CN108418769A - 一种分布式压缩感知稀疏度自适应重建方法 - Google Patents

Abstract

本发明公布了一种分布式压缩感知（Distributed Compressive Sensing,DCS）稀疏度自适应匹配追踪(DCS‑Improved Sparsity Adaptive Matching Pursuit，DCS‑IMSAMP)重建方法，在已有的DCS稀疏度自适应匹配追踪（DCS‑Sparsity Adaptive Matching Pursuit,DCS‑SAMP）算法的基础上，利用信号的联合稀疏性，引入动态阈值来提高估计精度，结合剪裁技术和可变步长来节省运行时间。使用此算法能确保重建过程具有自适应性并获得更低的归一化均方误差(Normalized Mean Square Error,NMSE)和更快的运行速度。将本发明公布的算法运用到信道估计问题中，与现有其他算法相比，具有更佳的信道估计效果。

Description

一种分布式压缩感知稀疏度自适应重建方法

技术领域

本发明涉及信号处理的分布式压缩感知技术领域，尤其涉及自适应分布式压缩感知重建算法技术领域，具体为一种分布式压缩感知稀疏度自适应匹配追踪重建算法。

背景技术

近几年来，人们对信息通信和数据资源处理有着越来越高的要求，传统的奈奎斯特采样方法已经无法满足在高宽带下对数据处理的需求。而压缩感知(CompressiveSensing,CS)技术可以在数据采集的同时完成数据的压缩，同时基于CS的信号采样速率远低于传统奈奎斯特采样方法。在CS的基础上，又有学者提出了分布式压缩感知(Distributed Compressive Sensing,DCS)理论。DCS技术利用信号间的联合稀疏性可以单次联合重建多个稀疏信号,重建效果和速度都优于CS。这些优点使得DCS理论具有广阔的应用场景，比如视频编码、无线感知网络、信道估计等。

压缩所感知理论主要利用一个与变换基不相关的观测矩阵，将变换所得的高维信号投影到一个低维空间上，根据这些少量的测量值，通过求解优化问题实现信号的精确重建。CS重建算法根据算法原理的不同，一般分为凸优化法、贪婪追踪算法、非凸最小化算法等。其中贪婪追踪算法因运算复杂度低、运行效率和采样效率高更被广泛研究。其主要思想是在每次迭代中找到局部最优解来逐步逼近原始解，常见的有正交匹配追踪算法(Orthogonal Matching Pursuit,OMP)、同时正交匹配追踪算法(SimultaneousOrthogonal Matching Pursuit,SOMP) 和稀疏度自适应匹配追踪算法(SparsityAdaptive Matching Pursuit,SAMP)等。

分布式压缩感知模型是指所有信号都是由相同的少量的基向量构建，但其不同系数不同。针对信号不同的相关形式，DCS理论提供了不同的联合重构算法，但较传统的压缩感知重建算法，基于DCS的算法并没有很多，现有文献中提到的算法有DCS-SOMP、DCS-SAMP等。其中，DCS-SOMP算法需要稀疏度作为先验信息，而在实际通信中往往无法获得稀疏度大小，因此会产生一定的误差；DCS-SAMP可以在未知稀疏度条件下对信号联合重构，但是DCS-SAMP算法运行时间长运算精度不高，需要进一步优化。

当前人们对无线通信系统要求不断提高，需要其能够在高速移动的环境中依然能够提供高速、可靠的数据传输。这就意味着对于正交频分复用(Orthogonal FrequencyDivision Multiplexing,OFDM)系统除了存在频率选择性衰落还有时间选择性衰落。已有研究表明可以通过复指数基扩展(CE-BEM,Complex Exponential-Basis ExpansionModel)数学模型来描述时频双选择性OFDM系统，而该模型具有的联合稀疏性表明可以利用分布式压缩感知理论对其进行信道估计。能否将分布式压缩感知重建算法应用到双选OFDM系统信道估计中？针对这个问题，已有学者将DCS-SOMP算法应用到信道估计中，但是需要已知信号的稀疏度大小，这在实际中很难实现。

发明内容

本发明所要解决的技术问题是针对背景技术中所涉及到的缺陷，提供一种分布式压缩感知稀疏度自适应匹配追踪重建方法，使得在未知信号稀疏度的前提下，对信号重建获得更优的效果。同时将本发明的重建算法应用到双选OFDM信道估计问题中，表现出更佳的信道估计效果。

本发明为解决上述技术问题采用以下技术方案：

一种分布式压缩感知稀疏度自适应匹配追踪重建方法，包括如下步骤：

步骤1)，输入测量矩阵Φ，步长S和测量信号矩阵Y_P；

其中，Φ∈C^T×L是T×L维的测量矩阵，用于对原始信号矩阵Z∈C^L×Q进行压缩感知；T 表示测量信号的长度，L表示原始信号的长度；Y_P∈C^T×Q是由测量矩阵和原始信号矩阵计算得到的T×Q维测量信号矩阵；Q表示观测信号的个数；原始信号矩阵中各个列向量都仅具有 K个非零值，且各个列向量中非零元素位置相同但非零元素的值不同；

步骤2)，进行初始化操作，令初始残差r₀＝Y_P，初始支撑集起始步长U＝S，迭代次数k＝1，阶段标识I＝0。

步骤3)，预选操作，将符合下式的列索引构成预选候选集：

J_k＝{j:|u_k(j)|＞α·u_max}

其中，Φ^H为测量矩阵Φ的共轭转置，r_k-1为k-1次迭代的残差，表示计算矩阵每个行向量的无穷范数，abs[·]表示取向量元素的绝对值，u_max为在k 次迭代的u_k中最大值元素。α为预先设定的阈值参数，j为满足|u_k(j)|＞α·u_max的测量矩阵Φ的列标，即列索引，J_k为第k次迭代时预选原子形成的候选集；

步骤4)，更新候选集C_k，C_k＝Λ_k-1∪J_k，C_k为第k次迭代时的最终候选集；Λ_k-1为第k-1次迭代时的最终支撑集；

步骤5)，判断阶段标识值，如果size(C_k)＞μ·T,则令I＝1，其中，size(C_k)表示最终候选集C_k中的元素个数，μ为预先设定的标识阈值参数，I为阶段标识参数；

步骤6)，终测，若size(C_k)≥U,则否则F＝C_k，其中F为初选支撑集，表示从Φ中取最终候选集C_k里的索引所对应的列构成的矩阵，即其中φ_j表示矩阵Φ的第j列，表示从中选择前U个最大的元素所对应的索引；

步骤7)，更新残差，计算其中Φ_F表示从Φ中取初选支撑集F里的索引所对应的列构成的矩阵,表示的逆矩阵；

步骤8)，如果跳转执行步骤11)，否则执行步骤9)，其中ε为预先设定的常量，表示r_new的2-范数；

步骤9)，如果且I＝0，则U＝U+2×S，Λ_k＝Λ_k-1，r_k＝r_k-1；

如果且I＝1，则U＝U+S，Λ_k＝Λ_k-1，r_k＝r_k-1；否则，Λ_k＝F,r_k＝r_new；

其中，Λ_k表示第k次迭代时的最终支撑集；

步骤10)，k＝k+1，跳转执行步骤3)；

步骤11)，计算重建原始信号非零值矩阵其中表示从Φ中取最终支撑集Λ_k里的索引所对应的列构成的矩阵；

步骤12)，输出重建原始信号矩阵所述原始信号矩阵在集合Λ_k的位置上具有非零值，其对应值为其余位置为0。

作为本发明一种分布式压缩感知稀疏度自适应匹配追踪重建方法进一步的优化方案，所述输入步长S的取值范围为1≤S≤5。

作为本发明一种分布式压缩感知稀疏度自适应匹配追踪重建方法进一步的优化方案，所述的α范围为0.5≤α≤1。

作为本发明一种分布式压缩感知稀疏度自适应匹配追踪重建方法进一步的优化方案，所述0.125≤μ≤0.6。

作为本发明一种分布式压缩感知稀疏度自适应匹配追踪重建方法进一步的优化方案，所述ε取10^-6。

本发明采用以上技术方案与现有技术相比，具有以下技术效果：

在未知信道状态信息稀疏度的前提下，对双选OFDM系统进行信道估计，与DCS-SOMP 和DCS-SAMP算法相比，使用本发明所获得的算法自适应性和信道估计的均方误差(NMSE, normalized mean square error)性能明显优于它们，且运行时间也明显更短。

附图说明

图1是不同算法信道估计的NMSE比较；

图2是不同算法单次信道估计的平均运行时间比较。

具体实施方式

本发明公布了一种分布式压缩感知稀疏度自适应匹配追踪重建(DCS-ImprovedSparsity Adaptive Matching Pursuit，DCS-IMSAMP)方法，同时将其应用到时频双选择性OFDM系统信道估计。其中包含三个主要技术问题，一是将双选OFDM系统信道估计问题转化为分布式压缩感知问题；二是对DCS-SAMP重建算法的精确度问题进行改进；三是解决现有算法运行时间长的问题。下面分别介绍这三个部分的实施方式，并通过仿真说明本算法对提高基于自适应分布式压缩感知的双选OFDM系统信道估计性能的有益效果。

(一)基于CE-BEM双选OFDM系统的分布式DCS信道模型

假设一个OFDM符号中子载波个数为N，信道长度为L。去除循环前缀后，一个OFDM符号时间内的第l个信道抽头的冲激响应为h_l＝(h[0,l],...,h[N-1,l])^T∈C^N×1。用 CE-BEM模型来描述信道冲激响应，则可以表示为：

其中，Q为CE-BEM模型的阶数，一般取奇数且Q＜＜N。 b_q＝(b[0,q],...,b[N-1,q])^T为CE-BEM模型的第q个基函数，ξ_l＝(ξ[0,l],...,ξ[N-1,l])^T为CE-BEM模型的误差向量，z[q,l]为相对应基函数的 BEM系数，基函数为

由于sinc(·)函数具有快衰退性，信道在时延域中是稀疏的，即只有小部分抽头系数是具有较大值，其他抽头系数较小可以近似为零。将该信道中K个非零的信道抽头系数位置集合记为Γ，则有且由式(1)可得定义z_q为第q个CE-BEM基函数的系数向量z_q＝(z[q,0],…,z[q,L-1])^T∈C^L×1。显然具有相同的非零元素位置但其非零值不同，即具有联合稀疏性。

因此，接收端接收到的OFDM信号Y∈C^N×1可以表示为

其中X∈C^N×1表示发送的数据，W∈C^N×1表示信道噪声,H_F∈C^N×N是频域信道矩阵,是对角阵，为标准归一化IFFT矩阵，具体矩阵元素表示为

根据导频进行信道估计，一个OFDM符号内需放置导频子载波数为(2Q-1)T,T<<L，导频子载波集合用P表示。导频子载波分为T簇，其中每簇导频组包括1个非零导频，(2Q-2)个保护导频。采用恒包络零自相关序列作为非零导频子载波上发送的数据，记为P_v＝{p₀,…,p_T-1},0≤p₀＜…p_T-1≤N-1为非零导频子载波位置集合。所有保护导频的子载波上发送零信号，记为保护导频子载波位置为P_g＝{p_v-Q+1}∪…∪{p_v-1}∪...∪{p_v+Q-1}。

为了利用DCS理论，需将一个OFDM符号内的所有导频重新分成Q组，即因此，接收到的导频信号为：

其中，快速傅立叶变换子矩阵按集合中元素作为行索引，取矩阵F'_N的行向量作为子矩阵的行向量，F'_N的元素表达式为1≤n≤N,1≤l≤L，表示模型误差。令 则式(3)可以表示为：

Y_P＝ΦZ+W (4)

在分布式压缩感知JSM2模型中，各个原始稀疏信号向量θ_q∈C^L×1的非零元素均位于共同支撑集合F中，但非零元素的值不同,其中集合F大小为稀疏度K。利用DCS理论可通过测量信号s_q∈C^T×1和已知的测量矩阵Ψ∈C^T×L联合重构原始信号θ_q。其模型如下：

也可将测量信号写成矩阵形式，即S＝Ψθ，则双选OFDM系统信道模型能看成有噪声的JSM2模型，可以通过矩阵Y_P和测量矩阵Φ求得矩阵Z，再将其代入式(1)便得到估计信道响应矩阵

(二)改进算法精确度

DCS-SAMP算法在每个阶段的预选步骤中都采用进行预选，即每个预选步骤中都会通过计算选出U个原子，而随着阶段标识j的增加，索引值个数 U就会增多，因此候选集中就会产生过多的原子。这就造成在产生预选候选集的过程中不仅会浪费时间来对这些误判的原子进行计算，而且会降低运算精度。为了提高算法的精确度和收敛速率，DCS-IMSAMP算法受分段弱正交匹配追踪算法的启发在预选中采用动态阈值的方法在原子集中选出与迭代残差匹配的原子索引集，其原子选择标准为：

S_k＝{j|u_j＞α·max|u_i|},i∈{1,...,L} (6)

其中α∈[0.5,1]，即阈值是关于测量矩阵和前一阶段残差相关性的函数，利用了信号的联合稀疏性。这和DCS-SAMP算法有很大的不同，在预选步骤中，不是每个阶段都选出U个原子，而是利用前一阶段的残差，计算出本阶段的阈值大小进而选出满足条件的原子，解决DCS-SAMP存在的过估计问题。本发明中设计到的动态阈值的主要步骤为方法中的步骤3)。

(三)提高算法运行速度

自适应重建算法在未知稀疏度下是通过调整步长来逼近实际信号稀疏度的。若是步长S 过小，虽然可以取得较好的重建效果但是运行速度减慢；同样，取较大步长会牺牲估计效果。因此，步长S的选取对于信号重建的运行速度和精确度十分重要。为了在这两者之间取得相对的平衡，本文在DCS-IMSAMP算法中提出了可变步长的设想。在每个阶段增加步骤(5) 判断现阶段的候选集大小，以此来决定下一阶段是使用大步长还是小步长来逼近估计信号，本发明中设计到的可变步长的主要步骤为方法中的步骤5)和步骤9)。

此外，DCS-IMSAMP设计先对候选集大小进行判断，再决定是否进行候选集的剪裁操作。当候选集大小小于当前阶段的候选集时，就不再进行剪裁操作，节省了运算时间，主要步骤为方法中的步骤6)。

具体算法如下：

步骤1)，输入测量矩阵Φ，步长S和测量信号矩阵Y_P；

其中，Φ∈C^T×L是T×L维的测量矩阵，用于对原始信号矩阵Z∈C^L×Q进行压缩感知，T 表示各个测量信号的长度，L表示各个原始信号的长度；Y_P∈C^T×Q是由测量矩阵和原始信号矩阵计算得到的T×Q维测量信号矩阵，Q表示观测信号的个数。原始信号矩阵中各个列向量都仅具有K个非零值，且各个列向量中非零元素位置相同但非零元素的值不同。

步骤2)，进行初始化操作，令初始残差r₀＝Y_P，初始支撑集起始步长U＝S，迭代次数k＝1，阶段标识I＝0。

步骤3)，预选操作，将符合下式的列索引构成预选候选集：

J_k＝{j:|u_k(j)|＞α·u_max}

其中，Φ^H为测量矩阵Φ的共轭转置，r_k-1为k-1次迭代的残差，表示计算矩阵每个行向量的无穷范数，abs[·]表示取向量元素的绝对值，u_max为在k 次迭代的u_k中最大值元素。α为预先设定的阈值参数，j为满足|u_k(j)|＞α·u_max的测量矩阵Φ的列标，即列索引，J_k为第k次迭代时预选原子形成的候选集；

步骤4)，更新候选集C_k，C_k＝Λ_k-1∪J_k，C_k为第k次迭代时的最终候选集；Λ_k-1为第k-1次迭代时的最终支撑集；

步骤5)，判断阶段标识值，如果size(C_k)＞μ·T,则令I＝1，其中，size(C_k)表示最终候选集C_k中的元素个数，μ为预先设定的标识阈值参数，I为阶段标识参数；

步骤6)，终测，若size(C_k)≥U,则否则F＝C_k，其中F为初选支撑集，表示从Φ中取最终候选集C_k里的索引所对应的列构成的矩阵，即其中φ_j表示矩阵Φ的第j列，表示从中选择前U个最大的元素所对应的索引；

步骤7)，更新残差，计算其中Φ_F表示从Φ中取初选支撑集F里的索引所对应的列构成的矩阵,表示的逆矩阵。

步骤8)，如果则停止迭代，转入步骤11)，否则转入步骤9)，其中ε为预先设定的常量，表示r_new的2-范数；

步骤9)，如果且I＝0，则U＝U+2×S,Λ_k＝Λ_k-1,r_k＝r_k-1；

如果且I＝1，则U＝U+S,Λ_k＝Λ_k-1,r_k＝r_k-1；否则，Λ_k＝F,r_k＝r_new；其中Λ_k表示第k次迭代时的最终支撑集；

步骤10)，k＝k+1，转入步骤3)；

步骤11)，计算重建原始信号非零值矩阵其中表示从Φ中取最终支撑集Λ_k里的索引所对应的列构成的矩阵；

步骤12)，输出重建原始信号矩阵其中在集合Λ_k的位置上具有非零值，其对应值为其余位置为0。

所述输入步长S取值范围为1≤S≤5,0.55≤α≤1,0.125≤μ≤0.6,ε取10^-6。

(四)仿真结果

为了分析利用DCS-IMSAMP算法的信道估计性能并和其他方法进行比较，本文用MATLAB进行仿真。通过比较归一化均方误差(NMSE,normalized mean square error)来衡量信道估计精度大小，其定义如下：

其中，h表示真实信道的时间冲激响应，其真实信道用瑞利模型来描述，表示估计信道的时间冲激响应。在仿真中，设置信道模型的信道长度L＝64，信道稀疏度K＝6；CE-BEM模型的阶数Q＝3；一个OFDM符号内子载波总数N＝512，子载波间隔Δf＝15kHz，循环前缀数Lcp＝64；导频子载波个数P＝(2Q-1)T＝120(其中T＝24，为了保证信号恢复的精确性 T≥4K)。

1)本文在相同的信道状态且信道稀疏度大小未知条件下对DCS-SOMP、DCS-SAMP、DCS-IMSAMP信道估计方法进行了300次的仿真，在仿真中DCS-SOMP迭代停止条件不再是判断稀疏度大小而是判断残差是否小于10-6，DCS-IMSAMP初始步长S设为4。三种算法的信道估计NMSE曲线如图1所示，由图可知随着信噪比的增加，三个算法的NMSE都不断下降，但DCS-SOMP算法具有最差的信道估计效果，这是由于DCS-SOMP算法在未知稀疏度条件下仅通过判断残差大小来逼近信道实际的稀疏度大小，从而自适应性较差。而 DCS-IMSAMP的信道估计效果始终最佳，尤其在信噪比取[5,20]范围内，DCS-IMSAMP算法下的NMSE比使用DCS-SAMP信道估计方法至少降低了5dB。

2)为了验证DCS-IMSAMP算法运行时间的优越性，在同一信道状态下且未知信道稀疏度大小条件下对DCS-SOMP、DCS-SAMP、DCS-IMSAMP(S＝4)进行了300次的仿真，计算出在不同信噪比下单次信道估计所用的平均时间，其曲线图如图2。由图2可以发现，由于是在未知稀疏度条件下，DCS-SOMP仅通过计算残差作为迭代停止条件需要花费最多的运行时间。而通过DCS-IMSAMP进行信道估计，运行时间在各个SNR下都具有最短的运行时间。同时，如果需要进一步追求更短的运行时间，初始步长S可以选大一些。

本技术领域技术人员可以理解的是，除非另外定义，这里使用的所有术语(包括技术术语和科学术语)具有与本发明所属领域中的普通技术人员的一般理解相同的意义。还应该理解的是，诸如通用字典中定义的那些术语应该被理解为具有与现有技术的上下文中的意义一致的意义，并且除非像这里一样定义，不会用理想化或过于正式的含义来解释。

以上所述的具体实施方式，对本发明的目的、技术方案和有益效果进行了进一步详细说明，所应理解的是，以上所述仅为本发明的具体实施方式而已，并不用于限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内，所做的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (5)

1.一种分布式压缩感知稀疏度自适应匹配追踪重建方法，其特征在于，包括如下步骤：

步骤1)，输入测量矩阵Φ，步长S和测量信号矩阵Y_P；

其中，Φ∈C^T×L是T×L维的测量矩阵，用于对原始信号矩阵Z∈C^L×Q进行压缩感知；T表示测量信号的长度，L表示原始信号的长度；Y_P∈C^T×Q是由测量矩阵和原始信号矩阵计算得到的T×Q维测量信号矩阵；Q表示观测信号的个数；原始信号矩阵中各个列向量都仅具有K个非零值，且各个列向量中非零元素位置相同但非零元素的值不同；

步骤2)，进行初始化操作，令初始残差r₀＝Y_P，初始支撑集起始步长U＝S，迭代次数k＝1，阶段标识I＝0。

步骤3)，预选操作，将符合下式的列索引构成预选候选集：

J_k＝{j:|u_k(j)|＞α·u_max}

其中，u_k＝abs[|Φ^Hr_k-1|_rows-∞]，Φ^H为测量矩阵Φ的共轭转置，r_k-1为k-1次迭代的残差，|·|_rows-∞表示计算矩阵每个行向量的无穷范数，abs[·]表示取向量元素的绝对值，u_max为在k次迭代的u_k中最大值元素。α为预先设定的阈值参数，j为满足|u_k(j)|＞α·u_max的测量矩阵Φ的列标，即列索引，J_k为第k次迭代时预选原子形成的候选集；

步骤4)，更新候选集C_k，C_k＝Λ_k-1∪J_k，C_k为第k次迭代时的最终候选集；Λ_k-1为第k-1次迭代时的最终支撑集；

步骤5)，判断阶段标识值，如果size(C_k)＞μ·T,则令I＝1，其中，size(C_k)表示最终候选集C_k中的元素个数，μ为预先设定的标识阈值参数，I为阶段标识参数；

步骤6)，终测，若size(C_k)≥U,则否则F＝C_k，其中F为初选支撑集，表示从Φ中取最终候选集C_k里的索引所对应的列构成的矩阵，即其中φ_j表示矩阵Φ的第j列，表示从中选择前U个最大的元素所对应的索引；

步骤7)，更新残差，计算r_new＝Y_P-Φ_F(Φ_F ^HΦ_F)^-1Φ_F ^HY_P，其中Φ_F表示从Φ中取初选支撑集F里的索引所对应的列构成的矩阵,(Φ_F ^HΦ_F)^-1表示Φ_F ^HΦ_F的逆矩阵；

步骤8)，如果||r_new||₂＜ε，跳转执行步骤11)，否则执行步骤9)，其中ε为预先设定的常量，||r_new||₂表示r_new的2-范数；

步骤9)，如果||r_new||₂≥||r_k-1||₂且I＝0，则U＝U+2×S，Λ_k＝Λ_k-1，r_k＝r_k-1；

如果||r_new||₂≥||r_k-1||₂且I＝1，则U＝U+S，Λ_k＝Λ_k-1，r_k＝r_k-1；否则，Λ_k＝F,r_k＝r_new；

其中，Λ_k表示第k次迭代时的最终支撑集；

步骤10)，k＝k+1，跳转执行步骤3)；

步骤11)，计算重建原始信号非零值矩阵其中表示从Φ中取最终支撑集Λ_k里的索引所对应的列构成的矩阵；

步骤12)，输出重建原始信号矩阵所述原始信号矩阵在集合Λ_k的位置上具有非零值，其对应值为其余位置为0。

2.根据权利要求1所述的分布式压缩感知稀疏度自适应匹配追踪重建方法，其特征在于，所述输入步长S的取值范围为1≤S≤5。

3.根据权利要求1所述的分布式压缩感知稀疏度自适应匹配追踪重建方法，其特征在于，所述的α范围为0.5≤α≤1。

4.根据权利要求1所述的分布式压缩感知稀疏度自适应匹配追踪重建方法，其特征在于，所述0.125≤μ≤0.6。

5.根据权利要求1所述的分布式压缩感知稀疏度自适应匹配追踪重建方法，其特征在于，所述ε取10^-6。