CN103957011A - 基于阈值收缩迭代的压缩感知含噪信号的恢复方法 - Google Patents

Abstract

基于阈值收缩迭代的压缩感知含噪信号的恢复方法，将压缩感知后引入噪声的信号恢复作为研究对象，建立压缩后含噪声的信号恢复模型，用阈值收缩迭代算法恢复含噪信号。本发明针对工程中广泛存在的噪声问题，将压缩感知后引入噪声的信号恢复作为研究对象，建立了信号恢复模型，对理想稀疏信号有非常好的恢复能力，且计算速度较快。采用本发明基于阈值收缩迭代的压缩感知含噪信号的恢复方法，可通过增加迭代次数和测量矩阵行数进一步增加鲁棒性，极大地降低了恢复误差。

Description

基于阈值收缩迭代的压缩感知含噪信号的恢复方法

技术领域

本发明属于信号处理领域，涉及一种基于阈值收缩迭代的压缩感知含噪信号的恢复方法。

背景技术

随着信息技术的高速发展，人们对信息量获取和处理速度的要求越来越高。基于奈奎斯特定理的传统采样，要求采样速度至少达到待测信号最高频率的两倍才能保证信息不丢失，这样对高频和宽带信号的处理难度越来越大。2006年出现的压缩感知与传统采样截然不同，决定采样速率的是信息率，即非0信息量。短短几年内已经应用到很多工程领域，如雷达成像、人脸识别、雷达来波方向估计、图像处理、无线传感器网络等。

压缩感知的噪声分为两部分：原始信号噪声与压缩感知后引入的噪声。原始信号噪声是指信号本身所含的噪声；压缩感知后引入的噪声是指信号压缩后恢复前在传输、储存和使用过程中产生的噪声，这类噪声广泛存在于通信和传感系统中。原始信号噪声可以通过设计合适的稀疏矩阵来减小；压缩感知后引入的噪声则要棘手得多，因为压缩感知后信号频谱不确定，无法用传统的滤波方法来减小噪声。因此，研究恢复时如何有效降低噪声的影响就显得非常重要。

重构原始信号则是一个从低维空间求取高维空间的逆过程，因此这个问题就变成一个求解欠定方程组的问题。然而对于传统求解方程的方法，会使这个方程组解的计算极不稳定，很容易陷入局部最优解甚至无解的情形。因此，如何从一个低维空间的向量高速有效的恢复原始信号就成为压缩感知理论的核心研究内容，也是压缩感知理论最终走向实际应用所要面临的问题。

目前压缩感知的恢复算法主要有五大类：贝叶斯法、贪婪算法、穷举法、统计优化法和凸优化法。贝叶斯算法复杂，计算量大，在处理含噪声信号的恢复时需要较强的先验条件；贪婪算法无法设置噪声惩罚项，相当于将噪声看成是信号的一部分，无法实现有效的去噪，且贪婪算法只能保证收敛到一个局部最优解，无法保证收敛到整体最优解，因此在带噪声情况下表现得非常不稳定；穷举法和统计优化法只适合数据量很小的场合，应用范围有限。凸优化法具有坚实的理论基础，恢复精度高，能给出较强的稀疏恢复保证，具有很强的鲁棒性，适合带噪信号的恢复。常用的凸优化法有梯度下降法、同伦法、LASSO(Least Absolute Shrinkage and Selection Operator)算子法、加权最小二乘法、最小角回归法等,常用的凸优化法不仅算法复杂，而且当数据量较大时无法保证精度。

发明内容

本发明的目的是提出一种基于阈值收缩迭代的压缩感知含噪信号的恢复方法，具有较强的鲁棒性和较快的计算速度。

本发明的技术方案是，基于阈值收缩迭代的压缩感知含噪信号的恢复方法，将压缩感知后引入噪声的信号恢复作为研究对象，建立压缩后含噪声的信号恢复模型，用阈值收缩迭代算法恢复含噪信号。

本发明的特点还在于：

第一步，建立压缩后引入噪声的恢复模型，

不含噪声的压缩感知的数学模型为

y＝θΦx   (1)

式中，x为n×1的原始信号，y为m×1的压缩后信号，Φ是稀疏基，为n×n正交变换矩阵，令x变为非零元素个数r远远小于零元素个数的信号；θ是m×n测量矩阵，又称重建算子，通常θ选择随机矩阵。

长度为n的待测信号x在与θ不相关的稀疏基Φ下是r稀疏的，测量值y已知，且满足

m≥C·μ²(θ,Φ)·r·logn   (2)

则其恢复算法归结为一个l₀范数最小化问题，本质上是一个欠采样情况下信号的重建问题。C是一个近似为2的常数， $1\≤\mathrm{\μ}\≤\sqrt{n}.$

θ满足RIP(Restricted Isometry Property)条件，则恢复问题可以等价为一个l₁范数最小化问题，令Ψ＝Φx，则基于l₁范数最小化的压缩感知恢复算法可描述为

$\min \left|\right|\mathrm{\Ψ}|{|}_1$

subject to：y＝θΨ   (3)

需要指出的是，m的准确值很难确定，通常只需满足m≥4r即可。

压缩感知后引入噪声的恢复模型为

y＝θΨ+w   (4)

式中，w代表噪声。

根据凸优化理论，问题(3)的解的模型可写成

$\left|\right|y-\mathrm{\θ\Ψ}|{|}_2^2+\mathrm{\λ}|\left|\mathrm{\Ψ}\right|{|}_1$

第二步，用阈值收缩迭代法对压缩感知后含噪信号予以恢复，具体步骤如下：

输入：t_k=1/L(f)，λ∈(0,1)，任意起始点Ψ₀(通常取Ψ₀=0)；

步骤1：将（Ψ₀的每一个元素）依次代入计算出i为信号长度；

步骤2：将代入公式 ${\mathrm{\Ψ}}_k=\frac{1}{{2t}_k}\arg \min \left\{\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\right\{{({\mathrm{\Ψ}}^i-d_k^i)}^2+2\mathrm{\λ}{t}_k\left|{\mathrm{\Ψ}}^i\right|\left\}\right\}$ 中，计算出Ψ₁；

步骤3：重复步骤1和2，迭代K次，得到Ψ_K；

步骤4：对Ψ_K做反离散余弦变化(IDCT)，得x＝D^-1(Ψ_K)；

输出：x。

本发明具有如下有益效果：

1、本发明针对工程中广泛存在的噪声问题，将压缩感知后引入噪声的信号恢复作为研究对象，建立了信号恢复模型，对理想稀疏信号有非常好的恢复能力，且计算速度较快。

2、采用本发明基于阈值收缩迭代的压缩感知含噪信号的恢复方法，对压缩后含噪信号具有较强的鲁棒性，并可通过增加迭代次数和测量矩阵行数进一步增加鲁棒性，极大地降低了恢复误差。

附图说明

图1（a）为采用本发明基于阈值收缩迭代的压缩感知含噪信号的恢复方法对原始信号x₁的恢复信号x_1r图；

图1（b）为采用本发明基于阈值收缩迭代的压缩感知含噪信号的恢复方法对原始信号x₁的恢复误差图；

图2（a）为采用本发明基于阈值收缩迭代的压缩感知含噪信号的恢复方法对原始信号x₂的恢复信号x_2r图；

图2（b）为采用本发明基于阈值收缩迭代的压缩感知含噪信号的恢复方法对原始信号x₂的恢复误差图；

图3（a）为采用本发明基于阈值收缩迭代的压缩感知含噪信号的恢复方法对含方差为0.1的高斯白噪声的信号恢复图（测量矩阵行数140）；

图3（b）为采用本发明基于阈值收缩迭代的压缩感知含噪信号的恢复方法对含方差为0.1的高斯白噪声的信号恢复图（测量矩阵行数280）；

图4（a）为采用本发明基于阈值收缩迭代的压缩感知含噪信号的恢复方法对含脉冲噪声(10%)的信号恢复图（测量矩阵行数140）；

图4（b）为采用本发明基于阈值收缩迭代的压缩感知含噪信号的恢复方法对含脉冲噪声(10%)的信号恢复图（测量矩阵行数280）；

图5（a）为采用本发明基于阈值收缩迭代的压缩感知含噪信号的恢复方法对含脉冲噪声(5%)的信号恢复图（测量矩阵行数140）；

图5（b）为含脉冲噪声(5%)的信号恢复图（测量矩阵行数280）；

图6（a）为采用本发明基于阈值收缩迭代的压缩感知含噪信号的恢复方法对压缩后引入方差为0.1的高斯白噪声的信号x₁进行恢复的迭代次数35的平均误差和NMSE；

图6（b）为采用本发明基于阈值收缩迭代的压缩感知含噪信号的恢复方法对压缩后引入方差为0.1的高斯白噪声的信号x₁进行恢复的迭代次数50的平均误差和NMSE；

图7几种方法对加高斯白噪声的信号恢复性能对比；

图8几种方法对加5%脉冲噪声的信号恢复性能对比；

图9几种方法对加10%脉冲噪声的信号恢复性能对比。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施方式对本发明进行详细说明。

首先，建立压缩后引入噪声的恢复模型。

不含噪声的压缩感知的数学模型为

y＝θΦx   (1)

式中，x为n×1的原始信号，y为m×1的压缩后信号，Φ是稀疏基，为n×n正交变换矩阵，作用是对x进行稀疏化，令x变为非零元素个数r远远小于零元素个数的信号；θ是m×n测量矩阵，又称重建算子，作用是将稀疏后的信号数据量从n压缩到m，m<<n，通常θ选择随机矩阵。

如果长度为n的待测信号x在与θ不相关的稀疏基Φ下是r稀疏的，测量值y已知，且满足

m≥C·μ²(θ,Φ)·r·logn   (2)

则其恢复算法归结为一个l₀范数最小化问题，本质上是一个欠采样情况下信号的重建问题。C是一个近似为2的常数， $1\&le;\mathrm{\&mu;}\&le;\sqrt{n}.$

如果θ满足RIP(Restricted Isometry Property)条件，则恢复问题可以等价为一个l₁范数最小化问题。令Ψ＝Φx，则基于l₁范数最小化的压缩感知恢复算法可描述为

$\min \left|\right|\mathrm{\&Psi;}|{|}_1$

subject to：y＝θΨ   (3)

需要指出的是，m的准确值很难确定，通常只需满足m≥4r即可。

压缩感知后引入噪声的恢复模型为

y＝θΨ+w   (4)

式中，w代表噪声。

根据凸优化理论，问题(3)的解的模型可写成

$\left|\right|y-\mathrm{\&theta;\&Psi;}|{|}_2^2+\mathrm{\&lambda;}|\left|\mathrm{\&Psi;}\right|{|}_1---\left(5\right)$

用阈值收缩迭代法对压缩所感知后含噪信号恢复的步骤如下：

输入：t_k=1/L(f)，λ∈(0,1)，任意起始点Ψ₀(通常取Ψ₀=0)；

步骤1，将（Ψ₀的每一个元素）依次代入计算出i为信号长度，例如信号长度为1024，则i的取值为从1到1024；

步骤2，将代入公式 ${\mathrm{\&Psi;}}_k=\frac{1}{{2t}_k}\arg \min \left\{\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}\right\{{({\mathrm{\&Psi;}}^i-d_k^i)}^2+2\mathrm{\&lambda;}{t}_k\left|{\mathrm{\&Psi;}}^i\right|\left\}\right\}$ 中，计算出Ψ₁；

步骤3，重复步骤1和2，迭代K次，得到Ψ_K；

步骤4，对Ψ_K做反离散余弦变化(IDCT)，得x＝D^-1(Ψ_K)；

输出：x。

通过以下仿真实验进一步说明本发明的效果。

1、仿真条件

1）仿真中采用原始信号

x₁=sin(20πt)+cos(7πt)+0.2，x₂=sin(21πt)+cos(34πt)+4，

其中，t可以是时间，也可以是其它一维变量。

2）对x₁和x₂做1024点离散余弦变换(DCT)，选择DCT变换矩阵为稀疏基Φ，变换后的信号进行阈值(0.2)截取，得到稀疏度分别为27和34。

3）选择高斯随机矩阵为测量矩阵θ。

4）向压缩后信号y中加入噪声w，即令y＝θΨ+w。

2、仿真内容

仿真1，采用本发明基于阈值收缩迭代的压缩感知含噪信号的恢复方法对压缩后没有引入噪声w的信号x₁和x₂进行恢复。θ行数取140，迭代次数选择35次。对原始信号x₁的恢复信号x_1r与恢复误差参见图1（a）、图1（b）；对原始信号x₂的恢复信号x_2r与恢复误差参见图2（a）、图2（b）。

仿真2，采用本发明基于阈值收缩迭代的压缩感知含噪信号的恢复方法分别对压缩后引入方差为0.1的高斯白噪声、压缩后引入密度为10%的脉冲噪声(方差为1)和压缩后引入密度为5%的脉冲噪声(方差为1)的信号x₁进行恢复。θ行数分别取140和280，迭代次数选择35次。信号恢复情况参见图3（a）、图3（b）、图4（a）、图4（b）、图5（a）及图5（b）。

仿真3，采用本发明基于阈值收缩迭代的压缩感知含噪信号的恢复方法对压缩后引入方差为0.1的高斯白噪声的信号x₁进行恢复。迭代次数选择35次和50次，平均误差和NMSE见图6（a）和图6（b）。

仿真4，采用本发明基于阈值收缩迭代的压缩感知含噪信号的恢复方法、OMP算法和PCD算法对压缩后引入高斯噪声(均值为0)的信号x₁进行恢复，并进行对比；同时，分别对压缩后引入密度为5%和10%的脉冲噪声(方差为1)信号x₁进行恢复，并进行对比。θ行数取140和400，迭代次数选择35次。信号恢复性能对比情况参见图7、图8和图9。

3、仿真结果分析

根据仿真1，计算得x₁的平均恢复误差为9.0×10^-3，NMSE(归一化最小均方误差)为8.1×10^-3；x₂的平均恢复误差为8.7×10^-3，NMSE为6.7×10^-3，。从图1（b）和图2（b）可以看出无噪声时恢复误差很小，说明该算法可以以很小的误差恢复不含噪声的平稳信号。恢复误差主要由阈值截取造成，由于缺失的正弦波的幅度都很小，对恢复信号的影响不大。由于压缩感知系统是一个线性系统，所以该算法可以推广到其它平稳信号，后面的仿真中原始信号只取x₁。

根据仿真2，可以看出，无论加入哪种类型的噪声，增加测量矩阵行数可以有效降低噪声的影响。

根据仿真3，图6（a）、图6（b）为两种迭代次数下的恢复误差，横轴为测量矩阵行数，纵轴为NMSE和平均误差的幅度，通过两幅图的对比可以看出，增加迭代次数可以有效降低噪声的影响。增加测量矩阵行数可以有效降低噪声的影响。但是需要指出的是，θ行数不能无限增加，行数过大会减弱压缩感知的存在意义(压缩感知要求测量矩阵行数m远远小于列数n)，并且当θ行数增加到一定程度时，信号的恢复精度就不再提高了。

根据仿真4，图7为加高斯噪声(均值为0)时本发明恢复方法与其它算法比较，横轴为噪声方差(取值范围为从0.02到0.2，每隔0.02取一个值)，纵轴为NMSE值；图8为加5%脉冲噪声(均值为0)后本发明恢复方法与其它算法比较，横轴为噪声方差(取值范围为从0.1到1，每隔0.02取一个值)，纵轴为NMSE值；图9为加10%脉冲噪声后本发明恢复方法与其它算法比较。可以看出，当测量矩阵行数较大时，本发明恢复方法在处理含高斯噪声和低密度脉冲噪声的信号恢复时，具有明显的优势，而在处理较高密度的脉冲噪声时，本发明恢复方法略优于其它算法。本发明恢复方法的另一个优势在于，恢复结果比较稳定，反应在图中就是误差曲线较为光滑，基本不会出现较大波动。而其它算法(尤其是OMP算法)波动较大，因为本发明恢复方法总是可以收敛到全局最优解。此外，当噪声强到一定程度时，各算法的恢复结果趋向相同，这是因为噪声过强时，绝大部分算法都无法有效降低噪声。

Claims (3)

1.基于阈值收缩迭代的压缩感知含噪信号的恢复方法，其特征在于，将压缩感知后引入噪声的信号恢复作为研究对象，首先建立压缩后含噪声的信号恢复模型，然后用阈值收缩迭代算法恢复含噪信号。

2.如权利要求1所述的基于阈值收缩迭代的压缩感知含噪信号的恢复方法，其特征在于，第一步，建立压缩后引入噪声的恢复模型：

不含噪声的压缩感知的数学模型为

y＝θΦx   (1)

式中，x为n×1的原始信号，y为m×1的压缩后信号，Φ是稀疏基，为n×n正交变换矩阵，令x变为非零元素个数r远远小于零元素个数的信号；θ是m×n测量矩阵，又称重建算子，通常θ选择随机矩阵。

长度为n的待测信号x在与θ不相关的稀疏基Φ下是r稀疏的，测量值y已知，且满足

m≥C·μ²(θ,Φ)·r·logn   (2)

则其恢复算法归结为一个l₀范数最小化问题，本质上是一个欠采样情况下信号的重建问题。C是一个近似为2的常数， $1\&le;\mathrm{\&mu;}\&le;\sqrt{n};$

如果θ满足RIP条件，则恢复问题可以等价为一个l₁范数最小化问题，令Ψ＝Φx，则基于l₁范数最小化的压缩感知恢复算法可描述为

$\min \left|\right|\mathrm{\&Psi;}|{|}_1$

subject to：y＝θΨ   (3)

需要指出的是，m的准确值很难确定，通常只需满足m≥4r即可；

压缩感知后引入噪声的恢复模型为

y＝θΨ+w   (4)

式中，w代表噪声。

根据凸优化理论，问题(3)的解的模型可写成

$\left|\right|y-\mathrm{\&theta;\&Psi;}|{|}_2^2+\mathrm{\&lambda;}|\left|\mathrm{\&Psi;}\right|{|}_1.$

3.如权利要求1或2所述的基于阈值收缩迭代的压缩感知含噪信号的恢复方法，其特征在于，第二步，用阈值收缩迭代法对压缩所感知后含噪信号予以恢复，具体步骤如下：

输入：t_k=1/L(f)，λ∈(0,1)，任意起始点Ψ₀，通常取Ψ₀=0；

步骤1：将依次代入计算出i为信号长度；

步骤2：将代入公式 ${\mathrm{\&Psi;}}_k=\frac{1}{{2t}_k}\arg \min \left\{\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}\right\{{({\mathrm{\&Psi;}}^i-d_k^i)}^2+2\mathrm{\&lambda;}{t}_k\left|{\mathrm{\&Psi;}}^i\right|\left\}\right\}$ 中，计算出Ψ₁；

步骤3：重复步骤1和2，迭代K次，得到Ψ_K；

步骤4：对Ψ_K做反离散余弦变化(IDCT)，得x＝D^-1(Ψ_K)；

输出：x。