CN107612555A - 一种基于二分法的改进稀疏度自适应匹配追踪算法 - Google Patents
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Abstract
本发明公开了一种基于二分法的改进稀疏度自适应匹配追踪算法，属于压缩感知信号处理领域。本发明主要解决的是传统的稀疏度自适应匹配追踪算法采用线性加法增加迭代次数逼近真实稀疏值，导致重构时间过长和稀疏度失配的问题。本发明提出了基于迭代过程中产生的残差值在迭代次数域上有极小值的特点，比较迭代过程中本轮产生的残差值和上一轮迭代过程中的残差值的大小，通过二分法选取较小残差值对应的迭代值作为一个端点和靠近此残差值对应的迭代值作另一个端点，以这两点的中点作为新一轮稀疏度迭代值。本发明相较于传统的稀疏度自适应匹配追踪算法，在保证重构高维度信号的精度同时，能极快地重构出压缩的信号。
Description
技术领域
本发明属于压缩感知领域，具体涉及一种基于二分法的改进稀疏度自适应匹配追踪算法。
背景技术
随着计算机硬件、通信系统与传感器系统的飞速发展，现代信号传输带宽激增。为了更好地解决信号的获取和处理问题，D.L.Donoho、E.Candes和T.Tao等人提出了压缩感知理论。对于具有稀疏性或者可压缩的信号，压缩感知可以低于奈奎斯特速率对信号进行压缩，并从一个较低维度的压缩信号y重构出具有一定精度的原始信号x。通过压缩感知技术，能够提高信号处理的速度，极大地节省带宽、存储空间等硬件资源，进一步促进设备的微型化和智能化。
重构算法作为压缩感知的核心技术，能够将压缩过后的信号从低维度重构成高维度的原始信号。到现在为止，国内外学者已经提出了一系列重构算法。J.A.Tropp等(J.A.Tropp,A.C.Gillbert.Signal recovery from random measurements viaorthogonal matching pursuit[J].IEEE Trans.Info.Theory,2007,53(12):4655-4666)在匹配追踪的基础上进行改进，保证了残差与预选取的列正交，得到了正交匹配追踪算法(OMP)，但OMP算法需要已知真实的稀疏值K，并且每次仅能选择一列支持集。D.L.Donoho等(D.L.Donoho,I Drori,Y.Tsaig,J.Starck.Sparse solution of underdeterminedlinear equations by stagewise orthogonal matching pursuit[C].Tech.Report,Stanford,Department of Statistics,2006)为了改进OMP算法每次仅可选择一列支持集的缺点，提出了分段匹配追踪算法(StOMP)，每次可选择多列支持集。D.Needell等(D.Needell,R.Vershynin.Uniform uncertainly principle and signal recovery viaregularized orthogonal matching pursuit[J].Found.Computation.Math,2009,9(3):317-334)在StOMP的基础上引入正则化的概念，提出了正则化正交匹配追踪算法(ROMP)，保证了重构精度的问题，但依然没有解决需要预知真实稀疏值K的问题。Thong.T.Do等(Thong.T.Do,Lu Gan,Nam Nguyen,Trac.D.Tran.Sparsity adaptive matching pursuitalgorithm for practical compressed sensing[C].California:Asilomar Conferenceon Signals,Systems and Computers,2008:581-587)为了解决在实际应用中难以预知稀疏值的情况，提出了稀疏度自适应匹配追踪算法(SAMP)。SAMP算法吸收了以上算法的优点，主要通过线性加法迭代Sn＝Sn-1+1的方式，逐渐逼近真实的稀疏值K，解决了在未知稀疏值时无法迭代的问题。但SAMP算法采用线性加法方式去逼近真实的稀疏值，在重构信号的速度上非常缓慢，尤其当原始信号维度过长时，这极大地限制了SAMP算法的适用性。
发明内容
鉴于现有的SAMP等算法存在的不足，本发明的目的旨在提供一种基于二分法的改进稀疏度自适应匹配追踪算法(以下简称DSAMP)，能够快速逼近真实的稀疏值，完成信号重构。
发明具体内容如下：
(1)输入M×N阶传感矩阵A和M×1阶观测向量y，其中M、N固定为常数；
(2)初始化：初始化残差阈值为ε，迭代次数n＝0、残差rn并使r0＝y、左迭代点Pl＝0、右迭代点Pr＝M，并计算迭代中间值Pn＝round((Pl+Pr)/2)，其中ε为常量，round()表示四舍五入的取整函数；
(3)计算传感矩阵A的转置矩阵AT与残差rn的内积向量SP，从SP中选出Pn个最大的元素，即并将这Pn个元素对应SP的行号组成支持集CP，其中代表取出|·|中依次最大的Pn个值；
(4)根据支持集CP，选出A中对应支持集CP行号的对应行向量并保留，AP没有支持集CP行号对应的行都用0向量来填充，组成迭代矩阵AP；
(5)用最小二乘法计算稀疏信号的预估向量 argmin||·||代表计算结果取最小值时·的取值；
(6)选出中Pn个最大的元素，同时选出AP中对应行号的行组成Aθ，其中没有行号对应的行用0来填充，迭代次数n＝n+1，更新残差
(7)进行残差||rn||2阈值判定，若||rn||2小于阈值则退出迭代循环进入步骤(12)，否则进入步骤(8)，其中||·||2代表计算·的2范数；
(8)判断更新后的残差||rn||2与上一轮迭代的残差||rn-1||2的大小；
(9)当||rn||2小于||rn-1||2时，将上一轮迭代中间值Pn-1更新为右迭代点Pr即Pr＝Pn-1，更新计算迭代中间值Pn＝round((Pn-1+Pl)/2)；
(10)当||rn||2大于||rn-1||2时，将上一轮迭代中间值Pn-1更新为左迭代点Pl即Pl＝Pn-1，更新计算迭代中间值Pn＝round((Pn-1+Pr)/2)；
(11)将更新过的rn和Pn带入步骤(2)继续迭代；
(12)输出重构信号
相比于现有方法，本发明具有如下改进：
1)改变了以往SAMP算法采用Sn＝Sn-1+1的线性加法方式，而以二分法Pn＝(Pl+Pr)/2的方式去逼近真实的稀疏值；当N×1的原始信号N维度较大，压缩比较高的情况下，总的迭代次数将会明显小于SAMP算法的线性逼近；
2)DSAMP算法可由传感矩阵确定第一轮的迭代值，不需要在算法开始之前输入设定迭代值Sn，从而避免了出现迭代值Sn不是真实稀疏值整数倍的问题，避免了稀疏度失配的问题引起的精度下降。
附图说明
图1是DSAMP算法的流程图。
图2是采用DSAMP重构后心跳信号的仿真图以及心跳信号原始图。
图3是SAMP算法与DSAMP算法计算时间比较图。
图4是SAMP算法与DSAMP算法的峰值信噪比(PSNR)比较图。
具体实施方式
下面结合附图和实施案例对本发明作进一步的说明。本发明是一种二分法的改进稀疏度自适应匹配追踪算法。
附图1所示为本发明基于二分法的改进稀疏度自适应匹配追踪算法的流程图，进行详细描述：
(1)输入M×N阶传感矩阵A和M×1阶观测向量y，其中M、N固定为常数；
(2)初始化：初始化残差阈值为ε，迭代次数n＝0、残差rn并使r0＝y、左迭代点Pl＝0、右迭代点Pr＝M，并计算迭代中间值Pn＝round((Pl+Pr)/2)，其中ε为常量，round()表示四舍五入的取整函数；
(3)计算传感矩阵A的转置矩阵AT与残差rn的内积向量SP，从SP中选出Pn个最大的元素，即并将这Pn个元素对应SP的行号组成支持集CP，其中代表取出|·|中依次最大的Pn个值；
(4)根据支持集CP，选出A中对应支持集CP行号的对应行向量并保留，AP没有支持集CP行号对应的行都用0向量来填充，组成迭代矩阵AP；
(5)用最小二乘法计算稀疏信号的预估向量 arg min||·||代表计算结果取最小值时·的取值；
(6)选出中Pn个最大的元素，同时选出AP中对应行号的行组成Aθ，其中没有行号对应的行用0来填充，迭代次数n＝n+1，更新残差
(7)进行残差||rn||2阈值判定，若||rn||2小于阈值则退出迭代循环进入步骤(12)，否则进入步骤(8)，其中||·||2代表计算·的2范数；
(8)判断更新后的残差||rn||2与上一轮迭代的残差||rn-1||2的大小；
(9)当||rn||2小于||rn-1||2时，将上一轮迭代中间值Pn-1更新为右迭代点Pr即Pr＝Pn-1，更新计算迭代中间值Pn＝round((Pn-1+Pl)/2)；
(10)当||rn||2大于||rn-1||2时，将上一轮迭代中间值Pn-1更新为左迭代点Pl即Pl＝Pn-1，更新计算迭代中间值Pn＝round((Pn-1+Pr)/2)；
(11)将更新过的rn和Pn带入步骤(2)继续迭代；
(12)输出重构信号
下面利用本发明提出的算法对一个具有高稀疏度9000×1阶(时间长度为9s，每秒1000个采样点)的心跳信号(ECG)进行重构，并与已有的SAMP算法进行比较；图3为在压缩倍数为5、8、10、12和15的情况下，分别由DSAMP和SAMP算法重构的时间；图4为在压缩倍数为5、8、10、12和15的情况下，分别由DSAMP和SAMP算法重构信号的峰值信噪比(PSNR)。
图2，图3，图4的实验平台为四核Intel i3-4160 CPU，主频3.6GHz,计算软件为Matlab。
附图2所示，对一个具有高稀疏度9000×1阶的心跳信号(ECG)进行重构，压缩倍数为10；a图为重构后ECG信号，b图为原始ECG信号。
附图3所示，在压缩倍数为5、8、10、12和15的情况下，分别由DSAMP和SAMP算法重构9000×1阶的心跳(ECG)信号x的时间。可以看出，在所有压缩倍数下，DSAMP算法的重构时间都比SAMP算法减少了三分之二以上。尤其在原始信号维度较大、压缩倍数较小时，DSAMP算法能够有效地减小重构时间。
附图4所示，是9000×1阶的原始心跳(ECG)信号x，在压缩倍数为5、8、10、12和15的情况下，分别由DSAMP和SAMP算法重构信号的峰值信噪比(PSNR)。可以看出，在压缩倍数为5、8、10、12时DSAMP的重构精度依然优于SAMP，但压缩倍数达到15时DSAMP的精度会有所下降。主要原因是当压缩倍数增大时，DSAMP对信号的维度优势会减小。
相比于现有方法，本发明具有如下改进：
1)改变了以往SAMP算法采用Sn＝Sn-1+1的线性加法方式，而以二分法Pn＝(Pl+Pr)/2的方式去逼近真实的稀疏值；当N×1的原始信号N维度较大，压缩比较高的情况下，总的迭代次数将会明显小于SAMP算法的线性逼近；
2)DSAMP算法可由传感矩阵确定第一轮的迭代值，不需要在算法开始之前输入设定迭代值Sn，从而避免了出现迭代值Sn不是真实稀疏值整数倍的问题，避免了稀疏度失配的问题引起的精度下降。
随着计算机、通信和微电子技术的发展，压缩感知理论越来越体现出它的优越性，重构算法在压缩感知中起着重要的作用。针对SAMP算法面对高维度信号重构的时间缓慢，DSAMP算法能够有效弥补SAMP算法在此方面的不足。
最后说明的是，以上实施例仅用以说明本发明的技术方案而非限制，尽管参照较佳实施例对本发明进行了详细说明，本领域的普通技术人员应当理解，可以对本发明的技术方案进行修改或者等同替换，而不脱离本发明技术方案的宗旨和范围，其均应涵盖在本发明的权利要求范围当中。
Claims (1)
1.一种基于二分法的改进稀疏度自适应匹配追踪算法，其特征在于，包括以下步骤：
(1)输入M×N阶传感矩阵A和M×1阶观测向量y，其中M、N固定为常数；
(2)初始化：初始化残差阈值为ε，迭代次数n＝0、残差rn并使r0＝y、左迭代点Pl＝0、右迭代点Pr＝M，并计算迭代中间值Pn＝round((Pl+Pr)/2)，其中ε为常量，round()表示四舍五入的取整函数；
(3)计算传感矩阵A的转置矩阵AT与残差rn的内积向量SP，从SP中选出Pn个最大的元素，即并将这Pn个元素对应SP的行号组成支持集CP，其中代表取出|·|中依次最大的Pn个值；
(4)根据支持集CP，选出A中对应支持集CP行号的对应行向量并保留，AP没有支持集CP行号对应的行都用0向量来填充，组成迭代矩阵AP；
(5)用最小二乘法计算稀疏信号的预估向量 argmin||·||代表计算结果取最小值时·的取值；
(6)选出中Pn个最大的元素，同时选出AP中对应行号的行组成Aθ，其中没有行号对应的行用0来填充，迭代次数n＝n+1，更新残差(7)进行残差||rn||2阈值判定，若||rn||2小于阈值则退出迭代循环进入步骤(12)，否则进入步骤(8)，其中||·||2代表计算·的2范数；
(8)判断更新后的残差||rn||2与上一轮迭代的残差||rn-1||2的大小；
(9)当||rn||2小于||rn-1||2时，将上一轮迭代中间值Pn-1更新为右迭代点Pr即Pr＝Pn-1，更新计算迭代中间值Pn＝round((Pn-1+Pl)/2)；
(10)当||rn||2大于||rn-1||2时，将上一轮迭代中间值Pn-1更新为左迭代点Pl即Pl＝Pn-1，更新计算迭代中间值Pn＝round((Pn-1+Pr)/2)；
(11)将更新过的rn和Pn带入步骤(2)继续迭代；
(12)输出重构信号
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