CN102998673B - 一种用于合成孔径雷达的压缩感知成像方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种用于合成孔径雷达的压缩感知成像方法，该方法通过ChirpScaling算子构建表示雷达回波信号的标准正交基，利用压缩感知理论同时处理距离向和方位向二维数据，最终稀疏优化获得基于低数据量的高分辨雷达图像。该方法首先在距离向和方位向同时降低数据量，然后利用Chirp Scaling算子构建表示雷达回波信号的标准正交基，最后利用压缩感知在距离向和方位向进行二维稀疏优化得到雷达图像。本发明可以在观测场景稀疏的情况下有效减少数据量，降低对合成孔径雷达数据存储设备和传输设备的要求，对于实际系统有重要的现实意义。

Description

一种用于合成孔径雷达的压缩感知成像方法

技术领域

本发明涉及雷达信号处理领域，特别涉及一种结合线频调变标(Chirp Scaling)算法的合成孔径雷达压缩感知成像方法。

背景技术

高分辨率雷达常采用大带宽的波形来获得距离向的高分辨率，采用合成孔径技术获得方位向的高分辨率。Chirp Scaling成像算法(Raney，R.K.，Runge，H.，Bamler，R.，Cumming，I.G.，and Wong，F.H.：‘Precision SAR processing using chirp scaling’，IEEETransactions on Geoscience and Remote Sensing，1994，32，(4)，pp.786-799)通过相位相乘使所有目标的距离徙动轨迹一致化，避免了距离徙动校正时的插值操作，其所有的处理过程仅需要傅立叶变换和相位相乘即可实现，算法精度高，计算速度快，在合成孔径雷达成像中获得了广泛应用。

传统的数据获取基于香农采样定理，即为了无失真地恢复模拟信号，采样频率应该不小于模拟信号频谱中最高频率的2倍(奈奎斯特采样率)。压缩感知理论(Donoho，D.L.：‘Compressed sensing’，IEEE Transactions on Information Theory，2006，52，(4)，pp.1289-1306；Candes，E.J.，and Tao，T.：‘Near-Optimal Signal Recovery FromRandom Projections：Universal Encoding Strategies？’，IEEE Transactions on InformationTheory，2006，52，(12)，pp.5406-5425)可以在信号稀疏或可压缩的情况下，通过采集远低于奈奎斯特采样率的数据恢复信号，不仅可以降低对数据获取设备的要求，而且可以减小数据存储量和传输量，降低对相关硬件的性能要求。

压缩感知理论要求感知矩阵满足受限等距条件(Candes，E.J.，and Tao，T.：‘Decoding by linear programming’，IEEE Transactions on Information Theory，2005，51，(12)，pp.4203-4215)，通常可采用随机贝努利矩阵、随机高斯矩阵、随机傅里叶矩阵等。如果采用模拟信息-转换器获取数据(Laska，J.N.，Kirolos，S.，Duarte，M.F.，Ragheb，T.S.，Baraniuk，R.G.，and Massoud，Y.：‘Theory and implementation of an analog-to-information converter using random demodulation’，IEEE International Symposium onCircuits and Systems，New Orleans，LA，USA，May 2007，pp.1959-1962)，则可以降低接收机的A/D采样率。目标信号通过优化方法恢复，常用的有凸优化算法和贪婪迭代算法。

在实践中，高分辨雷达要求(超)宽带信号和大的合成角度，由此导致数据量的增加，给数据存储和传输带来很大困难，极大的限制了合成孔径雷达的应用。TelloAlonso等人提出利用压缩感知降低SAR成像数据量的方法(Tello Alonso，M.，Lopez-Dekker P.，and Mallorqui J.J.：‘A novel strategy for radar imaging based oncompressive sensing’，IEEE Transactions on Geoscience and Remote Sensing，2010，48，(12)，pp.4285-4295)，在距离徙动可以忽略的前提下分别处理距离向和方位向数据，首先在距离向采用传统匹配滤波方式进行压缩，然后在方位向进行降采样，最后利用压缩感知完成方位向压缩。但是，实际中合成孔径雷达经常工作在斜视或大观测角度模式，此时距离徙动无法忽略，距离向和方位向分开处理需要利用插值来校正距离徙动，而这会引入额外的计算复杂度和误差；另外，某些观测场景在整个二维图像域具有稀疏性，但某条距离线或方位线并不满足稀疏，此时距离向和方位向分开进行压缩感知处理会产生较大误差。

发明内容

本发明的目的在于，为了解决上述问题，从而提供一种结合线频调变标(ChirpScaling)算法的合成孔径雷达压缩感知成像方法，同时处理距离向和方位向二维数据，避免距离徙动校正中的插值操作，利用低数据量实现高分辨成像。

为达到上述目的，本发明的一种用于合成孔径雷达的压缩感知成像方法，该方法通过Chirp Scaling算子构建表示雷达回波信号的标准正交基，利用压缩感知理论同时处理距离向和方位向二维数据，最终稀疏优化获得基于低数据量的高分辨雷达图像。

该方法首先在距离向和方位向同时降低数据量，然后利用Chirp Scaling算子构建表示雷达回波信号的标准正交基，最后利用压缩感知在距离向和方位向进行二维稀疏优化得到雷达图像；所述的方法的具体步骤包括：

步骤1)：合成孔径雷达在方位向沿平台运动轨迹发射线性调频脉冲信号，接收端采集目标回波并进行下变频和I/Q解调得到基带回波信号s(t_a，t_r)，其中t_a和t_r分别表示方位向时间和距离向时间，对应的方位向频率和距离向频率分别为f_a和f_r；将s(t_a，t_r)离散化处理得到N_a×N_r的矩阵S，N_a表示方位向脉冲个数，N_r表示距离向点数，方位向最小时间间隔为Δt_a，距离向最小时间间隔为Δt_r，Δt_a和Δt_r满足奈奎斯特采样定律，然后将S进行辞典式排列成一维向量即将矩阵S的每一行转置后一个接一个排列成单列向量，该向量的长度为N＝N_aN_r；

步骤2)：在方位向降低数据量，接收端在方位向抽取M_a个雷达回波脉冲，M_a＜N_a，脉冲间隔随机分布，脉冲数目M_a取决于场景的稀疏程度，场景越稀疏，所需脉冲数目越少；

步骤3)：在距离向降低数据量，对于步骤2)抽取得到的每个脉冲回波进行测量得到长度为M_r的信号，且M_r＜M_r，则M_a个脉冲回波的测量信号r的总长度为M＝M_aM_r，M＜N，r表示为，

r＝Rs+n                 (1)

其中为压缩感知测量矩阵，为加性噪声；

步骤4)：根据Chirp Scaling算法，构建从雷达回波信号s映射到雷达图像g的Chirp Scaling算子即g＝Ts，其中表示雷达图像经辞典式排列后得到一维向量，T的构建方法如下：

$T=F_a^{-1}{P}_3{F}_r^{-1}{P}_2{F}_r{P}_1{F}_a---\left(2\right)$

其中，和分别为方位向傅里叶变换矩阵和距离向傅里叶变换矩阵， 和分别为Chirp Scaling算法中的三个相位相乘因子构成的对角矩阵；T为酉矩阵，即T^-1＝T^H，其中T^H为T的共轭转置矩阵，故T的行或列构成一组标准正交基；测量信号r表示为，

r＝Rs+n＝RT^Hs+n             (3)

步骤5)：利用稀疏优化方法恢复目标场景，

$\hat{g}=\arg \underset{g}{\min }{\left|\right|{\mathrm{RT}}^{-1}g-r\left|\right|}_2^2+\mathrm{\λ}{\left|\right|g\left|\right|}_1---\left(4\right)$

式中，λ取决于噪声水平，||·||_p表示l_p范数，由优化结果排列而成的二维序列作为最终的雷达图像。

作为上述技术方案的一种改进，所述的步骤2)通过在发射端发射N_a个脉冲信号，在接收端接收N_a个回波脉冲，然后从中随机抽取M_a个脉冲，或直接采用发射M_a个脉冲，脉冲间隔随机分布，然后在接收端接收全部回波脉冲来实现。

作为上述技术方案的又一种改进，所述的步骤2)中的接收端在方位向抽取M_a个雷达回波脉冲，采用方位向随机抽取矩阵D_a，其大小为M_aN_r×N_aN_r。

作为上述技术方案的一种改进，所述的步骤3)中的压缩感知测量矩阵包含方位向抽取矩阵和距离向测量矩阵即R＝ΘD_a；Θ的具体形式为，

其中表示对第i个脉冲回波的测量矩阵。

作为上述技术方案的再一种改进，所述的步骤3)采用模拟-信息转换设备对回波信号进行测量：首先将回波信号与随机±1序列相乘，然后经过低通滤波器或积分器，最后进行低速A/D采样得到离散的测量信号；此时第i个脉冲回波的测量矩阵为Θ_i＝D_rHP_i，其中表示距离向均匀抽取矩阵，代表低速A/D采样过程，D_r的具体表达式为，

表示低通滤波矩阵或积分矩阵，对角矩阵的对角元素为随机±1序列。

作为上述技术方案的还一种改进，所述的步骤3)中的Θ_i采用随机抽取矩阵，即先用高速A/D对雷达回波采样，然后随机抽取少量数据。随机抽取方式相比于模拟-信息测量方式较为简便，但无法降低A/D采样率。

作为上述技术方案的又一种改进，所述的步骤4)中的Chirp Scaling算子T的矩阵-向量相乘运算采用快速傅立叶变换和复数相乘实现。

本发明的优点在于，本发明的方法首先在距离向和方位向同时降低数据量，然后利用Chirp Scaling算子构建表示雷达回波信号的标准正交基，最后利用压缩感知在距离向和方位向进行二维优化得到雷达图像。本发明利用Chirp Scaling算法仅需傅立叶变换和相位相乘的特点，将Chirp Scaling算子表示成标准正交基形式，在此基础上构建由目标图像映射到测量信号的感知矩阵，同时处理距离向和方位向的二维数据，避免了距离徙动校正中的插值操作，可以在观测场景稀疏的情况下有效减少数据量，降低对合成孔径雷达数据存储设备和传输设备的要求，对于实际系统有重要的现实意义。

附图说明

图1为本发明提出的一种用于合成孔径雷达的压缩感知成像方法的流程图；

图2为本发明提出的一种用于合成孔径雷达的压缩感知成像方法的处理结果；

图3为传统的Chirp Scaling成像算法的处理结果；

图4为本发明提出的一种用于合成孔径雷达的压缩感知成像方法的处理结果局部；

图5为传统的Chirp Scaling成像算法的处理结果局部。

具体实施方式

为了更好的理解本发明的技术方案，以下结合附图对本发明的实施方式作进一步的描述。

本发明的一种用于合成孔径雷达的压缩感知成像方法的具体步骤包括：

步骤1)：合成孔径雷达在方位向沿平台运动轨迹发射线性调频脉冲信号，接收端采集目标回波并进行下变频和I/Q解调得到基带回波信号s(t_a，t_r)，其中t_a和t_r分别表示方位向(慢)时间和距离向(快)时间，对应的方位向频率和距离向频率分别为f_a和f_r；

将s(t_a，t_r)离散化得到N_a×N_r的矩阵S，N_a表示方位向脉冲个数，N_r表示距离向点数，方位向最小时间间隔为Δt_a，距离向最小时间间隔为Δt_r，Δt_a和Δt_r满足奈奎斯特采样定律，然后将S进行辞典式排列成一维同量s∈C^N×1，即将矩阵S的每一行转置后一个接一个排列成单列向量，该向量的长度为N＝N_aN_r；此处回波信号的离散化仅为后续表述和处理方便，实际中目标回波在该阶段仍为模拟信号。

步骤2)：在方位向降低数据量，接收端在方位向抽取M_a个雷达回波脉冲，M_a＜N_a，脉冲间隔随机分布，脉冲数目M_a取决于场景的稀疏程度，场景越稀疏，所需脉冲数目越少，或通过发射M_a个脉冲，脉冲间隔随机分布，然后在接收端接收全部雷达回波的方式实现；该过程表示为方位向随机抽取矩阵D_a，大小为M_aN_r×N_aN_r；

该步骤是为了降低方位向的数量，前提条件是观测场景满足稀疏性，例如海洋目标检测、动目标检测和飞行器成像等情况；

步骤3)：距离向降低数据量，对于步骤2)抽取得到的每个脉冲回波进行测量得到长度为M_r的信号，且M_r＜N_r，则M_a个脉冲回波的测量信号r的总长度为M＝M_aM_r，M＜N，r表示为，

r＝Rs+n               (1)

其中为压缩感知测量矩阵，为加性噪声；

压缩感知测量矩阵的作用为将N×1的高维信号s变换为M×1的低维测量信号r，包含方位向抽取矩阵和距离向测量矩阵即R＝ΘD_a；Θ的具体形式为，

其中表示对第i个脉冲回波的测量矩阵；

为降低A/D采样率，采用模拟-信息转换设备对回波信号进行测量：首先将回波信号与随机±1序列相乘，然后经过低通滤波器或积分器，最后进行低速A/D采样得到离散的测量信号；此时第i个脉冲回波的测量矩阵为Θ_i＝D_rHP_i，其中表示距离向均匀抽取矩阵，代表低速A/D采样过程，D_r的具体表达式为，

表示低通滤波矩阵或积分器，对角矩阵的对角元素为随机±1序列；Θ_i采用随机抽取矩阵，即先用高速A/D对雷达回波采样，然后随机抽取少量数据。随机抽取方式相比于模拟-信息测量方式较为简便，但无法降低A/D采样率；

步骤4)：Chirp Scaling算法的主要步骤为：首先将s(t_a，t_r)进行方位向傅立叶变换转到距离多普勒域，并与第一个相位因子exp[jΦ₁(f_a，t_r)]相乘完成所有目标距离徙动轨迹的一致化；然后距离向傅立叶变换到二维频域，并与第二个相位因子exp[jΦ₂(f_a，f_r)]相乘完成距离压缩、二次距离压缩和距离徙动校正；接着距离向傅立叶逆变换到距离多普勒域，并与第三个相位因子exp[jΦ₃(f_a，t_r)]相乘完成方位向压缩和剩余相位校正；最后方位向傅立叶逆变换得到图像g(t_a，t_r)，整个过程表示为，

$g(t_a,t_r)=F_a^{-1}\left\{\begin{array}{c}{F}_r^{-1}\left\{\begin{array}{c}{F}_r\left\{\begin{array}{c}{F}_a\left\{g(t_a,t_r)\right\}\\ \·\exp \left[j{\mathrm{\Φ}}_1(f_a,t_r)\right]\end{array}\right\}\\ \·\exp \left[j{\mathrm{\Φ}}_2(f_a,f_r)\right]\end{array}\right\}\\ \·\exp \left[j{\mathrm{\Φ}}_3(f_a,t_r)\right]\end{array}\right\}---\left(7\right)$

其中F_a和表示方位向傅立叶变换算子及其逆算子，F_r和表示距离向傅立叶变换算子及其逆算子；

将g(t_a，t_r)按方位向时间间隔Δt_a和距离向时间间隔Δt_r离散化，并进行辞典式排列得到N×1的向量g。根据Chirp Scaling算法，构建从雷达回波信号s映射到雷达图像g的Chirp Scaling算子即g＝Ts，其中表示雷达图像经辞典式排列后得到一维向量，T的构建方法如下：

$T=F_a^{-1}{P}_3{F}_r^{-1}{P}_2{F}_r{P}_1{F}_a---\left(8\right)$

其中F_a和F_r分别为方位向傅里叶变换矩阵和距离向傅里叶变换矩阵；P₁、P₂和P₃分别为Chirp Scaling算法中的三个相位相乘因子构成的对角矩阵，

i＝1、2、3(9)

F_a、F_r、P₁、P₂和P₃具有以下性质，

$F_a{F}_a^H=N_{a}I,F_r{F}_r^H=N_{r}I,P_1{P}_1^H=P_2{P}_2^H=P_3{P}_3^H=I---\left(10\right)$

因此T为酉矩阵，即

TT^H＝T^HT＝I                     (11)

所以T的行或列构成一组标准正交基；测量信号r为，

r＝Rs+n＝RT^Hs+n                  (3)

由于Chirp Scaling算法利用相位相乘实现距离徙动校正，不需要进行插值运算，整个过程仅包括傅立叶变换和相位相乘，因此对应的Chirp Scaling算子T的矩阵-向量相乘运算通过快速傅立叶变换和复数相乘实现，而不需要具体存储T中的每个元素；

步骤5)：利用稀疏重建方法恢复目标场景，

$\hat{g}=\arg \underset{g}{\min }{\left|\right|{\mathrm{RT}}^{H}g-r\left|\right|}_2^2+\mathrm{\λ}{\left|\right|g\left|\right|}_1---\left(4\right)$

λ取决与噪声水平，||·||_p表示l_p范数，由优化结果排列而成的二维序列作为最终的雷达图像；具体优化方法采用凸松弛或贪婪迭代算法恢复信号，本实验采用去噪基追踪算法(Chen，S.S.B.，Donoho，D.L.，and Saunders，M.A.：‘Atomic decomposition bybasis pursuit’，Siam Journal on Scientific Computing，1998，20，(1)，pp.33-61)重建雷达图像。

本发明的图像重建是在距离向和方位向同时处理的二维优化，而不是先进行距离向压缩再进行方位向压缩，或者先进行方位向压缩在进行距离向压缩，同时避免了插值运算。二维处理的优势在于：根据压缩感知理论，在观测数目确定的情况下，稀疏度越高，重建精度越高，由于二维图像的稀疏度高于单独一条距离线或方位线，因此可以获得更高的成像精度；另外，在某些斜视或大观测角度范围的情况下，距离徙动无法忽略，此时距离向和方位向分开处理需要利用插值来校正距离徙动，而这会引入额外的计算复杂度和误差。

如图1、图2、图3、图4和图5所示，图1为本发明提出的一种用于合成孔径雷达的压缩感知成像方法的流程图；图2为本发明提出的一种用于合成孔径雷达的压缩感知成像方法的处理结果；图3为传统的Chirp Scaling算法的处理结果；图4为本发明提出的一种用于合成孔径雷达的压缩感知成像方法的处理结果局部；图5为传统的ChirpScaling算法的处理结果局部。实验中利用Radarsat-1数据，截取观测目标为舰船，背景为海的原始回波数据进行处理。由于相对于舰船的散射能量，海面的散射能量可以忽略，因此该场景满足稀疏条件。首先随机抽取方位向50％的距离线，然后每条距离线与随机测量矩阵相乘，这里选用模拟-信息转换设备构建测量矩阵，将距离向数据降为原来50％，总的数据量降为原来的25％，然后利用去噪基追踪算法进行求解，成像结果如图2和图4所示。作为对照，针对同一组数据，利用传统的Chirp Scaling算法处理完整的回波数据，成像结果如图3和图5所示。

从图2、图3、图4和图5可以看出，压缩感知成像方法和传统成像方法均可以清晰分辨出舰船目标，而且目标位置正确，但压缩感知成像方法的数据量仅为传统方法的25％。从图4和图5还可以看出，压缩感知处理的结果旁瓣较低，这是由于压缩感知具有突出强散射目标而忽略海杂波等弱散射目标的特性。

本发明在观测场景稀疏的情况下，在距离向和方位向两个维度同时应用压缩感知处理，避免了距离徙动校正中的插值操作，在保证合成孔径雷达高成像分辨率的同时降低了雷达接收机采样率、存储量和传输量，对于实际系统具有重要的现实意义。

最后所应说明的是，以上实施例仅用以说明本发明的技术方案而非限制。尽管参照实施例对本发明进行了详细说明，本领域的普通技术人员应当理解，对本发明的技术方案进行修改或者等同替换，都不脱离本发明技术方案的精神和范围，其均应涵盖在本发明的权利要求范围当中。

Claims (7)

1.一种用于合成孔径雷达的压缩感知成像方法，该方法首先在距离向和方位向同时降低数据量，然后通过Chirp Scaling算子构建表示雷达回波信号的标准正交基，利用压缩感知理论同时处理距离向和方位向二维数据，最终稀疏优化获得基于低数据量的高分辨雷达图像；

该方法首先在距离向和方位向同时降低数据量，然后利用Chirp Scaling算子构建表示雷达回波信号的标准正交基，最后利用压缩感知在距离向和方位向进行二维稀疏优化得到雷达图像；所述的方法的具体步骤包括：

步骤1)：合成孔径雷达在方位向沿平台运动轨迹发射线性调频脉冲信号，接收端采集目标回波并进行下变频和I/Q解调得到基带回波信号s(t_a,t_r)，其中t_a和t_r分别表示方位向时间和距离向时间，对应的方位向频率和距离向频率分别为f_a和f_r；将s(t_a,t_r)离散化处理得到N_a×N_r的矩阵S，N_a表示方位向脉冲个数，N_r表示距离向点数，方位向最小时间间隔为Δt_a，距离向最小时间间隔为Δt_r，Δt_a和Δt_r满足奈奎斯特采样定律，然后将S进行辞典式排列成一维向量即将矩阵S的每一行转置后一个接一个排列成单列向量，该向量的长度为N＝N_aN_r；

步骤2)：在方位向降低数据量，接收端在方位向抽取M_a个雷达回波脉冲，M_a＜N_a，脉冲间隔随机分布，脉冲数目M_a取决于场景的稀疏程度，场景越稀疏，所需脉冲数目越少；

步骤3)：在距离向降低数据量，对于步骤2)抽取得到的每个脉冲回波进行测量得到长度为M_r的信号，且M_r＜N_r，则M_a个脉冲回波的测量信号r的总长度为M＝M_aM_r，M＜N，r表示为，

r＝Rs+n   (1)

其中为压缩感知测量矩阵，为加性噪声；

步骤4)：根据Chirp Scaling算法，构建从雷达回波信号s映射到雷达图像g的Chirp Scaling算子即g＝Ts，其中表示雷达图像经辞典式排列后得到一维向量，T的构建方法如下：

$T=F_a^{-1}{P}_3{F}_r^{-1}{P}_2{F}_r{P}_1{F}_a---\left(2\right)$

其中，和分别为方位向傅里叶变换矩阵和距离向傅里叶变换矩阵、和分别为Chirp Scaling算法中的三个相位相乘因子构成的对角矩阵；T为酉矩阵，即T^-1＝T^H，其中T^H为T的共轭转置矩阵，故T的行或列构成一组标准正交基；测量信号r表示为，

r＝Rs+n＝RT^Hs+n   (3)

步骤5)：利用稀疏优化方法恢复目标场景，

$\hat{g}=\arg \underset{g}{\min }{\left|\right|R{T}^{-1}g-r\left|\right|}_2^2+\mathrm{\λ}{\left|\right|g\left|\right|}_1---\left(4\right)$

式中，λ取决于噪声水平，||·||_p表示l_p范数，由优化结果排列而成的二维序列作为最终的雷达图像。

2.根据权利要求1所述的用于合成孔径雷达的压缩感知成像方法，其特征在于，所述的步骤2)通过在发射端发射N_a个脉冲信号，在接收端接收N_a个回波脉冲，然后从中随机抽取M_a个脉冲，或直接采用发射M_a个脉冲，脉冲间隔随机分布，然后在接收端接收全部回波脉冲来实现。

3.根据权利要求1所述的用于合成孔径雷达的压缩感知成像方法，其特征在于，所述的步骤2)中的接收端在方位向抽取M_a个雷达回波脉冲，表示为方位向随机抽取矩阵D_a，其大小为M_aN_r×N_aN_r。

4.根据权利要求1所述的用于合成孔径雷达的压缩感知成像方法，其特征在于，所述的步骤3)中的压缩感知测量矩阵包含方位向抽取矩阵和距离向测量矩阵即R＝ΘD_a；Θ的具体形式为，

其中表示对第i个脉冲回波的测量矩阵。

5.根据权利要求4所述的用于合成孔径雷达的压缩感知成像方法，其特征在于，所述的步骤3)采用模拟-信息转换设备对回波信号进行测量：首先将回波信号与随机±1序列相乘，然后经过低通滤波器或积分器，最后进行低速A/D采样得到离散的测量信号；此时第i个脉冲回波的测量矩阵为Θ_i＝D_rHP_i，其中表示距离向均匀抽取矩阵，代表低速A/D采样过程，D_r的具体表达式为，

表示低通滤波矩阵或积分矩阵，对角矩阵的对角元素为随机±1序列。

6.根据权利要求4所述的用于合成孔径雷达的压缩感知成像方法，其特征在于，所述的步骤3)中的Θ_i采用随机抽取矩阵，即先用高速A/D对雷达回波采样，然后随机抽取少量数据。

7.根据权利要求1所述的用于合成孔径雷达的压缩感知成像方法，其特征在于，所述的步骤4)中的Chirp Scaling算子T的矩阵-向量相乘运算采用快速傅立叶变换和复数相乘实现；利用Chirp Scaling算子构建表示雷达回波信号的标准正交基的步骤包括：

首先，将s(t_a,t_r)进行方位向傅立叶变换转到距离多普勒域，并与第一个相位因子exp[jΦ₁(f_a,t_r)]相乘完成所有目标距离徙动轨迹的一致化；

然后，距离向傅立叶变换到二维频域，并与第二个相位因子exp[jΦ₂(f_a,f_r)]相乘完成距离压缩、二次距离压缩和距离徙动校正；再距离向傅立叶逆变换到距离多普勒域，并与第三个相位因子exp[jΦ₃(f_a,t_r)]相乘完成方位向压缩和剩余相位校正；

最后，方位向傅立叶逆变换得到图像g(t_a,t_r)，整个过程表示为，

其中和表示方位向傅立叶变换算子及其逆算子，和表示距离向傅立叶变换算子及其逆算子；

将g(t_a,t_r)按方位向时间间隔Δt_a和距离向时间间隔Δt_r离散化，并进行辞典式排列得到N×1的向量g；

根据Chirp Scaling算法，构建从雷达回波信号s映射到雷达图像g的Chirp Scaling算子即g＝Ts，其中表示雷达图像经辞典式排列后得到一维向量，T的构建方法如下：

$T=F_a^{-1}{P}_3{F}_r^{-1}{P}_2{F}_r{P}_1{F}_a---\left(8\right)$ 其中，F_a和F_r分别为方位向傅里叶变换矩阵和距离向傅里叶变换矩阵；P₁、P₂和P₃分别为Chirp Scaling算法中的三个相位相乘因子构成的对角矩阵，表示为：

F_a、F_r、P₁、P₂和P₃满足以下性质，

$F_a{F}_a^H=N_{a}I,F_r{F}_r^H=N_{r}I,P_1{P}_1^H=P_2{P}_2^H=P_3{P}_3^H=I---\left(10\right)$

因此T为酉矩阵，即

TT^H＝T^HT＝I   (11)

此时T的行或列构成一组标准正交基。