CN103532567A - 分布式压缩感知框架下基于快速计算内积的正交匹配追踪算法的信号重构方法 - Google Patents

Abstract

分布式压缩感知框架下基于快速计算内积的正交匹配追踪算法的信号重构方法，涉及多通道压缩感知技术领域，是为了解决现有的信号重构方法的重构速度慢的问题。本发明在多通道信号经过压缩观测后，用正交匹配追踪算法进行信号的重构，利用联合观测矩阵内在的稀疏性，实现正交匹配追踪算法中内积的快速计算，进而实现信号重构。本发明适用于分布式压缩感知框架下基于快速计算内积的正交匹配追踪算法的信号重构。

Description

分布式压缩感知框架下基于快速计算内积的正交匹配追踪算法的信号重构方法

技术领域

本发明涉及多通道压缩感知技术领域，具体涉及多通道信号压缩观测的背景下，采用正交匹配追踪算法（Orthogonal Matching Pursuit，OMP）进行快速信号重构时的方法。

背景技术

传统的信号获取基于奈奎斯特采样定理，即：信号的采样速率必须大于等于信号最高频率的2倍时，才能从采集到的数据中无失真的恢复出源信号。随着人们对信息量需求的增加，信号的带宽增大，当信号的获取依然基于奈奎斯特采样定理时，将会对信号采样及数据存储等带来极大的挑战。2004年提出的新型采样理论——压缩感知（CompressedSensing，CS）指出当信号满足稀疏性时，能以远低于奈奎斯特采样率的速度对信号进行观测，然后通过合适的重构算法从信号的少量投影值中恢复源信号。由于CS理论可以大大降低信号的采样速率以及数据存储容量，在多个领域具有广泛的应用前景。

具体为：设x是长度为N的稀疏信号，稀疏度是K（K<<N），Φ是M×N的测量矩阵，M<N。观测值y可表示为：

公式1    y=Φx

y是对信号x的M次全局观测。

在许多应用场合，如语音识别、环境监测、网络异常探测等领域，通常用多个传感器采集多路信号。多通道信号的压缩感知也成为分布式压缩感知（Distributed CompressiveSensing，DCS）。相比于对每个信号进行单独重构，DCS充分利用多通道信号间的相关性，对所有信号进行联合重构，能够进一步的降低采样次数，提高信号重构精度。

分布式压缩感知有三种基本的联合稀疏模型（Joint Sparse Model，JSM），分别称之为JSM-1，JSM-2和JSM-3。以下内容仅针对符合JSM-1的应用情况进行描述。

在JSM-1中，所有信号有公共部分（Common Part）且每个信号有各自的特有部分(Innovation Part)，如图1所示。

设I＝{1，2，...，n}表示n个信号的索引，且任意信号x_i∈R^N×1，i∈I。每个信号x_i的测量矩阵为

观测得到的数据是

根据JSM-1的定义，每个信号用如下公式表示：

公式2    x_i＝z_C+z_i，i∈I

其中：z_C表示信号的公共部分，且||z_C||₀＝K_C。||z_C||₀表示向量z_C中非零元素的个数。z_i表示信号的特有部分，且||z_i||₀=K_i。

根据公式1和公式2，信号的压缩观测值表示如下：

公式3    y_i＝Φ_ix_i＝Φ_iz_C+Φ_iz_i，i∈I

令：

公式4     $Y={[y_1^T,y_2^T,...,y_n^T]}^T$

公式5    

公式6     $X={[z_C^T,z_1^T,z_2^T,...,z_n^T]}^T$

由公式4到公式6可以得到

公式7    Y=ΘX

其中： $\mathrm{\&Theta;}\&Element;R^{\left({\mathrm{\&Sigma;}}_{i=1}^n{M}_i\right)\&times;(n+1)N}$ 是联合观测矩阵， $Y\&Element;R^{\left({\mathrm{\&Sigma;}}_{i=1}^n{M}_i\right)\&times;1}$ 是联合观测数据，X∈R^(n+1)N×1是联合原始信号。

现有的方法是采用OMP算法求解公式7，得到X，然后求出每个信号x_i。其中，OMP算法的主要实现步骤如下：

输入：测量矩阵Θ,观测值Y和系数度K；

输出：信号X的估计

初始化：

1）、r₀=Y{初始化残差r₀}；

2）、

{初始化支撑集Ι₀}；

3）、t=1{初始化迭代次数}；

4）、将Θ=[θ₁,θ₂,…,θ_(n+1)N]的各个列向量进行归一化处理得到：

迭代：在第t次迭代中，进行如下步骤：

5）、寻找索引λ_t={归一化后的测量矩阵和残差的内积向量q中最大元素的索引}，其中：

6）、扩展支撑集Ι_t=Ι_t-1∪{λ_t}；

7）、解最小二乘问题求X的估计值：

$\hat{X}={\arg \min }_x{\left|\right|{\mathrm{\&Theta;}}_{I_t}X-Y\left|\right|}_2.$

8）、计算观测值Y的近似值，并更新残差：

${\hat{Y}}_t={\mathrm{\&Theta;}}_{I_t}\hat{X}$

$r_t=Y-{\hat{Y}}_t.$

9）、t=t+1，如果t<K，返回步骤5），否则，进入步骤10）。

10）、中非零元素的位置列表存储于Ι_K中。

求出

后，根据公式2和公式6可以求出每个原始信号。

该方法中，主要的计算量在第5）步的内积计算过程中。假设所有的观察矩阵Φ_i∈R^M×N，则

是nM×(n+1)N矩阵，在每次迭代过程中，计算内积

所需要的乘法次数为：

公式8    C_m=nM×(n+1)N

         ＝n(n+1)MN

         ＝(n²+n)MN

所需要的加法的次数是

公式9     $\begin{array}{c}{C}_a=(\mathrm{nM}-1)\&times;(n+1)N\\ =n(n+1)\mathrm{MN}(1-\frac{1}{\mathrm{nM}})\\ \&ap;(n^2+n)\mathrm{MN}\end{array}$

所需的乘加总次数为：

公式10     $C=C_m+C_a=2n^2\mathrm{MN}(1+\frac{1}{n})$

根据公式10可知，计算内积所需要的总次数和信号个数n的平方成正比，所需要的乘加次数成指数增长。当n增大时，计算速度成指数下降，所需的信号重构时间将会变得非常长。

发明内容

本发明是为了解决现有的信号重构方法的重构速度慢的问题，从而提供一种分布式压缩感知框架下基于快速计算内积的正交匹配追踪算法的信号重构方法。

分布式压缩感知框架下基于快速计算内积的正交匹配追踪算法的信号重构方法，它由以下步骤实现：

步骤一、根据公式：r₀=Y,设定残差r初始值r₀；

步骤二、根据公式：

设定支撑集Ι的初始值Ι₀；

步骤三、令迭代次数的初始值t=1；

步骤四、将联合观测矩阵Θ＝[θ₁，θ₂，…，θ_(n+1)N]中各个列向量进行归一化处理得到：

将每次迭代所用的残差r∈R^nM×1表示为：

$r={[r_{\left(1\right)}^T,r_{\left(2\right)}^T,...,r_{\left(n\right)}^T]}^T$

其中：每个r_(i)∈R^M×1包含r中的M个元素，M为正整数，即从：r((i-1)×M+1)到r(i×M);

步骤五、采用公式：

获得内积q；n为正整数；

步骤六、通过公式：Ι_t=Ι_t-1∪{λ_t}，扩展支撑集I_t；

式中：λ_t=归一化后的测量矩阵和残差的内积向量q中最大元素的索引；

步骤七、根据公式：

$\hat{X}={\arg \min }_x{\left|\right|{\mathrm{\&Theta;}}_{I_t}X-Y\left|\right|}_2$

获得联合原始信号X的估计值；

步骤八、计算观测值Y的近似值；并根据公式：

$r_t=Y-{\hat{Y}}_t$

更新残差；

其中：

${\hat{Y}}_t={\mathrm{\&Theta;}}_{I_t}\hat{X};$

步骤九、令t的值加1，并判断t的值是否小于稀疏度K，K<<N，N为稀疏信号x的长度；如果判断结果为是，则返回执行步骤四，如果判断结果为否，则执行步骤十；

步骤十、将中非零元素的位置列表存储，完成分布式压缩感知框架下基于快速计算内积的正交匹配追踪算法的信号重构。

本发明利用联合观测矩阵的内在结构稀疏的特点，大大降低了计算内积时所需的乘加次数，仅为现有方法的2/(n+1)，从而大幅度提高了信号重构的速度。

附图说明

图1是背景技术中JSM-1中的公共部分和特有部分的仿真示意图；其中标记A表示公共部分；标记B为特有部分。

具体实施方式

具体实施方式一、分布式压缩感知框架下基于快速计算内积的正交匹配追踪算法的信号重构方法，它由以下步骤实现：

步骤一、根据公式：r₀=Y,设定残差r初始值r₀；

步骤二、根据公式：

设定支撑集Ι的初始值Ι₀；

步骤三、令迭代次数的初始值t=1；

步骤四、将联合观测矩阵Θ＝[θ₁，θ₂，…，θ_(n+1)N]中各个列向量进行归一化处理得到：

将每次迭代所用的残差r∈R^nM×1表示为：

$r={[r_{\left(1\right)}^T,r_{\left(2\right)}^T,...,r_{\left(n\right)}^T]}^T$

其中：每个r_(i)∈R^M×1包含r中的M个元素，M为正整数，即从：r((i-1)×M+1)到r(i×M);

步骤五、采用公式：

获得内积q；n为正整数；

步骤六、通过公式：Ι_t=Ι_t-1∪{λ_t}，扩展支撑集I_t；

式中：λ_t=归一化后的测量矩阵和残差的内积向量q中最大元素的索引；

步骤七、根据公式：

$\hat{X}={\arg \min }_x{\left|\right|{\mathrm{\&Theta;}}_{I_t}X-Y\left|\right|}_2$

获得联合原始信号X的估计值；

步骤八、计算观测值Y的近似值；并根据公式：

$r_t=Y-{\hat{Y}}_t$

更新残差；

其中：

${\hat{Y}}_t={\mathrm{\&Theta;}}_{I_t}\hat{X};$

步骤九、令t的值加1，并判断t的值是否小于稀疏度K，K<<N，N为稀疏信号x的长度；如果判断结果为是，则返回执行步骤四，如果判断结果为否，则执行步骤十；

步骤十、将中非零元素的位置列表存储，完成分布式压缩感知框架下基于快速计算内积的正交匹配追踪算法的信号重构。

本发明计算内积的原理为：

令归一化后的Θ为

如公式11所示：

公式11    

将每次迭代所用的残差r∈R^nM×1用如下公式表示：

公式12     $r={[r_{\left(1\right)}^T,r_{\left(2\right)}^T,...,r_{\left(n\right)}^T]}^T$

其中每个r_(i)∈R^M×1包含r中的M个元素，从r((i-1)×M+1)到r(i×M).

本发明中计算内积的方法如下：

公式13    

采用公式13计算内积，所用的乘法次数：

公式14    C′_m=2nMN

所用的加法次数是：

公式15     $C_a^{\&prime;}=2\mathrm{nMN}(1-\frac{1}{2M}-\frac{1}{2\mathrm{nMN}})$

所需要的乘加总次数是：

公式16     $C^{\&prime;}=C_m^{\&prime;}+C_a^{\&prime;}=2\mathrm{nMN}(2-\frac{1}{2M}-\frac{1}{2\mathrm{nMN}})$

本发明中计算内积的方法和原始计算内积方法所需要的乘加次数比为：

公式17     $\mathrm{ratio}=\frac{c^{\&prime;}}{c}=\frac{2\mathrm{nMN}(2-\frac{1}{2M}-\frac{1}{2\mathrm{nMN}})}{2(n^2+n)\mathrm{MN}}\&ap;\frac{2}{n+1}$

当信号个数n逐步增大时，本发明方法计算内积的时间仅为现有方法的2/(n+1),大大提高了信号的重构速度。本发明方法只对内积计算的方法进行了改进，没有修改OMP算法的其他步骤，因此在提高信号重构速度的同时，不会改变信号重构的精度。

仿真结果如下：仿真时：信号的长度N=512，测量次数M=256，K_c=10，K_i=1，信号个数n从2变换到26，每次增加1。每次实验运行50次，求平均值运行时间。现有OMP方法和本发明方法重构信号所用的运行时间如表1所示。

表1

从表1中可以看出，当信号个数逐渐增大时，本发明方法重构信号所需要的运行时间约为现有OMP方法运行时间的2/(n+1)信号重构的速度比现有方法有大幅度提高。

Claims (1)

1.分布式压缩感知框架下基于快速计算内积的正交匹配追踪算法的信号重构方法，其特征是：它由以下步骤实现：

步骤一、根据公式：r₀=Y,设定残差r初始值r₀；

步骤二、根据公式：

设定支撑集Ι的初始值Ι₀；

步骤三、令迭代次数的初始值t=1；

步骤四、将联合观测矩阵Θ＝[θ₁，θ₂，…，θ_(n+1)N]中各个列向量进行归一化处理得到：

将每次迭代所用的残差r∈R^nM×1表示为：

$r={[r_{\left(1\right)}^T,r_{\left(2\right)}^T,...,r_{\left(n\right)}^T]}^T$

其中：每个r_(i)∈R^M×1包含r中的M个元素，M为正整数，即从：r((i-1)×M+1)到r(i×M);

步骤五、采用公式：

获得内积q；n为正整数；

步骤六、通过公式：Ι_t=Ι_t-1∪{λ_t}，扩展支撑集I_t；

式中：λ_t=归一化后的测量矩阵和残差的内积向量q中最大元素的索引；

步骤七、根据公式：

$\hat{X}={\arg \min }_x{\left|\right|{\mathrm{\&Theta;}}_{I_t}X-Y\left|\right|}_2$

获得联合原始信号X的估计值；

步骤八、计算观测值Y的近似值；并根据公式：

$r_t=Y-{\hat{Y}}_t$

更新残差；

其中：

${\hat{Y}}_t={\mathrm{\&Theta;}}_{I_t}\hat{X};$

步骤九、令t的值加1，并判断t的值是否小于稀疏度K，K<<N，N为稀疏信号x的长度；如果判断结果为是，则返回执行步骤四，如果判断结果为否，则执行步骤十；

步骤十、将

中非零元素的位置列表存储，完成分布式压缩感知框架下基于快速计算内积的正交匹配追踪算法的信号重构。