CN107547088A - 基于压缩感知的增强型自适应分段正交匹配追踪方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于压缩感知的增强型自适应分段正交匹配追踪（Enhanced Adaptive Stagewise Orthogonal Matching Pursuit,EAStOMP）方法。它在已有的分段正交匹配追踪方法的基础上，引入回溯思想，在原有的阈值参数的基础上通过引入一个新的标识参数，达到有效的二次支撑集筛选，从而可以更准确地重建信号。与其他现有相关方法相比，本发明能够确保在未知信号稀疏度的前提下，无论是在测量信号无噪还是有噪情况下，EAStOMP方法均可以获得更优的信号重建性能。

Description

基于压缩感知的增强型自适应分段正交匹配追踪方法

技术领域

本发明涉及信号处理的压缩感知技术领域，尤其涉及压缩感知自适应重建算法技术领域，具体为一种基于压缩感知的增强型自适应分段正交匹配追踪方法。

背景技术

当今时代，信息技术迅速发展，需要处理的信号带宽越来越宽，如果对模拟信号用奈奎斯特采样率进行采样，将需要更大的存储和传输代价，同时对硬件采样系统也有更高的要求。于是，一种新的理论-压缩感知理论(Compressed Sensing,CS)诞生了。该理论是一种新的信号获取和处理方式，它在数据采集的同时完成数据的压缩，从而节约了软硬件资源和数据处理的时间。基于压缩感知的信号采样速率远低于传统奈奎斯特采样方法。这些优点使得其在很多领域有着广阔的应用前景,如在雷达、医学成像、信道估计等。CS理论利用一个与变换基不相关的观测矩阵，将变换所得的高维信号投影到一个低维空间上，根据这些少量的测量值，通过求解优化问题实现信号的精确重建。

重建算法是CS理论的关键问题，它应该在已知测量矩阵和测量向量的前提下，高效并且精确的实现对原始信号的重建。目前主要的重构算法有：组合优化类重构算法、凸优化类算法和统计分析类算法以及贪婪迭代类算法。组合优化类算法,如傅里叶采样算法的重构效果比较好，但是在实际条件下由于系统要求比较严格，存在各种约束，因此很难广泛运用；凸优化类算法，如基追踪算法(Basis Pursuit,BP)等算法，其需要的采样值较少，重建精度较好，但是算法复杂度高，在压缩感知系统的实际应用中很难得以广泛运用；统计分析类算法，如贝叶斯压缩感知(Bayesian Compressive Sensing,BCS)重构算法、结合自适应字典学习的稀疏贝叶斯重构算法等,其在优化上达到局部最优，误差较小，重构效果较好，具有一定的应用前景；贪婪迭代类算法运算量小，运行效率和采样效率较高，且具有一定的重构精度，因此应用最为广泛。

作为应用最为广泛的贪婪迭代算法，现在已经有一些传统贪婪迭代算法，如最基础的匹配追踪算法(Matching Pursuit,MP)、正交匹配追踪算法(Orthogonal MatchingPursuit,OMP)、压缩采样匹配追踪算法(Compressive Sampling Matching Pursuit,CoSaMP)和子空间追踪算法(Subspace Pursuit,SP)。除此之外,还有一些基于OMP算法的改进算法,如正则化正交匹配追踪算法(Regularized Orthogonal Matching Pursuit,ROMP、广义正交匹配追踪算法(Generalized Orthogonal Matching Pursuit,GOMP)。

上述重构算法的前提均要求已知信号的稀疏度，这一要求在实际应用中很难实现。能否在未知信号稀疏度的前提下，通过基于贪婪迭代的算法精确重建信号？针对该问题，有学者提出了分段正交匹配追踪(Stagewise Orthogonal Matching Pursuit,StOMP)算法，它能够在未知信号稀疏度的前提下重建信号，因为其预先只需要把迭代次数设定为某一固定值即可，但其重建性能不够理想。

因此，研究压缩感知的自适应重建算法尤为重要，可以通过更有效的原子筛选来进行实现，以达到更优的重建性能。

发明内容

本发明所要解决的技术问题是针对背景技术中所涉及到的缺陷，提供一种自适应压缩感知重建方法，使得可以在未知信号稀疏度的前提下，信号重建获得更优的性能。

本发明为解决上述技术问题采用以下技术方案：

基于压缩感知的增强型自适应分段正交匹配追踪方法，包括如下步骤：

步骤1)，输入测量矩阵Φ和测量信号向量y；

其中，Φ∈R^M×N是M×N维的测量矩阵，测量矩阵是对原始信号进行压缩感知所用的矩阵，通过测量矩阵和原始信号可以得到测量向量，y∈R^M是由M个测量值所构成的M×1维测量信号向量，M为测量信号向量的长度，N为原始信号向量的长度；

步骤2)，进行初始化操作，令初始残差r₀＝y，初始支撑集起始步长L＝s，迭代次数k＝1，阶段标识I＝0，其中，是空集，s＝1；

步骤3)，对原子进行初选，将符合下式的列索引构成初选候选集：

J_k＝{j:|g_k(j)|＞tσ_k}

其中，g_k＝Φ^Tr_k-1，Φ^T为测量矩阵Φ的转置，r_k-1为第k-1次迭代时的残差，g_k为第k次迭代时测量矩阵Φ与残差r_k-1的内积；σ_k为正常噪声水平，r_k为第k次迭代时的残差，||r_k||₂为r_k的2范数；t为预先设定的阈值参数；j为满足|g_k(j)|＞tσ_k的测量矩阵Φ的列标，即列索引；J_k为第k次迭代时初选原子形成的候选集；

将上一次迭代的最终支撑集与本次迭代的初选候选集合并，形成最终候选集：

C_k＝F_k-1∪J_k

其中，C_k为第k次迭代时的最终候选集；F_k-1为第k-1次迭代时的最终支撑集；

步骤4)，进行阶段标识值的判断与更新：如果size(C_k)＞μ*M,则令I＝1，其中，size(C_k)表示最终候选集C_k中的元素个数，μ为预先设定的标识阈值参数，I为阶段标识参数；

步骤5)，获得初选支撑集：如果size(C_k)≥L,则令否则令F＝C_k；其中,F为初选支撑集，表示从Φ中取最终候选集C_k里的索引所对应的列构成的矩阵，表示的伪逆矩阵，且伪逆矩阵表示的逆矩阵；表示从中选择前L个最大的元素所对应的索引；

步骤6)，进行残差更新：其中，Φ_F表示从Φ中取初选支撑集F里的索引所对应的列构成的矩阵；表示Φ_F的伪逆矩阵，且伪逆矩阵 表示的逆矩阵；

步骤7)，如果||r||₂＜ε，则停止迭代并输出重建信号否则转步骤8)，其中，ε为预先设定的常量，||r||₂为r的2范数；

步骤8)，如果||r||₂≥||r_k-1||₂且I＝0，则令L＝L+2*s,F_k＝F_k-1,r_k＝r_k-1；

如果||r||₂≥||r_k-1||₂且I＝1，则令L＝L+s,F_k＝F_k-1,r_k＝r_k-1；否则，令F_k＝F,r_k＝r；

其中，F_k为第k次迭代时的最终支撑集；

步骤9)，k＝k+1,转步骤3)。

作为本发明基于压缩感知的增强型自适应分段正交匹配追踪方法进一步的优化方案，所述t的范围为1≤t≤3。

作为本发明基于压缩感知的增强型自适应分段正交匹配追踪方法进一步的优化方案，所述μ＜1/4。

作为本发明基于压缩感知的增强型自适应分段正交匹配追踪方法进一步的优化方案，所述ε取10^-6。

本发明采用以上技术方案与现有技术相比，具有以下技术效果：

在未知信号稀疏度的前提下，无论在测量信号无噪还是有噪情况下，进行信号重建，与分段正交匹配追踪(Stagewise Orthogonal Matching Pursuit,StOMP)算法、正交匹配追踪算法(Orthogonal Matching Pursuit,OMP)相比，使用本发明所获得的信号准确重建概率以及重建信号均方误差(Mean Square Error,MSE)性能都明显优于它们。

附图说明

图1是不同算法信号重建的准确重建概率比较；

图2是不同算法信号重建的MSE比较。

具体实施方式

下面结合附图对本发明的技术方案做进一步的详细说明：

本发明公开了一种基于压缩感知的增强型自适应分段正交匹配追踪(EnhancedAdaptive Stagewise Orthogonal Matching Pursuit,EAStOMP)方法，包括如下步骤：

步骤1)，输入测量矩阵Φ和测量信号向量y；

其中，Φ∈R^M×N是M×N维的测量矩阵，测量矩阵是对原始信号进行压缩感知所用的矩阵，通过测量矩阵和原始信号可以得到测量向量，y∈R^M是由M个测量值所构成的M×1维测量信号向量，M为测量信号向量的长度，N为原始信号向量的长度；

步骤2)，进行初始化操作，令初始残差r₀＝y，初始支撑集起始步长L＝s，迭代次数k＝1，阶段标识I＝0，其中，是空集，s＝1；

步骤3)，对原子进行初选，将符合下式的列索引构成初选候选集：

J_k＝{j:|g_k(j)|＞tσ_k}

其中，g_k＝Φ^Tr_k-1，Φ^T为测量矩阵Φ的转置，r_k-1为第k-1次迭代时的残差，g_k为第k次迭代时测量矩阵Φ与残差r_k-1的内积；σ_k为正常噪声水平，r_k为第k次迭代时的残差，||r_k||₂为r_k的2范数；t为预先设定的阈值参数；j为满足|g_k(j)|＞tσ_k的测量矩阵Φ的列标，即列索引；J_k为第k次迭代时初选原子形成的候选集；

将上一次迭代的最终支撑集与本次迭代的初选候选集合并，形成最终候选集：

C_k＝F_k-1∪J_k

其中，C_k为第k次迭代时的最终候选集；F_k-1为第k-1次迭代时的最终支撑集；

步骤4)，进行阶段标识值的判断与更新：如果size(C_k)＞μ*M,则令I＝1，其中，size(C_k)表示最终候选集C_k中的元素个数，μ为预先设定的标识阈值参数，I为阶段标识参数；

步骤5)，获得初选支撑集：如果size(C_k)≥L,则令否则令F＝C_k；其中,F为初选支撑集，表示从Φ中取最终候选集C_k里的索引所对应的列构成的矩阵，表示的伪逆矩阵，且伪逆矩阵 表示的逆矩阵；表示从中选择前L个最大的元素所对应的索引；

步骤6)，进行残差更新：其中，Φ_F表示从Φ中取初选支撑集F里的索引所对应的列构成的矩阵；表示Φ_F的伪逆矩阵，且伪逆矩阵 表示的逆矩阵；

步骤7)，如果||r||₂＜ε，则停止迭代并输出重建信号否则转步骤8)，其中，ε为预先设定的常量，||r||₂为r的2范数；

步骤8)，如果||r||₂≥||r_k-1||₂且I＝0，则令L＝L+2*s,F_k＝F_k-1,r_k＝r_k-1；

如果||r||₂≥||r_k-1||₂且I＝1，则令L＝L+s,F_k＝F_k-1,r_k＝r_k-1；否则，令F_k＝F,r_k＝r；

其中，F_k为第k次迭代时的最终支撑集；

步骤9)，k＝k+1,转步骤3)。

所述t的范围为1≤t≤3，μ＜1/4，ε取10^-6。

本发明包含两个主要技术问题，一个是进行有效的二次原子筛选，获得更有效的支撑集，从而更准确地重建信号；另一个是自适应的估计信号的稀疏度，从而获得更优的自适应重建性能。下面分别介绍这两个部分的实施方式，并通过仿真说明本自适应重建方法在未知信号稀疏度的前提下，对提高压缩感知信号重建性能的有益效果。

(一)有效的二次原子筛选

假设x∈R^N是长度为N的原始信号向量，非零值元素个数为K，即稀疏度为K,y∈R^M是长度为M的测量信号向量，Φ∈R^M×N是M×N维的测量矩阵(或称为观测矩阵，其满足M＜＜N),x与Φ相乘得到y，即

y＝Φx (1)

当Φ满足约束等距性质(Restricted Isometry Property,RIP)时，重建端通过y与Φ则能以很大概率完成信号重建，其中要求满足式(2)：

M≥cKlog(N/K)＜＜N (2)

其中c是一个很小的常数。

对于信号的重建实际上就是由式(1)求解最小l₀范数优化问题，即

min||x||₀,s.t.y＝Φx (3)

这是一个NP难问题，但是可以在一定条件下将其转化为更简单的最小l₁范数优化问题来近似求解，即

min||x||₁,s.t.y＝Φx (4)

当有噪声时，式(1)就变为：

y＝Φx+n (5)

此时的信号重建问题同样可以在一定条件下转化为求解最小l₁范数优化问题，即

min||x||₁,s.t.y＝Φx+n (6)

对于最小l₁范数优化问题可以通过线性规划方法来求解，如基追踪(BasisPursuit,BP)方法，但是其计算复杂度太高。因此，可以使用计算复杂度较低并且易于实现的贪婪迭代类重建算法来实现最优解。

在贪婪迭代累算法中，通过多次迭代，筛选原子形成支撑集，最后输出信号估计值最优解。而如何有效的筛选原子成为了一个重要的研究点。因此，本发明在分段正交匹配追踪算法的基础上，通过引入回溯思想，通过对候选集的原子进行二次筛选，剔除一些不相关的原子，最终形成更加有效的支撑集，达到更优的重建性能。本发明中设计到的有效的二次原子筛选的主要步骤为方法中的步骤3)和步骤5)。

(二)自适应的估计信号的稀疏度

传统的压缩感知贪婪迭代类重建方法绝大多数都需要已知信号的稀疏度，如正交匹配追踪算法。然而在实际中很难预先获取信号的稀疏度，所以本发明通过引入阶段标识参数I来进行每次迭代的变步长的选取以及每次迭代后的支撑集和残差的更新以及引入标识阈值参数μ来进行阶段标识参数的判断与更新，以达到更好的稀疏度估计的目的，从而实现更优的重建性能。

本发明中设计到的自适应的估计信号的稀疏度的主要步骤为方法中的步骤2)、步骤4)和步骤8)。

(三)仿真结果

基于仿真需要，仿真中使用的信号采用一维高斯随机信号，观测矩阵采用高斯随机矩阵，噪声为加性高斯白噪声，稀疏信号长度记为N，测量值个数也即测量向量长度记为M，稀疏度记为K。由于比较的是稀疏度未知情况下的重建性能，为了比较的公平性，仿真中所用OMP算法均为未知稀疏度，迭代停止条件为||r||₂＜ε，ε是一个很小的值。仿真中OMP算法和EAStOMP算法的ε均取10^-6。仿真时，分别在无噪和有噪条件下进行。无噪时，通过信号准确重建概率来衡量重建性能；有噪时，通过归一化均方误差(Mean Square Error,MSE)来衡量信号的重建性能。归一化MSE定义为：

其中x_i表示稀疏信号x的第i个元素，表示重建后的信号的第i个元素。仿真时EAStOMP算法的μ取1/8。每次仿真进行1000次，取其平均结果。我们在未知信号稀疏度的前提下，从无噪时不同算法的信号重建的准确重建概率和有噪时不同算法的信号重建MSE两个方面来进行仿真。

1)未知信号稀疏度的前提下，研究无噪时，不同算法信号重建的准确重建概率以及该发明的EAStOMP算法的改善情况。稀疏信号长度N取256，测量向量长度M取128，重建算法分别为OMP、StOMP、EAStOMP。由图1可以看出，增强型自适应分段正交匹配追踪(EAStOMP)算法在未知信号稀疏度的条件下，准确重建概率性能仍明显优于OMP和StOMP算法，如在M＝128,K＝55时，StOMP算法已经几乎无法重建信号，仅有1.8％的准确重建概率，OMP算法也仅有61.2％的准确重建概率，但是EAStOMP算法仍然有高达96.8％的准确重建概率。在高稀疏度(45～70)条件下，相比于StOMP算法，EAStOMP算法的准确重建概率提高了10％～95％左右。因此，在未知信号稀疏度、无噪时，EAStOMP算法仍可以自适应的重建信号，且准确重建概率很高，明显优于OMP和StOMP算法，相比于StOMP算法，改善了很多。

2)未知信号稀疏度的前提下，研究有噪时，不同算法的信号重建MSE以及该发明的EAStOMP算法的改善情况。稀疏信号长度N取256，测量向量长度M取128，信号稀疏度K取48，重建算法分别为OMP、StOMP、EAStOMP。由图2可以看出，在未知信号稀疏度、不同信噪比(Signal to Noise Ratio,SNR)的条件下，增强型自适应分段正交匹配追踪(EAStOMP)算法准确重建概率性能仍优于OMP和StOMP算法，如当SNR＝16dB时，EAStOMP算法信号重建的MSE性能优于OMP算法2.2dB，优于StOMP算法1.6dB；且随着信噪比的增加，其性能优势越明显，如当SNR＝30dB时,EAStOMP算法信号重建的MSE性能优于OMP算法6.2dB，优于StOMP算法9.3dB。因此，在未知信号稀疏度、有噪时，EAStOMP算法仍可以自适应的重建信号，信号重建MSE优于OMP和StOMP算法，相比于StOMP算法，改善了很多。

从仿真中可以看出，在未知信号稀疏度的前提下，无论在无噪条件下还是在有噪条件下，EAStOMP算法均可以很好的自适应重建信号，且重建性能很好，优于StOMP算法和OMP算法，且相比于StOMP算法重建性能改善了很多。

本技术领域技术人员可以理解的是，除非另外定义，这里使用的所有术语(包括技术术语和科学术语)具有与本发明所属领域中的普通技术人员的一般理解相同的意义。还应该理解的是，诸如通用字典中定义的那些术语应该被理解为具有与现有技术的上下文中的意义一致的意义，并且除非像这里一样定义，不会用理想化或过于正式的含义来解释。

以上所述的具体实施方式，对本发明的目的、技术方案和有益效果进行了进一步详细说明，所应理解的是，以上所述仅为本发明的具体实施方式而已，并不用于限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内，所做的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (4)

1.一种基于压缩感知的增强型自适应分段正交匹配追踪方法，其特征在于，包括如下步骤：

步骤1)，输入测量矩阵Φ和测量信号向量y；

其中，Φ∈R^M×N是M×N维的测量矩阵，用于对原始信号进行压缩感知；y∈R^M是由测量矩阵和原始信号计算得到的M×1维测量信号向量，M为测量信号向量的长度，N为原始信号向量的长度；

步骤2)，进行初始化操作，令初始残差r₀＝y，初始支撑集起始步长L＝s，迭代次数k＝1，阶段标识I＝0，其中，是空集，s＝1；

步骤3)，对原子进行初选，将符合下式的列索引构成初选候选集：

J_k＝{j:|g_k(j)|＞tσ_k}

其中，g_k＝Φ^Tr_k-1，Φ^T为测量矩阵Φ的转置，r_k-1为第k-1次迭代时的残差，g_k为第k次迭代时测量矩阵Φ与残差r_k-1的内积；σ_k为正常噪声水平，r_k为第k次迭代时的残差，||r_k||₂为r_k的2范数；t为预先设定的阈值参数；j为满足|g_k(j)|＞tσ_k的测量矩阵Φ的列标，即列索引；J_k为第k次迭代时初选原子形成的候选集；

将上一次迭代的最终支撑集与本次迭代的初选候选集合并，形成最终候选集：

C_k＝F_k-1∪J_k

其中，C_k为第k次迭代时的最终候选集；F_k-1为第k-1次迭代时的最终支撑集；

步骤4)，进行阶段标识值的判断与更新：如果size(C_k)＞μ*M,则令I＝1，其中，size(C_k)表示最终候选集C_k中的元素个数，μ为预先设定的标识阈值参数，I为阶段标识参数；

步骤5)，获得初选支撑集：如果size(C_k)≥L,则令否则令F＝C_k；其中,F为初选支撑集，表示从Φ中取最终候选集C_k里的索引所对应的列构成的矩阵，表示的伪逆矩阵，且伪逆矩阵 表示的逆矩阵；表示从中选择前L个最大的元素所对应的索引；

步骤6)，进行残差更新：其中，Φ_F表示从Φ中取初选支撑集F里的索引所对应的列构成的矩阵；表示Φ_F的伪逆矩阵，且伪逆矩阵 表示的逆矩阵；

步骤7)，如果||r||₂＜ε，则停止迭代并输出重建信号否则转步骤8)，其中，ε为预先设定的常量，||r||₂为r的2范数；

步骤8)，如果||r||₂≥||r_k-1||₂且I＝0，则令L＝L+2*s,F_k＝F_k-1,r_k＝r_k-1；

如果||r||₂≥||r_k-1||₂且I＝1，则令L＝L+s,F_k＝F_k-1,r_k＝r_k-1；否则，令F_k＝F,r_k＝r；

其中，F_k为第k次迭代时的最终支撑集；

步骤9)，k＝k+1,转步骤3)。

2.根据权利要求1所述的基于压缩感知的增强型自适应分段正交匹配追踪方法，其特征在于，所述t的范围为1≤t≤3。

3.根据权利要求1所述的基于压缩感知的增强型自适应分段正交匹配追踪方法，其特征在于，所述μ＜1/4。

4.根据权利要求1所述的基于压缩感知的增强型自适应分段正交匹配追踪方法，其特征在于，所述ε取10^-6。