CN104698459A - 一种应用于缺失数据的条带sar压缩感知成像方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种应用于缺失数据的条带SAR压缩感知成像方法，该方法将条带数据分成多个子孔径，并对子孔径进行预处理和自聚焦，然后利用压缩感知恢复子孔径数据并恢复自聚焦处理中补偿的误差相位，再将恢复的子孔径数据进行拼接得到完整的条带SAR数据，最后通过对恢复的雷达回波数据成像并自聚焦，以保证图像成像质量，该方法的计算量是目前运算平台可以承受的，适合于雷达的实际应用。

Description

一种应用于缺失数据的条带SAR压缩感知成像方法

技术领域

本发明涉及一种应用于缺失数据的条带SAR压缩感知成像方法，属于雷达成像技术。

背景技术

合成孔径雷达(Synthetic Aperture Radar，简称SAR)由于具有全天时全天候工作的优点，越来越受到人们的重视，在军事和民用等各个方面得到了广泛应用。雷达在工作过程中容易受到各种情况的干扰，例如电磁波的干扰、敌方的干扰、机械的干扰等或者当不能进行连续采集雷达数据时，就造成了雷达回波脉冲数据非连续，也就是数据缺失。对于条带SAR缺失数据，采用常规的雷达成像方法成像，图像质量会有一定程度的下降或者重影。

对于缺失数据，通常可以利用插值的方法进行恢复，用两侧完整的数据通过Sinc插值恢复中间间断的数据，如文献1。但是当缺口数据的频谱存在混叠，信号不满足奈奎斯特采样定理时，就不能通过插值的方法进行信号的恢复。除了用插值恢复信号的方法外，利用谱估计或者线性预测和递推的方法也可以恢复缺失数据，如文献2、文献3、文献4。这些算法对预测模型和信杂比比较敏感，当缺失信号比较大时，其对缺失数据的恢复会成指数级衰减，导致雷达图像仍然有重影。GAPES(Gapped-data Amplitude andPhase Emulation，简称GAPES)方法也是恢复缺失信号的一种方法，如文献5、文献6、文献7。但该方法在信号恢复时，需要进行大量的矩阵求逆运算，对于条带SAR数据的来说，其数据量远远超出了目前运算平台的运算能力。若仅利用缺失数据两侧的几十个脉冲来恢复干扰数据，其计算量虽然小，但是几十个SAR脉冲的方位向频谱相比于全孔径的方位向频谱会变窄，不符合GAPES方法对频谱假定的前提条件，所以GAPES方法不适合于大数据量的SAR数据恢复。

到目前为止，针对条带SAR缺失数据恢复成像，消除缺失数据对最后成像结果影响的方法，还未见诸报道。

参考文献

[1]Alan V.Oppenheim.Signals and System(Second Edition)[M],电子工业出版社，北京，2010

[2]I.J.Gupta,“High resolution radar imaging using 2D linear prediction,”IEEE Trans.AntennasPropagat.,1994,vol 42,no.1,pp.31-37.

[3]I.J.Gupta,M.J.Beals and A.Moghaddar,“Data extrapolation for high-resolution radar imaging,”IEEE Trans.Antennas and Propagat.,1994,vol 42,no.11,pp.1540-1545.

[4]I.Erer,“A new data extrapolation algorithm for high resolution ISAR imaging”,Int.J.Electron.Commun.(AEU),2006,vol 60,pp.316-319.

[5]P.Stoica,E.Larsson and J.Li,Adaptive filter-bank approach to restoration and spectral analysis ofgapped data,Astron.J.,2000,120(4):2163-2173.

[6]Larsson,E.G.,Liu,G.Q.,Stoica,P.,and Li,J.High-resolution SAR imaging with angular diversity.IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems,37,4(Oct.2001),1359—1372.

[7]XueRu Bai,Feng Zhou,MengDao Xing,Zheng Bao,High-Resolution Radar Imaging of AirTargets From Sparse Azimuth Data,IEEE Trancactions on Aerospace and Electronic Systems Vol.48,No.2APRIL 2012,pp.1643-1655.

发明内容

发明目的：为了克服现有技术中存在的不足，本发明提供一种利用压缩感知来恢复缺失雷达脉冲数据的方法，该方法将条带数据分成多个子孔径，并对子孔径进行预处理和自聚焦，然后利用压缩感知恢复子孔径数据并恢复自聚焦处理中补偿的误差相位，再将恢复的子孔径数据进行拼接得到完整的条带SAR数据，最后通过对恢复的雷达回波数据成像并自聚焦，以保证图像成像质量，该方法的计算量是目前运算平台可以承受的，适合于雷达的实际应用。

技术方案：为实现上述目的，本发明采用的技术方案为：

一种应用于缺失数据的条带SAR压缩感知成像方法，将条带SAR雷达接收的数据中受到干扰或者非连续接收的脉冲数据置零，根据条带和聚束模式的数据特点，将原始的数据分块为聚束算法可以处理的多个互不重叠的子孔径数据，对各个子孔径数据距离向做傅里叶变换，然后进行匹配滤波和运动补偿，使子孔径场景中心点的回波相位为零，再进行距离向的逆傅里叶变换，然后利用EMMLE自聚焦的方法对各个子孔径进行自聚焦，再利用压缩感知稀疏重构成像，将所得的压缩感知重构图像在方位向做逆傅里叶变换，然后与压缩感知恢复所得完整相位误差信号共轭相乘，再将所得的结果在距离向做傅里叶变换，并做匹配滤波和运动补偿的逆过程，就可以得到原始的无缺失的各个子孔径数据，再对恢复的各个子孔径数据进行拼接就可以得到完整的条带SAR数据，然后利用传统的条带SAR成像算法成像并自聚焦就可以得到聚焦良好的条带SAR图像。该方法具体实施过程如下：

步骤一：将条带SAR雷达接收的原始数据中受到干扰的或者非连续接收的脉冲数据置零，然后根据条带和聚束模式的数据特点将原始数据分块为聚束算法可以处理的多个互不重叠的子孔径数据，子孔径数据的数目为J＝L/W；其中，W表示子孔径数据的长度，L表示整个条带数据的长度(即原始数据的长度)；

步骤二：对各个子孔径数据距离向做傅里叶变换，得到：

$S(t,f_{\mathrm{\τ}})=\mathrm{\σ}\·\mathrm{rect}\left(\frac{t}{T_a}\right)\·\mathrm{rect}\left(\frac{f_{\mathrm{\τ}}}{B}\right)\·\exp (-\mathrm{j\π}\frac{{f_{\mathrm{\τ}}}^2}{k})\·\exp (-j\frac{4\mathrm{\π}(f_c+f_{\mathrm{\τ}})}{c}{R}_a)$

其中，σ为回波强度，rect(·)表示矩形窗函数，t为方位慢时间，T_a为方位孔径时间，f_τ为距离向频率，B＝kT_r为发射信号带宽，T_r为脉冲持续时间，k为调频斜率，f_c为载频，c为电波传播速度，R_a为目标点与天线相位中心点的距离；

然后对距离向做傅里叶变换后的子孔径数据进行匹配滤波和运动补偿，也就是将S(t,f_τ)乘以参考函数S_ref(t,f_τ)，以使得子孔径成像区域中心点的回波相位为零，参考函数S_ref(t,f_τ)为：

$S_{\mathrm{ref}}(t,f_{\mathrm{\τ}})=\exp \left(\mathrm{j\π}\frac{{f_{\mathrm{\τ}}}^2}{k}\right)\·\exp \left(j\frac{4\mathrm{\π}(f_c+f_{\mathrm{\τ}})}{c}{R}_0\right)$

其中，R₀为子孔径成像区域中心点与天线相位中心点的距离；最终得到的运动补偿后的子孔径数据为：

$S(t,f_{\mathrm{\τ}})=\mathrm{rect}\left(\frac{t}{T_a}\right)\·\mathrm{rect}\left(\frac{f_{\mathrm{\τ}}}{B}\right)\·\mathrm{\σ}\·\exp (-j\frac{4\mathrm{\π}(f_c+f_{\mathrm{\τ}})}{c}(R_a-R_0))$

接着对运动补偿后的子孔径数据距离向做逆傅里叶变换，得到：

$S(t,f_{\mathrm{\τ}})=\mathrm{\σ}\·B\·\mathrm{rect}\left(\frac{t}{T_a}\right)\·\mathrm{Sinc}\left\{B\right[\mathrm{\τ}-\frac{2}{c}(R_a\left(t\right)-R_0)\left]\right\}\·\exp (-j\frac{4\mathrm{\π}{f}_c}{c}(R_a\left(t\right)-R_0))$

其中，Sinc(·)表示Sinc函数；

步骤三：利用EMMLE算法对距离向做逆傅里叶变换后的子孔径数据进行自聚焦；

步骤四：利用方位向基矩阵和方位向测量矩阵A对每个自聚焦后的子孔径数据进行压缩感知重构成像，假设每个子孔径全部数据的方位向脉冲数为N，每个子孔径完整采集的脉冲数为M(M<N)，则：

其中，为列向量，PRF为脉冲重复频率，为方位向频率间隔，为脉冲重复间隔；

方位向测量矩阵A是从N×N维单位矩阵抽取M行构成的M×N维矩阵，其中M行的位置与原始数据中未被置零数据(未被干扰数据)的位置对应；每一距离波门上的方位向的观测向量S_a表示为：

其中，θ_a为方位向的稀疏向量，也就是每一距离波门上的方位向在频域的重构图像；

步骤五：取步骤三子孔径自聚焦前后同一个距离波门上的数据分别进行傅里叶变换并共轭相乘，得到稀疏信号的相位误差信号Θ为：

Θ＝fft(S₁)·conj(fft(S₂))

其中，S₁和S₂分别表示子孔径自聚焦前后同一距离波门上的对应的数据，fft(·)表示对括号里的内容作傅里叶变换，conj(·)表示对括号里的内容求共轭；

利用步骤四中介绍的方位向基矩阵和方位向测量矩阵A，对相位误差信号Θ在频域进行稀疏重构，稀疏重构后的相位误差信号Θ表示为：

其中，φ为Θ的频域稀疏向量；对φ稀疏重构后，对φ做逆傅里叶变换，得到子孔径数据完整的相位误差信号；

步骤六：对步骤四得到的压缩感知重构成像在方位向做逆傅里叶变换，然后与步骤五得到的子孔径数据完整的相位误差信号共轭相乘，再将所得结果在距离向做傅里叶变换，接着再在距离向乘以以下信号：

$S_{\mathrm{ref}}(t,f_{\mathrm{\&tau;}})=\exp (-\mathrm{j\&pi;}\frac{{f_{\mathrm{\&tau;}}}^2}{k})\&CenterDot;\exp (-j\frac{4\mathrm{\&pi;}(f_c+f_{\mathrm{\&tau;}})}{c}{R}_0)$

最后对所得结果在距离向做逆傅里叶变换，得到原始的无缺失的子孔径数据；

步骤七：将步骤六得到的各个原始的无缺失的子孔径数据按照顺序进行拼接恢复出全孔径数据，将恢复的全孔径数据利用传统的条带模式成像算法成像并自聚焦，得到消除了重影并且聚焦良好的条带SAR图像。

有益效果：本发明提供的应用于缺失数据的条带SAR压缩感知成像方法，可以恢复条带SAR数据中的缺失数据并解决了其他方法中不能正确恢复的问题，本发明方法的计算量是在现有运算平台条件下可以承受的范围之内，实用性强。

附图说明

图1为本发明方法实施流程图；

图2为条带数据分块为子孔径关系图；

图3为EMMLE自聚焦方法实施流程图；

图4为本发明中相位误差信号压缩感知恢复和不连续的相位误差信号对比图，其中4(a)为不连续的相位误差信号，4(b)为利用压缩感知恢复的连续的相位误差信号；

图5为采用本发明方法恢复的子孔径数据；

图6为采用本发明方法恢复的数据和原始的缺失数据对比图，其中6(a)原始的条带缺失信号数据，6(b)为利用压缩感知恢复的条带连续雷达数据；

图7为采用本发明方法恢复的数据和原始数据以及采用其他方法恢复的数据成像结果对比图，其中7(a)为本发明恢复缺失数据成像方法的成像结果，7(b)为原始数据的成像结果，7(c)为其他方法恢复缺失数据方法的成像结果；

图8为采用本发明方法恢复的数据和原始数据以及采用其他方法恢复的数据成像结果局部放大对比图，其中8(a)为本发明恢复缺失数据成像方法的成像结果，8(b)为原始数据的成像结果，8(c)为其他方法恢复缺失数据方法的成像结果。

具体实施方式

下面结合附图对本发明作更进一步的说明。

如图1所示为一种应用于缺失数据的条带SAR压缩感知成像方法具体实施流程图，下面就本发明的实施流程和设计思想加以具体说明。

由于缺失数据脉冲本身就是损坏的数据或者未采集到的数据，所以缺失数据会影响数据的处理，因此需要首先将缺失数据脉冲位置的数据置零。原始数据(二维回波信号)为条带数据，条带数据的脉冲数远远超过了压缩感知的数据恢复处理能力，根据条带和聚束模式的数据特点，把缺失数据置零后的条带数据分块为多个互不重叠的聚束算法可以处理的多个互不相重叠的子孔径数据，条带数据分块为子孔径关系如附图2所示。

雷达发射线性调频信号(Linear Frequency Modulated，简称LFM)，经目标反射后的二维回波信号为：

$S(t,\mathrm{\&tau;})=\mathrm{\&sigma;}\&CenterDot;\mathrm{rect}\left(\frac{t}{T_a}\right)\mathrm{rect}\left(\frac{\mathrm{\&tau;}-2R_a/c}{T_r}\right)\&CenterDot;\exp \left(\mathrm{j\&pi;k}{(\mathrm{\&tau;}-2R_a/c)}^2\right)\&CenterDot;\exp (-j\frac{{4\mathrm{\&pi;f}}_c}{c}{R}_a)---\left(1\right)$

其中，σ为回波强度，rect(·)表示矩形窗函数，t为方位慢时间，T_a为方位孔径时间，f_τ为距离向频率，B＝kT_r为发射信号带宽，T_r为脉冲持续时间，k为调频斜率，f_c为载频，c为电波传播速度，R_a为目标点与天线相位中心点的距离，τ为距离快时间。

对每个子孔径数据距离向做傅里叶变换，得到：

$S(t,f_{\mathrm{\&tau;}})=\mathrm{\&sigma;}\&CenterDot;\mathrm{rect}\left(\frac{t}{T_a}\right)\&CenterDot;\mathrm{rect}\left(\frac{f_{\mathrm{\&tau;}}}{B}\right)\&CenterDot;\exp (-\mathrm{j\&pi;}\frac{{f_{\mathrm{\&tau;}}}^2}{k})\&CenterDot;\exp (-j\frac{4\mathrm{\&pi;}(f_c+f_{\mathrm{\&tau;}})}{c}{R}_a)---\left(2\right)$

距离向做傅里叶变换后的子孔径数据经过匹配滤波和运动补偿，也就是将式(2)乘以参考函数S_ref(t,f_τ)，可以使得子孔径成像区域中心点的回波相位为零，参考函数S_ref(t,f_τ)为：

$S_{\mathrm{ref}}(t,f_{\mathrm{\&tau;}})=\exp \left(\mathrm{j\&pi;}\frac{{f_{\mathrm{\&tau;}}}^2}{k}\right)\&CenterDot;\exp \left(j\frac{4\mathrm{\&pi;}(f_c+f_{\mathrm{\&tau;}})}{c}{R}_0\right)---\left(3\right)$

其中，R₀为子孔径成像区域中心点与天线相位中心点的距离；最终得到的运动补偿后的子孔径数据为：

$S(t,f_{\mathrm{\&tau;}})=\mathrm{rect}\left(\frac{t}{T_a}\right)\&CenterDot;\mathrm{rect}\left(\frac{f_{\mathrm{\&tau;}}}{B}\right)\&CenterDot;\mathrm{\&sigma;}\&CenterDot;\exp (-j\frac{4\mathrm{\&pi;}(f_c+f_{\mathrm{\&tau;}})}{c}(R_a-R_0))---\left(4\right)$

接着对运动补偿后的子孔径数据距离向做逆傅里叶变换，得到：

$S(t,f_{\mathrm{\&tau;}})=\mathrm{\&sigma;}\&CenterDot;B\&CenterDot;\mathrm{rect}\left(\frac{t}{T_a}\right)\&CenterDot;\mathrm{Sinc}\left\{B\right[\mathrm{\&tau;}-\frac{2}{c}(R_a\left(t\right)-R_0)\left]\right\}\&CenterDot;\exp (-j\frac{4\mathrm{\&pi;}{f}_c}{c}(R_a\left(t\right)-R_0))---\left(5\right)$

此时，距离向脉压完成。

当载机存在较大未知运动误差时，即使目标场景是稀疏的，回波信号也并不满足压缩感知理论对于稀疏度的要求，压缩感知的应用也就无从谈起，所以需对得到的子孔径数据进行自聚焦。

但是对于稀疏信号来说，由于信号是稀疏的，不能变换到频域，如果对原稀疏信号中间缺失信号进行补零再变换到频域，这时信号会明显发散，所以对有些自聚焦方法限制了其自聚焦效果。本发明采用了EMMLE算法估计相位误差，该方法利用了所有完整采集的脉冲数据估计相位误差，其处理流程如附图3所示。

压缩感知应用的基础是信号的稀疏性，对于SAR信号的稀疏性问题已经有人做过专门的研究。如果场景中某些区域的雷达回波反射强度明显强于场景中其他区域或者场景区域在整个成像区域内占据很少的一部分，则可认为场景稀疏。由于场景在方位向频域成像且其频域满足稀疏要求，本文提出的恢复方法将采用傅里叶基作为方位向基矩阵。

假设每个子孔径全部数据的方位向脉冲数为N，每个子孔径完整采集的脉冲数为M(M<N)。首先构造方位向基矩阵其中：

其中，为列向量，PRF为脉冲重复频率，为方位向频率间隔，为脉冲重复间隔。

方位向测量矩阵A是从N×N维单位矩阵抽取M行构成的M×N维矩阵，其中M行的位置与原始数据中未被干扰数据的位置对应；每一距离波门上的方位向的观测向量S_a表示为：

其中，θ_a为方位向的稀疏向量，也就是每一距离波门上的方位向在频域的重构图像，通过压缩感知处理就可以得到压缩感知重构的图像。

循环完成对每一个距离波门的重构成像，可以得到各个子孔径的重构图像。

对压缩感知重构的图像方位向做逆傅里叶变换，可以得到式(5)的数据结果，此时的数据已经将受干扰的脉冲数据恢复，方位向数据变成了完整数据。

由于各个子孔径在做自聚焦时，各个子孔径存在未知的线性相位的信号，不能直接进行子孔径的拼接，所以对压缩感知重构的图像在方位向做逆傅里叶变换之后，要恢复自聚焦中补偿的相位误差信号恢复。

取子孔径自聚焦前后同一个距离波门上的数据进行傅里叶变换并共轭相乘，得到的就是稀疏信号的相位误差信号，如式(8)所示：

Θ＝fft(S₁)·conj(fft(S₂))   (8)

其中，S₁和S₂分别表示子孔径自聚焦前后同一距离波门上的对应的数据，fft(·)表示对括号里的内容作傅里叶变换，conj(·)表示对括号里的内容求共轭。Θ在频域仍然是稀疏信号，通过方位向基矩阵和方位向测量矩阵A，可以对相位误差信号Θ在频域进行稀疏重构，稀疏重构后的相位误差信号Θ表示为：

其中，φ为Θ的频域稀疏向量；对φ稀疏重构后，对φ做逆傅里叶变换，得到子孔径数据完整的相位误差信号，恢复完整的误差信号和稀疏的误差信号如附图4所示。

将所得完整相位误差信号与方位向做逆傅里叶变换所得的数据共轭相乘，再将所得的结果在距离向做傅里叶变换，然后在距离向乘以以下信号：

$S_{\mathrm{ref}}(t,f_{\mathrm{\&tau;}})=\exp (-\mathrm{j\&pi;}\frac{{f_{\mathrm{\&tau;}}}^2}{k})\&CenterDot;\exp (-j\frac{4\mathrm{\&pi;}(f_c+f_{\mathrm{\&tau;}})}{c}{R}_0)---\left(10\right)$

就可以得到式(2)的结果，对所得结果在距离向做逆傅里叶变换，就可以得到式(1)的结果，也就是原始的无损坏的各个子孔径数据，如附图5所示。

由于原始的数据在进行子孔径分块时，子孔径之间没有重叠，将各个子孔径数据按照顺序直接进行拼接得到全孔径条带数据，如附图6所示。

将恢复的完整条带数据利用传统的条带模式成像算法成像并自聚焦，可以得到消除了重影并且聚焦良好的条带SAR图像，如附图7所示。

下面我们将通过实测数据结果来验证原始条带SAR数据缺失情况下本发明恢复缺失雷达数据并成像消除图像重影的性能。实测数据为条带数据，方位向脉冲数为16384个，子孔径方位向脉冲数为2048个，距离向长度为4096。实测数据参数如下表所示：

表1

表1中实测数据的雷达系统参数。根据算法流程首先将条带数据中受到干扰或者非连续接收的脉冲数据置零，将原始的数据分块为子孔径数据，然后对各个子孔径数据距离向做傅里叶变换，进行匹配滤波和运动补偿，使子孔径场景中心点的回波相位为零，再进行距离向的逆傅里叶变换，实现距离压缩，并利用EMMLE算法对各个子孔径数据进行自聚焦，利用压缩感知对自聚焦后的子孔径数据压缩感知重构成像，再对所得的压缩感知重构图像在方位向做逆傅里叶变换，然后恢复补偿掉的相位误差信号，然后将所得的结果对距离向做傅里叶变换，再做匹配滤波和运动补偿的逆过程，对所得结果在距离向做逆傅里叶变换，得到原始的无缺失的子孔径数据，再将所得的各个子孔径数据按照顺序进行拼接得到全孔径数据，将恢复的完整数据利用传统的条带模式成像算法成像并自聚焦，可以得到消除了重影并且聚焦良好的条带SAR图像。

附图6为本发明方法恢复的数据和原始的缺失数据对比图，通过对比图6(a)和图6(b)可以看出，本发明方法将原始数据中缺失的数据完全恢复。

为了证明本发明对数据恢复和提高图像质量的作用，图7和图8分别并排给出了为本发明方法恢复的数据和原始数据以及其他方法恢复数据成像结果及其局部放大对比图。图7(a)为本发明恢复缺失数据成像方法的成像结果，图7(b)为原始数据的成像结果，图7(c)为其他方法恢复缺失数据方法的成像结果。图8(a)为本发明恢复缺失数据成像方法的成像结果局部放大图，图8(b)为原始数据的成像结果局部放大图，图8(c)为其他方法恢复缺失数据方法的成像结果局部放大图。通过比较图7和图8的三个图可以看出本发明所述方法所得结果消除了原始数据成像中的图像重影问题，而其他方法所得结果并没有消除图像重影问题，本发明所述方法提高了图像的质量。

理论分析和实测数据结果表明，一种应用于缺失数据条带SAR压缩感知的成像方法可以恢复条带SAR数据中的缺失数据，并且可以得到聚焦良好的SAR图像，消除了原始数据和其他方法恢复数据成像结果中的重影问题，并且其计算量是目前硬件和软件平台可以承受的。

以上所述仅是本发明的优选实施方式，应当指出：对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理的前提下，还可以做出若干改进和润饰，这些改进和润饰也应视为本发明的保护范围。

Claims (1)

1.一种应用于缺失数据的条带SAR压缩感知成像方法，其特征在于：包括如下步骤：

步骤一：将条带SAR雷达接收的原始数据中受到干扰的或者非连续接收的脉冲数据置零，然后根据条带和聚束模式的数据特点将原始数据分块为聚束算法可以处理的多个互不重叠的子孔径数据，子孔径数据的数目为J＝L/W；其中，W表示子孔径数据的长度，L表示整个条带数据的长度；

步骤二：对各个子孔径数据距离向做傅里叶变换，得到：

$S(t,f_{\mathrm{\&tau;}})=\mathrm{\&sigma;}\&CenterDot;\mathrm{rect}\left(\frac{t}{T_a}\right)\&CenterDot;\mathrm{rect}\left(\frac{f_{\mathrm{\&tau;}}}{B}\right)\&CenterDot;\exp (-\mathrm{j\&pi;}\frac{{f_{\mathrm{\&tau;}}}^2}{k})\&CenterDot;\exp (-j\frac{4\mathrm{\&pi;}(f_c+f_{\mathrm{\&tau;}})}{c}{R}_a)$

其中，σ为回波强度，rect(·)表示矩形窗函数，t为方位慢时间，T_a为方位孔径时间，f_τ为距离向频率，B＝kT_r为发射信号带宽，T_r为脉冲持续时间，k为调频斜率，f_c为载频，c为电波传播速度，R_a为目标点与天线相位中心点的距离；

然后对距离向做傅里叶变换后的子孔径数据进行匹配滤波和运动补偿，也就是将S(t,f_τ)乘以参考函数S_ref(t,f_τ)，以使得子孔径成像区域中心点的回波相位为零，参考函数S_ref(t,f_τ)为：

$S_{\mathrm{ref}}(t,f_{\mathrm{\&tau;}})=\exp \left(\mathrm{j\&pi;}\frac{{f_{\mathrm{\&tau;}}}^2}{k}\right)\&CenterDot;\exp \left(j\frac{4\mathrm{\&pi;}(f_c+f_{\mathrm{\&tau;}})}{c}{R}_0\right)$

其中，R₀为子孔径成像区域中心点与天线相位中心点的距离；最终得到的运动补偿后的子孔径数据为：

$S(t,f_{\mathrm{\&tau;}})=\mathrm{rect}\left(\frac{t}{T_a}\right)\&CenterDot;\mathrm{rect}\left(\frac{f_{\mathrm{\&tau;}}}{B}\right)\&CenterDot;\mathrm{\&sigma;}\&CenterDot;\exp (-j\frac{4\mathrm{\&pi;}(f_c+f_{\mathrm{\&tau;}})}{c}(R_a-R_0))$

接着对运动补偿后的子孔径数据距离向做逆傅里叶变换，得到：

$S(t,f_{\mathrm{\&tau;}})=\mathrm{\&sigma;}\&CenterDot;B\&CenterDot;\mathrm{rect}\left(\frac{t}{T_a}\right)\&CenterDot;\mathrm{Sinc}\left\{B\right[\mathrm{\&tau;}-\frac{2}{c}(R_a\left(t\right)-R_0)\left]\right\}\&CenterDot;\exp (-j\frac{4\mathrm{\&pi;}{f}_c}{c}(R_a\left(t\right)-R_0))$

其中，Sinc(·)表示Sinc函数；

步骤三：利用EMMLE算法对距离向做逆傅里叶变换后的子孔径数据进行自聚焦；

步骤四：利用方位向基矩阵和方位向测量矩阵A对每个自聚焦后的子孔径数据进行压缩感知重构成像，假设每个子孔径全部数据的方位向脉冲数为N，每个子孔径完整采集的脉冲数为M(M<N)，则：

其中，为列向量，PRF为脉冲重复频率，为方位向频率间隔，为脉冲重复间隔；

方位向测量矩阵A是从N×N维单位矩阵抽取M行构成的M×N维矩阵，其中M行的位置与原始数据中未被置零数据(未被干扰数据)的位置对应；每一距离波门上的方位向的观测向量S_a表示为：

其中，θ_a为方位向的稀疏向量，也就是每一距离波门上的方位向在频域的重构图像；

步骤五：取步骤三子孔径自聚焦前后同一个距离波门上的数据分别进行傅里叶变换并共轭相乘，得到稀疏信号的相位误差信号Θ为：

Θ＝fft(S₁)·conj(fft(S₂))

其中，S₁和S₂分别表示子孔径自聚焦前后同一距离波门上的对应的数据，fft(·)表示对括号里的内容作傅里叶变换，conj(·)表示对括号里的内容求共轭；

利用步骤四中介绍的方位向基矩阵和方位向测量矩阵A，对相位误差信号Θ在频域进行稀疏重构，稀疏重构后的相位误差信号Θ表示为：

其中，φ为Θ的频域稀疏向量；对φ稀疏重构后，对φ做逆傅里叶变换，得到子孔径数据完整的相位误差信号；

步骤六：对步骤四得到的压缩感知重构成像在方位向做逆傅里叶变换，然后与步骤五得到的子孔径数据完整的相位误差信号共轭相乘，再将所得结果在距离向做傅里叶变换，接着再在距离向乘以以下信号：

$S_{\mathrm{ref}}(t,f_{\mathrm{\&tau;}})=\exp (-\mathrm{j\&pi;}\frac{{f_{\mathrm{\&tau;}}}^2}{k})\&CenterDot;\exp (-j\frac{4\mathrm{\&pi;}(f_c+f_{\mathrm{\&tau;}})}{c}{R}_0)$

最后对所得结果在距离向做逆傅里叶变换，得到原始的无缺失的子孔径数据；

步骤七：将步骤六得到的各个原始的无缺失的子孔径数据按照顺序进行拼接恢复出全孔径数据，将恢复的全孔径数据利用条带模式成像算法成像并自聚焦，得到消除了重影并且聚焦良好的条带SAR图像。