CN111562545A - 基于pd-alm算法的稀疏阵列doa估计方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于PD‑ALM算法的稀疏阵列DOA估计方法，包括以下步骤：将稀疏阵列每次快拍获得的采样数据重排成托普利兹矩阵x_T；构造基于秩最小化的矩阵填充模型，并运用PD‑ALM算法对矩阵x_T进行填充，得到满阵x'_T，矩阵x'_T的第一行数据即为该单次快拍补全后的采样数据；所有快拍补全后的采样数据构成数据矩阵X'；最后运用DOA估计算法对数据矩阵X'进行DOA估计。本发明提出的PD‑ALM算法采用罚分解法直接求解秩最小化问题，将其应用在稀疏阵列中，在阵元个数相对较小、干扰源个数较多以及阵列更稀疏的情况下，都能很好地恢复出满阵的接收数据矩阵，从而更准确地估计出来波方向，提高稀疏阵列的测向性能。

Description

基于PD-ALM算法的稀疏阵列DOA估计方法

技术领域

本发明属于雷达信号处理技术，具体涉及一种基于PD-ALM算法的稀疏阵列DOA估计方法。

背景技术

近年来，随着压缩感知和稀疏重构理论在雷达信号处理领域中的不断发展，基于压缩感知和稀疏重构的DOA估计方法得到了广泛的研究。矩阵填充理论由压缩感知理论衍生出来，它能够对缺失数据的矩阵进行填充从而得到完整的矩阵。

矩阵填充主要研究当矩阵中仅观测到部分数据或者矩阵中存在部分数据缺失时，利用已知矩阵元素的相关性，来对缺失的数据进行填充。矩阵填充在数学形式上可以描述为一个仿射秩最小化问题，由于秩函数具有非光滑性和非凸性的特点，所以这类问题通常是NP难问题。一些研究人员利用核范数最小化来替代秩最小化问题，得到了很多有效的算法，包括内点法、奇异值阈值法(SVT)、近似奇异值分解的不动点延拓法、类直线加速策略(APGL)的近似梯度加速法、低秩矩阵拟合方法等。但这些算法都必须满足严格的恢复条件，包括限制等距性质(RIP)，零空间性质(NSP)，s-good性质等。所以，研究人员也开始将目光投向于直接求解秩最小化问题的有效算法。

专利CN 201910464969.7公开了一种基于矩阵填充的嵌套阵阵元失效下的波达方向估计方法及装置，该方法保留了嵌套阵自身的优势，并利用矩阵填充算法填充了更多的阵元来进行DOA估计。该方法虽有效提高了稀疏阵列的DOA估计精度，但只适用于嵌套阵，并不适用于任意的稀疏阵。

专利CN201810110343.1公开了一种矩阵补全方法，该方法首先利用逼近函数近似计算矩阵的秩，然后建立一种逼近矩阵秩的低秩重建模型，接着提出基于非凸函数的低秩矩阵重建模型的求解算法。该方法重建的矩阵精度高，易于操作，可以从少量数据中恢复出完整信号。但该方法适用于秩较小的大型矩阵，当应用在小型稀疏天线阵列中并不能得到预期的效果。

发明内容

本发明的目的在于提供一种基于PD-ALM算法的稀疏阵列DOA估计方法。

实现本发明目的的技术解决方案为：一种基于PD-ALM算法的稀疏阵列DOA估计方法，包括以下步骤：

步骤1、设置稀疏阵列的快拍总数为i_max，i＝1；

步骤2、将稀疏阵列第i次快拍获得的采样数据x(t)重排构造成托普利兹矩阵x_T，该矩阵即为低秩稀疏矩阵；

步骤3、运用PD-ALM算法对低秩稀疏矩阵x_T进行基于秩最小化的优化矩阵填充，得到满阵x'_T；

步骤4、获取矩阵x'_T中的第一行数据，该数据即为补全后的第i次快拍数据，然后将该数据作为稀疏阵列接收数据矩阵X'的第i列数据；

步骤5、i＝i+1，重复步骤2～步骤4直到i＝i_max，这时所有快拍采样数据补全完毕，得到稀疏阵列接收数据矩阵X'；

步骤6、运用DOA估计算法对数据矩阵X'进行DOA估计。

本发明中基于秩最小化的矩阵填充算法与现有的用核范数逼近秩项的方法不同，采用罚分解法直接求解秩最小化问题，其显著优点为：1)在小规模稀疏矩阵中，用该算法可以更快更好的恢复出满阵；2)在矩阵秩相对较大时，该算法依然具有很好的性能；3)将该算法应用在小型稀疏阵列DOA估计中，可以减少阵元间的互耦效应，更加准确地估计来波方向。

下面结合附图对本发明作进一步详细描述。

附图说明

图1为本发明基于秩最小化的矩阵填充方法——PD-ALM算法流程图。

图2为本发明矩阵填充方法在稀疏阵中的应用方法流程图。

图3为稀疏线阵模型图。

图4是本发明实施例1的均方根误差对比图。

图5是本发明实施例2的均方根误差对比图。

图6是本发明实施例3的均方根误差对比图。

具体实施方式

结合图1和图2，本发明为一种基于秩最小化的矩阵填充方法——PD-ALM算法及其在稀疏阵列DOA估计中的应用，其中稀疏阵列模型如图3所示，DOA估计方法包括以下步骤：

步骤1、设置稀疏阵列的快拍总数为i_max，i＝1；

步骤2、将稀疏阵列第i次快拍获得的采样数据x(t)重排构造成托普利兹矩阵x_T，

其中，M为阵列的阵元数目，x_m(t)为第m个阵元在t时刻的信号接收数据，m＝1,2,...M，矩阵x_T为低秩稀疏矩阵。

步骤3、运用PD-ALM算法对低秩稀疏矩阵x_T进行基于秩最小化的优化矩阵填充，得到满阵x'_T。

引入一个辅助变量Y，该矩阵填充算法的优化模型为

其中，E为等效缺失阵列，x'_T为满阵。

PD-ALM算法采用罚分解法和增广拉格朗日乘子法求解上述优化问题，设罚参数为ρ，μ为一个给定的正数，Z为拉格朗日乘子，优化问题可描述为：

当ρ→∞时，上式的解收敛于优化问题模型的解。

该算法通过外循环和内循环实现，外循环不断增大ρ，内循环更新x'_T,Y。具体步骤为：

步骤3-1、输入：观测矩阵x_T，最大迭代次数k_max、l_max，μ和ρ的递增步长t₁＞1、

t₂＞1，内、外循环终止条件中的参数ε₁＜＜1、ε₂＜＜1步骤3-2、迭代过程：

(1)外循环初始化：

ρ₀＝ρ,l＝1

(2)内循环初始化：μ₀＝μ,E₀＝0,Z₀＝0,k＝1

(3)计算

(4)计算

(5)计算

(6)计算μ^k+1＝t₁μ^k

(7)计算

其中，

(8)计算

若

且k≤k_max，则进入(9)；若

或k＞k_max，则进入(10)

(9)k＝k+1，重复(3)-(8)

(10)计算

若

且l≤l_max，则进入(11)；

若

或l＞l_max，则跳出步骤2-2，进入步骤2-3

(11)计算ρ^l+1＝t₂ρ^l

(12)取Y^k+1的第一行，重排成托普利兹矩阵得到新的Y₀

(13)l＝l+1，重复(2)-(12)

步骤3-3、输出：

步骤4、获取矩阵x'_T中的第一行数据，该数据即为补全后的第i次快拍数据，然后将该数据作为稀疏阵列接收数据矩阵X'的第i列数据；

步骤5、i＝i+1，重复步骤2～步骤4直到i＝i_max，这时所有快拍采样数据补全完毕，得到稀疏阵列接收数据矩阵X'；

步骤6、运用DOA估计算法对数据矩阵X'进行DOA估计，下面以root-MUSIC算法为例，具体为：

步骤6-1、对矩阵X'进行协方差计算：

R＝E{[X'][X']^H}

步骤6-2、对矩阵R进行特征分解，确定信号子空间U_S和噪声子空间U_N；

由于特征子空间具有方向矩阵A与噪声子空间U_N正交的性质，故有：

a^H(θ)U_N＝0

步骤6-3、设多项式f(θ)为：

步骤6-4、将步骤6-2中求得的噪声子空间U_N代入到步骤6-3的多项式f(θ)中，求该多项式的根，所得结果即为要求的来波方向。

下面结合三个实施例对本发明作进一步详细描述。

实施例1

设置均匀线阵的阵元个数分别为16、25、36、49、64，随机关闭阵元的个数为总个数的0.3。同时设置快拍数为100，信噪比为10，干扰源为来自两个不同方向的信号。

图4为在不同阵元个数下，采用本发明的基于秩最小化的矩阵填充方法——PD-ALM算法与采用基于核范数最小化的ALM算法以及稀疏阵列下、全数据下的DOA估计的均方根误差对比。从图4可以看出，阵列的阵元数目越多，阵列接收矩阵中包含的有效信息越多，DOA估计的均方根误差越小，空间谱估计的性能越高。但是在阵列个数较少时，采用本发明方法的DOA估计误差明显小于稀疏阵列下的DOA估计和采用ALM算法的DOA估计。

实施例2

设置干扰源分别为来自1个方向，2个不同方向，3个不同方向的信号。同时设置均匀线阵的阵元个数为20，并随机关闭8个阵元。设置快拍数为100，信噪比为10。

图5为在不同个数的干扰源情况下，采用本发明的基于秩最小化的矩阵填充方法——PD-ALM算法与采用基于核范数最小化的ALM算法以及稀疏阵列下、全数据下的DOA估计的均方根误差对比。从图5可以看出干扰源个数越多，DOA估计的均方根误差越大，空间谱估计的性能越低。但是采用本发明方法的DOA估计性能一直明显优于稀疏阵列下的DOA估计和采用ALM算法的DOA估计的性能。

实施例3

设置均匀线阵的阵元个数为20，并设置随机关闭阵元的个数分别为阵元总个数的0.1，0.2，0.3，0.4，0.5，0.6。同时设置快拍数为100，信噪比为10，干扰源为来自两个不同方向的信号。

图6为在不同稀疏比例的阵列下，采用本发明的基于秩最小化的矩阵填充方法——PD-ALM算法与采用基于核范数最小化的ALM算法以及稀疏阵列下、全数据下的DOA估计的均方根误差对比。从图6可以看出关闭阵元越多，阵列接收矩阵中包含的有效信息越少，DOA估计的均方根误差越大，空间谱估计的性能越低。但是采用本发明方法的DOA估计性能一直明显优于稀疏阵列下的DOA估计和采用ALM算法的DOA估计的性能。

本发明方法在阵元个数相对较小、干扰源个数较多以及阵列更稀疏的情况下，都能保持很好的恢复性能，应用在稀疏阵DOA估计中，可以获得更准确的来波方向。

Claims (4)

1.一种基于PD-ALM算法的稀疏阵列DOA估计方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1、设置稀疏阵列的快拍总数为i_max，i＝1；

步骤2、将稀疏阵列第i次快拍获得的采样数据x(t)重排构造成托普利兹矩阵x_T，该矩阵即为低秩稀疏矩阵；

步骤3、运用PD-ALM算法对低秩稀疏矩阵x_T进行基于秩最小化的优化矩阵填充，得到满阵x'_T；

步骤4、获取矩阵x'_T中的第一行数据，该数据即为补全后的第i次快拍数据，然后将该数据作为稀疏阵列接收数据矩阵X'的第i列数据；

步骤5、i＝i+1，重复步骤2～步骤4直到i＝i_max，这时所有快拍采样数据补全完毕，得到稀疏阵列接收数据矩阵X'；

步骤6、运用DOA估计算法对数据矩阵X'进行DOA估计。

2.根据权利要求1所述的基于PD-ALM算法的稀疏阵列DOA估计方法，其特征在于，步骤2中构造的托普利兹矩阵x_T为：

其中，M为阵列的阵元数目，x_m(t)为第m个阵元在t时刻的信号接收数据，m＝1,2,...M，矩阵x_T为低秩稀疏矩阵。

3.根据权利要求1所述的基于PD-ALM算法的稀疏阵列DOA估计方法，其特征在于，步骤3中引入一个辅助变量Y，则基于秩最小化的矩阵填充算法的优化模型为：

其中，E为等效缺失阵列，x'_T为满阵；

PD-ALM算法采用罚分解法和增广拉格朗日乘子法求解上述优化问题，设罚参数为ρ，μ为一个给定的正数，Z为拉格朗日乘子，优化问题可描述为：

当ρ＞∞时，上式的解收敛于优化问题模型的解；

该算法通过外循环和内循环实现，外循环不断增大ρ，内循环更新x'_T,Y，具体步骤为：

步骤3-1、输入：观测矩阵x_T，最大迭代次数k_max、l_max，μ和ρ的递增步长t₁＞1、t₂＞1，内、外循环终止条件中的参数ε₁＜＜1、ε₂＜＜1；

步骤3-2、迭代过程：

(1)外循环初始化：

ρ₀＝ρ,l＝1；

(2)内循环初始化：μ₀＝μ,E₀＝0,Z₀＝0,k＝1；

(3)计算

(4)计算

(5)计算

Z^k+1＝Z^k+μ^k(x_T-x'_T ^k+1-E^k+1)；

(6)计算μ^k+1＝t₁μ^k；

(7)计算

其中，x'_T ^k+1＝U∑(x'_T ^k+1)V^T，

(8)计算||x_T-x'_T ^k+1-E^k+1||_F，若||x_T-x'_T ^k+1-E^k+1||_F≥ε₁且k≤k_max，则进入(9)；若||x_T-x'_T ^k+1-E^k+1||_F＜ε₁或k＞k_max，则进入(10)；

(9)k＝k+1，重复(3)-(8)；

(10)计算||x'_T ^k+1-Y^k+1||_F，若||x'_T ^k+1-Y^k+1||_F≥ε₂且l≤l_max，则进入(11)；若||x'_T ^k+1-Y^{k +1}||_F＜ε₂或l＞l_max，则跳出步骤2-2，进入步骤2-3

(11)计算ρ^l+1＝t₂ρ^l；

(12)取Y^k+1的第一行，重排成托普利兹矩阵得到新的Y₀；

(13)l＝l+1，重复(2)-(12)；

步骤3-3、输出：x'_T ^k+1。

4.根据权利要求1所述的基于PD-ALM算法的稀疏阵列DOA估计方法，其特征在于，DOA估计采用root-MUSIC算法，具体为：

步骤6-1、对矩阵X'进行协方差计算：

R＝E{[X'][X']^H}

步骤6-2、对矩阵R进行特征分解，确定信号子空间U_S和噪声子空间U_N；

由于特征子空间具有方向矩阵A与噪声子空间U_N正交的性质，故有：

a^H(θ)U_N＝0

步骤6-3、设多项式f(θ)为：

步骤6-4、将步骤6-2中求得的噪声子空间U_N代入到步骤6-3的多项式f(θ)中，求该多项式的根，所得结果即为要求的来波方向。

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