CN114280545A - 一种基于低秩Hankel矩阵补全的稀疏线阵雷达布阵方法 - Google Patents

一种基于低秩Hankel矩阵补全的稀疏线阵雷达布阵方法 Download PDF

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Abstract

该发明公开了一种基于低秩Hankel矩阵补全的稀疏线阵雷达布阵方法，属于阵列雷达信号处理领域。通过构造Hankel矩阵并对其进行低秩补全，从而生成理想的方向图并实现稀疏布阵。我们所提出的方法，只需要逼近主瓣上的少数采样点，对旁瓣区域只需要设置一个上限电平，从而在减少阵元数的同时，又能在一定程度上减少对参考方向图的依赖以及计算量。与矩阵束方法(MPM)相比，本发明不需要逼近所有的采样点，可以节省自由度，本发明中将选取主瓣上的个别采样点去逼近即可，并对旁瓣施加一个整体的电平约束，也就是对于Hankel矩阵的反对角线上的元素进行约束，从而构建出一个秩最小化的优化问题。

Description

一种基于低秩Hankel矩阵补全的稀疏线阵雷达布阵方法
技术领域
本发明属于阵列雷达信号处理领域，具体地说是一种利用低秩Hankel矩阵补全来达到生成理想的方向的同时还能够实现稀疏布阵。
背景技术
天线在日常生活中随处可见，其中，阵列天线凭借其方向性强和高增益的特性在工程应用当中颇受欢迎，且阵列信号处理作为信号处理的一个重要分支，在雷达探测、无线通信、地质勘探等诸多军用及民用方面有着广泛的应用。随着人们对于雷达系统中阵列天线的信息处理等能力要求越来越高，因此阵列天线的优化设计就变得尤为重要。由于半波长间距的均匀线阵面临着成本、散热、耦合效应等问题，所以稀疏阵列综合方法也成为人们主要研究的技术之一。近几十年来，国内外对稀疏阵列综合的研究一直在进行，并出现了多种有效方法。而由于凸优化理论的发展，可以针对凸函数最小化的问题求得全局最优解，并且伴随着各种数值求解工具的出现，凸优化方法将更高效且可靠的应用阵列信号处理等各工程领域之中。针对稀疏布阵后的算法中比较经典的要数矩阵束方法(Matrix PencilMethod，MPM)了，本方法也是基于MPM的思想。在MPM中，需要依靠参考方向图，对其进行均匀采样，并且逼近参考方向图上的所有采样点，这样的话对参考方向图的依赖性会比较大，而且需要逼近很多采样点会导致计算量较大。
发明内容
本发明提出一种基于低秩Hankel矩阵补全的稀疏线阵综合方法，通过构造Hankel矩阵并对其进行低秩补全，从而生成理想的方向图并实现稀疏布阵。我们所提出的方法，只需要逼近主瓣上的少数采样点，对旁瓣区域只需要设置一个上限电平，从而在减少阵元数的同时，又能在一定程度上减少对参考方向图的依赖以及计算量。
为实现上述目的，本发明的技术方案为一种基于低秩Hankel矩阵补全的稀疏线阵雷达布阵方法，该方法包括如下步骤：
步骤1：初始一个阵元数为M的雷达方向图为
Figure BDA0003398642040000011
wref表示这个参考方向图的权向量，上标H表示共轭转置运算，a(θ)表示导向矢量，并对其进行均匀采样得到采样点x(n)＝F(u)|u＝nΔ，n＝-N，-N+1，…，N，一共有2N-1个采样点，Δ表示采样间隔，然后利用采样点构造Hankel矩阵：
Figure BDA0003398642040000012
其中，Y的每条反对角线的值都是采样点的值，是一个行数为2N-L+1，列数为L+1的矩阵L为矩阵束参数，且满足2N-L≥M、L+1≥M，再通过矩阵束理论可知，Hankel矩阵的秩rank(Y)和阵元数M是相等的，因此对雷达阵元数的优化就可以转化为对矩阵秩的优化；
步骤2：选取主瓣上的个别采样点，并对雷达旁瓣施加一个整体的电平约束，即对Hankel矩阵的反对角线上的元素进行约束，构建一个秩最小化的优化目标函数：
min rank Y
Figure BDA0003398642040000021
其中，
Figure BDA0003398642040000022
表示在主瓣上需要逼近的点的集合，
Figure BDA0003398642040000023
则表示旁瓣上的点的集合，∈是一个很小的正数，ρ为旁瓣区域的上限电平，xR(n)表示优化后得到的Hankel矩阵的对应位置反对角线的值；
步骤3：对步骤2构建的优化目标函数，采用对数-行列式激发的方法进行求解，根据半正定嵌入引理、一阶泰勒展开就实现对数-行列式激发，通过迭代来求解得到最优解，进而重构出新的Hankel矩阵YR；
步骤4：利用矩阵束方法，通过分别删去YR的第一列和最后一列构造出两个新矩阵YR1和YR2，然后对两矩阵的乘积
Figure BDA0003398642040000024
进行特征值分解得到阵元的分布，上标
Figure BDA0003398642040000025
表示Moore-Penrose逆，第r个阵元的位置
Figure BDA0003398642040000026
表示为
Figure BDA0003398642040000027
其中
Figure BDA0003398642040000028
表示特征值，λ表示波长
步骤5：利用最小二乘法求得新的权向量
Figure BDA0003398642040000029
其中
Figure BDA00033986420400000210
是
Figure BDA00033986420400000211
的R个特征值组成的矩阵，根据新的权向量对雷达进行布阵。
进一步的，所述步骤3的具体方法为：
3a)根据半正定嵌入引理，把步骤2中的min rank Y改写成：
Figure BDA00033986420400000212
Figure BDA00033986420400000213
其中，P和Q都为对称矩阵；
3b)采用函数log det(Y+δI)做平化处理，δ是可以调节的参数，I表示单位阵，进一步将目标函数转化为：
log det(diag(P，Q)+δI)
将目标函数做一阶Taylor级数展开可以得到下式：
log det(Y+δI)≈log det(Yk+δI)+Tr(Yk+δI)-1(Y-Yk)
其中，Yk表示Y的第k次迭代的矩阵，Tr表示矩阵的迹，当Y＞0，忽略不会影响结果的常数，得到优化的矩阵Yk+1：
Yk+1＝argmin Tr(Yk+δI)-1Y
3c)由半正定嵌入引理和对数-行列式激发，得到如下的最终的目标函数：
diag(Pk+1，Qk+1)＝
argmin Tr[(diag(Pk，Qk)+δI-1)diag(P，Q)]
Figure BDA0003398642040000031
Figure BDA0003398642040000032
其中，P0＝I(2N-L+1)×(2N-L+1)、Q0＝I(L+1)×(L+1)；
对该最终目标函数进行求解，得到最优解，进而重构出新的Hankel矩阵YR。
进一步的，所述步骤4的具体方法为：
4a)在得到新的Hankel矩阵YR后，分别剔除矩阵的第一列和最后一列得到两个新的矩阵YR1和YR2：
Figure BDA0003398642040000033
Figure BDA0003398642040000034
然后对两个矩阵的乘积
Figure BDA0003398642040000035
(
Figure BDA0003398642040000036
表示Moore-Penrose逆)进行特征值分解，进而估计出新的阵元位置
Figure BDA0003398642040000037
Figure BDA0003398642040000038
4b)特征值
Figure BDA0003398642040000039
权向量
Figure BDA00033986420400000310
的分量
Figure BDA00033986420400000311
以及采样点x(n)之间的关系如下：
Figure BDA00033986420400000312
对应着
Figure BDA0003398642040000041
通过最小二乘法解出权向量
Figure BDA0003398642040000042
Figure BDA0003398642040000043
根据该权向量
Figure BDA0003398642040000044
对雷达进行布阵。
本发明与现有技术相比具有以下优点：
1)与矩阵束方法(MPM)相比，本发明不需要逼近所有的采样点，可以节省自由度，本发明中将选取主瓣上的个别采样点去逼近即可，并对旁瓣施加一个整体的电平约束，也就是对于Hankel矩阵的反对角线上的元素进行约束，从而构建出一个秩最小化的优化问题；
2)与MPM相比，在稀疏到同样阵元个数的情况下，本发明生成的方向图效果相对更好一些。
3)本发明在求解最小值的过程中，收敛较快，可以通过较少次数的迭代使矩阵的秩到一个稳定值。
附图说明
图1是本发明的总流程图；
图2是本发明中Hankel矩阵化的示意图；
图3是本发明与矩阵束方法(MPM)的方向图及阵元分布对比；其中(a)为本发明与MPM生成的方向图对比(b)为本发明与MPM的阵元分布对比；
图4是本发明与矩阵束方法(MPM)在旁瓣有凹口的情况下的方向图及阵元分布对比；其中，(a)为本发明与MPM在旁瓣有凹口情况下生成的方向图对比(b)为本发明与MPM在旁瓣有凹口情况下的阵元分布对比；
图5是本发明在不同参数条件下的方向图；其中，(a)为本发明在不同初始阵元数下的方向图(b)为本发明在不同旁瓣上限电平下的方向图。
具体实施方式
参照图1，本发明的具体实现步骤如下：
步骤1，构建初始参考方向图并对其进行均匀采样。
考虑一个阵元数为M的均匀线阵雷达，将该均匀线阵雷达的方向图表示出来，即：
Figure BDA0003398642040000045
其中，u＝sinθ，θ表示角度，对f(θ)进行均匀采样可以得到；
x(n)＝F(u)|u＝nΔ
其中n＝-N，-N+1，…，N。
构造Hankel矩阵Y。
首先，参照图2，定义一个Hankel化公式：
Figure BDA0003398642040000051
则，利用参考方向图的采样点就构造出如下的Hankel矩阵：
Figure BDA0003398642040000052
其中L为矩阵束参数，且满足2N-L≥M、L+1≥M。
步骤2：构建一个秩最小化的优化目标函数
2a)由矩阵束理论，得到：
rank(Y)＝M
因此，减少阵元个数的问题就可以转化为秩的最小化问题。
2b)与矩阵束方法不同，本发明提出的方法不需要去逼近所有的采样点，而是选择在主瓣上的某几个采样点去逼近，这样可以节省雷达的自由度，从而，建立出一个算法模型：
min rank Y
Figure BDA0003398642040000053
其中，
Figure BDA0003398642040000054
表示在主瓣上需要逼近的点的集合，
Figure BDA0003398642040000055
则表示旁瓣上的点的集合。
步骤3，求解秩最小化的优化问题。
3a)根据半正定嵌入引理，把上述的算法模型中的min rank Y改写成：
Figure BDA0003398642040000056
Figure BDA0003398642040000057
其中，P和Q都为对称矩阵。
3b)采用函数log det(Y+δI)做平化处理，进一步将目标函数转化为：
log det(diag(P，Q)+δI)
由于这并不是一个凸函数，不能进行凸优化操作，因此通过线性迭代来解决这个问题。将目标函数做一阶Taylor级数展开可以得到下式：
log det(Y+δI)≈log det(Yk+δI)+Tr(Yk+δI)-1(Y-Yk)
其中Yk表示Y的第k次迭代的矩阵；当Y＞0的时候，问题就转化为一个凸优化问题了，忽略一些不会影响结果的常数后，得到优化的矩阵Yk+1：
Yk+1＝argmin Tr(Yk+δI)-1Y
3c)在建立了算法模型的基础上，根据前面的推导，由半正定嵌入引理和对数-行列式激发，得到如下的最终的优化问题：
diag(Pk+1，Qk+1)＝
argmin Tr[(diag(Pk，Qk)+δI-1)diag(P，Q)]
Figure BDA0003398642040000061
Figure BDA0003398642040000062
其中，P0＝I(2N-L+1)×(2N-L+1)、Q0＝I(L+1)×(L+1)
步骤4，估计新的阵元位置并画出方向图。
4a)在得到新的Hankel矩阵YR后，通过分别剔除矩阵的第一列和最后一列得到两个新的矩阵YR1和YR2：
Figure BDA0003398642040000063
Figure BDA0003398642040000064
然后对
Figure BDA0003398642040000065
进行特征值分解，进而估计出新的阵元位置
Figure BDA0003398642040000066
Figure BDA0003398642040000067
其中
Figure BDA0003398642040000068
表示特征值。
4b)特征值
Figure BDA0003398642040000069
权向量分量
Figure BDA00033986420400000610
以及采样点x(n)之间的关系如下：
Figure BDA0003398642040000071
对应着
Figure BDA0003398642040000072
通过最小二乘法解出权向量
Figure BDA0003398642040000073
Figure BDA0003398642040000074
进而画出方向图：
Figure BDA0003398642040000075
一.仿真条件及仿真数据处理
1.仿真条件
设置仿真参数如表1所示：
表1仿真参数表
Figure BDA0003398642040000076
仿真1，主瓣方向设为0度，旁瓣上限电平设为-30dB，采样点设为81个点。对于MPM来说，逼近的是所有的采样点，对于本发明所提出的方法，本发明逼近第40、第41和第43个采样点，主瓣上的其他采样点不加以约束，对于旁瓣上的点则令它们均低于旁瓣上限电平即可，两种方法的方向图以及阵元分布的对比在图3中给出。
由图3可见，两种方法均能够生成理想的方向图，且都减少了阵元数，达到了稀疏布阵的目的。可以看到，在都将阵元数减少到12的情况下，本发明所提出的方法在这种仿真条件下生成的方向图可以更好地约束旁瓣。
仿真2，其他条件不变，在两侧的旁瓣区间内都加入一个-45dB的凹口，两个凹口的位置是对称的，两种方法的方向图以及阵元分布的对比在图4中给出。
由图4可见，两种方法均能够生成理想的方向图，且都减少了阵元数，达到了稀疏布阵的目的。可以看到，在都将阵元数减少到12的情况下，本发明所提出的方法在这种仿真条件下生成的方向图主瓣的宽度更小。
仿真3，分别在改变旁瓣上限电平和初始阵元个数的情况下对本发明进行仿真，仿真图在图5给出。
可以看出，本发明所提出的方法在不同的初是阵元数和旁瓣上限电平的情况下都可以展现出理想的性能。

Claims (3)

1.一种基于低秩Hankel矩阵补全的稀疏线阵雷达布阵方法，该方法包括如下步骤： 步骤1：初始一个阵元数为M的雷达方向图为
Figure FDA0003398642030000011
wref表示这个参考方向图的权向量，上标H表示共轭转置运算，a(θ)表示导向矢量并对其进行均匀采样得到采样点x(n)＝F(u)|u＝nΔ，n＝-N，-N+1，…，N，一共有2N-1个采样点，Δ表示采样间隔，然后利用采样点构造Hankel矩阵：
Figure FDA0003398642030000012
其中，Y的每条反对角线的值都是采样点的值，是一个行数为2N-L+1，列数为L+1的矩阵L为矩阵束参数，且满足2N-L≥M、L+1≥M，再通过矩阵束理论可知，Hankel矩阵的秩rank(Y)和阵元数M是相等的，因此对雷达阵元数的优化就可以转化为对矩阵秩的优化； 步骤2：选取主瓣上的个别采样点，并对雷达旁瓣施加一个整体的电平约束，即对Hankel矩阵的反对角线上的元素进行约束，构建一个秩最小化的优化目标函数： min rank Y
Figure FDA0003398642030000013
其中，
Figure FDA0003398642030000014
表示在主瓣上需要逼近的点的集合，
Figure FDA0003398642030000015
则表示旁瓣上的点的集合，∈是一个很小的正数，ρ为旁瓣区域的上限电平，xR(n)表示优化后得到的Hankel矩阵的对应位置反对角线的值； 步骤3：对步骤2构建的优化目标函数，采用对数-行列式激发的方法进行求解，根据半正定嵌入引理、一阶泰勒展开就实现对数-行列式激发，通过迭代来求解得到最优解，进而重构出新的Hankel矩阵YR； 步骤4：利用矩阵束方法，通过分别删去YR的第一列和最后一列构造出两个新矩阵YR1和YR2，然后对两矩阵的乘积
Figure FDA0003398642030000016
进行特征值分解得到阵元的分布，上标
Figure FDA0003398642030000017
表示Moore-Penrose逆，第r个阵元的位置
Figure FDA0003398642030000018
表示为
Figure FDA0003398642030000019
其中
Figure FDA00033986420300000110
表示特征值，λ表示波长 步骤5：利用最小二乘法求得新的权向量
Figure FDA00033986420300000111
其中
Figure FDA00033986420300000112
是
Figure FDA00033986420300000113
的R个特征值组成的矩阵，根据新的权向量对雷达进行布阵。
2.如权利要求1所述的一种基于低秩Hankel矩阵补全的稀疏线阵雷达布阵方法，其特征在于，所述步骤3的具体方法为：
3a)根据半正定嵌入引理，把步骤2中的min rank Y改写成：
Figure FDA0003398642030000021
Figure FDA0003398642030000022
其中，P和Q都为对称矩阵；
3b)采用函数log det(Y+δI)做平化处理，δ是可以调节的参数，I表示单位阵，进一步将目标函数转化为：
log det(diag(P，Q)+δI)
将目标函数做一阶Taylor级数展开可以得到下式：
log det(Y+δI)≈log det(Yk+δI)+Tr(Yk+δI)-1(Y-Yk)
其中，Yk表示Y的第k次迭代的矩阵，Tr表示矩阵的迹，当Y＞0，忽略不会影响结果的常数，得到优化的矩阵Yk+1：
Yk+1＝argmin Tr(Yk+δI)-1Y
3c)由半正定嵌入引理和对数-行列式激发，得到如下的最终的目标函数：
diag(Pk+1，Qk+1)＝
argmin Tr[(diag(Pk，Qk)+δI-1)diag(P，Q)]
Figure FDA0003398642030000023
Figure FDA0003398642030000024
其中，P0＝i(2N-L+1)×(2NL+1)、Qo＝I(L+1)×(L+1)；
对该最终目标函数进行求解，得到最优解，进而重构出新的Hankel矩阵YR。
3.如权利要求1所述的一种基于低秩Hankel矩阵补全的稀疏线阵雷达布阵方法，其特征在于，所述步骤4的具体方法为：
4a)在得到新的Hankel矩阵YR后，分别剔除矩阵的第一列和最后一列得到两个新的矩阵YR1和YR2：
Figure FDA0003398642030000031
Figure FDA0003398642030000032
然后对两个矩阵的乘积
Figure FDA0003398642030000033
(
Figure FDA0003398642030000034
表示Moore-Penrose逆)进行特征值分解，进而估计出新的阵元位置
Figure FDA0003398642030000035
Figure FDA0003398642030000036
4b)特征值
Figure FDA0003398642030000037
权向量
Figure FDA0003398642030000038
的分量
Figure FDA0003398642030000039
以及采样点x(n)之间的关系如下：
Figure FDA00033986420300000310
对应着
Figure FDA00033986420300000311
通过最小二乘法解出权向量
Figure FDA00033986420300000312
Figure FDA00033986420300000313
根据该权向量
Figure FDA00033986420300000314
对雷达进行布阵。
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