CN102737115B - 基于两个子膨胀图的压缩感知的测量矩阵的获取方法及利用该测量矩阵恢复原始信号的方法 - Google Patents

Abstract

基于两个子膨胀图的压缩感知的测量矩阵的获取方法及利用该测量矩阵恢复原始信号的方法，属于图像处理领域，本发明为解决现有还原图像技术时利用压缩感知的测量矩阵存在的问题。本发明的测量矩阵包括以下步骤：步骤一：建立两个膨胀图，G₁和G₂，步骤二：将G₁中每一个顶点都用G₂替换，形成连接图G＝G₁⊙G₂，步骤三：获取连接图G的第二列顶点和第三列顶点的关联矩阵步骤四：根据公式Φ＝K₁*K*K₂获取压缩感知测量矩阵Φ。利用该矩阵恢复原始信号，增加步骤五：根据步骤四获取压缩感知测量矩阵Φ观测原始信号，从而得到测量值，用得到的测量值和压缩感知测量矩阵Φ按f＝Φx恢复原始信号。

Description

基于两个子膨胀图的压缩感知的测量矩阵的获取方法及利用该测量矩阵恢复原始信号的方法

技术领域

本发明涉及基于两个子膨胀图的压缩感知的测量矩阵的获取方法及利用该测量矩阵恢复原始信号的方法，属于图像处理领域。

背景技术

压缩感知(Compressive Sensing)理论提供的是不同于传统采样形式的一种新的数据采样模式，它表明，只要信号在某个变换域是稀疏的或是可压缩的，就可以用一个与变换基不相关的观测矩阵将变换所得高维信号投影到一个低维空间上，然后通过求解一个优化问题就可以从这些少量投影中以高概率重构出原始信号。压缩感知方法主要包含两个方面：一是测量矩阵，它能够使K-稀疏或可压缩信号x从的过程中能量损失尽可能小，且观测到的这些信息能够保证准确重建出原始信号；二是重建算法，选择合适的算法使得信号从测量值恢复原信号压缩感知是将压缩和采样同时进行的一种采样模式，对于一个K-稀疏的N维信号，投影到这个低维空间的维数将会远小于N，这使得压缩感知能应用于很多方面，比如核磁共振成像、无线传感器网络、地球物理数据分析、视频编码等领域。

压缩感知得以实现的关键之一是要得到满足条件的测量矩阵，而这一条件通常是指RIP(Restricted Isometry Property)条件。目前应用最广的是随机矩阵，比如高斯随机矩阵、伯努利随机矩阵等，随机矩阵因其以很高的概率满足RIP条件而在理论上有很大的价值。但在实际应用中，随机测量矩阵有大存储量、低效率和高复杂度等缺点，这极大限制了压缩感知在实际中的应用。由于确定性测量矩阵存储量小、复杂度低等优点，鉴于此，设计满足RIP条件的确定性测量矩阵一直是压缩感知想解决的问题。目前一些设计确定性测量矩阵的方法大多是基于某种特定的编码或序列，比如chirp序列、Kerdock和Delaste-Goethals编码、二级Reed-Muller编码等。也有其它的一些基于某种特定理论的方法，比如有限域和表示论等理论。

最近一些研究表明，基于膨胀图设计出的关联矩阵在一定条件下能满足RIP条件，可以作为压缩感知测量矩阵。膨胀图首先是一个二部图，左边一个比较小的顶点集合在右边有一个较大的邻接点集与其相连接，这就相当于在压缩感知测量过程中，原始信号能够充分被观测。尽管在理论上膨胀图用于压缩感知测量矩阵的设计会有很好的效果，但目前很难得到膨胀图的确切结构，也就是说很难确切得到符合要求的膨胀图。Guruswami通过有限域理论和P-V代码出发设计出了一类具有确定结构的膨胀图，但是这种算法不仅实现起来比较复杂还对设计出的关联矩阵的维数有很大限制，不能真正为压缩感知所用。

发明内容

本发明目的是为了解决现有还原图像技术时利用压缩感知的测量矩阵存在的问题，提供了一种基于两个子膨胀图的压缩感知的测量矩阵的获取方法及利用该测量矩阵恢复原始信号的方法。

本发明所述基于两个子膨胀图的压缩感知测量矩阵的获取方法，该方法包括以下步骤：

步骤一：建立两个膨胀图，第一个膨胀图G₁＝(A₁，B₁)，|A₁|＝N₁，|B₁|＝M₁，第二个膨胀图G₂＝(A₂，B₂)，|A₂|＝N₂，|B₂|＝d₁，

两个膨胀图都为二部图，且两个膨胀图的左子图中的顶点的个数为5～20，两个膨胀图的右子图中的顶点的个数为3～15，且第一个膨胀图的顶点总数大于第二个膨胀图的顶点总数，

第一个膨胀图G₁左子图中的顶点的度为d₁，连接左子图和右子图的关联矩阵

第二个膨胀图G₂左子图中的顶点的度为d₂，连接左子图和右子图的关联矩阵

步骤二：将第一个膨胀图G₁中左子图和右子图中的每一个顶点都用第二个膨胀图G₂替换，形成连接图，连接图G中每个第二个膨胀图G₂都称为“云”，连接图G的第一列和第二列顶点的关联矩阵连接图G的第三列和第四列顶点的关联矩阵

步骤三：获取连接图G的第二列顶点和第三列顶点的关联矩阵

步骤四：根据公式Φ＝K₁*K*K₂获取压缩感知测量矩阵Ф。

步骤三中获取连接图G的第二列顶点和第三列顶点的关联矩阵的过程为：

步骤31、初始化迭代次数i＝0，初始化连接图G的第二列顶点和第三列顶点的关联矩阵K为一个零矩阵，维数为N₁d₁×M₁N₂；

步骤32、重复进行N₁d₁次迭代运算：

步骤a：迭代次数i＝i+1，计算连接图G的第二列顶点中第i个顶点所在云的云序号t：t＝[(i-1)/d₁]+1，其中[]表示取整函数，

并计算第i个顶点在第t个云中的顶点序号p＝i-(t-1)*d₁，p∈{1，2，…，d₁}；

步骤b：取出第一个膨胀图G₁连接左子图和右子图的关联矩阵Ф₁的第t行，并找到第p个1，记其在该行中的序号为w；

步骤c：取出第一个膨胀图G₁连接左子图和右子图的关联矩阵Ф₁的第w列，记该向量为g，向量g中的第t个元素为1，将向量g中的第t个元素在该向量中所有1元素中的序号记示s；

步骤d：若s≤N₂，则ss＝(w-1)*N₂+s，然后执行步骤e；否则ss＝(w-1)*N₂+s-N₂，然后执行步骤e；

步骤e：让连接图G的第二列顶点和第三列顶点的关联矩阵K的第i行第ss列的元素变为1，即K(i，ss)＝1，让矩阵K的第i行其余元素都为0，

重复进行N₁d₁次迭代运算后获取连接图G的第二列顶点和第三列顶点的关联矩阵K。

利用获得的基于两个子膨胀图的压缩感知测量矩阵恢复原始信号的方法，该方法包括以下步骤：

步骤一：建立两个膨胀图，第一个膨胀图G₁＝(A₁，B₁)，|A₁|＝N₁，|B₁|＝M₁，第二个膨胀图G₂＝(A₂，B₂)，|A₂|＝N₂，|B₂|＝d₁，

两个膨胀图都为二部图，且两个膨胀图的左子图中的顶点的个数为5～20，两个膨胀图的右子图中的顶点的个数为3～15，且第一个膨胀图的顶点总数大于第二个膨胀图的顶点总数，

第一个膨胀图G₁左子图中的顶点的度为d₁，连接左子图和右子图的关联矩阵

第二个膨胀图G₂左子图中的顶点的度为d₂，连接左子图和右子图的关联矩阵

步骤二：将第一个膨胀图G₁中左子图和右子图中的每一个顶点都用第二个膨胀图G₂替换，形成连接图连接图G中每个第二个膨胀图G₂都称为“云”，连接图G的第一列和第二列顶点的关联矩阵连接图G的第三列和第四列顶点的关联矩阵

步骤三：获取连接图G的第二列顶点和第三列顶点的关联矩阵

步骤四：根据公式Ф＝K₁*K*K₂获取压缩感知测量矩阵Ф；

步骤五：根据步骤四获取压缩感知测量矩阵Ф观测原始信号，从而得到测量值，用得到的测量值和压缩感知测量矩阵Ф按f＝Φx恢复原始信号，

式中：f为测量值，x为原始信号。

步骤五中恢复原始信号的过程为：

步骤A、根据基于两个子膨胀图的压缩感知测量矩阵Ф对原始信号进行线性观测，获取测量值向量f，f＝Φx，m为测量次数，n为原始信号的维数，

x为原始信号，x＝Ψα，Ψ为使得原始信号x能够在该矩阵下成为稀疏信号的稀疏基矩阵，α为原始信号x在稀疏基矩阵Ψ下的投影系数，α中的系数有很多为0或非常接近于0，只有非常少的系数绝对值比较大，α是未知量，求出使达到最小时的α值就是该次迭代所得到的α的估计值再根据x＝Ψα得到原始信号。

而目前常用的稀疏基矩阵Ψ有离散小波变换基、快速傅里叶变换基和离散余弦变换基，且都是正交矩阵。

Θ为中间矩阵，且Θ＝ΦΨ，

步骤B、初始化：残差λ_t的初始值r₀＝f，指标集Λ_t的初始集合为空集迭代次数t＝1，初始中间矩阵的初始矩阵是空矩阵；

步骤C、根据在中间矩阵Θ中找到与残差λ_t最匹配的一列其中为中间矩阵Θ的第j列；N为中间矩阵的列的数量，

步骤D、更新指标集并把中间矩阵中与残差λ_t最匹配的一列加入到中间矩阵Θ中，形成更新中间矩陈Θ_t

步骤E、用最小二乘法得到当前信号的最优估计值

步骤F、更新残差并让迭代次数增加1，

步骤G、判断迭代次数是否满足t≥T，判断结果为否，返回到步骤B；判断结果为是，执行步骤H，

步骤H、根据公式获取原始信号。

本发明的优点：

本发明针对这一现状，以两个或多个小的膨胀图用一种特定的方法生成一个新的顶点个数更多的图，而这个图也是一个膨胀图，由该图生成的关联矩阵的维数与所选取的母图的维数有关且具有很大的灵活性。基于这种方法可以得到我们想要的矩阵维数或者很接近我们想要的维数，具有很好的理论价值和实用性。

附图说明

图1是本发明所述基于两个子膨胀图的压缩感知测量矩阵的获取方法流程图；

图2是利用测量矩阵的原始信号恢复方法流程图；

图3是两个子膨胀图的结构示意图；

图4是用两个子膨胀图生成大图的过程示意图；

图5是原始信号示意图；

图6是利用本发明设所述的测量矩阵用于压缩感知得到的恢复信号示意图；

图7是用通常用得高斯随机矩阵在同等条件下得到的恢复信号示意图；

图8是三种矩阵用于压缩感知的性能比较图；

图9是原始图像；

图10是利用本发明的测量矩阵获取的恢复图像。

具体实施方式

具体实施方式一：下面结合图1、图3和图4说明本实施方式，本实施方式所述基于两个子膨胀图的压缩感知测量矩阵的获取方法，该方法包括以下步骤：

步骤一：建立两个膨胀图，第一个膨胀图G₁＝(A₁，B₁)，|A₁|＝N₁，|B₁|＝M₁，第二个膨胀图G₂＝(A₂，B₂)，|A₂|＝N₂，|B₂|＝d₁，

两个膨胀图都为二部图，且两个膨胀图的左子图中的顶点的个数为5～20，两个膨胀图的右子图中的顶点的个数为3～15，

第一个膨胀图G₁左子图中的顶点的度为d₁，连接左子图和右子图的关联矩阵

第二个膨胀图G₂左子图中的顶点的度为d₂，连接左子图和右子图的关联矩阵

步骤二：将第一个膨胀图G₁中左子图和右子图中的每一个顶点都用第二个膨胀图G₂替换，形成连接图，连接图G中每个第二个膨胀图G₂都称为“云”，连接图G的第一列和第二列顶点的关联矩阵连接图G的第三列和第四列顶点的关联矩阵

将G₁中左右子图的每一个顶点都用G₂替换，我们称之为一个“云”，得到了一个新的图，记为而这个连接图G总过有四列顶点，矩阵K₁代表了第一、二列共(N₁N₂+N₁d₁)个顶点的左右连接关系，显然K₁是一个分块对角矩阵，对角线上的每一块均为矩阵Ф₂，共有N₁个Ф₂。同理矩阵K₂代表了第三、四列共(M₁N₂+M₁d₁)个顶点的左右连接关系，与K₁类似，K₂也是一个分块对角矩阵，对角线上的每一块均为矩阵Ф₂，共有M₁个Ф₂；

步骤三：获取连接图G的第二列顶点和第三列顶点的关联矩阵

步骤四：根据公式Ф＝K₁*K*K₂获取压缩感知测量矩阵Ф。

步骤三中获取连接图G的第二列顶点和第三列顶点的关联矩阵的过程为：

步骤31、初始化迭代次数i＝0，初始化连接图G的第二列顶点和第三列顶点的关联矩阵K为一个零矩阵，维数为N₁d₁×M₁N₂；

步骤32、重复进行N₁d₁次迭代运算：

步骤a：迭代次数i＝i+1，计算连接图G的第二列顶点中第i个顶点所在云的云序号t：t＝[(i-1)/d₁]+1，其中[]表示取整函数，

并计算第i个顶点在第t个云中的顶点序号p＝i-(t-1)*d₁，p∈{1，2，…，d₁}；

步骤b：取出第一个膨胀图G₁连接左子图和右子图的关联矩阵Ф₁的第t行，并找到第p个1，记其在该行中的序号为w；

步骤c：取出第一个膨胀图G₁连接左子图和右子图的关联矩阵Ф₁的第w列，记该向量为g，向量g中的第t个元素为1，将向量g中的第t个元素在该向量中所有1元素中的序号记示s；

步骤d：若s≤N₂，则ss＝(w-1)*N₂+s，然后执行步骤e；否则ss＝(w-1)*N₂+s-N₂，然后执行步骤e：

步骤e：让连接图G的第二列顶点和第三列顶点的关联矩阵K的第i行第ss列的元素变为1，即K(i，ss)＝1，让矩阵K的第i行其余元素都为0，

重复进行N₁d₁次迭代运算后获取连接图G的第二列顶点和第三列顶点的关联矩阵K。

下面给出一个具体实施例：

执行步骤一：建立两个顶点个数比较小的膨胀图，其中第一个膨胀图表示为G₁＝(A₁，B₁)，|A₁|＝12，|B₁|＝8，第二个膨胀图表示为G₂＝(A₂，B₂)，|A₂|＝6，|B₂|＝4，两个图的左子图中的每个顶点的度分别为4和3，并分别得到连接左子图和右子图的关联矩阵

${\mathrm{\Φ}}_1^T={\left[\begin{array}{cccccccccccc}1& 0& 1& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 1\\ 0& 1& 0& 1& 1& 0& 1& 0& 1& 0& 0& 1\\ 1& 0& 1& 0& 1& 1& 0& 1& 0& 0& 1& 1\\ 1& 1& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 1& 1& 0& 1\\ 0& 0& 1& 0& 1& 0& 1& 1& 0& 1& 1& 0\\ 0& 1& 0& 0& 1& 1& 1& 1& 0& 1& 0& 0\\ 1& 0& 1& 1& 0& 1& 0& 0& 1& 1& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0& 0& 1& 1& 1& 1& 0& 1& 0\end{array}\right]}_{(8\×12)},{\mathrm{\Φ}}_2^T={\left[\begin{array}{cccccc}1& 0& 1& 1& 0& 1\\ 0& 1& 1& 1& 1& 1\\ 1& 1& 1& 0& 1& 0\\ 1& 1& 0& 1& 1& 1\end{array}\right]}_{(4\×6)}$

执行步骤二：得到第一列和第二列顶点的关联矩阵以及第三列和第四列顶点的关联矩阵根据左右子图的顶点与Ф₂的替换关系，得到第一、二列顶点的关联矩阵和第三、四列顶点的关联矩阵为：

其中K₁的对角线上有12个Ф₂，K₂的对角线上有8个Ф₂。

执行步骤三：得到连接图G中第二、三列顶点的关联矩阵为了得到这个矩阵，执行以下的步骤：

步骤31：初始化迭代次数i＝0，初始化矩阵K为一个零矩阵，维数为48×48；

步骤32：重复进行48次迭代运算：

首先：迭代次数i＝i+1，计算第二列顶点中第i个顶点的云序号t，并计算第i个顶点在第t个云中的顶点序号p∈{1，2，3，4}，即有t＝[(i-1)/d₁]+1，p＝i-(t-1)*d₁，其中[]表示取整函数；

其次：取出矩阵Ф₁的第t行，并找到第p个1，记其在该行中得序号为w；

再次：取出第一个膨胀图G₁连接左子图和右子图的关联矩阵Ф₁的第w列，记该向量为g，向量g中的第t个元素为1，将向量g中的第t个元素在该向量中所有1元素中的序号记示s；

然后：若s≤6，贝ss＝(w-1)*6+s，否贝ss＝(w-1)*6+s-6；

最后：让矩阵K的第i行第ss列的元素变为1，即K(i，ss)＝1；

矩阵K每一行只有一个元素为1，其余都为0，利用上述过程，找出矩阵K中元素为1的位置，则获取了整个矩阵K。

执行步骤四：得到连接第一列顶点和第四列顶点的关联矩阵，也即是我们想得到的用于压缩感知的测量矩阵Ф，Ф＝K₁*K*K₂，得到的矩阵Ф的维数为72*32。

具体实施方式二：下面结合图1至图10说明本实施方式，利用实施方式一获得的基于两个子膨胀图的压缩感知测量矩阵恢复原始信号的方法，该方法包括以下步骤：

步骤一：建立两个膨胀图，第一个膨胀图G₁＝(A₁，B₁)，|A₁|＝N₁，|B₁|＝M₁，第二个膨胀图G₂＝(A₂，B₂)，|A₂|＝N₂，|B₂|＝d₁，

两个膨胀图都为二部图，且两个膨胀图的左子图中的顶点的个数为5～20，两个膨胀图的右子图中的顶点的个数为3～15，

第一个膨胀图G₁左子图中的顶点的度为d₁，连接左子图和右子图的关联矩阵

第二个膨胀图G₂左子图中的顶点的度为d₂，连接左子图和右子图的关联矩阵

步骤二：将第一个膨胀图G₁中左子图和右子图中的每一个顶点都用第二个膨胀图G₂替换，形成连接图，连接图G中每个第二个膨胀图G₂都称为“云”，连接图G

的第一列和第二列顶点的关联矩阵连接图G的第三列和第四列顶点的关联矩阵

步骤三：获取连接图G的第二列顶点和第三列顶点的关联矩阵

步骤四：根据公式Ф＝K₁*K*K₂获取压缩感知测量矩阵Ф；

步骤五：根据步骤四获取压缩感知测量矩阵Ф观测原始信号，从而得到测量值，用得到的测量值和压缩感知测量矩阵Ф按f＝Фx恢复原始信号，

式中：f为测量值，x为原始信号。

具体实施方式三：本实施方式是对实施方式二的进一步说明，步骤五中恢复原始信号的过程为：

步骤A、根据基于两个子膨胀图的压缩感知测量矩阵Ф对原始信号进行线性观测，获取测量值向量f，f＝Фx，m为测量次数，n为原始信号的维数，

x为原始信号，x＝Ψα，Ψ为使得原始信号x能够在该矩阵下成为稀疏信号的稀疏基矩阵，α为原始信号x在稀疏基矩阵Ψ下的投影系数，α中的系数有很多为0或非常接近于0，只有非常少的系数绝对值比较大，α是未知量，求出使||f-Θ_tα||₂达到最小时的α值就是该次迭代所得到的α的估计值，再根据x＝Ψα得到原始信号。而目前常用的稀疏基矩阵Ψ有离散小波变换基、快速傅里叶变换基和离散余弦变换基，且都是正交矩阵。

Θ为中间矩阵，且Θ＝ФΨ，

步骤B、初始化：残差λ_t的初始值r₀＝f，指标集Λ_t的初始集合为空集迭代次数t＝1，初始中间矩阵Θ的初始矩阵Θ₀是空矩阵；

步骤C、根据在中间矩阵Θ中找到与残差λ_t最匹配的一列，其中为中间矩阵Θ的第j列；N为中间矩阵Θ的列的数量，

步骤D、更新指标集Λ_t＝Λ_t-1∪{λ_t}，并把中间矩阵Θ中与残差λ_t最匹配的一列加入到中间矩阵Θ中，形成更新中间矩阵Θ_t，

步骤E、用最小二乘法得到当前信号的最优估计值

步骤F、更新残差并让迭代次数增加1，

步骤G、判断迭代次数是否满足t≥T，判断结果为否，返回到步骤B；判断结果为是，执行步骤H，

步骤H、根据公式获取原始信号，

如果原始信号为一幅图像，只需要将图像的每一列看成一个一维信号即可。重复执行m次步骤一至步骤七，m列信号重构恢复为原始图像。

以下是一个实例，原始信号是一幅256*256的图像，如图9所示，用此发明设计出一个62*256的测量矩阵，相当于测量次数为62次，由于此所选图像本身是稀疏的故稀疏基矩阵就为单位矩阵I，最后由恢复算法得到恢复图像，如图10所示。

Claims (2)

1.基于两个子膨胀图的压缩感知测量矩阵的获取方法，其特征在于，该方法包括以下步骤：

步骤一：建立两个膨胀图，第一个膨胀图G₁＝(A₁，B₁)，|A₁|＝N₁，|B₁|＝M₁，第二个膨胀图G₂＝(A₂，B₂)，|A₂|＝N₂，|B₂|＝d₁，

两个膨胀图都为二部图，且两个膨胀图的左子图中的顶点的个数为5～20，两个膨胀图的右子图中的顶点的个数为3～15，且第一个膨胀图的顶点总数大于第二个膨胀图的顶点总数，

第一个膨胀图G₁左子图中的顶点的度为d₁，连接左子图和右子图的关联矩阵

第二个膨胀图G₂左子图中的顶点的度为d₂，连接左子图和右子图的关联矩阵

步骤二：将第一个膨胀图G₁中左子图和右子图中的每一个顶点都用第二个膨胀图G₂替换，形成连接图连接图G中每个第二个膨胀图G₂都称为“云”，连接图G的第一列和第二列顶点的关联矩阵连接图G的第三列和第四列顶点的关联矩阵

步骤三：获取连接图G的第二列顶点和第三列顶点的关联矩阵

步骤三中获取连接图G的第二列顶点和第三列顶点的关联矩阵的过程为：

步骤31、初始化迭代次数i＝0，初始化连接图G的第二列顶点和第三列顶点的关联矩阵K为一个零矩阵，维数为N₁d₁×M₁N₂；

步骤32、重复进行N₁d₁次迭代运算：

步骤a：迭代次数i＝i+1，计算连接图G的第二列顶点中第i个顶点所在云的云序号t：t＝[(i-1)/d₁]+1，其中[]表示取整函数，

并计算第i个顶点在第t个云中的顶点序号p＝i-(t-1)*d₁，p∈{1，2，…，d₁}；

步骤b：取出第一个膨胀图G₁连接左子图和右子图的关联矩阵Ф₁的第t行，并找到第p个1，记其在该行中的序号为w；

步骤c：取出第一个膨胀图G₁连接左子图和右子图的关联矩阵Ф₁的第w列，记该向量为g，向量g中的第t个元素为1，向量g中的第t个元素在该向量中所有1元素中的序号记示s；

步骤d：若s≤N₂，则ss＝(w-1)*N₂+s，然后执行步骤e；否则ss＝(w-1)*N₂+s-N₂，然后执行步骤e；

步骤e：让连接图G的第二列顶点和第三列顶点的关联矩阵K的第i行第ss列的元素变为1，即K(i，ss)＝1，让矩阵K的第i行其余元素都为0，

重复进行N₁d₁次迭代运算后获取连接图G的第二列顶点和第三列顶点的关联矩阵K；

步骤四：根据公式Ф＝K₁*K*K₂获取压缩感知测量矩阵Ф。

2.基于两个子膨胀图的压缩感知测量矩阵恢复原始信号的方法，其特征在于，该方法包括以下步骤：

步骤一：建立两个膨胀图，第一个膨胀图G₁＝(A₁，B₁)，|A₁|＝N₁，|B₁|＝M₁，第二个膨胀图G₂＝(A₂，B₂)，|A₂|＝N₂，|B₂|＝d₁，

两个膨胀图都为二部图，且两个膨胀图的左子图中的顶点的个数为5～20，两个膨胀图的右子图中的顶点的个数为3～15，

第一个膨胀图G₁左子图中的顶点的度为d₁，连接左子图和右子图的关联矩阵

第二个膨胀图G₂左子图中的顶点的度为d₂，连接左子图和右子图的关联矩阵

步骤二：将第一个膨胀图G₁中左子图和右子图中的每一个顶点都用第二个膨胀图G₂替换，形成连接图，连接图G中每个第二个膨胀图G₂都称为“云”，连接图G的第一列和第二列顶点的关联矩阵连接图G的第三列和第四列顶点的关联矩阵

步骤三：获取连接图G的第二列顶点和第三列顶点的关联矩阵

步骤四：根据公式Ф＝K₁*K*K₂获取压缩感知测量矩阵Ф；

步骤五：根据步骤四获取压缩感知测量矩阵Ф观测原始信号，从而得到测量值，用得到的测量值和压缩感知测量矩阵Ф按f＝Фx恢复原始信号，

式中：f为测量值，x为原始信号；

步骤五中恢复原始信号的过程为：

步骤A、根据基于两个子膨胀图的压缩感知测量矩阵Ф对原始信号进行线性观测，获取测量值向量f，f＝Фx，m为测量次数，n为原始信号的维数，

x为原始信号，x＝Ψα，Ψ为使得原始信号x能够在该矩阵下成为稀疏信号的稀疏基矩阵，α为原始信号x在稀疏基矩阵Ψ下的投影系数，α中的系数有很多为0或非常接近于0，只有非常少的系数绝对值比较大，α是未知量，求出使||f-Θ_tα||₂达到最小时的α值就是该次迭代所得到的α的估计值再根据x＝Ψα得到原始信号；

而目前常用的稀疏基矩阵Ψ有离散小波变换基、快速傅里叶变换基和离散余弦变换基，且都是正交矩阵；

Θ为中间矩阵，且Θ＝ΦΨ，

步骤B、初始化：残差λ_t的初始值r₀＝f，指标集Λ_t的初始集合为空集迭代次数t＝1，初始中间矩阵Θ的初始矩阵Θ₀是空矩阵；

步骤C、根据在中间矩阵Θ中找到与残差λ_y最匹配的一列其中为中间矩阵Θ的第j列；N为中间矩阵Θ的列的数量，

步骤D、更新指标集Λ_t＝Λt-1∪(λ_t}并把中间矩阵中与残差λ_t最匹配的一列加入到中间矩阵Θ中，形成更新中间矩陈Θ_t，

步骤E、用最小二乘法得到当前信号的最优估计值

步骤F、更新残差并让迭代次数增加1，

步骤G、判断迭代次数是否满足t≥T，判断结果为否，返回到步骤B；判断结果为是，执行步骤H，

步骤H、根据公式获取原始信号。