CN107729640A - 一种使用最少阵元的稀疏天线阵列综合布阵方法 - Google Patents

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杨忠
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Abstract

一种阵列天线选择方法，即在减少硬件成本及信号处理负复杂度的前提条件下，仅通过从发送端的天线中选择部分高效的阵元使得天线阵列能够以最少的阵元数满足期望的辐射特性要求，本发明使用改进的迭代傅里叶算法得出满足各自辐射性能要求的方向图所对应的单元激励，在迭代过程中逐步将馈电电流幅值较小的单元强制激励为零，不再加权使用，最终得出设定角度内满足主瓣宽度与波纹、最大副瓣电平等性能指标的方向图所对应的单元的馈电电流和相位，确定天线内高效的阵元后再结合凸优化算法寻求最终的阵元的激励值来满足方向图的性能指标要求。本发明结合了迭代傅里叶算法相关优势，有效回避了凸优化算法当未知变量激增时计算周期长的缺点。

Description

一种使用最少阵元的稀疏天线阵列综合布阵方法
技术领域
本发明涉及阵列信号处理领域，特别是涉及一种使用最少阵元的稀疏天线阵列综合布阵方法。
背景技术
在阵列信号处理中，由于实际的工程应用，通常要求阵列拥有大的孔径和高的分辨率。传统的均匀阵列只能通过增加阵元数目和阵元间距来增大孔径，以实现阵列的高分辨。但阵元数目的增加会提升阵列的构造成本，提升了整个天线系统的复杂度，同时阵元间距的增大则可能导致栅瓣的产生。稀疏相控阵天线是指从规则排布的均匀相控阵中按照一定的比例剔除掉部分阵元，或者将这些阵元连接到匹配负载上，稀疏阵列综合的目的就是通过联合优化阵列的阵元位置和激励方式，使得天线阵列能够通过稀布的方式和先进的处理算法以最少的阵元数目满足期望的波束辐射特性，获得与传统等间距阵相当的孔径效能，实现天线增益、分辨率等方面的技术指标要求，且降低系统的硬件成本，具有灵活布置的优点、其成本、系统网络馈电复杂度大大降低，稀布阵列通过对阵元进行稀疏布阵可以使阵列获得大的孔径且不出现栅瓣，同时阵元间距的变大可以有效减小阵元间的互耦效应，但是稀布阵与同口径满布阵相比副瓣电平较高，因此该课题具有重要的研究意义和应用价值，有很多文献采用不同的智能算法对稀布阵进行综合进而布阵，综合非均匀阵列的阵元位置和激励是一个包含多个未知量的高度非线性优化问题,随着计算机技术的发展，遗传算法、模拟退火算法以及粒子群算法等智能优化算法广泛应用于阵列综合中，这些算法优点包括便于用程序实现，原理简单，在稀布阵优化上有着很好的应用。但是这些传统优化算法本质都是基于随机性的自然算法，应用于求解大规模稀疏阵列时，需要很长的时间才能获得阵列综合结果，同时容易出现个体的早熟现象，陷入局部收敛，不能得到全局最优解。
文献《Beampattern Synthesis for Linear and Planar Arrays With AntennaSelection by Convex Optimization》，(IEEE Transactions on Antennas andPropagation,vol.12,no.12,pp.3923-3930,2010)，中将阵列天线阵列优化方法转变成了凸二次规划(convex quadratic programming)问题，以最少的阵元数目取得了良好的辐射性能，但凸优化算法对于大型阵列无法求解或者求解精度不高，且文献[2]中凸优化问题只能应用于整个面阵单元共轭对称的特例，导致算法应用不具备普适性。针对以上算法的不足之处，本发明提出了一种基于混合优化方法的稀布阵列综合优化方法。首先应用傅里叶变换(Fast Fourier Transform，FFT)算法研究了一种阵列方向图快速综合方法，该算法的核心思想是通过循环快速傅立叶变换FFT算法计算天线阵元激励，在计算过程中逐步将激励幅度较小的阵元放弃加权，再利用凸优化算法计算获得满足辐射性能对应的最终阵元激励。
发明内容
为了解决上述存在的问题，本发明提供一种使用最少阵元的稀疏天线阵列综合布阵方法，本发明中的混合优化方法中对传统IFT算法进行了改进增加了激励幅度约束条件，在凸优化算法部分中，充分利用了IFT算法的计算结果，从而回避了凸优化算法当未知变量激增时计算周期长的缺点，本发明中的混合优化方法具有无需参数调节且鲁棒性强，计算速度快，精度高的特点，在给定平面阵列规模和峰值旁瓣电平等约束条件下，可快速获得最大稀疏化的平面阵列，并同时给出阵元位置及其激励幅度，特别适用于平面阵列优化的实时性和通用性要求较高的场合，为达此目的，本发明提供一种使用最少阵元的稀疏天线阵列综合布阵方法，具体步骤如下：
步骤一：对平面阵列天线远场方向图做UV面转化：
步骤二：利用改近的迭代傅里叶算法,得出满足副瓣电平、主瓣宽度，波纹等辐射性能对应的单元电流激励值：
步骤三：利用改进的凸优化算法来改进各辐射方向图的副瓣电平最大值、主瓣宽度，主瓣波纹相关辐射性能参数，同时有效控制激励幅度动态范围,本步骤需结合步骤二中的IMIFT，将MIFT算法中激励最大部分的值经变换后或直接给CP中相同位置单元赋值，可有效提高方向图性能，将待优化方程转化为凸优化问题，再采用现有的解算工具求得可有效控制激励幅度动态范围且同时满足最优性能方向图所对应的加权矢量。
本发明进一步改进，所述步骤1具体如下：
其中M,N为矩形平面阵列单元数，单元间距d(dx和dy)为半波长，θ与分别对应俯、仰角，为对应单元的幅相激励参数,amn、分别为电流和相位激励参数，m＝1,...,M,n＝1,...,N，设对(1)式做如下变化，
设置w＝[I00,I10,...I(M-2)(N-1),I(M-1)(N-1)]T (3)；
公式(2)转化为：
AF(u,v)＝aw (5)。
本发明进一步改进，所述步骤2具体如下：
1)对Imn进行补零处理，其中首次迭代所有阵元激励均设置为1，变成C×L个值进行二维离散傅里叶逆变换，两个方向的点数C和L，其中C,L为偶数，应满足C≥M和L≥N，根据式(2)计算平面阵列的阵因子AF(u,v)，将辐射区域的离散取样点总数确定为K,将阵因子简化表述为AFk，k＝1，...K，不可见空间区域中的值继续保留(u2+v2＞1区域)；
2)把阵因子AFk归一化后分解成幅度|AF|k和相位ψk；
3)把|AF|k分为主瓣和副瓣两个区域。首先，找出二维方向图主瓣和副瓣区域之间的分界线，即主瓣的第一零线。然后，把零陷以内即主瓣区域内指定波束宽度位置以及周围区域中|AF|k的值与理想的方向图的相同区域进行对比，超出理想方向图上下波纹的区域，直接用上下波纹的期望阵因子值代替，在副瓣区域内将|AF|k与期望最大副瓣电平Sll进行比较，对于超越最大副瓣电平的区域，即|AF|k＞Sll，直接用最大副瓣电平值代替，主瓣以及副瓣调整后，得到新的幅度值|AF|'k，再利用步骤3)中的相位ψk计算得出新的AF′k，公式如下：
4)对AF′k进行二维离散傅里叶逆变换得出C×L个I(c,l)，取前面的M×N个值作为激励幅值wMIFT，将单元中激励值幅度小于阈值的激励值，做相位保留、幅度用阈值替代的处理，处理后的激励幅值作为步骤1的初始值；
5)重复步骤1-4，在一定迭代次数后，将激励值幅度最小的部分单元置零处理，后续过程不再加权使用；
6)直至方向图满足理想方向图的要求，或者达到最大迭代次数后停止迭代否则重复步骤1-5；
此步骤结果选择了高效的阵元的位置以及对应的初始激励IMIFT。
本发明进一步改进，所述步骤3具体如下：
以任意一个辐射方向图为例,将主、副瓣辐射性能参数归结为如下数学公式:
其中SB和SL分别代表方向图的主瓣和副瓣区域，ε为主瓣区域实际辐射的方向图|f(u,v)|2与理想方向图d(u,v)之间允许的最大差值，可有效控制波纹，ρ(u,v)为副瓣区域允许的最大电平，对(7)中对应的主、副瓣部分做如下变化:
对主瓣区域SB以及副瓣区域SL做量化取样处理分别得到(u,v)l(l＝1,...,L)以及(u,v)q(q＝1,...,Q),同时定义al＝a(u,v)l,aq＝a(u,v)q,dl＝d(u,v)l以及ρq＝(u,v)q，结合公式(2，4)，方向图综合问题转化为寻求未知复数向量来满足如下数学表达式:
式(8)中主瓣区域表达式等同于
上式为非凸优化问题,继续做如下数学变换:
定义且增加限制条件,将向量IMIFT中最大的G(G小于阵元个数)个电流激励值直接赋给待求复值向量w中的相同激励单元；
本发明与现有技术方法相比，其有益效果是：
1)本发明计算结果性能高，发明中采用了改进的IFT算法与CP算法相结合的方法对平面阵列进行向图综合，具体包括应用傅里叶变换(Fast Fourier Transform，FFT)算法研究了一种阵列方向图快速综合方法，该算法的核心思想是通过循环快速傅立叶变换FFT算法计算天线阵元激励，按照激励幅度约束条件，剔除掉部分阵元，确定部分高效的阵元的位置和个数以及对应的激励，在CP算法部分充分挖掘迭代傅里叶算法IFT的结果数值，将方向图各项性能表示为一个凸优化模型进行求解。本发明中的混合算法，相比于全局(随机)优化算法，凸优化方法可以找到目标函数的最优解，与已经公开的文献中的算法相比可显著提高方向图各个辐射性能参数并且明显减少阵元使用的数量。
2)本发明通用性好，不依赖阵列天线的阵元特殊布局如激励共轭对称等条件，适用于线性阵列或平面阵列、均匀或非均匀阵列，算法中无需智能优化算法中的参数设置调节，鲁棒性强。
3)本方法结合了迭代傅里叶算法的运算速度快的特点,与传统循环求解凸二次规划问题[]相比，本发明中凸优化算法求解过程只需要一步即可完成,且有效减少了凸优化问题求解过程中的未知变量，缩短了计算求解时间且回避了凸优化算法当未知变量激增时计算周期长的缺点，因此本发明中的算法能很好的处理大型阵列综合问题，便于应用于实际工程。
附图说明
图1，方向图UV面三维视图。
图2，主瓣区域所有取样点的投影。
图3，副瓣区域所有取样点的投影。
图4，阵列中所有点阵元的幅度。
图5，阵列中所有点阵元的相位。
具体实施方式
下面结合附图与具体实施方式对本发明作进一步详细描述：
本发明提供一种使用最少阵元的稀疏天线阵列综合布阵方法，本发明中的混合优化方法中对传统IFT算法进行了改进增加了激励幅度约束条件，在凸优化算法部分中，充分利用了IFT算法的计算结果，从而回避了凸优化算法当未知变量激增时计算周期长的缺点，本发明中的混合优化方法具有无需参数调节且鲁棒性强，计算速度快，精度高的特点，在给定平面阵列规模和峰值旁瓣电平等约束条件下，可快速获得最大稀疏化的平面阵列，并同时给出阵元位置及其激励幅度，特别适用于平面阵列优化的实时性和通用性要求较高的场合。
作为本发明一种具体实施例，本发明提供一种使用最少阵元的稀疏天线阵列综合布阵方法其中方向图UV面三维视图如图1所示，主瓣区域所有取样点的投影如图2所示，副瓣区域所有取样点的投影如图3所示，阵列中所有点阵元的幅度如图4所示，阵列中所有点阵元的相位如图5所示，具体步骤如下：
步骤一：对平面阵列天线远场方向图做UV面转化，过程如下：
其中M,N为矩形平面阵列单元数，单元间距d(dx和dy)为半波长，θ与分别对应俯、仰角，为对应单元的幅相激励参数,amn、分别为电流和相位激励参数，m＝1,...,M,n＝1,...,N，设对(1)式做如下变化，
设置w＝[I00,I10,...I(M-2)(N-1),I(M-1)(N-1)]T (3)；
公式(2)转化为：
AF(u,v)＝aw (5)
步骤二：利用改近的迭代傅里叶算法,得出满足副瓣电平、主瓣宽度，波纹等辐射性能对应的单元电流激励值，步骤如下：
1)对Imn进行补零处理，其中首次迭代所有阵元激励均设置为1，变成C×L个值进行二维离散傅里叶逆变换，两个方向的点数C和L，其中C,L为偶数，应满足C≥M和L≥N，根据式(2)计算平面阵列的阵因子AF(u,v)，将辐射区域的离散取样点总数确定为K,将阵因子简化表述为AFk，k＝1，...K，不可见空间区域中的值继续保留(u2+v2＞1区域)；
2)把阵因子AFk归一化后分解成幅度|AF|k和相位ψk；
3)把|AF|k分为主瓣和副瓣两个区域。首先，找出二维方向图主瓣和副瓣区域之间的分界线，即主瓣的第一零线。然后，把零陷以内即主瓣区域内指定波束宽度位置以及周围区域中|AF|k的值与理想的方向图的相同区域进行对比，超出理想方向图上下波纹的区域，直接用上下波纹的期望阵因子值代替，在副瓣区域内将|AF|k与期望最大副瓣电平Sll进行比较，对于超越最大副瓣电平的区域，即|AF|k＞Sll，直接用最大副瓣电平值代替，主瓣以及副瓣调整后，得到新的幅度值|AF|'k，再利用步骤3)中的相位ψk计算得出新的AF′k，公式如下：
4)对AF′k进行二维离散傅里叶逆变换得出C×L个I(c,l)，取前面的M×N个值作为激励幅值wMIFT，将单元中激励值幅度小于阈值的激励值，做相位保留、幅度用阈值替代的处理，处理后的激励幅值作为步骤1的初始值；
5)重复步骤1-4，在一定迭代次数后，将激励值幅度最小的部分单元置零处理，后续过程不再加权使用；
6)直至方向图满足理想方向图的要求，或者达到最大迭代次数后停止迭代否则重复步骤1-5；
此步骤结果选择了高效的阵元的位置以及对应的初始激励IMIFT；
步骤三：利用改进的凸优化算法来改进各辐射方向图的副瓣电平最大值、主瓣宽度，主瓣波纹相关辐射性能参数，同时有效控制激励幅度动态范围,本步骤需结合步骤二中的IMIFT，具体过程如下：
以任意一个辐射方向图为例,将主、副瓣辐射性能参数归结为如下数学公式:
其中SB和SL分别代表方向图的主瓣和副瓣区域，ε为主瓣区域实际辐射的方向图|f(u,v)|2与理想方向图d(u,v)之间允许的最大差值，可有效控制波纹，ρ(u,v)为副瓣区域允许的最大电平，对(7)中对应的主、副瓣部分做如下变化:
对主瓣区域SB以及副瓣区域SL做量化取样处理分别得到(u,v)l(l＝1,...,L)以及(u,v)q(q＝1,...,Q),同时定义al＝a(u,v)l,aq＝a(u,v)q,dl＝d(u,v)l以及ρq＝(u,v)q，结合公式(2，4)，方向图综合问题转化为寻求未知复数向量来满足如下数学表达式:
式(8)中主瓣区域表达式等同于
上式为非凸优化问题,继续做如下数学变换:
定义且增加限制条件,将向量IMIFT中最大的G(G小于阵元个数)个电流激励值直接赋给待求复值向量w中的相同激励单元；
步骤三中，将MIFT算法中激励最大部分的值经变换后或直接给CP中相同位置单元赋值，可有效提高方向图性能，公式(11)将待优化方程转化为凸优化问题，再采用现有的解算工具求得可有效控制激励幅度动态范围且同时满足最优性能方向图所对应的加权矢量。
以上所述，仅是本发明的较佳实施例而已，并非是对本发明作任何其他形式的限制，而依据本发明的技术实质所作的任何修改或等同变化，仍属于本发明所要求保护的范围。

Claims (4)

1.一种使用最少阵元的稀疏天线阵列综合布阵方法，具体步骤如下，其特征在于：
步骤一：对平面阵列天线远场方向图做UV面转化：
步骤二：利用改近的迭代傅里叶算法,得出满足副瓣电平、主瓣宽度，波纹等辐射性能对应的单元电流激励值：
步骤三：利用改进的凸优化算法来改进各辐射方向图的副瓣电平最大值、主瓣宽度，主瓣波纹相关辐射性能参数，同时有效控制激励幅度动态范围,本步骤需结合步骤二中的IMIFT，将MIFT算法中激励最大部分的值经变换后或直接给CP中相同位置单元赋值，可有效提高方向图性能，将待优化方程转化为凸优化问题，再采用现有的解算工具求得可有效控制激励幅度动态范围且同时满足最优性能方向图所对应的加权矢量。
2.根据权利要求1所述的一种使用最少阵元的稀疏天线阵列综合布阵方法，其特征在于：所述步骤1具体如下：
其中M,N为矩形平面阵列单元数，单元间距d(dx和dy)为半波长，θ与分别对应俯、仰角，为对应单元的幅相激励参数,amn、分别为电流和相位激励参数，m＝1,...,M,n＝1,...,N，设对(1)式做如下变化，
<mrow> <mi>A</mi> <mi>F</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>u</mi> <mo>,</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>m</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mi>M</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munderover> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mi>N</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munderover> <msub> <mi>I</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mi>k</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>md</mi> <mi>x</mi> </msub> <mi>u</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>nd</mi> <mi>y</mi> </msub> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>;</mo> </mrow>
设置w＝[I00,I10,...I(M-2)(N-1),I(M-1)(N-1)]T (3)；
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公式(2)转化为：
AF(u,v)＝aw (5)。
3.根据权利要求1所述的一种使用最少阵元的稀疏天线阵列综合布阵方法，其特征在于：所述步骤2具体如下：
1)对Imn进行补零处理，其中首次迭代所有阵元激励均设置为1，变成C×L个值进行二维离散傅里叶逆变换，两个方向的点数C和L，其中C,L为偶数，应满足C≥M和L≥N，根据式(2)计算平面阵列的阵因子AF(u,v)，将辐射区域的离散取样点总数确定为K,将阵因子简化表述为AFk，k＝1，...K，不可见空间区域中的值继续保留(u2+v2＞1区域)；
2)把阵因子AFk归一化后分解成幅度|AF|k和相位ψk；
3)把|AF|k分为主瓣和副瓣两个区域。首先，找出二维方向图主瓣和副瓣区域之间的分界线，即主瓣的第一零线。然后，把零陷以内即主瓣区域内指定波束宽度位置以及周围区域中|AF|k的值与理想的方向图的相同区域进行对比，超出理想方向图上下波纹的区域，直接用上下波纹的期望阵因子值代替，在副瓣区域内将|AF|k与期望最大副瓣电平Sll进行比较，对于超越最大副瓣电平的区域，即|AF|k＞Sll，直接用最大副瓣电平值代替，主瓣以及副瓣调整后，得到新的幅度值|AF|'k，再利用步骤3)中的相位ψk计算得出新的AFk'，公式如下：
<mrow> <msubsup> <mi>AF</mi> <mi>k</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msubsup> <mo>=</mo> <mo>|</mo> <mi>A</mi> <mi>F</mi> <msubsup> <mo>|</mo> <mi>k</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msubsup> <mo>&amp;times;</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <msub> <mi>j&amp;psi;</mi> <mi>k</mi> </msub> </mrow> </msup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>6</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>;</mo> </mrow>
4)对AFk'进行二维离散傅里叶逆变换得出C×L个I(c,l)，取前面的M×N个值作为激励幅值wMIFT，将单元中激励值幅度小于阈值的激励值，做相位保留、幅度用阈值替代的处理，处理后的激励幅值作为步骤1的初始值；
5)重复步骤1-4，在一定迭代次数后，将激励值幅度最小的部分单元置零处理，后续过程不再加权使用；
6)直至方向图满足理想方向图的要求，或者达到最大迭代次数后停止迭代否则重复步骤1-5；
此步骤结果选择了高效的阵元的位置以及对应的初始激励IMIFT。
4.根据权利要求1所述的一种使用最少阵元的稀疏天线阵列综合布阵方法，其特征在于：所述步骤3具体如下：
以任意一个辐射方向图为例,将主、副瓣辐射性能参数归结为如下数学公式:
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其中SB和SL分别代表方向图的主瓣和副瓣区域，ε为主瓣区域实际辐射的方向图|f(u,v)|2与理想方向图d(u,v)之间允许的最大差值，可有效控制波纹，ρ(u,v)为副瓣区域允许的最大电平，对(7)中对应的主、副瓣部分做如下变化:
对主瓣区域SB以及副瓣区域SL做量化取样处理分别得到(u,v)l(l＝1,...,L)以及(u,v)q(q＝1,...,Q),同时定义al＝a(u,v)l,aq＝a(u,v)q,dl＝d(u,v)l以及ρq＝(u,v)q，结合公式(2，4)，方向图综合问题转化为寻求未知复数向量来满足如下数学表达式:
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式(8)中主瓣区域表达式等同于
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上式为非凸优化问题,继续做如下数学变换:
其中wMIFT＝IMIFT (10)；
定义且增加限制条件,将向量IMIFT中最大的G(G小于阵元个数)个电流激励值直接赋给待求复值向量w中的相同激励单元；
<mrow> <mi>w</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>C</mi> <mo>:</mo> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>|</mo> <msub> <mi>c</mi> <mi>l</mi> </msub> <mi>w</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>d</mi> <mi>l</mi> </msub> <mo>|</mo> <mo>&amp;le;</mo> <mi>&amp;epsiv;</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>f</mi> <mi>o</mi> <mi>r</mi> <mi> </mi> <mi>l</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>...</mo> <mo>,</mo> <mi>L</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>|</mo> <msub> <mi>a</mi> <mi>q</mi> </msub> <mi>w</mi> <mo>|</mo> <mo>&amp;le;</mo> <msub> <mi>&amp;rho;</mi> <mi>q</mi> </msub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>f</mi> <mi>o</mi> <mi>r</mi> <mi> </mi> <mi>q</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>...</mo> <mo>,</mo> <mi>Q</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <munder> <mrow> <mi>m</mi> <mi>a</mi> <mi>x</mi> </mrow> <mrow> <mi>g</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mo>...</mo> <mo>,</mo> <mi>G</mi> </mrow> </munder> <mo>|</mo> <mi>w</mi> <mo>|</mo> <mo>=</mo> <munder> <mrow> <mi>m</mi> <mi>a</mi> <mi>x</mi> </mrow> <mrow> <mi>g</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mo>...</mo> <mo>,</mo> <mi>G</mi> </mrow> </munder> <mo>|</mo> <msub> <mi>w</mi> <mrow> <mi>M</mi> <mi>I</mi> <mi>F</mi> <mi>T</mi> </mrow> </msub> <mo>|</mo> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>11</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>.</mo> </mrow>
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