CN102589966A - 功能梯度材料梁的弹性模量和剪切模量的测定方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了功能梯度材料梁的弹性模量和剪切模量的测定方法，该方法的步骤如下：考虑弹性模量和剪切模量为梁长度方向的函数，并将梁沿长度方向离散化；在保证离散化后的单元满足平衡方程的条件下，分别建立单元节点处的弹性模量和位移、剪切模量和转角的关系；当单元点处的位移和转角被分别测定后，可得到离散分布的弹性模量和剪切模量。本发明只需对材料弹性变形进行测量就可以预测材料内在物理性质，不会对材料做任何破坏；方法简单方便，在实验室备一台数码应变仪就可以实现。

Description

功能梯度材料梁的弹性模量和剪切模量的测定方法

技术领域

本发明涉及一种测量方法，特别涉及功能梯度材料梁的弹性模量和剪切模量的测定方法。 

背景技术

弹性模量是材料设计和结构设计必不可少的参数。对于均匀材料，弹性模量是一个常数，容易测定；对于功能梯度材料，弹性模量是空间坐标的函数，测定相对困难。已有的研究中，国内外学者普遍将功能梯度材料的弹性模量假设成某些特定的函数，如e指数函数，而对于该材料弹性模量真实分布的研究相对较少，未见公开报道。 

在对某种材料性能进行评价时，通过对材料弹性变形的测量，且不对材料做任何破坏，来预测材料内在物理性质，这些对均匀材料来说很容易。但对功能梯度材料来说，由于模量不是常值，无法得到一个具体的函数，只能通过测定各个节点的位移换算出弹性模量，进而通过曲线拟合的方法来得到模量函数。 

材料内在的部分物理性质，可以由该材料在受力状态下的变形特征反映出来。对于模量沿长度方向呈梯度变化的功能梯度材料梁，可以从梁的基本方程出发，建立模量的测定方程。测定方程表明，在实际过程中只要测定出材料在受力状态下节点的变形特征(位移或应变)，就能得到该材料弹性模量或剪切模量的分布变化规律。 

发明内容

本发明要解决的技术问题是提供一种功能梯度材料梁的弹性模量和剪切模量的测定方法。 

为达到上述目的，本发明的技术方案如下： 

功能梯度材料梁的弹性模量和剪切模量的测定方法，该方法的步骤如下： 

(1)考虑弹性模量和剪切模量为梁长度方向的函数，并将梁沿长度方向 离散化； 

(2)在保证离散化后的单元满足平衡方程的条件下，分别建立单元节点处的弹性模量和位移、剪切模量和转角的关系； 

(3)当单元点处的位移和转角被分别测定后，可得到离散分布的弹性模量和剪切模量。 

通过上述技术方案，本发明的有益效果是： 

本发明只需对材料弹性变形进行测量就可以预测材料内在物理性质，不会对材料做任何破坏；方法简单方便，在实验室备一台数码应变仪就可以实现。 

附图说明

为了更清楚地说明本发明实施例或现有技术中的技术方案，下面将对实施例或现有技术描述中所需要使用的附图作简单地介绍，显而易见地，下面描述中的附图仅仅是本发明的一些实施例，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动的前提下，还可以根据这些附图获得其他的附图。 

图1为本发明梁的变形结构图； 

图2为本发明梁的受力示意图； 

图3为本发明梁的单元划分图； 

图4为本发明梁的实际变形效果图1； 

图5为本发明梁的实际变形效果图2； 

图6为本发明梁的单元转角图。 

具体实施方式

为了使本发明实现的技术手段、创作特征、达成目的与功效易于明白了解，下面结合具体图示，进一步阐述本发明。 

本发明功能梯度材料梁的弹性模量和剪切模量的测定方法，该方法的步骤如下： 

(1)考虑弹性模量和剪切模量为梁长度方向的函数，并将梁沿长度方向离散化； 

(2)在保证离散化后的单元满足平衡方程的条件下，分别建立单元节点处的弹性模量和位移、剪切模量和转角的关系； 

(3)当单元点处的位移和转角被分别测定后，可得到离散分布的弹性模量和剪切模量。 

为证明方法有效性，数字仿真时假设弹性模量和剪切模量为沿长度方向的指数函数，用有限元软件计算了单元节点处的位移和转角；用这些位移和转角反过来计算得出的离散弹性摸量和剪切模量和假设的指数函数值的误差可以控制，表明此方法是可行的。 

方程建立： 

参见图1所示，在铁木辛柯梁弯曲理论中，与欧拉-伯努利梁理论相同，仍假设原来垂直于中面的截面变形后保持为平面。但不同的是，在铁木辛柯梁理论中，原来垂直于中面的截面变形后不再和中面垂直，发生翘曲。 

图中γ表示截面和中面相交处的剪切应变，有如下关系 

$\mathrm{\γ}=\frac{\mathrm{dw}}{\mathrm{dx}}-\mathrm{\θ}---\left(1\right)$

其中，θ是截面的转动，此时梁的曲率变化κ按几何学定义仍表示为 

$\mathrm{\κ}=-\frac{\mathrm{d\θ}}{\mathrm{dx}}---\left(2\right)$

此为和欧拉-伯努利梁理论的不同之处，所以由截面上静力学关系，剪力和弯矩分别可以表示为 

$Q=\underset{A}{\∫}G\left(x\right)\mathrm{\γdA}=\mathrm{cG}\left(x\right)A(\frac{\mathrm{dw}}{\mathrm{dx}}-\mathrm{\θ})---\left(3\right)$

$M=\underset{A}{\∫}{\mathrm{\σ}}_{11}\mathrm{ydA}=\underset{A}{\∫}E\left(x\right){\mathrm{\ϵ}}_{11}\mathrm{ydA}=\underset{A}{\∫}\frac{E\left(x\right)}{\mathrm{\ρ}}{y}^2\mathrm{dA}$

$=\frac{E\left(x\right)I}{\mathrm{\ρ}}=-E\left(x\right)I\frac{\mathrm{d\θ}}{\mathrm{dx}}---\left(4\right)$

以上两式中，c是梁的截面形状系数(胡海昌.弹性力学的变分原理及其应用[M]，北京：科学出版社，1981，145-146)，对于矩形横截面，有 这里μ为泊松比；A和I分别为横截面面积和横截面对中性轴的惯性矩。 

由方程(3)、(4)，得 

$G\left(x\right)=Q/\mathrm{cA}(\frac{\mathrm{dw}}{\mathrm{dx}}-\mathrm{\θ})---\left(5\right)$

$E\left(x\right)=-M/I\frac{\mathrm{d\θ}}{\mathrm{dx}}=-(C_0+C_{1}x)/I\frac{\mathrm{d\θ}}{\mathrm{dx}}---\left(6\right)$

此处C₀、C₁与前述意义相同。以上两式分别是铁木辛柯梁测定功能梯度材料剪切模量和弹性模量的基本方程。 

变形特征函数： 

挠度和转角是度量梁弯曲变形的两个基本量。事实上，挠度和转角函数无法直接获得，通过一定的测量手段，可得到它们的离散分布数值，此处考虑用插值法构造挠度函数和转角函数；假定已经获得一系列点的挠度和转角，选取拉格朗日插值进行挠度和转角函数的构造。 

对于n+1个节点，其n次插值多项式为L_n(x)可表示为 

$L_n\left(x\right)=\underset{k=0}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{y}_k{l}_k\left(x\right)---\left(7\right)$

其中，y_k为在k点的函数值，l_k(x)为在k点的插值形函数，且 

$l_k\left(x\right)=\frac{(x-x_0)...(x-x_{k-1})(x-x_{k+1})...(x-x_n)}{(x_k-x_0)...(x_k-x_{k-1})(x-x_{k+1})...(x_k-x_n)}---\left(8\right)$

由公式(7)、(8)即可建立挠度函数、转角函数与梁上各节点挠度值、转角值的关系。如三次挠度插值函数可表示为 

w(x)＝N_i(x)w_i+N_j(x)w_j+N_m(x)w_m+N_n(x)w_n    (9) 

其中，w_i、w_j、w_m、w_n和N_i(x)、N_j(x)、N_m(x)、N_n(x)分别为i、j、m、n点处的挠度值和插值形函数，且 

$N_i\left(x\right)=\frac{(x-x_j)(x-x_m)(x-x_n)}{(x_i-x_j)(x_i-x_m)(x_i-x_n)}$

下标(i、j、m、n)轮换后可得N_j(x)、N_m(x)和N_n(x)。构造出挠度函数后，就可以求得一阶导数。同样可以构造转角函数并求一阶导数值。 

实施例1 

参见图2和图3所示，长度和横截面积已知的功能梯度材料梁，其最左端固定，最右端施加大小和方向为已知的力F和力偶M。仿真计算时，划分20 分单元。 

梁的实际变形效果如图4和图5所示。可以测定各个节点的挠度和转角，用公式(7)得到变形函数和转角函数后，代入公式(5)、(6)就可以知道弹性模量和剪切模量的分布规律。 

挠度和转角的测定： 

中性线上的铅垂位移就是挠度w。如下图6梁的划分，上三个单元和下三个单元的平均转角认定为转角θ，这样就可以求得模量的分布。 

以上显示和描述了本发明的基本原理和主要特征和本发明的优点。本行业的技术人员应该了解，本发明不受上述实施例的限制，上述实施例和说明书中描述的只是说明本发明的原理，在不脱离本发明精神和范围的前提下，本发明还会有各种变化和改进，这些变化和改进都落入要求保护的本发明范围内。本发明要求保护范围由所附的权利要求书及其等效物界定。 

Claims (1)

1.功能梯度材料梁的弹性模量和剪切模量的测定方法，其特征在于，该方法的步骤如下：

(1)考虑弹性模量和剪切模量为梁长度方向的函数，并将梁沿长度方向离散化；

(2)在保证离散化后的单元满足平衡方程的条件下，分别建立单元节点处的弹性模量和位移、剪切模量和转角的关系；

(3)当单元点处的位移和转角被分别测定后，可得到离散分布的弹性模量和剪切模量。

Images