CN103746703A - 一种基于阈值的分段自适应正则化匹配追踪重构方法 - Google Patents

Abstract

本发明属于压缩感知技术领域，具体涉及一种基于阈值的分段自适应正则化匹配追踪重构方法。包括：设定稀疏信号重构过程中各参数的初始状态值；计算迭代余量r与传感矩阵Φ每一列的内积即相关系数；找出满足条件的传感矩阵中原子；存入角标集J中；对角标集J中角标对应原子的相关系数从大到小排序；更新表示原信号的支撑集；采用最小二乘法进行信号逼近并更新余量；迭代判定。本发明提出的一种基于阈值的分段自适应正则化匹配追踪重构方法融合了分段自适应选择原子及正则化思想。该方法在信号重构过程中不需要以稀疏度作为先验条件，能够自适应逼近稀疏度信息并准确构建支撑集，完成信号的精确重构且精确重构率高于现有同类方法，具有较高的实际应用性。

Description

一种基于阈值的分段自适应正则化匹配追踪重构方法

技术领域

本发明属于压缩感知技术领域，具体涉及一种基于阈值的分段自适应正则化匹配追踪重构方法。 

背景技术

压缩感知是对稀疏或可压缩信号进行采样的同时进行适当压缩的新理论。理论表明：对稀疏或者可压缩信号进行低于甚至远低于Nyquist标准频率进行随机采样仍可以精确重构原始信号。该理论的突出优点是将数据采集和数据处理合二为一，节约硬件资源的同时大大减少了软件处理时间和存储空间。 

不同于传统的均匀采样，压缩感知的核心是线性测量过程。假定x为长度为N的原始信号，x为K稀疏（或可压缩）的信号代表x可以由基于某线性方程的K《N个系数来表示。根据压缩感知理论，信号x可以从以下线性随机投影得到： 

y＝Φx 

其中y表示长度为M的采样向量，Φ为M×N维的随机投影传感矩阵。 

若采样信号x本身不稀疏，x在正交稀疏变换下可通过系数向量s表示，记为x＝Ψs，其中s为K稀疏的，于是我们也可将测量过程重写为： 

y＝ΦΨs＝Θs 

信号重构时压缩感知理论的核心，是指由M维测量向量y重构出长度为N（M＜N）的信号s的过程。信号重构可以通过求解最小l₀范数问题解决： 

min||s||₀s.t.y＝Θs 

其中||·||₀为向量的l₀范数，表示向量s中非零元素的个数。 

但最小l₀范数问题是一个NP-hard问题，需要穷举s中非零值的所有种排列可能，因而无法求解。鉴于此，研究人员提出了一系列求得次最优解的方法，主要包括组合算法、凸优化算法和贪婪迭代类算法。 

组合优化类算法运行效率较高但对采样结构要求严格；凸优化类算法需要的采样值少，计算精度高，但其计算复杂度过大，计算时间过长，难以满足实际应用； 

贪婪迭代类算法仅限压缩感知信号重建时，基本思想是每次迭代中，从传感矩阵Φ中选 择与采样值y最匹配的一个或一组原子加入支撑集来构建稀疏逼近，并求出信号残差，然后继续选择与信号残差最匹配的原子，剔除不匹配的原子，经过一定次数的迭代，信号可以有一些原子线性表示。该类算法运算量小，运行效率较高，主要有MP（Matching pursuit），StOMP （Stagewise Orthogonal Matching pursuit），ROMP（Regularized Orthogonal Matching pursuit），CoSaMP（Compressive Sampling MP），SP（Subspace Pursuit）。然而此类算法在重构时均需要稀疏度作为先验信息，而实际应用中稀疏度通常是未知的，稀疏度预估不准确将导致重构信号不稳定的严重问题。 

发明内容

本发明的目的在于提供一种流程简单、精确重构率高的基于阈值的分段自适应正则化匹配追踪重构方法。 

本发明的目的是这样实现的： 

（1）设定稀疏信号重构过程中各参数的初始状态值 

设定稀疏信号x是长度为N的信号，观测信号y为长度为M的实数向量，传感矩阵Φ为M×N维的高斯随机矩阵，对Φ进行归一化，即 

${\mathrm{\Φ}}_j=\frac{{\mathrm{\Φ}}_j}{{\left|\right|{\mathrm{\Φ}}_j\left|\right|}_2},$

Φ_j为原始传感矩阵的列向量，||·||₂表示l₂范数，Ψ＝I_N为N阶单位矩阵，则传感矩阵为ΦΨ＝Φ；设定稀疏信号重构过程中各参数的初始状态值，其中初始迭代余量r＝y，信号重构误差限ε，原子角标集合

（2）计算迭代余量r与传感矩阵Φ每一列的内积即相关系数{g_j|g_j＝<r,Φ_j>}(j＝1,2,…,N)，迭代残差r与观测信号y为同维度信号，Φ_j(j＝1,2,…,N)为传感矩阵Φ的列向量，||Φ_i||₂＝1，所以|g_i|＜||r||₂； 

（3）从所有相关系数中找出满足

式的传感矩阵Φ中原子Φ_i，将对应的角标值i存入角标集J中，并记满足上述条件的原子个数为s，判断s是否为0； 

（4）若s≠0，将对应的角标值i存入角标集J中，执行步骤（5）；若s＝0，令s＝1，将相关系数最大的原子的角标值直接存入角标集J₀中，执行步骤（6）； 

（5）对角标集J中角标对应原子的相关系数从大到小排序，从相关系数最大值开始，按照正则化条件|g_i|＜2|g_j|(i,j∈J)对角标值分组，计算每组相关系数的能量和，选出能量最大的一组，将角标值存入角标集J₀中； 

（6）更新表示原信号的支撑集Φ_Λ，将上一次迭代中形成的支撑集的角标集Λ与当前迭代中J₀中的元素合并，

合并后集合Λ中的元素值对应角标的原子即为当前迭代形成的新的支撑集； 

（7）采用最小二乘法进行信号逼近并更新余量： 

x_r＝arg min||y-Φ_Λx||₂， 

r＝y-Φ_Λx_r； 

（8）迭代判定：若达到重构精度，则停止迭代，否则，重新执行步骤（2）。 

本发明的有益效果在于： 

与传统的贪婪迭代类方相比，本发明提出的一种基于阈值的分段自适应正则化匹配追踪重构方法融合了分段自适应选择原子及正则化思想。该方法在信号重构过程中不需要以稀疏度作为先验条件，能够自适应逼近稀疏度信息并准确构建支撑集，完成信号的精确重构且精确重构率高于现有同类方法，具有较高的实际应用性。 

附图说明

图1是本发明的方法流程图； 

图2是本发明所述方法与OMP方法、ROMP方法、StOMP方法及SP方法对高斯信号的精确重构率对比图； 

图3是本发明所述方法与OMP方法、ROMP方法、StOMP方法及SP方法对二元信号的精确重构率对比图。 

具体实施方式

下面将结合附图和实施例对本发明作进一步的详细说明。 

本发明为了解决现有的重构方法在信号稀疏度K未知的情况下无法重构的问题，提出了一种基于阈值的分段自适应正则化匹配追踪重构方法。首先，根据与采样信号相关性选取大于所设阈值的原子创建候选集，其次，利用正则化思想对候选集进行二次筛选，将筛选得到的原子并入支撑集；最后，由支撑集中的原子构成的线性组合完成对原信号的逼近并更新余量。具体过程如下： 

步骤一：设定稀疏信号重构过程中各参数的初始状态值； 

步骤二：计算迭代余量r与传感矩阵Φ每一列的内积即相关系数{g_j|g_j＝<r,Φ_j>}(j=1,2,…,N)； 

步骤三：较佳地，从所有相关系数中找出满足

式的传感矩阵Φ中原子 Φ_i，将对应的角标值i存入角标集J中，并记满足上述条件的原子个数为s，判断s是否为0； 

步骤四：较佳地，若s≠0，将对应的角标值i存入角标集J中，转入步骤五；若s＝0，令s＝1，将相关系数最大的原子的角标值直接存入角标集J₀中，转入步骤六； 

步骤五：较佳地，对J中角标对应原子的相关系数进行正则化测试，即该集合中原子的相关系数必须满足|g_i|＜2|g_j|(i,j∈J)，然后将正则化结果存入角标集J₀中； 

步骤六：更新表示原信号的支撑集Φ_Λ，其中

步骤七：采用最小二乘法进行信号逼近并更新余量： 

x_r＝arg min||y-Φ_Λx||₂， 

r＝y-Φ_Λx_r； 

步骤八：迭代判定：若达到重构精度，则停止迭代，否则，转至步骤二。 

本发明是一种基于阈值的分段自适应正则化匹配追踪重构方法，流程图如图1所示，包括以下几个步骤： 

步骤一：设定稀疏信号重构过程中各参数的初始状态值。 

设定稀疏信号x是长度为N的信号，观测信号y为长度为M的实数向量。传感矩阵Φ为M×N维的高斯随机矩阵，对Φ进行归一化，即

为原始传感矩阵的列向量，||·||₂表示l₂范数。不失一般性地，假设Ψ＝I_N为N阶单位矩阵，则传感矩阵为ΦΨ＝Φ；设定稀疏信号重构过程中各参数的初始状态值，其中初始迭代余量r＝y，信号重构误差限ε，原子角标集合

步骤二：计算迭代后残差r与Φ中原子的内积即相关系数{g_j|g_j＝<r,Φ_j>}(j＝1,2,…,N)。 

迭代残差r与观测信号y为同维度信号，Φ_j(j＝1,2,…,N)为传感矩阵Φ的列向量，残差r与Φ中原子的内积越大，表示相关系数越大。由于||Φ_i||₂＝1，所以|g_i|＜||r||₂。 

步骤三：从所有相关系数中找出满足

式的传感矩阵Φ中原子Φ_i，并记满足上述条件的原子个数为s； 

g＝<r,Φ>，g成高斯分布，当传感矩阵Φ由从一致球体采样的列构成，向量的项z＝g-x＝Φ^TΦx-x有标准差为

的高斯的直方图。尤其当M，N较大时。此时g包含“真正信号”。阈值参数Ω＝{j:|g_j|＞τσ}在τ选择合适时，极可能提取出目标信号中少数 大的组成成分。注意到实际上x是未知的，因此很难直接计算出σ，但可以通过

来逼近。根据迭代余量的分布形式设定阈值使得创建候选集阶段能准确地选取原子。由于Φ近似的保持了x与y之间的l₂的距离。支撑集的所有大成分原子很难一次被提取出来，因此需要在每次迭代过程中采用这种分段的方法逐步选出所有原子。记符合上述条件的原子的个数为s，判断s是否为0。 

步骤四：若s≠0，将对应的角标值i存入角标集J中，转入步骤五；若s＝0，令s＝1，将相关系数最大的原子的角标值直接存入角标集J₀中，转入步骤六； 

将步骤三中选取的大于阈值的原子对应的角标值存入角标集J中作为候选集，然而一旦所选τ值不够理想使得在某次迭代中无法选出满足阈值的原子时，支撑集中将不会再加入新的原子，导致方法进入死循环，无法恢复出信号。为了解决此问题，当满足上述阈值的对应原子个数为0时，直接选出最大相关系数对应的原子，将其角标值存入角标集J₀中。 

步骤五：对J中角标对应原子的相关系数进行正则化，即相关系数必须满足| _i|＜2|g_j|(i,j∈J)，然后将能量最大的一组原子的角标值存入角标集J₀中； 

对J中角标对应原子的相关系数按从大到小排序，从相关系数最大值开始，按照正则化条件|g_i|＜2|g_j|(i,j∈J)对角标值分组，计算每组相关系数的能量和，选出能量最大的一组，将角标值存入J₀中。对于没有选入J₀的原子，正则化过程能保证他们的能量一定远小于被选入原子的能量，以此保证选入原子的可靠性。 

步骤六：更新表示原信号的支撑集Φ_Λ，其中

将上一次迭代中形成的支撑集的角标集Λ与当前迭代中J₀中的元素合并，合并后集合Λ中的元素值对应角标的原子即为当前迭代形成的新的支撑集，用于信号逼近和更新余量。 

步骤七：采用最小二乘法进行信号逼近并更新余量： 

x_r＝arg min||y-Φ_Λx||₂， 

r＝y-Φ_Λx_r； 

利用步骤六中得到的新的支撑集，采用最小二乘法对观测信号进行逼近，求得使逼近余量最小的x_r值作为重建信号，进而求得新的余量r。 

步骤八：迭代判定：若达到重构精度，则停止迭代，否则，转至步骤二。 

信号残差反映了重构信号与原始信号的接近程度，残差越小，可知重构信号与原始信号越接近。随着迭代次数增加，信号残差会越来越小。因此，根据信号残差能够判断出重构的信号是否足够接近原始采样信号，即重构信号的准确性是否达到预期要求，如果达到则可以 停止迭代，完成信号重构，如果未达到则继续迭代，继续寻找与信号残差匹配的和传感矩阵的列。由此可见，本领域技术人员根据信号残差能够判断是否需要停止迭代。 

接下来，结合图2和图3具体说明本实施方式。本实施方式是将本发明所述的方法与正交匹配追踪算法（OMP）、正则化正交匹配追踪算法（ROMP）、分段正交匹配追踪算法（StOMP）及子空间追踪算法（SP）分别应用于稀疏信号x的重构过程中，将每一种方法的重构概率进行对比。 

本发明计算各方法的重构概率的过程为： 

一、生成M×N维的随机高斯矩阵Φ，生成K稀疏度的高斯信号或二元信号x； 

二、由观测信号y＝Φx，利用每种重构方法得到xr，若||x_r-x||₂/||x||₂＜10^-8则表示信号x被精确重构； 

三、本发明所述方法及分段正交匹配追踪方法（StOMP）中取τ＝2.8； 

四、对每种重构方法运行500次，计算各方法的精确重构率。 

在本实施方式的实验过程中，分别采用稀疏的高斯信号和二元信号进行实验。传感矩阵Φ行数M＝128，列数N＝256，当信号x的稀疏度K＝5～60时，计算针对每个稀疏度K各方法的精确重构率，并绘制信号精确重构率随稀疏度的变化曲线。 

实验结果如图2和图3所示，其中，图2为高斯信号的重构实验结果图，图3为二元信号的重构实验结果图，图2及图3中带                                                  

标记的曲线为采用本实施方式所述方法的精确重构率曲线，带

标记的曲线为采用OMP方法的精确重构率曲线，带标记的曲线为采用ROMP方法的精确重构率曲线，带标记的曲线为采用StOMP方法的精确重构率曲线，带

标记的曲线为采用SP方法的精确重构率曲线。从图中可见，对于高斯信号和二元信号，本实施方式所述方法的精确重构率比其他各类贪婪迭代类方法的精确重构率均有提高，尤其是针对高斯信号，精确重构率提升幅度较大。因此，本实施方式更适于实际应用中。 

Claims (1)

1.一种基于阈值的分段自适应正则化匹配追踪重构方法，其特征在于：

（1）设定稀疏信号重构过程中各参数的初始状态值

设定稀疏信号x是长度为N的信号，观测信号y为长度为M的实数向量，传感矩阵Φ为M×N维的高斯随机矩阵，对Φ进行归一化，即

${\mathrm{\&Phi;}}_j=\frac{{\mathrm{\&Phi;}}_j}{{\left|\right|{\mathrm{\&Phi;}}_j\left|\right|}_2},$

Φ_j为原始传感矩阵的列向量，||·||₂表示l₂范数，Ψ＝I_N为N阶单位矩阵，则传感矩阵为ΦΨ＝Φ；设定稀疏信号重构过程中各参数的初始状态值，其中初始迭代余量r＝y，信号重构误差限ε，原子角标集合

；

（2）计算迭代余量r与传感矩阵Φ每一列的内积即相关系数{g_j|g_j＝r<,Φ_j>}(j＝1,2,…,N)，迭代残差r与观测信号y为同维度信号，Φ_j(j＝1,2,…,N)为传感矩阵Φ的列向量，||Φ_i||₂＝1，所以|g_i|＜||r||₂；

（3）从所有相关系数中找出满足式的传感矩阵Φ中原子Φ_i，将对应的角标值i存入角标集J中，并记满足上述条件的原子个数为s，判断s是否为0；

（4）若s≠0，将对应的角标值i存入角标集J中，执行步骤（5）；若s＝0，令s＝1，将相关系数最大的原子的角标值直接存入角标集J₀中，执行步骤（6）；

（5）对角标集J中角标对应原子的相关系数从大到小排序，从相关系数最大值开始，按照正则化条件|g_i|＜2|g_j|(i,j∈J)对角标值分组，计算每组相关系数的能量和，选出能量最大的一组，将角标值存入角标集J₀中；

（6）更新表示原信号的支撑集Φ_Λ，将上一次迭代中形成的支撑集的角标集Λ与当前迭代中J₀中的元素合并，

合并后集合Λ中的元素值对应角标的原子即为当前迭代形成的新的支撑集；

（7）采用最小二乘法进行信号逼近并更新余量：

x_r＝arg min||y-Φ_Λx||₂，

r＝y-Φ_Λx_r；

（8）迭代判定：若达到重构精度，则停止迭代，否则，重新执行步骤（2）。

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