CN102063729A - 基于二维稀疏性的压缩感知图像重建方法 - Google Patents

Abstract

基于二维稀疏性的压缩感知图像重建方法。它涉及一种压缩感知系统中的图像重建方法。它解决了现有压缩感知图像重建方法中所存在的只利用一维稀疏性的不足。步骤如下：一、对二维图像的测量值Y2执行矢量化操作vec；二、利用Kronecker积将公式五变换为如下形式：Y＝ΦΨu＝Θu公式十一；三、利用传统的压缩感知重建方法求解公式十一获得系数向量u；四、再对系数向量u执行逆矢量化操作ivec，获得二维图像X2的稀疏域表示系数S2：S2＝ivec(u)再利用X2＝Ψ2S2Ψ3重建出原始二维图像X2。本发明方法的重建图像峰值信噪比均高于传统方式的重建图像峰值信噪比，也即本发明的方法的重建质量均高于传统方式的重建图像质量。

Description

基于二维稀疏性的压缩感知图像重建方法

技术领域

本发明涉及一种压缩感知系统中的图像重建方法。

背景技术

压缩感知理论是一种新的信号获取、处理方面的理论。与在数据获取领域通常的经验相反，该理论认为许多自然信号和人造信号都是稀疏的，利用随机测量矩阵可把一个具有稀疏特性(或可压缩)的高维信号投影到低维的空间上，并证明了这样的随机投影包含了重建信号的足够信息，然后通过求解一个优化问题就可以从这较少的投影值中完全重建出原始信号。

现有的一维信号X(N×1维)和二维图像X2(N1×N2维)的压缩感知测量和重建过程描述如下：

根据稀疏矩阵Ψ(N×N维)，得到一维信号X的稀疏域表示：

X＝ΨS    公式一

其中，S是一维信号X的稀疏域表示系数(N×1维)，具有K个非零系数和(N-K)个零；

对于一维信号X的压缩感知测量过程如下：

利用测量矩阵Φ(M×N维)，将一维信号X投影到M(M＜＜N)个测量值Y(M×1维)上；

Y＝ΦX＝ΦΨS＝ΘS    公式二

其中Θ＝ΦΨ，Θ是个M×N维矩阵；

在测量过程后，先利用公式二从测量值Y中求取出一维信号X的稀疏域表示系数S，然后再利用公式一重建出原始一维信号X，在重建的过程中利用了一维信号X的稀疏性；

对于二维图像X2(N1×N2维)，利用二维图像的行稀疏矩阵Ψ2(N1×N1维)和二维图像的列稀疏矩阵Ψ3(N2×N2维)，得到二维图像X2的稀疏域表示：

X2＝Ψ2S2Ψ3    公式三

其中，S2是二维图像X2的稀疏域表示系数(N1×N2维)；

利用二维图像的测量矩阵Φ2(M×N1×N2维)，获得M个二维图像的测量值Y2(M×1维)，上述过程用如下公式表示：

Y2＝Φ2*X2＝Φ2*(Ψ2S2Ψ3)    公式四

上面的公式中主要是表示

用*符号表示；

在测量过程后，需要根据公式四从二维图像的测量值Y2中求取出二维图像X2的稀疏域表示系数S2，然后再利用公式三重建出原始二维图像X2，重建过程就利用到了原始二维图像X2的稀疏特性，如公式三所示。

然而，对于公式四的求解，由于涉及到二维矩阵的求解难度较大；另一方面，现有的压缩感知重建方法大都是针对一维信号的，即使是二维图像获取和重建也是将二维图像逐行(或者列)将二维图像看成一维信号操作的，只用到了一维行(或者列)的稀疏特性，相邻的行(或者列)间的相关性没有用到。这样的求解会影响重建图像的质量，造成重建图像质量的下降。考虑到这样的问题，我们希望在重建图像的过程中应用图像的二维稀疏性，而不是只应用一维行(或者列)的稀疏性，从而提高图像重建的质量。

发明内容

本发明为了解决现有压缩感知图像重建方法中所存在的只利用一维稀疏性的不足，提出一种基于二维稀疏性的压缩感知图像重建方法。

基于二维稀疏性的压缩感知图像重建方法的步骤如下：

步骤一：对二维图像的测量值Y2执行矢量化操作vec：

$\mathrm{vec}\left(Y2\right)=\mathrm{vec}(\mathrm{\Φ}2*X2)=\stackrel{\‾}{\mathrm{\Φ}2}\mathrm{vec}\left(\mathrm{\Ψ}2S2\mathrm{\Ψ}3\right)$ 公式五

公式五中，

是二维图像的测量矩阵Φ2的变换形式：

$\stackrel{\‾}{\mathrm{\Φ}2}\left(i\right)=\mathrm{vec}\left(\mathrm{\Φ}\left(i\right)\right)$ 公式七

步骤二：利用Kronecker积将公式五变换为如下形式：

$\mathrm{vec}\left(Y2\right)=\stackrel{\‾}{\mathrm{\Φ}2}\left(\mathrm{\Ψ}2{\⊗\mathrm{\Ψ}3}^T\right)\mathrm{vec}\left(S2\right)$ 公式八

令Y＝vec(Y2)，再令

Θ＝ΦΨ，u＝vec(S2)，则公式八等价于公式十一：

Y＝ΦΨu＝Θu    公式十一

步骤三：利用传统的压缩感知重建方法求解公式十一获得系数向量u；

步骤四：再对系数向量u执行逆矢量化操作ivec，获得二维图像X2的稀疏域表示系数S2：

S2＝ivec(u)    公式十二

再利用X2＝Ψ2S2Ψ3重建出原始二维图像X2。

本发明中提到的一维信号包括具有稀疏特性的语音信号、雷达信号、通信信号等，二维图像包括具有稀疏特性的遥感图像、自然图像、医学图像(CT、核磁)等。为了验证所提出的算法的性能，进行了计算机仿真实验。针对一幅遥感图像(图1)和一幅自然图像(图4)，对图中取出的32×32的子图(图2和图5)进行了实验。采用随机测量矩阵测量，实验中分别采用了不同的获取率，重建使用的稀疏基是傅里叶基，使用的重建方法是典型的稀疏重建的梯度追踪算法(Gradient Pursuit for Sparse Reconstruction，GPSR)方法，对比了传统的只利用一维稀疏性的重建结果和本发明利用二维稀疏性的重建结果，分别标记为传统方法和本发明方法，重建质量用重建图像的峰值信噪比(Peak Signal to Noise Ratio，PSNR)评价。实验结果(图3和图6)，从图3和图6中可见，在多种获取率下，本发明方法的重建图像峰值信噪比均高于传统方式的重建图像峰值信噪比，也即本发明的方法的重建质量均高于传统方式的重建图像质量。

附图说明

图1是一幅遥感图像；图2是图1中取出的32×32的子图；图3是本发明方法的重建图像峰值信噪比与传统方式的重建图像峰值信噪比的对比图；图4是一幅自然图像；图5是图4中取出的32×32的子图；图6是本发明方法的重建图像峰值信噪比与传统方式的重建图像峰值信噪比的对比图。

具体实施方式

具体实施方式一：本实施方式的步骤如下：

步骤一：对二维图像的测量值Y2执行矢量化操作vec：

如果考虑到压缩感知过程中测量矩阵中系数的随机性，只要二维图像的测量矩阵Φ2不是非结构性，那么对二维图像的测量值Y2执行矢量化操作vec：

$\mathrm{vec}\left(Y2\right)=\mathrm{vec}(\mathrm{\Φ}2*X2)=\stackrel{\‾}{\mathrm{\Φ}2}\mathrm{vec}\left(\mathrm{\Ψ}2S2\mathrm{\Ψ}3\right)$ 公式五

公式五中，矢量化操作vec的含义如下：

设A＝(a_i，j)_M×N，称M×N维的列向量vec(A)为矩阵A的按行展开，或矩阵A按行拉直的列向量，如下式：

vec(A)＝(a₁₁，…，a₂₁，…，a_m1，…，a_mn)^T    公式六

公式五中，

是二维图像的测量矩阵Φ2的变换形式(维的矩阵，

)，如果令

中的每一个元素为

1≤i≤M，

令二维图像的测量矩阵Φ2中的每一个元素为Φ2(i，j，k)，1≤i≤M，1≤j≤N1，1≤k≤N2，那么是由二维图像的测量矩阵Φ2确定的，关系如下：

$\stackrel{\‾}{\mathrm{\Φ}2}\left(i\right)=\mathrm{vec}\left(\mathrm{\Φ}\left(i\right)\right)$ 公式七

步骤二：利用Kronecker积将公式五变换为如下形式：

$\mathrm{vec}\left(Y2\right)=\stackrel{\‾}{\mathrm{\Φ}2}(\mathrm{\Ψ}2\⊗\mathrm{\Ψ}{3}^T)\mathrm{vec}\left(S2\right)$ 公式八

Kronecker积的具体解释如下：

根据矩阵分析中的理论，设A∈C^m×n，X∈C^n×p，B∈C^p×q，那么则有下式成立

$\mathrm{vec}\left(\mathrm{AXB}\right)=(A\⊗B^T)\mathrm{vecX}$ 公式九

其中，

表示矩阵A和矩阵B的Kronecker积，

其定义如公式十，其中设A＝(a_i，j)∈C^m×n，B＝(b_i，j)∈C^p×q。

$A\⊗B=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}B& a_{12}B& \·\·\·& a_{1n}B\\ a_{21}B& a_{22}B& \·\·\·& a_{2n}B\\ \·& \·& \·& \·\\ \·& \·& \·& \·\\ \·& \·& \·& \·\\ a_{m1}B& a_{m2}B& \·\·\·& a_{\mathrm{mn}}B\end{array}\right]=\left(a_{\mathrm{ij}}B\right)\∈C^{\mathrm{mp}\×\mathrm{nq}}$ 公式十

令Y＝vec(Y2)，再令

Θ＝ΦΨ，u＝vec(S2)，则公式八等价于公式十一：

Y＝ΦΨu＝Θu    公式十一

步骤三：利用传统的压缩感知重建方法求解公式十一获得系数向量u，传统的压缩感知重建方法包括凸优化算法中的包括基追踪(Basis Pursuit，BP)、稀疏重建的梯度追踪算法(Gradient Pursuit for Sparse Reconstruction，GPSR)、Bregman迭代；贪婪方法算法中的匹配追踪(Matching Pursuit，MP)、正交匹配追踪(Orthogonal Matching Pursuit，OMP)、梯度追踪(Gradient Pursuit，GP)和逐步正交匹配追踪(Stagewise Orthogonal Matching Pursuit，StOMP)；

步骤四：再对系数向量u执行逆矢量化操作ivec，所述的逆矢量化操作ivec操作是矢量化操作vec的逆过程，获得二维图像X2的稀疏域表示系数S2：

S2＝ivec(u)    公式十二

再利用X2＝Ψ2S2Ψ3重建出原始二维图像X2。这种求解方式利用到了二维图像的稀疏特性，而不是按照传统的方法只利用其一维稀疏特性求解。

Claims (2)

1.基于二维稀疏性的压缩感知图像重建方法，其特征在于它的步骤如下：

步骤一：对二维图像的测量值Y2执行矢量化操作vec：

$\mathrm{vec}\left(Y2\right)=\mathrm{vec}(\mathrm{\Φ}2*X2)=\stackrel{\‾}{\mathrm{\Φ}2}\mathrm{vec}\left(\mathrm{\Ψ}2S2\mathrm{\Ψ}3\right)$ 公式五

公式五中，是二维图像的测量矩阵Φ2的变换形式：

$\stackrel{\‾}{\mathrm{\Φ}2}\left(i\right)=\mathrm{vec}\left(\mathrm{\Φ}\left(i\right)\right)$ 公式七

步骤二：利用Kronecker积将公式五变换为如下形式：

$\mathrm{vec}\left(Y2\right)=\stackrel{\‾}{\mathrm{\Φ}2}\left(\mathrm{\Ψ}2{\⊗\mathrm{\Ψ}3}^T\right)\mathrm{vec}\left(S2\right)$ 公式八

令Y＝vec(Y2)，再令

Θ＝ΦΨ，u＝vec(S2)，则公式八等价于公式十一：

Y＝ΦΨu＝Θu    公式十一

步骤三：利用传统的压缩感知重建方法求解公式十一获得系数向量u；

步骤四：再对系数向量u执行逆矢量化操作ivec，获得二维图像X2的稀疏域表示系数S2：

S2＝ivec(u)    公式十二

再利用X2＝Ψ2S2Ψ3重建出原始二维图像X2。

2.根据权利要求1所述的基于二维稀疏性的压缩感知图像重建方法，其特征在于步骤三中的传统的压缩感知重建方法包括凸优化算法中的包括基追踪、稀疏重建的梯度追踪算法、Bregman迭代；贪婪方法算法中的匹配追踪、正交匹配追踪、梯度追踪和逐步正交匹配追踪。

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