CN102135618B - 一种针对空域稀疏sar图像的频域压缩感知方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了针对空域稀疏SAR图像的频域压缩感知方法，属于信号处理技术领域，具体包括以下几个步骤：步骤一：确定原始SAR图像具有稀疏性的方向；步骤二：将原始SAR图像沿具有稀疏性的方向进行傅立叶变换，得到该方向的频域图像；步骤三：建立频域稀疏重构模型，求解模型参数，建立观测向量，重构频域信号，形成重构频域图像；步骤四：将重构频域图像沿该方向做逆傅立叶变换，得到重构图像。本发明通过分析图像在空域上的稀疏性，针对频域信号建立频域稀疏重构模型，估计参数，基于合适的观测矩阵投影，利用少量的观测值来重构信号。

Description

一种针对空域稀疏SAR图像的频域压缩感知方法

技术领域

本发明涉及一种用于图像重构的压缩感知(Compressive Sensing，CS)方法，特别涉及一种针对空域稀疏SAR图像的频域压缩感知(Frequency Domain Compressive Sensing，FDCS)方法，属于信号处理技术领域。

背景技术

随着信息技术的飞速发展，人们对信息的需求量日益增加。传统的奈奎斯特采样定理要求信号的采样率不能低于信号带宽的2倍，才能精确地重构信号。随着信号带宽的增大，要求的采样速率和处理速度也越来越高，这给信号处理能力和相应的硬件设备带来了很大的挑战。在实际应用中，为降低存储、处理和传输的成本，人们常用压缩方式以较少的比特数表示信号，大量的非重要的数据被丢弃。这种高速采样再压缩的过程浪费了大量的采样资源。能否利用其他变换空间描述信号，建立新的信号处理和描述的理论框架，在保证信息不损失的情况下，用远低于奈奎斯特采样定理要求的速率对信号采样，同时又可以完全恢复信号，是值得考虑的问题。

2004年，由Donoho与Candes等人提出了压缩感知(Compressive Sensing，CS)理论。它指出，只要信号是可压缩的或在某个变换域是稀疏的，就可以用一个与变换基不相关的观测矩阵将变换所得高维信号投影到一个低维空间上，通过求解一个最优化问题就可从这些少量的投影中高概率重构原信号，可以证明这样的投影包含了重构信号的足够信息。在该理论框架下，采样速率不取决于信号的带宽，而取决于信息在信号中的结构和内容。

压缩感知的前提是信号是稀疏的或者可压缩的。考虑一个长度为N的有限信号x，x可表示成一组基Ψ＝[Ψ₁，Ψ₂，…，Ψ_m，…，Ψ_M](Ψ表示基底构成的矩阵，Ψ_m表示第m个基底)的线性组合，即：

$x=\underset{m=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ψ}}_m{\mathrm{\α}}_m=\mathrm{\ψ\α}---\left(1\right)$

其中，α_m＝<x，Ψ_m>(α_m为x在基底表示下的第m个系数)，α和x为N×1的矩阵，Ψ为N×N的矩阵。当α只包含k＜＜N个非零值时，Ψ就是x的一组稀疏基。如果α的值呈指数递减趋近于零时，也可以说，x在这组基底上是近似稀疏的。

在压缩感知编码和测量模型中，并不是直接测量信号x，而是将它通过一个观测矩阵

(Φ表示观测矩阵，

表示观测矩阵的第p个行向量)投影，得到一组观测值

写成矩阵形式为：

y＝Фx         (2)

其中，x为N×1的矩阵，y为P×1的矩阵，Φ为P×N的观测矩阵，将式(2)代入式(1)，得：

y＝Φx＝ΦΨα＝Θα            (3)

其中，Θ＝ΦΨ为P×N的矩阵。

由于观测向量的长度M远远小于信号的长度N，求解式(3)是一个病态问题，不能由M个测量值直接求解x。但是α是K稀疏的，也就是仅仅有K个非零系数，K＜M＜＜N，利用稀疏分解理论中的稀疏分解算法，可以求得α。把α代入式(1)，可以求得x。

为了保证算法的收敛性，矩阵Θ必须满足限制等价准则(Restricted Isometry Property，RIP)，也就是说，对于任意一个K稀疏的向量v，矩阵Θ必须满足：

$1-\mathrm{\&epsiv;}\&le;\frac{{\left|\right|\mathrm{\&theta;v}\left|\right|}_2}{{\left|\right|v\left|\right|}_2}\&le;1+\mathrm{\&epsiv;}---\left(4\right)$

其中，ε为常数，且ε＞0，||·||₂表示2范数。为了满足RIP，观测矩阵Φ和稀疏矩阵Ψ必须是不相关的。

在满足

的前提下求解

进行信号的重建，这是一个最优化问题。其中，l₁范数为：

${\left|\right|\stackrel{\&OverBar;}{x}\left|\right|}_{l_1}=\underset{k=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}\left|{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_k\right|---\left(5\right)$

有很多方法可以求解式(3)，比如基追踪法(Basic Pursuit，BP)、匹配追踪法(MatchingPursuit，MP)和正交追踪法(Orthogonal Matching Pursuit，OMP)。

压缩感知方法提供了信号重构的新途径，摆脱了奈奎斯特准则的限制，能够降低数据率。但是，目前很多压缩感知方法只是停留在信号的时域分析上，数据率大概只能降低到原始采样值总数的50％。一味地降低数据率，就会严重影响信号重构的效果。寻找压缩感知的新方法，能够在较精确重构信号的同时，显著降低数据率，成为亟待研究的问题。

发明内容

本发明的目的是为了解决上述问题，提出一种频域压缩感知的新方法。该方法应用于空域稀疏的SAR图像，能够很好地重构图像。通过分析图像的稀疏性，即在某个方向，如距离向(或方位向)，只有有限个强散射点，其他大量的弱散射点作为背景，如海洋上的舰船等，将图像沿距离向(或方位向)变换到频域，在频域进行压缩感知。针对频域信号，建立合适的频域稀疏重构模型。利用root-MUSIC算法和最小二乘算法，求解模型参数。通过一定的观测矩阵，将原始采样值投影，得到观测向量。基于少量的观测值，就能根据信号模型，精确地重构频域信号。将频域信号变换到时域，就能得到重构图像。该方法弥补了传统压缩感知运算复杂、数据率降低有限的缺点，提供了一种信号分析和重构的新途径。

本发明的一种针对空域稀疏SAR图像的频域压缩感知方法，包括以下几个步骤：

步骤一：确定原始SAR图像具有稀疏性的方向；

步骤二：将原始SAR图像沿具有稀疏性的方向进行傅立叶变换，得到该方向的频域图像；

步骤三：建立频域稀疏重构模型，求解模型参数，建立观测向量，重构频域信号，形成重构频域图像；

步骤四：将重构频域图像沿该方向做逆傅立叶变换，得到重构图像。

本发明的优点在于：

(1)本发明是一种针对空域稀疏SAR图像的频域压缩感知方法，通过分析图像在空域上的稀疏性，针对频域信号建立频域稀疏重构模型，估计参数，基于合适的观测矩阵投影，利用少量的观测值来重构信号；

(2)本发明是一种在频域进行压缩感知的方法，改变了传统压缩感知方法只在时域进行分析的思路，不需要复杂的运算过程，就能精确地求解，开辟了信号分析和重构的新途径；

(3)本发明根据SAR图像本身在空域上的稀疏性来进行压缩感知，稀疏度越高，越能显著地降低数据率。

附图说明

图1为频域压缩感知方法的流程图；

图2a为原始一维信号；

图2b为重构一维信号；

图3a为原始SAR图像；

图3b为重构SAR图像；

具体实施方式

下面将结合附图和实施例对本发明作进一步的详细说明。

本发明是一种针对空域稀疏SAR图像的频域压缩感知方法，流程如图1所示，包括以下几个步骤：

步骤一：确定原始SAR图像具有稀疏性的方向。

当SAR图像在某个方向(距离向或方位向)强散射点和弱散射点个数比小于1/10时，就说明SAR图像在该方向上具有稀疏性。通过观察图像的强弱散射点情况，确定图像具有稀疏性的方向。

步骤二：将原始SAR图像沿具有稀疏性的方向进行傅立叶变换，得到该方向的频域图像；

SAR图像沿具有稀疏性的方向进行傅立叶变换后，频域图像的每一条频域信号的离散表达式为：

$X\left(n\right)=\underset{i=1}{\overset{K}{\mathrm{\&Sigma;}}}{A}_i\&CenterDot;\exp [-j2\mathrm{\&pi;}(f_c-\frac{B}{2}+\mathrm{n\&Delta;f}){\mathrm{\&tau;}}_i],n=1,...,N---\left(7\right)$

其中，K为散射点的个数，A_i和τ_i分别为第i个散射点的幅度和时延，f_c为载频，B为信号带宽，Δf为频率间隔，N为频域信号长度。

步骤三：建立频域稀疏重构模型，求解模型参数，建立观测向量，重构频域信号，形成重构频域图像。

(1)建立频域稀疏重构模型为：

X＝Ψα(8)

其中，X为频域信号向量，X＝[X₁，X₂，...，X_N]^T，Ψ为基底构成的矩阵，Ψ＝[Ψ₁，Ψ₂，...，Ψ_i，...，Ψ_K]，

p_i＝exp(-j2πΔfτ_i)，α为信号在基底表示下的系数，α＝[α₁，α₂，...，α_K]^T，

i＝1，2，...，K，K＜＜N。

(2)求解模型参数。

频域信号向量X的协方差矩阵为：

R_X＝E[X·X^H]＝ΨR_αΨ^H    (9)

其中，R_α＝E[α·α^H]代表α的协方差矩阵。E表示求均值，H表示矩阵的共轭转置。

已知频域信号向量X的协方差矩阵后，采用root-MUSIC算法，通过寻找最靠近单位圆的K个根，获取p_i值，得到p_i值后，即得到矩阵Ψ。

采用最小二乘法获取α，即：

α_LS＝(Ψ^HΨ)^-1Ψ^HX    (10)

α_LS表示α的最小二乘解。

(3)建立观测向量。

选取观测矩阵为Φ，则观测向量Y为：

Y＝ΦX＝ΦΨα＝Θα (11)

并且，

Θ＝[E F]^T(12)

其中，E和F都是K×K的矩阵，满足

α_i为频域信号向量X在基底Ψ表示下的第i个系数。根据式(11)，观测向量Y＝[α₁，α₂，...，α_K，p₁，p₂，...，p_K]^T。通过观测向量Y重构信号X。

(4)重构频域信号，形成重构频域图像。

观测向量Y包含了频域稀疏重构模型的参数，根据(8)，重构频域信号，每一条频域信号都重构之后，形成重构频域图像。Y包含了2K个模型参数，只需要这些参数，就能重构频域信号，而原始频域信号包含了N个采样值，因此，数据率可以降低到原始信号的2K/N。

步骤四：将重构频域图像沿该方向做逆傅立叶变换，得到重构图像。

实施例：

从SAR图像中截取距离向上的一条信号，只包含两个散射点，即K＝2，频域信号长度N＝256。利用频域压缩感知方法，推导出观测向量Y＝[α₁，α₂，p₁，p₂]。根据观测向量，就可以重构频域信号。经过逆傅立叶变换，就能得到高分辨的一维距离像。图2a和图2b分别为原始信号和重构信号在时域上的脉压结果。表1分别从距离分辨率、峰值旁瓣比和积分旁瓣比评价了重构的效果。

表1原始信号和重构信号的脉压结果

采用一幅空域稀疏的单视复数SAR图像进行仿真。图像大小为256×256，在距离向上具有稀疏性，距离向信号长度N＝256，平均强散射点个数K＝10。针对每一个距离向频域信号，利用频域压缩感知方法计算观测向量Y，根据Y高概率地重构频域信号。然后沿距离向做逆傅立叶变换，就能得到重构的SAR图像，数据率为原始的7.8％。图3a和图3b分别为原始图像和重构图像。

Claims (2)

1.一种针对空域稀疏SAR图像的频域压缩感知方法，其特征在于，包括以下几个步骤：

步骤一：确定原始SAR图像具有稀疏性的方向；

确定原始SAR图像在距离向或方位向上具有稀疏性；

步骤二：将原始SAR图像沿具有稀疏性的方向进行傅立叶变换，得到该方向的频域图像；

SAR图像沿具有稀疏性的方向进行傅立叶变换后，频域图像的每一条频域信号的离散表达式为：

$X\left(n\right)=\underset{i=1}{\overset{K}{\mathrm{\&Sigma;}}}{A}_i\&CenterDot;\exp [-j2\mathrm{\&pi;}(f_c-\frac{B}{2}+\mathrm{n\&Delta;f}){\mathrm{\&tau;}}_i],n=1,...,N---\left(1\right)$

其中，K为散射点的个数，A_i和τ_i分别为第i个散射点的幅度和时延，f_c为载频，B为信号带宽，Δf为频率间隔，N为频域信号长度；

步骤三：建立频域稀疏重构模型，求解模型参数，建立观测向量，重构频域信号，形成重构频域图像；

（1）建立频域稀疏重构模型为：

X＝Ψα    （2）

其中，X为频域信号向量，X＝[X₁,X₂,...,X_N]^T，Ψ为基底构成的矩阵，Ψ＝[ψ₁,ψ₂,...,ψ_i,...,ψ_K]，

p_i＝exp(-j2πΔfτ_i)，α为信号在基底表示下的系数，α＝[α₁,α₂,...,α_K]^T，

i＝1,2，...,K，K＜＜N；

（2）求解模型参数；

频域信号向量X的协方差矩阵为：

R_X＝E[X·X^H]＝ΨR_αΨ^H    （3）

其中，R_α＝E[α·α^H]代表α的协方差矩阵；E表示求均值，H表示矩阵的共轭转置；

已知频域信号向量X的协方差矩阵后，采用root-MUSIC算法，通过寻找最靠近单位圆的K个根,获取p_i值，得到p_i值后，即得到矩阵Ψ；

采用最小二乘法获取α，即：

α_LS＝(Ψ^HΨ)^-1Ψ^HX       （4）

α_LS表示α的最小二乘解；

（3）建立观测向量；

选取观测矩阵为Φ，则观测向量Y为：

Y＝ΦX＝ΦΨα＝Θα                      （5）

并且，

Θ＝[E F]^T                             （6）

其中，E和F都是K×K的矩阵，满足 $E_{\mathrm{ij}}=\left\{\begin{array}{cc}1,& i=j\\ 0,& i\&NotEqual;j\end{array}\right.,$ α_i为频域信号向量X在基底Ψ表示下的第i个系数；根据式（5），观测向量Y＝[α₁,α₂,...,α_K,p₁,p₂,...,p_K]^T；通过观测向量Y重构信号X；

（4）重构频域信号，形成重构频域图像；

观测向量Y包含了频域稀疏重构模型的参数，根据式(2),重构频域信号，每一条频域信号都重构之后，形成重构频域图像；

步骤四：将重构频域图像沿该方向做逆傅立叶变换，得到重构图像。

2.根据权利要求1所述的一种针对空域稀疏SAR图像的频域压缩感知方法，其特征在于，所述的步骤一具体为：当SAR图像在距离向或方位向上强散射点和弱散射点个数比小于1/10时，则SAR图像在该方向上具有稀疏性。

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