CN103955956A - 一种面向压缩感知的图像联合重构方法 - Google Patents

Abstract

一种面向压缩感知的图像联合重构方法，本发明涉及图像处理技术领域，具体涉及一种面向压缩感知的图像联合重构方法。本发明是要解决压缩感知图像重构精度低的问题，提出一种面向压缩感知的图像联合重构方法。步骤一、设定算法输入；步骤二、正交变换；步骤三、垂直方向线性随机测量；步骤四、水平方向线性随机测量；步骤五、图像的独立重构；步骤六、图像的联合重构。本发明应用于图像重构领域。

Description

一种面向压缩感知的图像联合重构方法

技术领域

本发明涉及图像处理技术领域，具体涉及一种面向压缩感知的图像联合重构方法。 

背景技术

近几年来，Donoho等人基于信号的稀疏性，提出了一种新的采样理论---压缩感知理论(Compressed Sensing,CS)。与传统的采样理论不同，压缩感知指出，对于一个稀疏的或者在某个变换域上稀疏的信号，能够以远低于奈奎斯特采样定理要求的频率采样，并准确重构出原始信号。压缩感知理论的提出，立刻引起了国内外相关领域学者的广泛关注，短短几年间已经在图像处理、合成孔径雷达成像、无线传感器网络等诸多领域取得了成功的应用。 

压缩感知的基本思想是：如果信号是稀疏的或者是可压缩的，那么就可以通过一个线性测量过程将信号从高维空间投影到低维空间中，然后通过求解一个优化问题来重构出原始信号。压缩感知的前提条件是信号的稀疏性或可压缩性，但在实际应用中，信号通常不能满足这个条件。为了适应压缩感知理论，可以对其进行正交变换，使之稀疏或者可压缩。 

对于一个长度为N的一维离散信号x，该信号用一组正交向量组的线性组合来表示： 

$x=\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ψ}}_i{\mathrm{\α}}_i=\mathrm{\Ψ\α}$ (一) 

其中，Ψ∈R^N×N为正交矩阵，α∈R^N×1为系数向量，当向量α中仅有K<<N个非零元素时，信号x为稀疏基Ψ下的稀疏信号，稀疏度为K； 

用一个测量矩阵对信号x进行降维投影，过程如下： 

y＝Φx＝ΦΨα(二) 

其中，y∈R^M×1为测量向量，Φ∈R^M×N为测量矩阵，且有M<N； 

从M<N个测量值精确的重构出N维的原信号，测量矩阵Φ必须满足RIP准则，即： 

$1-\mathrm{\&epsiv;}\&le;\frac{\left|\right|\mathrm{\&Theta;\&alpha;}|{|}_2}{\left|\right|\mathrm{\&alpha;}|{|}_2}\&le;1+\mathrm{\&epsiv;}$ (三) 

其中，ε∈(0,1)是一个常数，RIP准则的等价条件是测量矩阵Φ和稀疏基Ψ不相关； 

M<N，求解公式(二)是一个NP-hard问题，系数向量α是一个K稀疏向量，且有 M≥K，当测量矩阵Φ满足RIP准则时，将其转换为求解如公式(四)所示的最小化L0范数下的优化问题： 

其中，||α||₀是系数向量α的L0范数，即非零元素的个数。 

信号重构算法是压缩感知理论的关键所在，目前已经提出了不少比较成熟的信号重构算法，如正交匹配追踪算法(OMP)、基追踪算法(BP)、内点法、梯度投影法等。然而，所有这些压缩感知信号重构算法都是基于原信号的稀疏性，即通过在所有可能的信号中寻找一个在给定变换基上最稀疏的信号来实现，该方法只利用了信号内的相关性。在图像处理中，为了在重构中充分利用不同图像信号之间的相关性，一些学者提出了基于多视点的压缩感知图像重构方法，然而这种方法需要预先估计出采样相机的位置，而且实时性差，难以应用到实际场景中。迄今为止，在压缩感知框架下，如何利用不同图像信号之间的相关性来提高重构图像的精度，仍是一个关键问题。 

发明内容

本发明是要解决压缩感知图像重构精度低的问题，提出一种面向压缩感知的图像联合重构方法。 

一种面向压缩感知的图像联合重构方法按以下步骤实现： 

步骤一、定义算法 

原始图像X∈R^N×P，垂直方向的随机测量矩阵Φ_H∈R^M×N，基矩阵Ψ_H∈R^N×N，且有M<N，水平方向的随机测量矩阵Φ_L∈R^M×P，基矩阵Ψ_L∈R^P×P，且有M<P； 

步骤二、正交变换 

利用基矩阵Ψ_H∈R^N×N和Ψ_L∈R^P×P分别对原始图像X∈R^N×P进行正交变换，使其稀疏化； 

其中所述正交变换方法如下： 

X＝Ψ_HS   (1) 

X^T＝Ψ_LD   (2) 

其中，公式(1)为原始图像X在垂直方向上的正交变换，S为图像信号X在基矩阵Ψ_H下的稀疏矩阵；公式(2)为原始图像X在水平方向上的正交变换，D为图像信号X 在基矩阵Ψ_L下的稀疏矩阵； 

步骤三、垂直方向线性随机测量 

在多观测向量MWV模型下，对原始图像的每一列X_i(i＝1,2…P)采用同一个垂直方向的随机测量矩阵Φ_H进行线性随机测量： 

y_i＝Φ_HX_i＝Φ_HΨ_HS_i(i＝1,2…P)   (3) 

其中，y_i(i＝1,2…P)为观测向量，大小为M×1，S_i(i＝1,2…P)表示稀疏系数矩阵S的第i列； 

步骤四、水平方向线性随机测量 

在多观测向量MWV模型下，对原始图像的每一行采用同一个水平方向的随机测量矩阵Φ_L进行线性随机测量： 

$z_j={\mathrm{\&Phi;}}_L{X}_j^T={\mathrm{\&Phi;}}_L{\mathrm{\&Psi;}}_L{D}_j(j=\mathrm{1,2}\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;N)---\left(4\right)$

其中，z_j(j＝1,2…N)为观测向量，大小为M×1，D_i(j＝1,2…N)表示稀疏系数矩阵D的第i列； 

步骤五、图像的独立重构 

M<N和M<P，矩阵S和D均为稀疏矩阵，将其转换为求解如公式(5)和公式(6)所示的最小化L0范数下的优化问题： 

利用压缩感知信号重构算法求解出稀疏矩阵S和D的估计值和然后利用公式(1)和公式(2)分别重构出垂直方向采样的图像和水平方向采样的图像 

步骤六、图像的联合重构 

对两个重构图像之间的相关性，以取均值的方式进行联合重构： 

其中，图像即为联合重构图像。 

发明效果： 

该方法对原始图像用两个压缩感知数据采集设备，分别在垂直方向和水平方向上，以多观测向量(Multiple Measurement Vectors,MWV)模型进行线性随机测量。通过取均值的方法，来捕获这两个不同方向下重构图像之间的相关性，实现图像联合重构的目的。 

本发明在图像的压缩采样过程中，以多观测向量MWV模型，分别在垂直方向和水平方向对原始图像进行线性随机测量，从而得到了具有一定相关性，同时又不完全相同的两幅重构图像。利用取均值的方式捕获这两个图像信号之间的相关性，实现图像的联合重构。通过理论分析及实验结果得到，在40％采样率下，本发明方法对Lenna图像、Cameraman图像和Peppers图像的重构峰值信噪比分别为25.41dB、24.47dB和25.04dB，该方法在不影响采样率的前提下，提高了压缩感知图像重构的精度。 

附图说明

图1是本发明流程图； 

图2(a)为Lena原始图像； 

图2(b)为SMV-OMP方法的仿真实验结果图(采样率＝40％)； 

图2(c)为MMV-OMP方法的仿真实验结果图(采样率＝40％)； 

图2(d)为本发明方法的仿真实验结果图(采样率＝40％)； 

图3(a)为Cameraman原始图像； 

图3(b)为SMV-OMP方法的仿真实验结果图(采样率＝40％)； 

图3(c)为MMV-OMP方法的仿真实验结果图(采样＝40％)； 

图3(d)为本发明方法的仿真实验结果图(采样率＝40％)； 

图4(a)为Peppers原始图像； 

图4(b)为SMV-OMP方法的仿真实验结果图(采样率＝40％)； 

图4(c)为MMV-OMP方法的仿真实验结果图(采样率＝40％)； 

图4(d)为本发明方法的仿真实验结果图(采样率＝40％)； 

图5为不同采样率下各算法的实验结果比较图。 

具体实施方式

具体实施方式一：一种面向压缩感知的图像联合重构方法按以下步骤实现： 

步骤一、定义算法 

原始图像X∈R^N×P，垂直方向的随机测量矩阵Φ_H∈R^M×N，基矩阵Ψ_H∈R^N×N，且有M<N，水平方向的随机测量矩阵Φ_L∈R^M×P，基矩阵Ψ_L∈R^P×P，且有M<P； 

步骤二、正交变换 

利用基矩阵Ψ_H∈R^N×N和Ψ_L∈R^P×P分别对原始图像X∈R^N×P进行正交变换，使其稀疏化； 

其中所述正交变换方法如下： 

X＝Ψ_HS   (1) 

X^T＝Ψ_LD   (2) 

其中，公式(1)为原始图像X在垂直方向上的正交变换，S为图像信号X在基矩阵Ψ_H下的稀疏矩阵；公式(2)为原始图像X在水平方向上的正交变换，D为图像信号X在基矩阵Ψ_L下的稀疏矩阵； 

步骤三、垂直方向线性随机测量 

在多观测向量MWV模型下，对原始图像的每一列X_i(i＝1,2…P)采用同一个垂直方向的随机测量矩阵Φ_H进行线性随机测量： 

y_i＝Φ_HX_i＝Φ_HΨ_HS_i(i＝1,2…P)   (3) 

其中，y_i(i＝1,2…P)为观测向量，大小为M×1，S_i(i＝1,2…P)表示稀疏系数矩阵S的第i列； 

步骤四、水平方向线性随机测量 

在多观测向量MWV模型下，对原始图像的每一行采用同一个水平方向的随机测量矩阵Φ_L进行线性随机测量： 

$z_j={\mathrm{\&Phi;}}_L{X}_j^T={\mathrm{\&Phi;}}_L{\mathrm{\&Psi;}}_L{D}_j(j=\mathrm{1,2}\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;N)---\left(4\right)$

其中，z_j(j＝1,2…N)为观测向量，大小为M×1，D_i(j＝1,2…N)表示稀疏系数矩阵D的第i列； 

步骤五、图像的独立重构 

M<N和M<P，矩阵S和D均为稀疏矩阵，将其转换为求解如公式(5)和公式(6)所示的最小化L0范数下的优化问题： 

利用压缩感知信号重构算法求解出稀疏矩阵S和D的估计值和然后利用公式(1)和公式(2)分别重构出垂直方向采样的图像和水平方向采样的图像 

步骤六、图像的联合重构 

对两个重构图像之间的相关性，以取均值的方式进行联合重构： 

其中，图像即为联合重构图像。 

本实施方式中，MWV模型称为多观测向量(multiple measurement vectors,MWV)模型。 

具体实施方式二：本实施方式与具体实施方式一不同的是：步骤一中所述的测量矩阵Φ_H和Φ_L服从高斯分布。其它步骤及参数与具体实施方式一相同。 

具体实施方式三：本实施方式与具体实施方式一或二不同的是：步骤二中所述的基矩阵Ψ_H和Ψ_L均为小波基矩阵。其它步骤及参数与具体实施方式一或二相同。 

具体实施方式四：本实施方式与具体实施方式一至三之一不同的是：步骤五中所述压缩感知信号重构算法包括贪婪算法与凸优化算法；其中，所述贪婪算法包括匹配追踪算法、正交匹配追踪算法、匹配追踪改进算法与正交匹配追踪改进算法，所述凸优化算法包括基追踪算法、梯度追踪算法、基追踪改进算法与梯度追踪改进算法。其它步骤及参数与具体实施方式一至三之一相同。 

仿真实验： 

为了验证本发明方法的性能，进行了计算机仿真实验。实验采用的是三幅大小为256×256的标准测试图像，分别为：Lenna图像、Cameraman图像和Peppers图像。在实验中，原始图像的由小波基矩阵进行稀疏表示，测量矩阵为高斯随机矩阵，垂直方向和水平方向的采样率相同。考虑到正交匹配追踪法(Orthogonal Matching Pursuit，OMP)的计算速度快且成像质量较高，本实验将本发明方法和传统的单观测向量正交匹配追踪法(Single Measurement VectorOrthogonal Matching Pursuit，SMV-OMP)、多观测向量正交匹配追踪法(Multiple Measurement VectorOrthogonal Matching Pursuit，MMV-OMP)进行比 

图2～4为在采样率分别等于0.4的情况下，各算法的仿真实验结果的比较图，从图中可以看出，本发明方法的重构图像质量和视觉效果要优于SMV-OMP方法和MMV-OMP方法。为了定量的进行比较，引入峰值信噪比(Peak Signal to Noise Ratio，PSNR)作为评价指标： 

表1为在采样率分别等于0.3、0.4和0.5的情况下，各算法重构图像的PSNR对比结果。从表1的结果对比可以看出，随着采样率的提升，各算法的重构图像质量也有所提高。并且，在相同采样率下，本发明方法重构图像的PSNR都要明显高于SMV-OMP方法和MMV-OMP方法。 

图5为在不同采样率下，各算法针对Lena图像的实验结果比较图。从图5可以看出，本发明方法随着采样率的变化，重构图像的PSNR并没有呈现较大幅度的变化。可见，本发明方法的重构图像质量较高、稳定性较好，是一种有效的压缩感知图像重构方法 

表1各算法重构图像的PSNR对比结果(dB) 

。

Claims (4)

1.一种面向压缩感知的图像联合重构方法，其特征在于一种面向压缩感知的图像联合重构方法按以下步骤实现：

步骤一、定义算法

原始图像X∈R^N×P，垂直方向的随机测量矩阵Φ_H∈R^M×N，基矩阵Ψ_H∈R^N×N，且有M<N，水平方向的随机测量矩阵Φ_L∈R^M×P，基矩阵Ψ_L∈R^P×P，且有M<P；

步骤二、正交变换

利用基矩阵Ψ_H∈R^N×N和Ψ_L∈R^P×P分别对原始图像X∈R^N×P进行正交变换，使其稀疏化；

其中所述正交变换方法如下：

X＝Ψ_HS   (1)

X^T＝Ψ_LD   (2)

其中，公式(1)为原始图像X在垂直方向上的正交变换，S为图像信号X在基矩阵Ψ_H下的稀疏矩阵；公式(2)为原始图像X在水平方向上的正交变换，D为图像信号X在基矩阵Ψ_L下的稀疏矩阵；

步骤三、垂直方向线性随机测量

在多观测向量MWV模型下，对原始图像的每一列X_i(i＝1,2…P)采用同一个垂直方向的随机测量矩阵Φ_H进行线性随机测量：

y_i＝Φ_HX_i＝Φ_HΨ_HS_i(i＝1,2…P)   (3)

其中，y_i(i＝1,2…P)为观测向量，大小为M×1，S_i(i＝1,2…P)表示稀疏系数矩阵S的第i列；

步骤四、水平方向线性随机测量

在多观测向量MWV模型下，对原始图像的每一行采用同一个水平方向的随机测量矩阵Φ_L进行线性随机测量：

$z_j={\mathrm{\&Phi;}}_L{X}_j^T={\mathrm{\&Phi;}}_L{\mathrm{\&Psi;}}_L{D}_j(j=\mathrm{1,2}\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;N)---\left(4\right)$

其中，z_j(j＝1,2…N)为观测向量，大小为M×1，D_i(j＝1,2…N)表示稀疏系数矩阵D的第i列；

步骤五、图像的独立重构

M<N和M<P，矩阵S和D均为稀疏矩阵，将其转换为求解如公式(5)和公式(6)所示的最小化L0范数下的优化问题：

利用压缩感知信号重构算法求解出稀疏矩阵S和D的估计值和然后利用公式(1)和公式(2)分别重构出垂直方向采样的图像和水平方向采样的图像

步骤六、图像的联合重构

对两个重构图像之间的相关性，以取均值的方式进行联合重构：

其中，图像即为联合重构图像。

2.根据权利要求1所述的一种面向压缩感知的图像联合重构方法，其特征在于步骤一中所述的测量矩阵Φ_H和Φ_L服从高斯分布。

3.根据权利要求1或2所述的一种面向压缩感知的图像联合重构方法，其特征在于步骤二中所述的基矩阵Ψ_H和Ψ_L均为小波基矩阵。

4.根据权利要求3所述的一种面向压缩感知的图像联合重构方法，其特征在于步骤五中所述压缩感知信号重构算法包括贪婪算法与凸优化算法；其中，所述贪婪算法包括匹配追踪算法、正交匹配追踪算法、匹配追踪改进算法与正交匹配追踪改进算法，所述凸优化算法包括基追踪算法、梯度追踪算法、基追踪改进算法与梯度追踪改进算法。