CN111142105B - 复杂运动目标isar成像方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于准时频双线性相干算法的复杂运动目标ISAR成像方法，本发明方法包括如下步骤：获取目标的回波数据后，对回波信号进行距离压缩和平动补偿；将信号沿距离向抽取数据，并计算抽取结果的改进三次相位函数MCPF；对MCPF进行Radon‑CPF‑Fourier变换，并在多普勒中心‑极半径‑极角域中获得三维数据矩阵；将三维数据矩阵沿极半径和极角投影到多普勒中心轴，通过重组所有的距离‑多普勒中心产生最终的高分辨率逆合成孔径雷达(ISAR)图像。本发明可在无时频分辨率损失的情况下实现对三次相位函数的交叉项干扰抑制，提高信号增益、改善计算性能，获得清晰机动目标ISAR图像。

Description

复杂运动目标ISAR成像方法

技术领域

本发明属于雷达技术领域，尤其是涉及信号处理领域一种复杂运动目标ISAR成像方法，可用于非合作、高速机动目标的ISAR成像。

背景技术

传统的光学成像技术对外在环境，尤其是光线条件要求极高，因而适用范围有限。雷达成像技术凭借其全天候、全天时、远距离及在不同频段、不同极化条件下提供高分辨率雷达图像的优点，弥补了光学成像的不足，极大地提高了恶劣光线环境下信息获取的能力，其对民用(如地形测绘、天体观测、海洋观测、农作物评估、灾情预报等均有重大的实用价值。合成孔径雷达(SAR)、逆合成孔径雷达(ISAR)和干涉合成孔径雷达(InSAR)等是最常见的成像雷达，它们的主要区别是工作原理和成像方式有所不同。合成孔径雷达(SAR)是一种有源主动微波遥感雷达，利用雷达运动产生的大等效合成孔径提高雷达成像的分辨率，成像时雷达运动而成像目标静止不动。根据雷达成像理论，雷达成像通过发射大带宽信号保证距离向的高分辨，通过对散射点和雷达有效相对运动产生的多普勒信号进行相干积累，从而获得高的方位向分辨率。然而，当目标的运动较复杂时，很难得到长时间的相干信号，即相干成像转角太小，从而限制了复杂运动目标成像的分辨率。逆合成孔径雷达成像是宽带雷达实现目标信息获取和精细描述的重要途径，但在成像过程中存在复杂运动导致散焦和成像分辨率不高两个难题。逆合成孔径雷达(ISAR)通常固定在地面上，对运动目标成像，利用目标与雷达的相对运动产生的大合成孔径成像。虽然具体成像方法不同，但基本成像原理是相同的，即根据距离向上不同散射点回波时延不同对距离单元进行分辨，根据相对转动时方位向上不同散射点由于转动引起的多普率频率不同进行方位向分辨，上述就是著名的距离—多普勒(R-D)原理。在实际的ISAR系统中，目标作复杂运动时，若雷达发射线性调频(LFM)信号，回波信号将会产生高次相位项，在这种情况下，应用传统的二维傅里叶变换距离——多普勒(RD)法成像会产生模糊。即运用传统的R-D成像方法很难获得清晰的目标图像。近年来，随着逆合成孔径雷达ISAR成像技术的不断发展，平稳目标的ISAR成像技术逐渐趋于成熟，越来越多的研究者将目光集中在了复杂运动目标的成像研究方面。根据雷达成像理论，雷达成像通过发射大带宽信号保证距离向的高分辨，通过对散射点和雷达有效相对运动产生的多普勒信号进行相干积累，从而获得高的方位向分辨率。然而，当目标的运动较复杂时，很难得到长时间的相干信号，即相干成像转角太小，从而限制了复杂运动目标成像的分辨率。目标作复杂运动时的ISAR成像方法，包括如下三个方面：1)三次相位函数(CPF)参数估计法，目标作复杂运动时，若雷达发射线性调频(LFM)信号，回波信号将会产生高次相位项，此时应用传统的距离——多普勒(RD)法成像会产生模糊。若在成像时间内多普勒频移是恒定的，则距离-多普勒(RD)ISAR成像算法便可有效地获得目标图像。但当目标为非协作、高机动时，一个距离单元内的接收信号通常表征为多阶多项式相位信号(PPS)，基于傅里叶变换(FFT)的RD算法无法很好地处理该模型，所获得的多普勒频谱被展开，导致ISAR图像模糊。2)压缩感知法，利用信号的稀疏性，通过非相关测量可以用比传统信号采样理论低得多的速率对信号采样，大大降低了数据率，并且能够以很高的概率恢复信号。压缩感知技术的非相关测量过程可以有效降低雷达成像系统对A/D系统的高速率要求，进而解决成像过程中超大回波数据的采集、传输与存储困难。由于压缩感知技术能够从很少的信号采样中恢复信号，将其应用于复杂运动目标的成像，可以弥补复杂运动目标相干信号不足的缺陷。压缩感知理论的解码过程与传统的解码过程不同，由于需要解一个欠定方程，因而无法得到原信号的准确表示，而只能通过求解一个非线性最优化问题以一定的概率近似实现信号的重构。相比传统的雷达成像方法，压缩感知方法只需要很短的相干成像时间。但该方法依然需要很高的A/D速率。目前国内外对基于压缩感知的雷达成像的研究主要集中在利用压缩感知的降维测量对回波数据进行二维采样，以降低雷达的数据率，并通过构建二维稀疏矩阵实现雷达图像的重建。这种方法减少了雷达成像系统的数据率并且能够直接得到目标的二维图像，但是也存在一些缺陷，一是降低了系统的实时性，因为在降维测量前即需要预先获得所有的回波数据，而且从根本上说并没有降低系统的数据率，不能缓解高速A/D的压力；二是雷达图像重构所需的存储空间和运算复杂度极大，因为图像重构过程是在二维稀疏投影空间中进行的，并且需要进行非线性最优化问题的求解。这些缺陷制约了其向实际应用的推广。3)分布式ISAR成像法，ISAR成像技术是通过一组编队平台上搭载的成像雷达对同一个目标发射电磁波，利用目标相对雷达的旋转运动，对回波进行联合处理，获得比单个雷达更高的方位向分辨率。因此可以将分布式ISAR成像技术应用于复杂运动目标成像，以弥补相干成像转角太小对方位向分辨率的限制。ISAR成像在方位向分辨的依据是方位向不同位置处的散射点在目标旋转时的多普勒频率不同，而要产生多普勒频率必须要求目标与雷达沿雷达发射方向有相对运动分量。ISAR成像在多普勒方向的分辨是依赖于方位向上的不同散射点在转动时的多普勒频率不同，而多普勒频率与散射点到转轴的距离和目标转动速度成正比，这就要求为了正确分辨各个散射点的位置，成像期间目标的转动速度应保持不变，否则各个散射点的多普勒频率会发生变化，从而产生混淆。在对复杂运动目标进行逆合成孔径雷达成像时，由于转动矢量随时间而变化，回波信号中会引入一个与散射点位置有关的相位误差，无法用通常的相位补偿方法进行校正，应用距离-多普勒算法获得的ISAR像会变得模糊。在对机动目标进行ISAR成像时，通常使用距离瞬时多普勒(RID)算法。RID算法通常分为两类。一类是参数方法，即各距离单元中的接收信号由特定类型的信号建模，然后估计瞬时多普勒频率并通过估计的多普勒频率获得相应的ISAR图像。然而，该方法需要估计或提取各距离单元中的各个散射点，计算效率低。除此之外，模型不匹配时会导致图像无法聚焦。第二类是非参数方法，利用时频分布(TFD)替换作为方位向聚焦处理中傅里叶变换。频率随时间变化的信号往往需要的是某一时间内的某一频率的信息，分析这一类信号的工具就是联合时频分析方法(TFD)。交叉项是因为wvd不满足变换的线性性质而产生的，从而造成伪峰值。基于TFD的成像方法包括短时傅里叶变换(STFT)，连续小波变换(CWT)等。STFT和CWT没有交叉项干扰，但分辨率很低。针对多分量线性调频信号的维格纳-维尔分布(Wigner-VilleDistribution，WVD)交叉项干扰问题，有人提出了能够提供高分辨的时频分析的Wigner-Ville分布(WVD)方法。维格纳分布WVD是一种重要的时一频分析方法，该方法利用分数阶傅里叶变换(FractionalFourierTransform，FRFT)在最佳FRFT域中对给定的线性调频信号具有最好的能量聚集性，将多分量线性调频信号在FRFT域上分解为若干个单分量信号，线性叠加单分量信号的WVD，从而达到抑制交叉项的效果。但由于该时频分布是双线性的，对于多分量信号而言，WVD存在严重的交叉项干扰，阻碍了其对信号的有效分析、解释和各分量参数的提取。交叉项干扰问题影响了它的推广应用，当三次相位函数(CPF)的交叉项干扰严重时，其性能会恶化。为减少WVD中的交叉项干扰并获得高质量的ISAR图像，Berizzi等人提出了平滑的伪Wigner-Ville分布(SPWVD)算法和L类四阶复数延迟PWVD算法。这些算法通常在抑制交叉项干扰和时频分辨率之间进行折中。目前TFD方法面临的主要挑战仍是在不降低时频分辨率的情况下最大化交叉项抑制。

针对成像分辨率不高问题，Lv等人提出了一种基于准时频变换(Lv分布)的距离-多普勒中心(RCD)ISAR成像算法，更好地实现了交叉项抑制而不产生时频分辨损失。但该方法仅适用于线性调频(LFM)信号，在处理用于机动目标模型的三次相位调制信号(二次调频信号)信号时性能显著降低。具体成像时，为提高成像分辨率，通常发射大时宽带宽积信号以实现距离向的高分辨；通过对回波信号进行相干积累以获得大的成像转角，以保证方位向的高分辨。针对目标复杂运动导致成像散焦问题，交叉项抑制干扰。

发明内容

本发明针对现有技术存在的不足之处，提供一种方法简单，实现容易，增益更高，能够在无时频分辨率损失的情况下实现交叉项干扰抑制的复杂运动目标ISAR成像方法。

本发明的上述目的可以通过以下措施来达到，一种复杂运动目标ISAR成像方法，具有如下技术特征：基于准时频双线性相干算法对回波信号进行距离压缩、平动补偿，即进行回波序列的包络对齐和初相校正，将所有回波中属于同一散射点的信号处于在同一距离门中；在机动目标平动补偿之后将各距离单元的方位向信号表征为多项式相位信号；计算各距离单元信号的改进三次相位函数(MCPF)；对MCPF进行准时频双线性变换算子RCFT，并在多普勒中心f_tm-极半径ρ_T-极角θ_T域中获得三维数据矩阵；将三维数据矩阵投影到多普勒频率轴上；重复上述步骤，直至处理完所有距离单元的信号，最后通过重组所有的距离-多普勒中心产生最终的高分辨率逆合成孔径雷达(ISAR)图像。

方法简单，实现容易，本发明基于准时频双线性相干算法对回波信号进行距离压缩和平动补偿，即进行包络对齐和初相校正，将所有回波中属于同一散射点的信号处于同一距离门中；在无时频分辨率损失的情况下实现交叉项干扰抑制。

增益更高。本发明在平动补偿之后将距离单元的方位向信号表征为多项式相位信号，并将其沿时延进行非均匀傅里叶变换构造改进的三次相位函数(MCPF)。利用准时频双线性相干算法中的二维相干积分及其双线性函数特性，使得信号处理增益更高。

本发明将准时频抗噪双线性变换(RCFT)变换应用于平动补偿结果，获得三维数据矩阵，沿距离向抽取数据，对抽取数据进行RCFT变换，将得到的RCFT变换结果投影到多普勒频率轴上；这种采用Radon-CPF-Fourier变换不需要对每个散射点进行参数估计，计算更高效。处理后抑制了交叉项，可提供高分辨的成像结果。

本发明设置抑制多普勒中心频率维中的残余交叉项和噪声的阈值，能够在无时频分辨率损失的情况下实现交叉项干扰抑制，通过重新组合所有的距离-多普勒中心来产生最终的高分辨率ISAR图像，很好地抑制了交叉项的产生，同时也提高了信号增益和改善计算性能。

附图说明

为了更清楚地说明本发明实施例或现有技术中的技术方案，下面将对实施例或现有技术描述中所需要使用的附图作简单地介绍：

图1为本发明利用准时频双线性相干算法进行复杂运动目标ISAR成像的流程示意图；

图2(a)为三次相位函数的仿真结果；

图2(b)为信号经CPF后在

面的结果；

图2(c)为二次调频信号信号经RCFT算法后的结果；

图3为本发明实施例提供的无人机机动模型；

图4(a)为雷达回波信号经距离压缩后的结果；

图4(b)为雷达回波信号经距离压缩及平动补偿后的结果；

图5为无人机机动目标的距离-多普勒成像结果；

图6为本发明的无人机机动目标成像结果；

下面结合附图和实施例对发明进一步说明。

下面将结合本发明实施例中的附图1，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。

具体实施方式

参阅图1。根据本发明，基于准时频双线性相干算法对回波信号进行距离压缩、平动补偿，即进行回波序列的包络对齐和初相校正，将所有回波中属于同一散射点的信号处于在同一距离门中；在机动目标平动补偿之后将各距离单元的方位向信号表征为多项式相位信号；计算各距离单元信号的改进三次相位函数(MCPF)；对MCPF进行准时频双线性变换算子RCFT，并在多普勒中心f_tm-极半径ρ_T-极角θ_T域中获得三维数据矩阵；将三维数据矩阵投影到多普勒频率轴上；重复上述步骤，直至处理完所有距离单元的信号，最后通过重组所有的距离-多普勒中心产生最终的高分辨率逆合成孔径雷达(ISAR)图像。

在可选实施例的下述步骤中，

步骤1：对回波信号进行距离压缩和平动补偿

(1)包络对齐：距离平动的一个影响就是不同回波中隶属于同一散射点的信号分布在不同的距离门中。因此，需要将所有回波中属于同一散射点的信号处于在同一距离门中。常用的包络对齐方法包括峰值方法、最大相关方法、频域方法、霍夫变换方法以及最小熵方法。

(2)初相校正：在信号的相干处理过程中，目标回波的一维像在距离向上校正完成，但同时也保留了由于目标平动所产生多普勒频移，这样整个回波序列的多普勒频移是由平动分量和转动分量提供的。ISAR成像的方位分辨率正是基于转动分量产生的多普勒频移，而平动分量的多普勒频移需要消除，即使其变成常数。相位误差校正的方法通常有四种类型:参数估计法、特显点估计法、连片目标估计法和图像自聚焦法。

步骤2：在平动补偿之后将距离单元的方位向信号表征为多项式相位信号(PPS)，并将其沿时延进行非均匀傅里叶变换。

(1)机动目标经平动补偿后的方位向信号为方位向多项式相位信号，表示为：

式中，s_r(t_m)为一个距离单元中的接收信号，t_m是方位向慢时间，A_k是第K个散射点的散射系数，K是一个距离单元中散射点的数量，j是虚数单位，f_c是载波频率，c是光速，R₀是参考点O到雷达的初始距离，x_k、y_k为探测目标的坐标，Ω、Ω′和Ω″分别是初始角速度、角加速度及角加加速度，v_r、a_r和γ_r分别是目标的径向速度，加速度和加加速度，n(t_m)为方差为δ²的加性复高斯白噪声。

方位向多项式相位信号的通用形式可表示为：

式中，φ_k(t_m)是信号相位，b_k,0表示初始相位，b_k,1表示中心频率，b_k,2表示调频率，b_k,3表示调频变化率。

(2)非均匀傅里叶变换

(1)方位向多项式相位信号的通用形式的瞬时自相关函数可表示为：

其中，

为信号的自相关函数，c是光速，s_r是一个距离单元的接收信号，τ_m是时延变量，R_s,c-terms(t_m；τ_m)是交叉项，R_s,n-terms(t_m；τ_m)是噪声项。

计算方位向多项式相位信号的三次相位函数(CPF)时，需对时延

进行积分，采样非均匀，故对上式进行非均匀快速傅里叶变换，获得方位向信号的三次相位函数：

其中，

为时延τ_m的频率，/>

为时延/>

的NUFFT算子，δ(·)是狄拉克函数，b_k,2表示接收信号的调频率，/>

和/>

是NUFFT后的交叉项和噪声项。

由于方位向慢时间t_m与时延

之间存在非线性耦合，自项的能量集中在慢时间-多普勒频率平面中的/>

方向上，信号的非线性特征产生的交叉项和伪峰会影响信号的分辨率。

步骤3：将本发明定义的Radon-CPF-Fourier变换(RCFT)应用于步骤2所得到的三次相位函数

并在多普勒中心/>

-极半径ρ_T-极角θ_T域中获得三维数据矩阵

(1)使用狄拉克delta函数的采样特性消除二次项影响，根据步骤2的三次相位函数计算结果构造改进的三次相位函数(MCPF)：

其中，

符号定义参照步骤1、步骤2.

由上式可看出，通过Dirac delta函数的采样特性消除了自项中t_m二次项的影响，同时t_m的立方项恰好对应时频域中自项能量分布的斜率。

(2)定义Radon-CPF-Fourier变换算子(RCFT)：

其中

表示RCFT算子，/>

是一个新的变换核函数，由下式给出：

(3)将RCFT算子作用于(1)中改进的三次相位函数(MCPF)

其中，ρ_T为极半径，θ_T为极角，

b_k,1表示中心频率，b_k,2表示调频率，b_k,3表示调频变化率，当/>

的斜率与自项能量分布

的斜率匹配时(tan(θ_T)＝3b_k,3)，便可消除自项中t_m的立方项。故RCFT能够实现自项的相干积分，同时抑制交叉项和伪峰。

(4)获得三维数据矩阵

在设置积分时间T_a及ρ与θ的迭代步长后，在CPF平面内定义目标轨迹并沿轨迹抽取数据，对数据进行傅里叶变换，寻找峰值点并记录其坐标(ρ_T,θ_T)，在ρ∈[-ρ_max,ρ_max]与θ∈[0,π]区间上以相应步长迭代，最终获得三维数据矩阵

步骤4，将三维数据矩阵

沿着极半径ρ_T和极角θ_T投影到多普勒中心/>

轴上。

由于各散射点的多普勒频率与其在目标中的横向坐标相关，故可通过将三维数据矩阵数据投影到多普勒频率轴上来获得目标的横向ISAR图像的投影后信号

其中，/>

为三维数据矩阵。

步骤5，设置适当的阈值以抑制多普勒中心频率维中的残余交叉项和噪声。

阈值通常设置为最大能量减去3dB～4.5dB。

步骤6，对所有距离单元重复步骤1至步骤5，从而通过重新组合所有距离-多普勒频率中心来产生最终的高分辨率ISAR图像。

计算复杂度分析：

以一个距离单元的处理程序为例，构造双线性三次相位函数矩阵的计算复杂度为O(6N_aN_τm)，沿延迟时间变量轴的NUFFT的计算复杂度为O(40N_aN_τmlog₂N_τm)，一次补偿函数的复杂度为O(6N_aN_τm)，对2-D时频

域中的自项进行轨迹提取(搜索点数为M)并对提取数据沿慢时间轴进行一次FFT运算的计算复杂度为O(5N_aN_τmlog₂N_a)。因此，本实施例提出的ISAR成像方法的总计算复杂度约为：

/>

根据上述计算，本发明的ISAR成像算法计算复杂度高于远低于基于参数估计的CIGCPF-CICPF方法。总之，此方法可以很好地实现计算复杂度和成像性能之间的平衡。

本发明的效果通过以下实测数据处理结果分析进一步说明：

(1)将步骤2中定义的通用形式多项式相位信号的参数设置为长度N＝1024，σ₁＝σ₂＝1，b_1,1＝-0.1，b_1,2＝0.5×10^-3，b_1,3＝-0.1×10^-6，b_2,1＝0.1，b_2,2＝-1×10^-3，b_2,3＝0.2×10^-6处理结果如图2所示。从图2(a)和(b)可以看出，仿真结果中出现了尖锐的伪峰，信号的自项能量沿着方向

集中，而交叉项按照函数关系分散在

域中。图2(c)为本三次调相信号经RCFT处理后的结果，可见其伪峰被很好地抑制。

(2)图3为本发明实例的无人机机动目标，其平均速度为20m/s，平均加速度为2m/s²，平均加加速度为2m/s³，有效旋转角速度为0.018rad/s，有效旋转角加速度为0.008rad/s²，有效旋转角加加速度0.002rad/s³。

(3)图4(a)是在信噪比为5dB，载频10GHz，带宽200MHz时，距离压缩后的无人机目标回波信号。

图4(b)是经距离压缩和平动补偿后的目标回波。可看到，经过平动补偿(包络对齐和相位校正)及分辨单元校正后，目标能量集中在一个距离区间。故平动补偿对提高成像效果是有效的。

(4)图5为经过距离压缩和平动补偿后的距离-多普勒算法成像结果。由于目标运动速度较大，多普勒时变，导致成像结果在横向产生严重模糊。

(5)图6为相同条件下本发明的无人机目标成像结果，可看到清晰的无人机轮廓及丰富细节，意味着大部分散射点能被正确定位，散射点损失及目标外形特征损失较少，成功实现了机动目标成像。

以上所述，仅为本发明的具体实施方式，但本发明的保护范围并不局限于此，任何熟悉本技术领域的技术人员在本发明揭露的技术范围内，可轻易想到变化或替换，都应涵盖在本发明的保护范围之内。因此，本发明的保护范围应以所述权利要求的保护范围为准。

Claims (3)

1.一种复杂运动目标ISAR成像方法，具有如下技术特征：基于准时频双线性相干算法对回波信号进行距离压缩、平动补偿，即进行回波序列的包络对齐和初相校正，将所有回波中属于同一散射点的信号处于在同一距离门中；在机动目标平动补偿之后将各距离单元的方位向信号表征为多项式相位信号；计算各距离单元信号的改进三次相位函数即MCPF；对MCPF进行准时频双线性变换即RCFT，并在多普勒中心

-极半径/>

-极角/>

域中获得三维数据矩阵；将三维数据矩阵投影到多普勒频率轴上；重复上述步骤，直至处理完所有距离单元的信号，最后通过重组所有的距离-多普勒中心产生最终的高分辨率逆合成孔径雷达即ISAR图像；

回波序列的多普勒频移是由平动分量和转动分量提供的；机动目标经平动补偿后的方位向信号为多项式相位信号，可将一个距离单元中的接收信号表示为：

式中，

是方位向慢时间，/>

是一个距离单元中散射点的数量，/>

是第/>

个散射点的散射系数，j是虚数单位，/>

是载波频率，/>

是光速，/>

是参考点O到雷达的初始距离，/>

、/>

分别为探测目标的坐标，/>

是初始角速度、/>

和/>

分别为角加速度及角加加速度，/>

、/>

和/>

分别是目标的径向速度，加速度和加加速度，/>

为方差为/>

的加性复高斯白噪声；

方位向多项式相位信号的通用形式表示为：

式中，

是信号相位，/>

表示初始相位，/>

表示中心频率，/>

表示调频率，/>

表示调频变化率；

方位向的多项式相位信号通用形式的瞬时自相关函数表示为：

其中，

为信号的自相关函数，c是光速，s _r是一个距离单元的接收信号，/>

是时延变量，/>

是交叉项，/>

是噪声项；

计算方位向多项式相位信号的三次相位函数CPF，对时延

进行积分，采样非均匀，通过非均匀快速傅里叶变换，获得方位向信号的三次相位函数/>

：/>

其中，

为时延/>

的频率，/>

为时延/>

的NUFFT算子，/>

是狄拉克函数，/>

表示接收信号的调频率，/>

和/>

是NUFFT后的交叉项和噪声项；

构造改进的三次相位函数MCPF：

其中，

；

准时频双线性变换的Radon-CPF-Fourier变换算子RCFT为：

其中

为变换结果，/>

为极半径，/>

为极角，/>

表示RCFT算子，

是一个新的变换核函数，由下式给出：

将RCFT算子作用于改进的三次相位函数MCPF：

/>

其中，

，/>

表示中心频率，/>

表示调频率，/>

表示调频变化率。

2.如权利要求1所述的复杂运动目标ISAR成像方法，其特征在于：

当

的斜率与自项能量分布/>

的斜率匹配时（/>

），便可消除自项中/>

的立方项，RCFT实现自项的相干积分，同时抑制交叉项和伪峰，获得三维数据矩阵/>

：在设置积分时间/>

及/>

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，在/>

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3.如权利要求2所述的复杂运动目标ISAR成像方法，其特征在于：将三维数据矩阵

沿着极半径/>

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轴上，利用各散射点的多普勒频率与其在目标中的横向坐标相关，将三维数据矩阵数据投影到多普勒频率轴上来获得目标的横向ISAR图像的投影后信号/>

：

其中，

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