CN105515585A - 未知稀疏度信号的压缩感知重构方法 - Google Patents
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Abstract
本发明公开了一种未知稀疏度信号的压缩感知重构方法，其利用基于匹配测试的估计方法，并根据观测向量和测量矩阵得到原始稀疏信号的稀疏度估计值；然后根据稀疏度估计值，利用迭代循环方式，回溯重构获取相对精确的支撑集和相对精确的余量向量；再根据相对精确的支撑集和相对精确的余量向量，利用迭代循环方式，获取最终的扩展支撑集；最后根据最终的扩展支撑集，获取原始稀疏信号的压缩感知重构信号；优点是能够准确地重构出稀疏度未知的信号，且运算量较低、实用性高。
Description
技术领域
本发明涉及一种压缩感知中的信号重构方法，尤其是涉及一种未知稀疏度信号的压缩感知重构方法。
背景技术
在传统信号处理中，首先需要对信号进行采样，然后对采样后得到的采样数据进行压缩、存储、传输，而在此压缩的过程中，大量的采样数据会被丢弃，尽管这些采样数据对原信号而言是一些不重要的或只是冗余信息，但是这些采样数据的压缩浪费了极大的资源。针对这一问题，Donoho、Candes以及Tao等人于2006年提出了压缩感知(CompressedSensing，CS)理论，该理论是一种新型的信号采样理论。压缩感知理论表明：信号在满足可压缩或者在变换域内是稀疏的条件下，可以在低于奈奎斯特速率的情况下进行采样，并且能够以较高的概率重构信号。压缩感知理论在信号的采集上突破了传统的奈奎斯特采样定理，实现了在采样的同时进行数据压缩，成功地克服了因采样数据量巨大导致采样时间、传感元器件以及数据存储空间等物理资源严重浪费的问题，这使得压缩感知理论在信号处理等相关领域具有突出的优点和广阔的应用前景。
压缩感知理论目前有三个重要的研究方向：信号的稀疏表示、测量矩阵的研究和信号重构算法的设计。在压缩感知过程中，信号重构算法设计是一个至关重要的阶段，它的主要目的是如何从仅有的低维数据中最大限度地恢复出原始的高维数据。目前，已有的信号重构算法有梯度投影算法、凸松弛算法以及贪婪追踪算法。其中，贪婪追踪算法因其算法结构简单、运算量小等优点得到了广泛的应用，这种算法主要是在每次迭代过程中，通过求解局部的最优解，从而实现对原信号的逐步逼近。具有代表性的经典贪婪追踪算法有匹配追踪(MatchingPursuit，MP)算法、正交匹配追踪(OrthogonalMatchingPursuit，OMP)算法、正则化正交匹配追踪(RegularizedOMP，ROMP)算法等等，但是，这些算法在信号具有较高的稀疏度时，信号重构效果不是很理想。子空间追踪(SubspacePursuit，SP)算法引入了回溯的思想，在每次迭代过程中都会对支撑集中的原子进行检验和修正，使得该算法具有较高的重构精度且计算量低，但是，该算法要求稀疏度已知，这在实际应用中很难满足，而稀疏度估计往往是存在误差的，会导致该算法无法精确重构信号。
发明内容
本发明所要解决的技术问题是提供一种未知稀疏度信号的压缩感知重构方法，其能够准确地重构出稀疏度未知的信号，且运算量较低。
本发明解决上述技术问题所采用的技术方案为：一种未知稀疏度信号的压缩感知重构方法，其特征在于包括以下步骤：
①给出一个长度为N且稀疏度未知的原始稀疏信号，以向量形式表示为x，利用压缩感知技术获取x的观测向量y，y＝Φx，其中，N≥10，x的维数为N×1，Φ表示M×N维的测量矩阵，y的维数为M×1，1≤M<N；
②利用基于匹配测试的估计方法，并根据y和Φ，得到原始稀疏信号的稀疏度估计值，记为
③利用迭代循环方式，回溯重构获取相对精确的支撑集和相对精确的余量向量，具体过程为：
③-1、令n表示迭代次数，并令n的初始值为1；令Λ表示索引集，并令Λ的初始值为空集；令表示第n次迭代循环中的候选集；令Tn表示第n次迭代循环中的支撑集；令yn r表示第n次迭代后的余量向量；
③-2、计算y与Φ中的每列列向量的相关系数，将y与Φ中的第i列列向量的相关系数记为ui，其中，1≤i≤N，符号“||||1”为求取矩阵的1-范数符号，符号“<>”为求向量内积符号，表示Φ中的第i列列向量；
③-3、按从大到小的顺序排列y与Φ中的所有列向量的相关系数，然后提取前个相关系数，再将Φ中与提取的前个相关系数对应的列向量的索引值存入Λ中；
③-4、确定第n次迭代循环中的候选集 其中，符号“∪”为并集运算符，当n＝1时当n≠1时Tn-1表示第n-1次迭代循环中的支撑集，为空集表示符号；
③-5、确定第n次迭代循环中的支撑集Tn：将由Φ中与中的所有索引值对应的列向量按索引值的顺序组成的矩阵记为然后计算y在上的映射系数向量，记为xp，其中，为的伪逆矩阵；接着按从大到小的顺序排列xp中的所有元素的值，将前个元素的索引值构成的集合作为Tn；
③-6、计算第n次迭代后x的估计向量，记为 并计算第n次迭代后的余量向量yn r，其中，为的伪逆矩阵，表示由Φ中与Tn中的所有索引值对应的列向量按索引值的顺序组成的矩阵，的维数是
③-7、判断n是否小于如果是，则令n＝n+1，然后返回步骤③-4继续执行；否则，终止迭代过程，并将Tn作为相对精确的支撑集、将yn r作为相对精确的余量向量，然后执行步骤④，其中，符号为向上取整符号，n＝n+1中的“＝”为赋值符号；
④根据步骤③得到的相对精确的支撑集和相对精确的余量向量，利用迭代循环方式，获取最终的扩展支撑集，具体过程为：
④-1、令k表示迭代次数，并令k的初始值为1；令rk表示第k次迭代后的残差向量；令Ak表示第k次迭代循环中的扩展支撑集，并令A0＝Tn；令D＝Φ，将D中与A0中的所有索引值对应的列向量中的所有元素的值置零；其中，A0＝Tn和D＝Φ中的“＝”为赋值符号；
④-2、计算rk-1与D中的每列列向量的相关系数，将rk-1与D中的第i列列向量的相关系数记为ui'，ui'＝||<di,rk-1>||1，其中，1≤i≤N，符号“||||1”为求取矩阵的1-范数符号，符号“<>”为求向量内积符号，di表示D中的第i列列向量，当k＝1时rk-1＝yn r，当k≠1时rk-1表示第k-1次迭代后的残差向量；
④-3、按从大到小的顺序排列rk-1与D中的所有列向量的相关系数，然后提取D中与最大的相关系数对应的列向量的索引值，将该索引值记为λk；
④-4、确定第k次迭代循环中的扩展支撑集Ak，Ak＝Ak-1∪λk，其中，符号“∪”为并集运算符，当k＝1时Ak-1＝Tn，当k≠1时Ak-1表示第k-1次迭代循环中的扩展支撑集；
④-5、确定第k次迭代后的残差向量rk，其中，表示由Φ中与Ak中的所有索引值对应的列向量按索引值的顺序组成的矩阵，为的伪逆矩阵；
④-6、判断迭代终止条件||rk||2≥||rk-1||2是否成立，如果不成立，则令k＝k+1，然后返回步骤④-2继续执行；否则，终止迭代过程，并将Ak-1作为最终的扩展支撑集，然后执行步骤⑤，其中，符号“||||2”为求取矩阵的2-范数符号，k＝k+1中的“＝”为赋值符号；
⑤根据最终的扩展支撑集Ak-1，获取原始稀疏信号的压缩感知重构信号，以向量形式表示为 其中，为的伪逆矩阵，表示由Φ中与Ak-1中的所有索引值对应的列向量按索引值的顺序组成的矩阵。
所述的步骤②的具体过程为：
②-1、令表示原始稀疏信号的稀疏度估计值，并令的初始值为1；
②-2、计算y与Φ中的每列列向量的相关系数，将y与Φ中的第i列列向量的相关系数记为ui，然后按从大到小的顺序排列y与Φ中的所有列向量的相关系数，其中，1≤i≤N，符号“||||1”为求取矩阵的1-范数符号，符号“<>”为求向量内积符号，表示Φ中的第i列列向量；
②-3、提取前个相关系数；
②-4、判断不等式是否成立，如果成立，则令然后返回步骤②-3继续执行；如果不成立，则将作为原始稀疏信号的最终的稀疏度估计值，其中，ΦΛ表示由Φ中与提取的前个相关系数对应的列向量按索引值的顺序组成的矩阵，ΦΛ的维数为(ΦΛ)H为ΦΛ的共轭转置矩阵，符号“||||2”为求取矩阵的2-范数符号，δK表示K阶约束等距条件，δK为常数，中的“＝”为赋值符号。
与现有技术相比，本发明方法的优点在于：
1)本发明方法首先通过匹配测试得到稀疏度估计值、然后根据稀疏度估计值通过回溯重构获取相对精确的支撑集和相对精确的余量向量、最后根据相对精确的支撑集和相对精确的余量向量获取最终的扩展支撑集来实现稀疏度未知信号的重构，重构信号精确，且运算量低。
2)由于可以重构稀疏度未知的信号，因此更具实用性。
3)在仿真实验中，本发明方法所用时间是最短的，说明该方法相比于OMP算法和SP算法具有更高的效率。
附图说明
图1a为一个原始稀疏信号的示意图；
图1b为利用本发明方法对图1a所示的原始稀疏信号进行处理，得到的压缩感知重构信号的示意图；
图1c为图1b所示的压缩感知重构信号相对图1a所示的原始稀疏信号的重构误差信号的示意图；
图2为在不同稀疏度情况下，本发明方法与稀疏度已知的情况下的子空间追踪算法(SP)和正交匹配追踪算法(OMP)通过1000次蒙特卡洛仿真获得的在重构时间上的比较示意图；
图3为在不同稀疏度情况下，本发明方法与稀疏度已知的情况下的子空间追踪算法(SP)和正交匹配追踪算法(OMP)通过1000次蒙特卡洛仿真获得的重构概率的比较示意图；
图4为本发明方法的总体实现框图。
具体实施方式
以下结合附图实施例对本发明作进一步详细描述。
本发明提出了一种未知稀疏度信号的压缩感知重构方法，其总体实现框图如图4所示，其包括以下步骤：
①给出一个长度为N且稀疏度未知的原始稀疏信号，以向量形式表示为x，利用压缩感知技术获取x的观测向量y，y＝Φx，其中，N≥10，x的维数为N×1，Φ表示M×N维的测量矩阵，Φ随机产生，Φ的随机过程为高斯随机过程，y的维数为M×1，1≤M<N。
②利用文献《压缩感知在通信中的应用研究》中公开的基于匹配测试的估计方法，并根据y和Φ，得到原始稀疏信号的稀疏度估计值，记为
在此具体实施例中，步骤②的具体过程为：
②-1、令表示原始稀疏信号的稀疏度估计值，并令的初始值为1；令Λ表示索引集，并令Λ的初始值为空集。
②-2、计算y与Φ中的每列列向量的相关系数，将y与Φ中的第i列列向量的相关系数记为ui，然后按从大到小的顺序排列y与Φ中的所有列向量的相关系数，其中，1≤i≤N，符号“||||1”为求取矩阵的1-范数符号，符号“<>”为求向量内积符号，表示Φ中的第i列列向量。
②-3、提取前个相关系数，将Φ中与提取的前个相关系数对应的列向量的索引值存入Λ中，在此Φ中的列向量的索引值即为对应列向量的列号。
②-4、判断不等式是否成立，如果成立，则令并令然后返回步骤②-3继续执行；如果不成立，则将作为原始稀疏信号的最终的稀疏度估计值，其中，ΦΛ表示由Φ中与提取的前个相关系数对应的列向量按索引值的顺序组成的矩阵，ΦΛ的维数为(ΦΛ)H为ΦΛ的共轭转置矩阵，符号“||||2”为求取矩阵的2-范数符号，δK表示K阶约束等距条件，δK为常数，在本实施例中不论原始稀疏信号的真实的稀疏度K为多少，一般可取δK＝0.3，中的“＝”为赋值符号，为空集表示符号。
③利用迭代循环方式，回溯重构获取相对精确的支撑集和相对精确的余量向量，具体过程为：
③-1、令n表示迭代次数，并令n的初始值为1；令Λ表示索引集，并令Λ的初始值为空集；令表示第n次迭代循环中的候选集；令Tn表示第n次迭代循环中的支撑集；令yn r表示第n次迭代后的余量向量。
③-2、计算y与Φ中的每列列向量的相关系数，将y与Φ中的第i列列向量的相关系数记为ui，其中，1≤i≤N，符号“||||1”为求取矩阵的1-范数符号，符号“<>”为求向量内积符号，表示Φ中的第i列列向量。
③-3、按从大到小的顺序排列y与Φ中的所有列向量的相关系数，然后提取前个相关系数，再将Φ中与提取的前个相关系数对应的列向量的索引值存入Λ中，在此Φ中的列向量的索引值即为对应列向量的列号。
③-4、确定第n次迭代循环中的候选集 其中，符号“∪”为并集运算符，当n＝1时当n≠1时Tn-1表示第n-1次迭代循环中的支撑集，为空集表示符号。
③-5、确定第n次迭代循环中的支撑集Tn：将由Φ中与中的所有索引值对应的列向量按索引值的顺序组成的矩阵记为然后计算y在上的映射系数向量，记为其中，为的伪逆矩阵，为的共轭转置矩阵，为的逆矩阵；接着按从大到小的顺序排列xp中的所有元素的值，将前个元素的索引值构成的集合作为Tn。
③-6、计算第n次迭代后x的估计向量，记为 并计算第n次迭代后的余量向量yn r，其中，为的伪逆矩阵，表示由Φ中与Tn中的所有索引值对应的列向量按索引值的顺序组成的矩阵，的维数是
③-7、判断n是否小于如果是，则令n＝n+1，然后返回步骤③-4继续执行；否则，终止迭代过程，并将Tn作为相对精确的支撑集、将yn r作为相对精确的余量向量，然后执行步骤④，其中，符号为向上取整符号，n＝n+1中的“＝”为赋值符号。
④根据步骤③得到的相对精确的支撑集和相对精确的余量向量，利用迭代循环方式，获取最终的扩展支撑集，具体过程为：
④-1、令k表示迭代次数，并令k的初始值为1；令rk表示第k次迭代后的残差向量；令Ak表示第k次迭代循环中的扩展支撑集，并令A0＝Tn；令D＝Φ，将D中与A0中的所有索引值对应的列向量中的所有元素的值置零；其中，A0＝Tn和D＝Φ中的“＝”为赋值符号。
④-2、计算rk-1与D中的每列列向量的相关系数，将rk-1与D中的第i列列向量的相关系数记为ui'，ui'＝||<di,rk-1>||1，其中，1≤i≤N，符号“||||1”为求取矩阵的1-范数符号，符号“<>”为求向量内积符号，di表示D中的第i列列向量，当k＝1时rk-1＝yn r，当k≠1时rk-1表示第k-1次迭代后的残差向量。
④-3、按从大到小的顺序排列rk-1与D中的所有列向量的相关系数，然后提取D中与最大的相关系数对应的列向量的索引值，将该索引值记为λk。
④-4、确定第k次迭代循环中的扩展支撑集Ak，Ak＝Ak-1∪λk，其中，符号“∪”为并集运算符，当k＝1时Ak-1＝Tn，当k≠1时Ak-1表示第k-1次迭代循环中的扩展支撑集。
④-5、确定第k次迭代后的残差向量rk，其中，表示由Φ中与Ak中的所有索引值对应的列向量按索引值的顺序组成的矩阵，为的伪逆矩阵。
④-6、判断迭代终止条件||rk||2≥||rk-1||2是否成立，如果不成立，则令k＝k+1，然后返回步骤④-2继续执行；否则，终止迭代过程，并将Ak-1作为最终的扩展支撑集，然后执行步骤⑤，其中，符号“||||2”为求取矩阵的2-范数符号，k＝k+1中的“＝”为赋值符号。
⑤根据最终的扩展支撑集Ak-1，获取原始稀疏信号的压缩感知重构信号，以向量形式表示为 其中，为的伪逆矩阵，表示由Φ中与Ak-1中的所有索引值对应的列向量按索引值的顺序组成的矩阵。
设定一个长度为N＝256、真实的稀疏度为K＝32的原始稀疏信号，观测向量的长度为M＝128，仿真实验中采用高斯随机矩阵作为测量矩阵。
图1a给出了一个原始稀疏信号的示意图，从图1a中可以直观的看出非零元素的个数很少，大部分元素为零，因此信号是稀疏的。图1b给出了利用本发明方法对图1a所示的原始稀疏信号进行处理，得到的压缩感知重构信号的示意图，从图1b中可以看出重构信号与原始稀疏信号几乎是一样的，说明本发明方法能够准确重构出原始稀疏信号。图1c给出了图1b所示的压缩感知重构信号相对图1a所示的原始稀疏信号的重构误差信号的示意图，从图1c中可以看出重构误差信号的量级为10-15，重构误差信号非常小，可以认为本发明方法能够实现稀疏信号的精确重构。
图2给出了在不同稀疏度情况下，本发明方法与稀疏度已知的情况下的子空间追踪算法(SP)和正交匹配追踪算法(OMP)通过1000次蒙特卡洛仿真获得的在重构时间上的比较示意图。从图2中可以看出，随着稀疏度的增加，各种方法的重构时间是逐渐增加的，而在相同稀疏度的前提下，子空间追踪算法的重构时间最长，而本发明方法的重构时间最少，本发明方法在效率上要优于其他两种方法。
图3给出了在不同稀疏度情况下，本发明方法与稀疏度已知的情况下的子空间追踪算法(SP)和正交匹配追踪算法(OMP)通过1000次蒙特卡洛仿真获得的重构概率的比较示意图。从图3中可以看出，在相同稀疏度下，子空间追踪算法的重构概率最高，本发明方法的重构概率次之，正交匹配追踪算法的重构概率最低。本发明方法虽然比子空间追踪算法的重构概率略低，但是本发明方法可以重建稀疏度未知的信号，具有更高的实用性。
通过图2和图3可以验证本发明方法可以精确的重构稀疏度未知的信号，同时具有较低的计算复杂度。
Claims (2)
1.一种未知稀疏度信号的压缩感知重构方法，其特征在于包括以下步骤：
①给出一个长度为N且稀疏度未知的原始稀疏信号，以向量形式表示为x，利用压缩感知技术获取x的观测向量y，y＝Φx，其中，N≥10，x的维数为N×1，Φ表示M×N维的测量矩阵，y的维数为M×1，1≤M＜N；
②利用基于匹配测试的估计方法，并根据y和Φ，得到原始稀疏信号的稀疏度估计值，记为
③利用迭代循环方式，回溯重构获取相对精确的支撑集和相对精确的余量向量，具体过程为：
③-1、令n表示迭代次数，并令n的初始值为1；令Λ表示索引集，并令Λ的初始值为空集；令表示第n次迭代循环中的候选集；令Tn表示第n次迭代循环中的支撑集；令yn r表示第n次迭代后的余量向量；
③-2、计算y与Φ中的每列列向量的相关系数，将y与Φ中的第i列列向量的相关系数记为ui，其中，1≤i≤N，符号“‖‖1”为求取矩阵的1-范数符号，符号“<>”为求向量内积符号，表示Φ中的第i列列向量；
③-3、按从大到小的顺序排列y与Φ中的所有列向量的相关系数，然后提取前个相关系数，再将Φ中与提取的前个相关系数对应的列向量的索引值存入Λ中；
③-4、确定第n次迭代循环中的候选集 其中，符号“∪”为并集运算符，当n＝1时当n≠1时Tn-1表示第n-1次迭代循环中的支撑集，为空集表示符号；
③-5、确定第n次迭代循环中的支撑集Tn：将由Φ中与中的所有索引值对应的列向量按索引值的顺序组成的矩阵记为然后计算y在上的映射系数向量，记为xp，其中，为的伪逆矩阵；接着按从大到小的顺序排列xp中的所有元素的值，将前个元素的索引值构成的集合作为Tn；
③-6、计算第n次迭代后x的估计向量，记为 并计算第n次迭代后的余量向量yn r，其中，为的伪逆矩阵，表示由Φ中与Tn中的所有索引值对应的列向量按索引值的顺序组成的矩阵，的维数是
③-7、判断n是否小于如果是，则令n＝n+1，然后返回步骤③-4继续执行；否则，终止迭代过程，并将Tn作为相对精确的支撑集、将yn r作为相对精确的余量向量，然后执行步骤④，其中，符号为向上取整符号，n＝n+1中的“＝”为赋值符号；
④根据步骤③得到的相对精确的支撑集和相对精确的余量向量，利用迭代循环方式，获取最终的扩展支撑集，具体过程为：
④-1、令k表示迭代次数，并令k的初始值为1；令rk表示第k次迭代后的残差向量；令Ak表示第k次迭代循环中的扩展支撑集，并令A0＝Tn；令D＝Φ，将D中与A0中的所有索引值对应的列向量中的所有元素的值置零；其中，A0＝Tn和D＝Φ中的“＝”为赋值符号；
④-2、计算rk-1与D中的每列列向量的相关系数，将rk-1与D中的第i列列向量的相关系数记为ui'，ui'＝‖<di,rk-1>‖1，其中，1≤i≤N，符号“‖‖1”为求取矩阵的1-范数符号，符号“<>”为求向量内积符号，di表示D中的第i列列向量，当k＝1时rk-1＝yn r，当k≠1时rk-1表示第k-1次迭代后的残差向量；
④-3、按从大到小的顺序排列rk-1与D中的所有列向量的相关系数，然后提取D中与最大的相关系数对应的列向量的索引值，将该索引值记为λk；
④-4、确定第k次迭代循环中的扩展支撑集Ak，Ak＝Ak-1∪λk，其中，符号“∪”为并集运算符，当k＝1时Ak-1＝Tn，当k≠1时Ak-1表示第k-1次迭代循环中的扩展支撑集；
④-5、确定第k次迭代后的残差向量rk，其中，表示由Φ中与Ak中的所有索引值对应的列向量按索引值的顺序组成的矩阵，为的伪逆矩阵；
④-6、判断迭代终止条件‖rk‖2≥‖rk-1‖2是否成立，如果不成立，则令k＝k+1，然后返回步骤④-2继续执行；否则，终止迭代过程，并将Ak-1作为最终的扩展支撑集，然后执行步骤⑤，其中，符号“‖‖2”为求取矩阵的2-范数符号，k＝k+1中的“＝”为赋值符号；
⑤根据最终的扩展支撑集Ak-1，获取原始稀疏信号的压缩感知重构信号，以向量形式表示为 其中，为的伪逆矩阵，表示由Φ中与Ak-1中的所有索引值对应的列向量按索引值的顺序组成的矩阵。
2.根据权利要求1所述的未知稀疏度信号的压缩感知重构方法，其特征在于所述的步骤②的具体过程为：
②-1、令表示原始稀疏信号的稀疏度估计值，并令的初始值为1；
②-2、计算y与Φ中的每列列向量的相关系数，将y与Φ中的第i列列向量的相关系数记为ui，然后按从大到小的顺序排列y与Φ中的所有列向量的相关系数，其中，1≤i≤N，符号“‖‖1”为求取矩阵的1-范数符号，符号“<>”为求向量内积符号，表示Φ中的第i列列向量；
②-3、提取前个相关系数；
②-4、判断不等式是否成立，如果成立，则令然后返回步骤②-3继续执行；如果不成立，则将作为原始稀疏信号的最终的稀疏度估计值，其中，ΦΛ表示由Φ中与提取的前个相关系数对应的列向量按索引值的顺序组成的矩阵，ΦΛ的维数为(ΦΛ)H为ΦΛ的共轭转置矩阵，符号“‖‖2”为求取矩阵的2-范数符号，δK表示K阶约束等距条件，δK为常数，中的“＝”为赋值符号。
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2015
- 2015-12-08 CN CN201510896891.8A patent/CN105515585A/zh active Pending
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Legal Events
| Date | Code | Title | Description |
|---|---|---|---|
| C06 | Publication | ||
| PB01 | Publication | ||
| C10 | Entry into substantive examination | ||
| SE01 | Entry into force of request for substantive examination | ||
| RJ01 | Rejection of invention patent application after publication | ||
| RJ01 | Rejection of invention patent application after publication |
Application publication date: 20160420 |