CN105931282A - 一种维数任意的部分哈达玛测量矩阵构造方法及基于其的信号处理方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种维数任意的部分哈达玛测量矩阵构造方法及基于其的信号处理方法，测量矩阵构造方法先取得待测稀疏或可压缩信号x的维数N，然后判断N的大小，若N＝2^k，则测量矩阵Φ_M×N(M<N)由N阶哈达玛矩阵H_N的前M行构成；否则，将l个阶数分别为2^k1，2^k2，…，2^kl(k1、k2、…、kl为互不相等的非负整数，且2^k1+2^k2+…+2^kl＝N)的哈达玛矩阵子块对角排列成矩阵Φ_N×N，并取其前M行作为测量矩阵Φ_M×N(M<N)；最后利用Φ_M×N对信号x进行测量得到M维测量值，再用匹配追踪类重建算法获得重建信号。本发明适用范围广，占用存储空间小，降低了硬件实现成本。

Description

一种维数任意的部分哈达玛测量矩阵构造方法及基于其的信 号处理方法

技术领域

本发明属于信息技术领域中的信号压缩处理方法，特别涉及信号压缩感知中一种维数任意的部分哈达玛测量矩阵构造方法及基于其的信号处理方法。

背景技术

随着信息技术的快速发展，人们对信息的需求量也以惊人的速度增长，以奈奎斯特采样定理为支撑的传统信息获取、处理、传输和存储方式面临着前所未有的挑战，这主要是因为：1)奈奎斯特采样定理要求的采样频率过高，有效信息的提取效率低下；2)先采样后压缩的方法造成了大量的数据冗余和存储资源浪费。因此，寻找高效且能降低存储和传输成本的信息处理方法是必然的。

2004年，Donoho，Candès和Tao等学者提出了压缩感知理论，该理论指出，如果信号在一组正交基下是稀疏或可压缩的，那么就可以用一个与稀疏矩阵不相关的矩形测量矩阵对其进行观测，直接获取信号的压缩测量值，然后通过求解非线性优化问题高概率重建出原信号。

测量矩阵是压缩感知理论中实现信号采样的关键。2006年，Candès，Romberg和Tao等学者在研究欠定的核磁共振成像时发现，当部分傅里叶矩阵作为测量矩阵时，只需要O(K·log(N))的测量值数目便能将稀疏度为K的N维信号精确重建。但是，部分傅里叶矩阵只适用于时域或频域稀疏的信号，而大部分的自然信号都不是时域或频域稀疏的，所以这种矩阵不具有普遍适用性。随后，Candès和Tao等学者证明，独立同分布的高斯随机矩阵可以观测任意维数的可压缩信号，并能获得较高的重建质量。为了指导构造更多的测量矩阵，2007年Candès和Tao等提出了著名的有限等距性质(RIP)，即对于任意长度为N的K稀疏信号x和常数δ，如果测量矩阵Φ满足：

$(1-\mathrm{\&delta;})\left|\right|\mathrm{\&Phi;}|{|}_2^2\&le;|\left|\mathrm{\&Phi;}x\right|{|}_2^2\&le;(1+\mathrm{\&delta;})\left|\right|\mathrm{\&Phi;}|{|}_2^2,\mathrm{\&delta;}\&Element;(0,1)$

则称它满足K阶有限等距性质。理论上讲，矩阵Φ只要满足2K阶有限等距性质，就能保证把任意一个K稀疏信号x映射到唯一的采样集合y中。但是，要证明一个矩阵是否满足有限等距性质并不容易。为了解决该问题，Baraniuk给出了有限等距性质的等价条件——不相干性。测量矩阵Φ和稀疏矩阵Ψ的不相干性通过互相关系数μ来定义，其数学表达式为：

$\mathrm{\&mu;}=\underset{1\&le;i,j\&le;N,i\&NotEqual;j}{max}\left\{\frac{\left|{a_i}^T{a}_j\right|}{\left|\right|a_i\left|\right|\&CenterDot;\left|\right|a_j\left|\right|}\right\}$

式中，a_i为矩阵A第i列的向量，这里A＝ΦΨ，称为感知矩阵。互相关系数μ越小，测量值里包含的原始信号的信息越多，信号的重建效果就越好。除此之外，Donoho在论文Compressedsensing中给出压缩感知概念的同时，也定性和定量地给出了测量矩阵要满足的三个特征：①由测量矩阵的列向量组成的子矩阵的最小奇异值必须大于一定的常数；②测量矩阵的列向量体现某种类似噪声的独立随机性；③满足稀疏度的解是满足1范数最小的向量。

在这些理论的指导下，研究者们先后构造出了三类测量矩阵：

1)随机测量矩阵，如高斯随机矩阵、贝努利随机矩阵等，相应地，矩阵元素独立地服从高斯分布、贝努利分布。这类矩阵与绝大多数的稀疏矩阵均不相关，且能很好地满足有限等距性质。但是，它们也有着明显的不足，如矩阵元素无规律，随机性太强，计算复杂度高，硬件实现困难，在仿真实验中尚且需要多次测量再取平均值。

2)确定性测量矩阵，如多项式测量矩阵、伪随机测量矩阵等。多项式测量矩阵是最早提出的一种确定性测量矩阵，定义在有限域上，解决了随机测量矩阵稳定性差、硬件实现繁琐的问题，缺点是测量值数目不能任意选取，矩阵构造时间较长，重建效果较差；伪随机测量矩阵由伪随机序列生成，这种矩阵的重建效果介于随机测量矩阵和多项式测量矩阵之间，缺点是矩阵元素均为浮点数，需要占用较大的存储空间。

3)结构随机测量矩阵，如托普利兹测量矩阵、部分哈达玛测量矩阵等。托普利兹测量矩阵的特点是主对角线上的元素相等，平行于主对角线的各线上的元素也相等。实际中，这种矩阵只用一个简单的移位寄存器便可实现，但缺点是重建效果差。部分哈达玛测量矩阵由N阶哈达玛矩阵的任意M行构成，不仅构造简单，在现有测量矩阵中其重建效果也是最好的，但由于哈达吗矩阵的维数N＝2^k(k＝1,2,3,...)，这极大地限制了其使用范围，因为图像处理中经常需要选择感兴趣区域(ROI)进行分析，这种情况下的图像维数具有任意性。此外，该矩阵元素均为非零值，需要较大的存储空间，硬件实现的成本相对高。

因此，有必要设计一种适用范围广、占用空间小的哈达玛测量矩阵。

发明内容

本发明的目的就是要解决将部分哈达玛矩阵作为压缩感知测量矩阵时，信号不能为任意维数且测量阵占用内存空间大的问题，提供一种维数任意的部分哈达玛测量矩阵的构造方法及基于其的信号处理方法，适用范围广，占用空间小。

本发明的具体实现步骤为：

步骤一：通过直接输入或者计数或者使用测量函数等方式，取得待测的原始稀疏或可压缩信号x的维数，记为N；

步骤二：若N＝2^k，则构造N阶哈达玛矩阵H_N，然后选取H_N的前M行构成测量矩阵Φ_M×N(M<N)；否则，将l(l为大于等于2的整数)个阶数分别为2^k1，2^k2，…，2^kl(k1、k2、…、kl为互不相等的非负整数，且2^k1+2^k2+…+2^kl＝N)的哈达玛矩阵作为子块序列，并将此子块序列沿主对角线排列构成块对角矩阵Φ_N×N，然后选取Φ_N×N的前M行作为测量矩阵Φ_M×N(M<N)；顺序选取矩阵H_N前M行而不是随机选取任意M行，更好地保证了测量矩阵的行正交性以及测量结果的稳定性；M的取值由采样率决定；

步骤二中l个阶数不同的哈达玛矩阵子块的构造步骤如下：

a：按哈达玛矩阵构成原理构造哈达玛矩阵子块序列中的第一个子块H₁，其阶数2^k1(k1＝0,1,2,3....)为2的整数次幂中小于信号维数N的最大值；

b：按哈达玛矩阵构成原理构造哈达玛矩阵子块序列中的第二个子块H₂，其阶数为2^k2(k2＝0,1,2,3....)；若N-2^k1是2的整数次幂，即令2^k2＝N-2^k1，结束哈达玛矩阵子块的构造；否则，2^k2取2的整数次幂中小于N-2^k1的最大值；

c：按哈达玛矩阵构成原理构造哈达玛矩阵子块序列中的第三个子块H₃，其阶数为2^k3(k3＝0,1,2,3....)；若N-2^k1-2^k2是2的整数次幂，则令2^k3＝N-2^k1-2^k2，结束哈达玛矩阵子块的构造；否则，2^k3取2的整数次幂中小于N-2^k1-2^k2的最大值；

d：按步骤b和c的方式，逐个构造哈达玛矩阵子块序列的后续低阶子块，直至第l个哈达玛矩阵子块H_l(l＝2,3,4,...)的阶数2^kl＝N-2^k1-2^k2-…-2^k(l-1)。

上述l个阶数不同的哈达玛矩阵子块序列H₁,H₂,…,H_l沿主对角线排列形成块对角矩阵Φ_N×N，Φ_N×N如下式所示：

所述步骤二中测量矩阵Φ_M×N为E_M×NΦ_N×N，其中，E_M×N是N阶单位矩阵的前M行。

阶数为n的哈达玛矩阵H_n是以1和-1为元素构成的并且满足H_nH_n＝nI_n的方阵，其中，I_n为n阶单位矩阵，H_n是其中的任意两行或两列均相互正交的矩阵。

基于上述的维数可控的部分哈达玛测量矩阵的信号处理方法，利用步骤二得出的测量矩阵Φ_M×N对步骤一所述信号x进行测量，即将测量矩阵Φ_M×N与待测的N维原始稀疏或可压缩的信号x相乘，得到M维测量值；然后通过匹配追踪类重建算法(如正交匹配追踪算法)，获得重建信号。

与现有技术相比，本发明的有益效果是：

本发明提出的方法突破了以部分哈达玛矩阵作为压缩感知测量矩阵时，信号维数不能为任意值的限制，扩大了其适用范围，同时，因采用分块对角结构，避免了稠密矩阵占用存储空间大的缺点，降低了硬件实现成本。

一、针对目前重建效果最好的部分哈达玛测量矩阵适用范围受限而且窄的缺点，本发明提出了一种维数任意的部分哈达玛测量矩阵的构造方法，使得按该方法构造的测量矩阵可以观测任意维数的稀疏或可压缩信号，并获得较高的重建质量；

二、针对稠密矩阵占用存储空间大的缺点，本发明在构造过程中采用了块对角阵结构，增加了矩阵的稀疏性，降低了内存需求和硬件实现成本；

三、针对随机矩阵稳定性差的缺点，本发明顺序选取矩阵Φ_N×N的前M行而不是随机选取任意M行，使得压缩测量的结果更加稳定。

附图说明

图1是本发明提出的一种维数任意的部分哈达玛测量矩阵构造方法及基于其的信号处理方法的实现流程图；

图2是采样率为0.5时，采用本发明提出的测量矩阵对大小为120×120的Lena、Cameraman、Fruits和Boat原始图像进行压缩测量后用相同重建算法得到的重建图像；图2(a)、(b)分别为Lena原始图像和重建图像；图2(c)、(d)分别为Cameraman原始图像和重建图像；图2(e)、(f)分别为Fruits原始图像和重建图像；图2(g)、(h)分别为Boat原始图像和重建图像；

图3是采样率为0.5时，采用本发明提出的测量矩阵对大小为200×200的Lena、Cameraman、Fruits和Boat原始图像进行压缩测量后用相同重建算法得到的重建图像；图3(a)、(b)分别为Lena原始图像和重建图像；图3(c)、(d)分别为Cameraman原始图像和重建图像；图3(e)、(f)分别为Fruits原始图像和重建图像；图3(g)、(h)分别为Boat原始图像和重建图像；

图4是分别采用高斯随机矩阵、Logistic混沌测量矩阵、托普利兹测量矩阵和本发明提出的测量矩阵，对大小为120×120的Lena图像进行压缩测量后以相同重建算法进行重建所得采样率和重建图像的峰值信噪比(PSNR)的关系曲线图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明的具体实施方式做进一步的描述。

如附图1所示，本发明提出的一种维数任意的部分哈达玛测量矩阵构造方法，具体实现步骤为：

步骤一、使用测量函数取得待测原始稀疏或可压缩信号x的维数，记为N；

步骤二、判断N的大小，若N＝2^k，则构造N阶哈达玛矩阵H_N，然后选取H_N的前M行构成测量矩阵Φ_M×N(M<N)；否则，将l(l为大于等于2的整数)个阶数分别为2^k1，2^k2，…，2^kl(k1、k2、…、kl为互不相等的非负整数，且2^k1+2^k2+…+2^kl＝N)的哈达玛矩阵作为子块序列，并将此子块序列沿主对角线排列形成块对角矩阵Φ_N×N，然后选取Φ_N×N的前M行作为测量矩阵Φ_M×N(M<N)；

基于上述的维数可控的部分哈达玛测量矩阵的信号处理方法，利用步骤二所得测量矩阵Φ_M×N(M<N)对步骤一中的信号x进行测量，得到M维测量值，然后通过匹配追踪类重建算法，获得重建信号；

步骤二中2^k阶哈达玛矩阵的构造方式为：

其中，H₁＝(1)。

步骤二中l个阶数不同的哈达玛矩阵子块的构造方法如下：

a：按哈达玛矩阵构成原理，构造哈达玛矩阵子块序列中的第一个子块H₁，其阶数2^k1(k1＝0,1,2,3....)为2的整数次幂中小于信号维数N的最大值；

b：按哈达玛矩阵构成原理，构造哈达玛矩阵子块序列中的第二个子块H₂，其阶数为2^k2(k2＝0,1,2,3....)；若N-2^k1是2的整数次幂，即令2^k2＝N-2^k1，结束哈达玛矩阵子块的构造；否则，2^k2取2的整数次幂中小于N-2^k1的最大值；

c：按哈达玛矩阵构成原理，构造哈达玛矩阵子块序列中的第三个子块H₃，其阶数为2^k3(k3＝0,1,2,3....)；若N-2^k1-2^k2是2的整数次幂，则令2^k3＝N-2^k1-2^k2，结束哈达玛矩阵子块的构造；否则，2^k3取2的整数次幂中小于N-2^k1-2^k2的最大值；

d：按步骤b和c的方式，逐个构造哈达玛矩阵子块序列的后续低阶子块，直至第l个哈达玛矩阵子块H_l(l＝2,3,4,...)的阶数2^kl＝N-2^k1-2^k2-…-2^k(l-1)。

步骤二中矩阵Φ_N×N由哈达玛矩阵子块序列(H₁,H₂,…,H_l)沿主对角线排列形成块对角矩阵：

步骤二中顺序选取矩阵Φ_N×N前M行而不是随机选取任意M行是为了更好的保证测量矩阵的行正交性以及测量结果的稳定性。

下面通过具体实施例来验证本发明所提方法的有效性。需要指出的是，该实施例只是示例性的，并不是要限制本发明的适用范围。

实施例1：

选取大小为120×120的Lena、Cameraman、Fruits和Boat图像，并对其进行压缩重建。具体过程为：

一、采用离散余弦变换(DCT)矩阵分别对上述三幅图像进行稀疏化；

二、构造测量矩阵，按照本发明提供的一种维数可控的部分哈达玛测量矩阵构造方法，120可以表示为2⁶+2⁵+2⁴+2³，所以各哈达玛矩阵子块的阶数分别为64，32，16，8，按从小到大顺序沿主对角线排列得到：

然后选取Φ_120×120的前M行作为最后的测量矩阵，其中，M的取值由采样率决定；

三、在采样率M/N为0.5时，对上述四幅图像进行压缩测量，然后采用正交匹配追踪算法对其恢复重建。

附图2给出了分辨率为120x120的原始图像和通过压缩感知重建的对应图像，从中可以看出，采样率为0.5时，本发明提出的测量矩阵构造方法可以实现对120×120图像的压缩重建。

实施例2：

选取大小为200×200的Lena、Cameraman、Fruits和Boat图像，并对其进行压缩重建。其具体实现过程同实施例1，其中因200可表示为2⁷+2⁶+2³，所以对应的哈达玛矩阵子块的阶数分别为128，64，8。附图3给出了分辨率为200×200原始图像和通过压缩感知重建的对应图像，从中可以看出，采样率为0.5时，本发明提出的测量矩阵构造方法同样可以实现对200×200图像的压缩重建。另外，该方法还可以推广到对任意维信号的压缩重建。需要补充说明的是，图3显示的重建图像质量优于图2显示的重建图像质量，是因为图3的原始图像的分辨率高于图2的原始图像。

实施例3：

分别采用高斯随机矩阵、Logistic混沌测量矩阵、托普利兹测量矩阵和本发明提出的测量矩阵对大小为120×120的Lena图像进行压缩测量的性能比较，这里是将峰值信噪比作为性能比较的评价指标。若峰值信噪比大，则认为重建效果好。从图4中对应不同压缩测量矩阵的采样率与重建信号的峰值信噪比的关系曲线可以看出，采样率不超过0.8时，采用本发明提出的测量矩阵进行压缩感知的图像重建效果明显优于其他测量矩阵的。对于采样率大于0.8以后的情况，采用其他测量矩阵测量后重建的效果会略好，但高采样率有违采用压缩感知方法的本意，因此，在要采用压缩感知方法的前提下以高采样率来改进重建性能没有实际意义，故本例不考虑采样率大于0.8的情况。从实际应用的角度来说，本发明构造的测量矩阵进行压缩感知的图像重建效果优于其他测量矩阵。

Claims (5)

1.一种维数任意的部分哈达玛测量矩阵构造方法，其特征在于，该方法包括以下步骤：

步骤一：取得待测的原始稀疏或可压缩的信号x的维数，记为N；

步骤二：若N＝2^k，则构造N阶哈达玛矩阵H_N，然后选取H_N的前M行构成测量矩阵Φ_M×N，M<N；否则，将l个阶数分别为2^k1，2^k2，…，2^kl的哈达玛矩阵作为子块序列，并将此子块序列按对角排列构成矩阵Φ_N×N，然后选取Φ_N×N的前M行作为测量矩阵Φ_M×N，M<N；其中，l为大于等于2的整数，k1、k2、…、kl为互不相等的非负整数，且2^k1+2^k2+…+2^kl＝N。

2.根据权利要求1所述的维数任意的部分哈达玛测量矩阵构造方法，其特征在于，所述步骤二中l个阶数不同的哈达玛矩阵子块序列的构造方法如下：

步骤a：按哈达玛矩阵构成原理，构造哈达玛矩阵子块序列中的第一个子块H₁，其阶数2^k1为2的整数次幂中小于信号维数N的最大值；k1＝0,1,2,3....为非负整数；

步骤b：按哈达玛矩阵构成原理，构造哈达玛矩阵子块序列中的第二个子块H₂，其阶数为2^k2，k2＝0,1,2,3....为非负整数；若N-2^k1是2的整数次幂，即令2^k2＝N-2^k1，结束哈达玛矩阵子块序列的构造；否则，2^k2取2的整数次幂中小于N-2^k1的最大值；

步骤c：按哈达玛矩阵构成原理，构造哈达玛矩阵子块序列中的第三个子块H₃，其阶数为2^k3，k3＝0,1,2,3....为非负整数；若N-2^k1-2^k2是2的整数次幂，则令2^k3＝N-2^k1-2^k2，结束哈达玛矩阵子块序列的构造；否则，2^k3取2的整数次幂中小于N-2^k1-2^k2的最大值；

步骤d：按步骤b和c的方式，逐个构造哈达玛矩阵子块序列的后续低阶子块，直至第l个哈达玛矩阵子块H_l，其阶数为2^kl＝N-2^k1-2^k2-…-2^k(l-1)。

3.根据权利要求2所述的维数任意的部分哈达玛测量矩阵构造方法，其特征在于，l个阶数不同的哈达玛矩阵子块序列H₁,H₂,…,H_l沿主对角线排列形成块对角矩阵Φ_N×N，Φ_N×N如下式所示：

4.根据权利要求1～3中任一项所述的维数任意的部分哈达玛测量矩阵构造方法，其特征在于，通过直接输入、计数或者使用测量函数的方式，取得待测的原始稀疏或可压缩的信号x的维数，记为N。

5.一种基于权利要求1～3中任一项所述的维数任意的部分哈达玛测量矩阵的信号处理方法，其特征在于，利用步骤二得出的测量矩阵Φ_M×N对步骤一所述信号x进行测量，即将测量矩阵Φ_M×N与待测的N维原始稀疏或可压缩的信号x相乘，得到M维测量值；然后通过匹配追踪类重建算法，获得重建信号。