且E为拉压弹性模量，ν为泊松比。这里A，B，C_i，Ω₃为常数。

步骤1.2，根据有限元理论建立三角形单元，设定三角形单元的三个顶点为单元节点，配合参阅附图3所示，图中x₁,x₂为二维坐标轴，i,j,k分别为三角形单元的三个单元节点号，I1,I2,I3为线积分路径和方向。使方程（1）在三角形单元中成立，其材料系数需满足如下方程：

${\mathrm{\ζ}}_i\frac{\∂\tilde{E}}{{\∂x}_i}+2A\tilde{E}=0,$ ${\mathrm{\ζ}}_i\frac{\∂G}{{\∂x}_i}+2\mathrm{AG}=0---\left(2\right)$

${\mathrm{\ζ}}_1\frac{\∂\mathrm{\ν}}{{\∂x}_1}+{\mathrm{\ζ}}_2\frac{\∂\mathrm{\ν}}{{\∂x}_2}=0.---\left(3\right)$

令离散化的材料系数

和剪切模量G在三角形单元中可用型函数N_i、N_j、N_k表示为

$\tilde{E}=N_i{\tilde{E}}^{\left(i\right)}+N_j{\tilde{E}}^{\left(j\right)}+N_k{\tilde{E}}^{\left(k\right)},---\left(4\right)$

G=N_iG⁽ⁱ⁾+N_jG^(j)+N_kG^(k)。                （5）

利用有限元理论的三角形单元，求解方程（2）和（3）中的常数A，B，C_i和Ω₃。将式（4），（5）代入方程（2）中，通过一系列化简最终可以得到各个常数之间的关系式：

B=-2A,    Ω₃=0,

$C_1=-2A\frac{\tilde{E}\left(\mathrm{\α}\right)\·G\left(\mathrm{\γ}\right)-\tilde{E}\left(\mathrm{\γ}\right)\·G\left(\mathrm{\α}\right)}{\tilde{E}\left(\mathrm{\β}\right)\·G\left(\mathrm{\γ}\right)-\tilde{E}\left(\mathrm{\γ}\right)\·G\left(\mathrm{\β}\right)},---\left(6\right)$

$C_2=2A\frac{\tilde{E}\left(\mathrm{\α}\right)\·G\left(\mathrm{\β}\right)-\tilde{E}\left(\mathrm{\β}\right)\·G\left(\mathrm{\α}\right)}{\tilde{E}\left(\mathrm{\β}\right)\·G\left(\mathrm{\γ}\right)-\tilde{E}\left(\mathrm{\γ}\right)\·G\left(\mathrm{\β}\right)},$

其中，物质坐标与材料系数耦合系数为：

$\tilde{E}\left(\mathrm{\α}\right)={\mathrm{\α}}_i{\tilde{E}}^{\left(i\right)}+{\mathrm{\α}}_j{\tilde{E}}^{\left(j\right)}+{\mathrm{\α}}_k{\tilde{E}}^{\left(k\right)},$

$\tilde{E}\left(\mathrm{\β}\right)={\mathrm{\β}}_i{\tilde{E}}^{\left(i\right)}+{\mathrm{\β}}_j{\tilde{E}}^{\left(j\right)}+{\mathrm{\β}}_k{\tilde{E}}^{\left(k\right)},---\left(7\right)$

$\tilde{E}\left(\mathrm{\γ}\right)={\mathrm{\γ}}_i{\tilde{E}}^{\left(i\right)}+{\mathrm{\γ}}_j{\tilde{E}}^{\left(j\right)}+{\mathrm{\γ}}_k{\tilde{E}}^{\left(k\right)},$

G(α)=α_iG⁽ⁱ⁾+α_jG^(j)+α_kG^(k),

G(β)=β_iG⁽ⁱ⁾+β_jG^(j)+β_kG^(k),              （8）

G(γ)=γ_iG⁽ⁱ⁾+γ_jG^(j)+γ_kG^(k),

且有物质坐标几何关系式：

${\mathrm{\α}}_i=x_1^{\left(j\right)}{x}_2^{\left(k\right)}-x_1^{\left(k\right)}{x}_2^{\left(j\right)},{\mathrm{\β}}_i=x_2^{\left(j\right)}-x_2^{\left(k\right)},{\mathrm{\γ}}_i=-x_1^{\left(j\right)}+x_1^{\left(k\right)},$

${\mathrm{\α}}_j=x_1^{\left(k\right)}{x}_2^{\left(i\right)}-x_1^{\left(i\right)}{x}_2^{\left(k\right)},{\mathrm{\β}}_j=x_2^{\left(k\right)}-x_2^{\left(i\right)},{\mathrm{\γ}}_j=-x_1^{\left(k\right)}+x_1^{\left(i\right)},---\left(9\right)$

${\mathrm{\α}}_k=x_1^{\left(i\right)}{x}_2^{\left(j\right)}-x_1^{\left(j\right)}{x}_2^{\left(i\right)},{\mathrm{\β}}_k=x_2^{\left(i\right)}-x_2^{\left(j\right)},{\mathrm{\γ}}_k=-x_1^{\left(i\right)}+x_1^{\left(j\right)},$

这里

与

分别表示三角形单元的节点i，j，k处的空间坐标x₁与x₂的值。

将方程组（7）、（8）、（9）代入方程中（6），则方程组（6）仅与三角形单元各节点的弹性系数

、剪切模量G和空间坐标相关。

步骤1.3，应用格林公式对步骤1.1中的物质空间守恒定律的全导数方程（1）沿着步骤1.2建立的三角形单元逆时针方向积分，可以得到守恒律的积分形式：

∫∫_Δ(D₁P₁+D₂P₂)dx₁dx₂=∮_C-P₂dx₁+P₁dx₂=0，           （10）

其中，P_i=ζ_jS_ij+U_kσ_ki为守恒量，C为附图3所示的围成三角形单元的闭合积分路线（方向为逆时针），Δ为C围成的三角形区域。

步骤1.4，对步骤1.3得到的守恒律的积分形式（10）、步骤1.2得到的方程（3）、弹性模量与剪切模量以及泊松比之间的关系E=2(1+ν)G联合求解并化简，得到材料系数

的计算公式

$M_1{\left({\tilde{E}}^{\left(i\right)}\right)}^2{\tilde{E}}^{\left(j\right)}+M_2{\tilde{E}}^{\left(i\right)}{\tilde{E}}^{\left(j\right)}{\tilde{E}}^{\left(k\right)}+M_3{\left({\tilde{E}}^{\left(i\right)}\right)}^2{\tilde{E}}^{\left(k\right)}$

（11）

${+M}_4{\left({\tilde{E}}^{\left(j\right)}\right)}^2{\tilde{E}}^{\left(i\right)}+M_5{\left({\tilde{E}}^{\left(j\right)}\right)}^2{\tilde{E}}^{\left(k\right)}+M_6{\tilde{E}}^{\left(j\right)}{\tilde{E}}^{\left(k\right)}{\tilde{E}}^{\left(i\right)}$

$+M_7{\tilde{E}}^{\left(k\right)}{\tilde{E}}^{\left(i\right)}{\tilde{E}}^{\left(j\right)}+M_8{\left({\tilde{E}}^{\left(k\right)}\right)}^2{\tilde{E}}^{\left(j\right)}+M_9{\left({\tilde{E}}^{\left(k\right)}\right)}^2{\tilde{E}}^{\left(i\right)}=0,$

和泊松比ν的计算公式

${\mathrm{\ν}}^{\left(k\right)}=\ln \frac{({\mathrm{\ν}}^{\left(i\right)}-{\mathrm{\ν}}^{\left(k\right)}){\mathrm{\γ}}_i{\tilde{E}}^{\left(i\right)}+({\mathrm{\ν}}^{\left(j\right)}-{\mathrm{\ν}}^{\left(k\right)}){\mathrm{\γ}}_j{\tilde{E}}^{\left(j\right)}}{({\mathrm{\ν}}^{\left(k\right)}-{\mathrm{\ν}}^{\left(i\right)}){\mathrm{\β}}_i{\tilde{E}}^{\left(i\right)}+({\mathrm{\ν}}^{\left(k\right)}-{\mathrm{\ν}}^{\left(j\right)}){\mathrm{\β}}_j{\tilde{E}}^{\left(j\right)}},$ ，

（12）

${\mathrm{\ν}}^{\left(k\right)}=\ln \frac{({\mathrm{\ν}}^{\left(k\right)}-{\mathrm{\ν}}^{\left(i\right)}){\mathrm{\β}}_i{\tilde{E}}^{\left(i\right)}+({\mathrm{\ν}}^{\left(k\right)}-{\mathrm{\ν}}^{\left(j\right)}){\mathrm{\β}}_j{\tilde{E}}^{\left(j\right)}}{({\mathrm{\ν}}^{\left(i\right)}-{\mathrm{\ν}}^{\left(k\right)}){\mathrm{\γ}}_i{\tilde{E}}^{\left(i\right)}+({\mathrm{\ν}}^{\left(j\right)}-{\mathrm{\ν}}^{\left(k\right)}){\mathrm{\γ}}_j{\tilde{E}}^{\left(j\right)}},$

式(11)中的

分别表示三角形单元的节点i，j，k的材料系数

。方程（12）中的两个表达式都来自方程（3）的解，经过大量的仿真验证发现，取方程（12）中的两个表达式的平均值有较好的准确性。方程（11）中的物质坐标位移泊松比耦合系数M₁，M₂，…M₉的表达式设为：

$M_t=\mathrm{\Δ\ν}\·\left[\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}-\frac{1}{3}(u_{\mathrm{2,2}}+u_{\mathrm{1,1}})u_{\mathrm{2,1}}\\ +\frac{1}{6}{u}_{\mathrm{1,1}}(u_{\mathrm{2,1}}-u_{\mathrm{1,2}})(1-{\mathrm{\ν}}^{\left(n\right)})\end{array}\right]X_1^{\left(\mathrm{nm}\right)}\left(\mathrm{\γ}\right)\\ +[\frac{1}{6}(u_{\mathrm{1,1}}^2-u_{\mathrm{2,2}}^2)+\frac{1}{12}(u_{\mathrm{2,1}}^2-u_{\mathrm{1,2}}^2)(1-{\mathrm{\ν}}^{\left(n\right)})]X_2^{\left(\mathrm{nm}\right)}\left(\mathrm{\γ}\right)\\ -\frac{1}{12}(u_{\mathrm{1,2}}+u_{\mathrm{2,1}})(1-{\mathrm{\ν}}^{\left(n\right)})U_1^{\left(n\right)}\left(\mathrm{\γ}\right)\\ +[-\frac{1}{6}(u_{\mathrm{2,2}}+u_{\mathrm{1,1}})+\frac{1}{6}{u}_{\mathrm{1,1}}(1-{\mathrm{\ν}}^{\left(n\right)})]U_2^{\left(n\right)}\left(\mathrm{\γ}\right)\\ +[\frac{1}{6}(u_{\mathrm{2,2}}^2-u_{\mathrm{1,1}}^2)+\frac{1}{12}(u_{\mathrm{1,2}}^2-u_{\mathrm{2,1}}^2)(1-{\mathrm{\ν}}^{\left(n\right)})]X_1^{\left(\mathrm{nm}\right)}\left(\mathrm{\β}\right)\\ +\left[\begin{array}{c}-\frac{1}{3}(u_{\mathrm{1,1}}+u_{\mathrm{2,2}})u_{\mathrm{1,2}}\\ +\frac{1}{6}{u}_{\mathrm{2,2}}(u_{\mathrm{1,2}}-u_{\mathrm{2,1}})(1-{\mathrm{\ν}}^{\left(n\right)})\end{array}\right]X_2^{\left(\mathrm{nm}\right)}\left(\mathrm{\β}\right)\\ +[-\frac{1}{6}(u_{\mathrm{1,1}}+u_{\mathrm{2,2}})+\frac{1}{6}{u}_{\mathrm{2,2}}(1-{\mathrm{\ν}}^{\left(n\right)})U_1^{\left(n\right)}\left(\mathrm{\β}\right)\\ -\frac{1}{12}(u_{\mathrm{1,2}}+u_{\mathrm{2,1}})(1-{\mathrm{\ν}}^{\left(n\right)})U_2^{\left(n\right)}\left(\mathrm{\β}\right)\end{array}\right]---\left(13\right)$

对于方程（13），

当t=1/4/7时，n=i/j/k，m=k，Δν=(ν⁽ⁱ⁾-ν^(j))；

当t=2/5/8时，n=i/j/k，m=i，Δν=(ν^(j)-ν^(k))；

当t=3/6/9时，n=i/j/k，m=j，Δν=(ν^(k)-ν⁽ⁱ⁾)。

并且，

$X_1^{\left(\mathrm{nk}\right)}\left(\mathrm{\γ}\right)={\mathrm{\γ}}_n({\mathrm{\γ}}_i-{\mathrm{\γ}}_j),$

$X_1^{\left(\mathrm{ni}\right)}\left(\mathrm{\γ}\right)={\mathrm{\γ}}_n({\mathrm{\γ}}_j-{\mathrm{\γ}}_k),$

$X_1^{\left(\mathrm{nj}\right)}\left(\mathrm{\γ}\right)={\mathrm{\γ}}_n({\mathrm{\γ}}_k-{\mathrm{\γ}}_i),$

$X_2^{\left(\mathrm{nk}\right)}\left(\mathrm{\γ}\right)={\mathrm{\γ}}_n({\mathrm{\β}}_j-{\mathrm{\β}}_i)+{\mathrm{\γ}}_i{\mathrm{\β}}_j-{\mathrm{\γ}}_j{\mathrm{\β}}_i,$ $X_2^{\left(\mathrm{ni}\right)}\left(\mathrm{\γ}\right)={\mathrm{\γ}}_n({\mathrm{\β}}_k-{\mathrm{\β}}_j)+{\mathrm{\γ}}_j{\mathrm{\β}}_k-{\mathrm{\γ}}_k{\mathrm{\β}}_j,$

$X_2^{\left(\mathrm{nj}\right)}\left(\mathrm{\γ}\right)={\mathrm{\γ}}_n({\mathrm{\β}}_i-{\mathrm{\β}}_k)+{\mathrm{\γ}}_k{\mathrm{\β}}_i-{\mathrm{\γ}}_i{\mathrm{\β}}_k,$

$X_1^{\left(\mathrm{nk}\right)}\left(\mathrm{\β}\right)={\mathrm{\β}}_n({\mathrm{\γ}}_i-{\mathrm{\γ}}_j)+{\mathrm{\γ}}_i{\mathrm{\β}}_j-{\mathrm{\γ}}_j{\mathrm{\β}}_i,$

$X_1^{\left(\mathrm{ni}\right)}\left(\mathrm{\β}\right)={\mathrm{\β}}_n({\mathrm{\γ}}_j-{\mathrm{\γ}}_k)+{\mathrm{\γ}}_j{\mathrm{\β}}_k-{\mathrm{\γ}}_k{\mathrm{\β}}_j,$

$X_1^{\left(\mathrm{nj}\right)}\left(\mathrm{\β}\right)={\mathrm{\β}}_n({\mathrm{\γ}}_k-{\mathrm{\γ}}_i)+{\mathrm{\γ}}_k{\mathrm{\β}}_i-{\mathrm{\γ}}_i{\mathrm{\β}}_k,$

$X_2^{\left(\mathrm{nk}\right)}\left(\mathrm{\β}\right)={\mathrm{\β}}_n({\mathrm{\β}}_j-{\mathrm{\β}}_i),$

$X_2^{\left(\mathrm{ni}\right)}\left(\mathrm{\β}\right)={\mathrm{\β}}_n({\mathrm{\β}}_k-{\mathrm{\β}}_j),$

$X_2^{\left(\mathrm{nj}\right)}\left(\mathrm{\β}\right)={\mathrm{\β}}_n({\mathrm{\β}}_i-{\mathrm{\β}}_k),---\left(14\right)$

$U_1^{\left(i\right)}\left(\mathrm{\γ}\right)=-{2\mathrm{\γ}}_i{u}_1^{\left(i\right)}+{\mathrm{\γ}}_k{u}_1^{\left(j\right)}+{\mathrm{\γ}}_j{u}_1^{\left(k\right)},$

$U_1^{\left(j\right)}\left(\mathrm{\γ}\right)={\mathrm{\γ}}_k{u}_1^{\left(i\right)}-{2\mathrm{\γ}}_j{u}_1^{\left(j\right)}+{\mathrm{\γ}}_i{u}_1^{\left(k\right)},$

$U_1^{\left(k\right)}\left(\mathrm{\γ}\right)={\mathrm{\γ}}_j{u}_1^{\left(i\right)}+{\mathrm{\γ}}_i{u}_1^{\left(j\right)}-2{\mathrm{\γ}}_k{u}_1^{\left(k\right)},$

$U_2^{\left(i\right)}\left(\mathrm{\γ}\right)=-2{\mathrm{\γ}}_i{u}_2^{\left(i\right)}+{\mathrm{\γ}}_k{u}_2^{\left(j\right)}+{\mathrm{\γ}}_j{u}_2^{\left(k\right)},$

$U_2^{\left(j\right)}\left(\mathrm{\γ}\right)={\mathrm{\γ}}_k{u}_2^{\left(i\right)}-2{\mathrm{\γ}}_j{u}_2^{\left(j\right)}+{\mathrm{\γ}}_i{u}_2^{\left(k\right)},$

$U_2^{\left(k\right)}\left(\mathrm{\γ}\right)={\mathrm{\γ}}_j{u}_2^{\left(i\right)}+{\mathrm{\γ}}_i{u}_2^{\left(j\right)}-2{\mathrm{\γ}}_k{u}_2^{\left(k\right)},$

$U_1^{\left(i\right)}\left(\mathrm{\β}\right)=-2{\mathrm{\β}}_i{u}_1^{\left(i\right)}+{\mathrm{\β}}_k{u}_1^{\left(j\right)}+{\mathrm{\β}}_j{u}_1^{\left(k\right)},$

$U_1^{\left(j\right)}\left(\mathrm{\β}\right)={\mathrm{\β}}_k{u}_1^{\left(i\right)}-2{\mathrm{\β}}_j{u}_1^{\left(j\right)}+{\mathrm{\β}}_i{u}_1^{\left(k\right)},$

$U_1^{\left(k\right)}\left(\mathrm{\β}\right)={\mathrm{\β}}_j{u}_1^{\left(i\right)}+{\mathrm{\β}}_i{u}_1^{\left(j\right)}-2{\mathrm{\β}}_k{u}_1^{\left(k\right)},$

$U_2^{\left(i\right)}\left(\mathrm{\β}\right)=-2{\mathrm{\β}}_i{u}_2^{\left(i\right)}+{\mathrm{\β}}_k{u}_2^{\left(j\right)}+{\mathrm{\β}}_j{u}_2^{\left(k\right)},$

$U_2^{\left(j\right)}\left(\mathrm{\β}\right)={\mathrm{\β}}_k{u}_2^{\left(i\right)}-2{\mathrm{\β}}_j{u}_2^{\left(j\right)}+{\mathrm{\β}}_i{u}_2^{\left(k\right)},$

$U_2^{\left(k\right)}\left(\mathrm{\β}\right)={\mathrm{\β}}_j{u}_2^{\left(i\right)}+{\mathrm{\β}}_i{u}_2^{\left(j\right)}-2{\mathrm{\β}}_k{u}_2^{\left(k\right)},$

（n=i，j，k）

方程（14）中，ν⁽ⁱ⁾,ν^(j),ν^(k)为节点的泊松比；

等为物质坐标之间的关系系数；

等为物质位移耦合关系系数。

将方程中（13）、（14）、（9）代入方程组（11）、（12）中，则此组方程（11）、（12）仅与步骤1.2中建立的三角形单元的三个节点的空间坐标、位移之间的关系以及三角形单元的各顶点节点的材料系数泊松比ν相关。

当三角形单元的2个节点i,j的材料系数

和泊松比ν⁽ⁱ⁾,ν^(j)为已知，并且三个节点i,j,k的空间坐标和位移为已知时，节点k的材料系数

和泊松比ν^(k)可以通过对方程（11）、（12）求解得到。

步骤1.5，将步骤1.4求解方程（11）、（12）得到的结果即节点k的材料系数

和泊松比ν^(k)代入弹性模量E的计算公式

求解该公式得到节点k的弹性模量E^(k)。

步骤2，参阅附图4所示，测量待测功能梯度材料板的尺寸，并将待测功能梯度材料板划分为多个三角形单元，三角形单元的每个顶点设为一个节点，第一个三角形单元的起始节点1和节点2的弹性模量E和泊松比ν设为已知。本实施例中，将待测功能梯度材料板划分为80个三角形单元，并对各个三角形单元的节点编号如附图4所示，由于相邻三角形单元存在共有节点，80个三角形单元有55个独立节点。

步骤3，如附图5所示，通过仪器将待测功能梯度材料板起始节点一端夹持固定，对待测功能梯度材料板另一端施加大小和方向已知的水平拉力F。

步骤4，参阅附图6所示（图6中所标数字为三角形单元编号，而不是节点编号），测量待测功能梯度材料板发生变形后各个节点的位移。

步骤5，将待测功能梯度材料板上第一个三角形单元的已知弹性模量的节点1和节点2的弹性模量E和泊松比ν代入材料系数关系

计算得到节点1和节点2的材料系数

分别将节点1和节点2的材料系数和泊松比设置为

ν⁽ⁱ⁾、

ν^(j)；将步骤4中测量得到的待测功能梯度材料板的第一个三角形单元的三个节点即节点1、节点2和节点6变形后的位移代入步骤1设置的方程（9）、（13）、（14），计算得到各个节点的物质坐标和各种关系系数；将计算得到的这些物质坐标、关系系数和ν⁽ⁱ⁾、

ν^(j)代入到步骤1中设置的材料系数的计算公式（11）和泊松比ν的计算公式（12）中求出k点的材料系数和泊松比ν^(k)，即为第一个三角形单元的位置节点6的材料系数和泊松比。最后将计算得到的第一个三角形单元中的原先未知弹性模量的节点6的材料系数

和泊松比ν^(k)代入弹性模量E的计算公式

中即计算出节点6的弹性模量E^(k)。

步骤6，对与第一个三角形单元有两个公共节点的下一个三角形单元重复步骤5，计算得到下一个三角形单元的原先未知弹性模量的节点的弹性模量E和泊松比ν。配合参阅附图4和附图6所示，本实施例中，在与第一个三角形单元相邻且有两个公共节点的三角形单元2中，其三个顶点节点为节点2、节点6、节点7，将步骤5计算得到的新的弹性模量已知的节点6设为节点j，原已知弹性模量的节点2设为节点i，对第2个三角形单元的未知弹性模量的节点7如步骤5般，将节点2和节点6的弹性模量E、泊松比ν，以及节点2、节点6、节点7的坐标、位移代入步骤1设置的多个方程进行计算，得到节点7的弹性模量E和泊松比ν。

步骤7，持续重复步骤5和步骤6，直到计算得到步骤2中划分的多个三角单元的所有节点的弹性模量E和泊松比ν。本实施例中，多次重复步骤5和步骤6，直到将80个三角形单元的所有55个节点的弹性模量全部计算出来。如附图7所示，申请者用有限元方法对本发明方法进行了仿真验证。

设一薄板，长L=1.0m,宽W=0.4m,厚度t=0.003m，在右端受均匀载荷F=100N/m²的作用，左端受到约束，如附图5所示。由于弹性功能梯度材料板的材料系数沿空间是缓慢变化的，所以假设其弹性模量和泊松比为： $E=300.0\·e^{0.1x_1+0.1x_2}\×\mathrm{GPa}$ 和 $\mathrm{\ν}=0.3\·e^{0.1x_1+0.1x_2}.$

实施例一，如图4将其划分为80个三角形单元，使用本发明提供的方法进行仿真验证。其结果在节点45处的误差最大，其绝对误差为2.95Gpa，相对误差为0.8721%，此主要属于累积误差引起；

实施例二，在板的中间开一直径为0.1m的圆孔，将板划分为84个三角形单元，使用发明提供的方法进行仿真验证。其结果最大误差发生在孔边处，其绝对误差为5.03Gpa,相对误差为1.579%，此主要属于几何形状改变引起的误差;

实施例三，在板的中间开一沿板长度方向的轴长为0.2m，沿横向轴长为0.1m的椭圆孔，将板划分为76个三角形单元，使用本发明提供的方法进行仿真验证。其结果最大误差发生在椭圆孔长轴处，其绝对误差4.68Gpa,相对误差为1.4839%，此主要属于几何形状改变引起的误差;

实施例四，对板不加孔洞，仅假设弹性模量和泊松比为：

和

与实施例一相同的将板划分为80个三角形单元，使用本发明提供的方法进行仿真验证，其结果在节点3处误差最大，其中绝对误差是2.52Gpa,相对误差是0.788%。

综上所述，计算误差有几个来源：（1）计算累计误差；（2）几何尺寸与弹性系数变化相关的误差。但是，所有绝对误差都是一位数（假设的弹性模量都是Gpa单位的百位数），相对误差都在百分之一前后。根据常见误差分析的理论和有限元理论，适当调整有限元网格，还可以进一步提高计算精度。只要在测量中控制住所获得的位移误差和有限元计算网格的划分，就可以保证所获得的离散分布的弹性模量具有一定的准确度。所以，本方法的误差是可以控制的。

本发明在对功能梯度材料板进行弹性模量测量时，只需通过现有设备拉伸薄板得到节点的位移，对板本身不会造成损伤，可以很方便、精确的计算出功能梯度材料板的弹性模量。此外，由于本发明所提供的方法是在物质空间守恒律的基础上建立起来的，因此不仅通过计算可以得到较为准确的弹性模量，而且有坚实的理论基础。

尽管本发明的内容已经通过上述优选实施例作了详细介绍，但应当认识到上述的描述不应被认为是对本发明的限制。在本领域技术人员阅读了上述内容后，对于本发明的多种修改和替代都将是显而易见的。因此，本发明的保护范围应由所附的权利要求来限定。

Claims (3)

1.一种功能梯度材料板的弹性模量的测量方法，其特征在于，所述方法包括以下步骤：

步骤1，建立三角形单元，其三个顶点为节点i、j、k，通过物质空间守恒定律、弹性力学的应变能密度公式、材料系数关系，设置材料系数                                                

的计算公式

和泊松比ν的计算公式，其中，M_t（t=1,2 …9）为物质坐标位移泊松比耦合系数，

为三角形单元的各节点的材料系数，

为三角形单元的各节点的泊松比ν，β_i、β_j、γ_i、γ_j为节点i、j的物质坐标，已知三角形单元中两个节点的弹性模量E和泊松比ν，可以求解得到第三个节点的材料系数

和泊松比ν，将第三个节点的材料系数

、泊松比ν代入弹性模量E的计算公式

，计算得到三角形单元第三个节点的弹性模量；

步骤2，测量待测功能梯度材料板的尺寸，并将待测功能梯度材料板划分为多个三角形单元，三角形单元的每个顶点设为一个节点，第一个三角形单元的起始节点1和节点2的弹性模量E和泊松比ν设为已知；

步骤3，通过仪器将待测功能梯度材料板起始节点一端夹持固定，对待测功能梯度材料板另一端施加大小和方向已知的水平拉力F；

步骤4，测量待测功能梯度材料板发生变形后各个节点的位移；

步骤5，将待测功能梯度材料板第一个三角形单元的节点1和节点2的弹性模量E和泊松比ν，以及步骤4中测量得到的待测梯度功能材料板的第一个三角形单元的三个节点即节点1、节点2和节点6变形后的位移分别代入步骤1设置的材料系数

的计算公式、泊松比ν的计算公式和弹性模量E的计算公式进行计算，得到第一个三角形单元的原先未知弹性模量的节点6的弹性模量E和泊松比ν；

步骤6，考虑计算和第一个三角形单元有公共两个节点的下一个单元，用步骤5的方法，可计算得到下一个三角形单元第三个顶点节点的弹性模量E和泊松比ν； 对与第一个三角形单元有两个公共节点的下一个三角形单元重复步骤5，计算得到下一个三角形单元的原先未知弹性模量的节点的弹性模量E和泊松比ν；

步骤7，持续重复步骤5和步骤6，直到计算得到步骤2中划分的多个三角单元的所有节点的弹性模量E和泊松比ν。

2.如权利要求1所述的功能梯度材料板的弹性模量的测量方法，其特征在于，所述步骤1中还包含：

步骤1.1，基于物质空间守恒定律建立全导数方程

，其中，

表示全导数，

为守恒量，

为空间坐标的对称变换，

为能量-动量张量， 

为物理变量的对称变换，为应力；

步骤1.2，建立三角形单元，设定三角形单元的三个顶点节点的材料系数需满足的方程

，  

 ，并求解，其中，为点的空间坐标，

为剪切模量，

为常数；

步骤1.3，应用格林公式对步骤1.1中的物质空间守恒定律全导数方程沿着步骤1.2建立的三角形单元逆时针方向积分，得到守恒律的积分形式

，其中，

为守恒量，C为围成三角形单元的闭合积分路线，其方向为逆时针，为C围成的三角形区域；

步骤1.4，对步骤1.3得到的守恒律的积分形式、步骤1.2得到的材料系数需满足的方程

、弹性模量E与剪切模量G以及泊松比ν之间的关系联合求解并化简，得到材料系数的计算公式

和泊松比ν的计算公式

，当三角形单元中两个节点材料系数、泊松比为已知，三个节点坐标、位移为已知时，可以通过求解材料系数

的计算公式和泊松比ν的计算公式得到第三个节点的材料系数

和泊松比ν；

步骤1.5，将步骤1.4计算得到的三角形单元的第三个节点的材料系数

和泊松比ν代入弹性模量的计算公式

，计算得到第三个节点的弹性模量和泊松比。

3.如权利要求1所述的功能梯度材料板的弹性模量的测量方法，其特征在于，所述步骤5中还包含：

步骤5.1，将待测功能梯度材料板上第一个三角形单元的弹性模量已知的节点1和节点2的弹性模量和泊松比代入材料系数关系式

，计算得到节点1和节点2的材料系数

；

步骤5.2，将待测功能梯度材料板第一个三角形单元的弹性模量已知的节点1和节点2的材料系数、泊松比和步骤4中测量得到的第一个三角形单元的三个节点变形后的位移分别代入到步骤1中设置的材料系数

的计算公式和泊松比ν的计算公式中，计算得到第一个三角形单元中原先未知弹性模量的节点6的材料系数

和泊松比ν； 

步骤5.3，将步骤5.2计算得到的第一个三角形单元中的原先未知弹性模量的节点6的材料系数

和泊松比ν代入到弹性模量E的计算公式

中，计算得到节点6的弹性模量E。

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