CN115356678B - 基于dpnalm算法的稀疏阵列doa估计方法 - Google Patents
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Abstract
本发明公开了一种基于DPNALM算法的稀疏阵列DOA估计方法，包括：将稀疏阵列回波快拍重构成Toeplitz矩阵；构造基于秩最小化的矩阵填充模型，运用DPNALM算法对模型进行求解得到满阵对所有快拍的缺失数据均填充完毕后得到补全的数据阵列Xr；求Xr的协方差矩阵并对其进行Toeplitz重构；运用DOA估计算法完成波达方向角估计。本发明提出的DPNALM算法将基于秩最小化的矩阵填充模型分解为低秩逼近和去噪两个子问题，利用Dykstra交替投影得到观测矩阵的低秩原子集，并将观测矩阵投影到低秩原子集上进行去噪，将DPNALM应用在非相关信源和相关信源下的稀疏阵列DOA估计中，均能取得较好效果。
Description
技术领域
本发明属于雷达信号处理技术领域，具体为一种基于DPNALM算法的稀疏阵列DOA估计方法。
背景技术
信号的波达方向(Direction of Arrival,DOA)估计是阵列信号处理的一个重要分支，在雷达探测、通信等众多领域已有广泛应用。与传统均匀阵列相比，稀疏阵列拥有硬件成本低、阵列孔径大、阵元之间互耦效应弱等优势，催生了一批基于稀疏表示，压缩感知等理论的稀疏阵列DOA估计方法。
由于许多实际问题中的数据形式通常为矩阵形式，无法直接利用压缩感知，研究学者将压缩感知理论从稀疏向量推广到低秩矩阵形式，形成了矩阵填充理论。该理论指出，在数据观测矩阵满足低秩性、限制等距性等性质的条件下，就可以利用观测矩阵中已知数据的信息来恢复未知数据，该重构过程的数学模型一般为仿射秩最小化问题，但秩函数的非凸非光滑性会导致这类问题成为NP-hard问题。近年来，研究学者们利用凸函数来近似秩函数进行求解，提出了奇异值阈值算法(SVT)、加速近邻梯度算法(APG)、不动点延拓算法(FPC)、截断核范数最小化(TNNR)等算法。然而，这些算法都没有利用观测矩阵的结构特点，且在低信噪比、相关信源、少快拍数，多信源等条件下性能表现不佳。
发明内容
本发明的目的在于提供一种基于DPNALM算法的稀疏阵列DOA估计方法。
实现本发明目的的技术解决方案为：第一方面，本发明提供一种基于DPNALM算法的稀疏阵列DOA估计方法，包括以下步骤：
步骤1、设置稀疏阵列回波采样数据的快拍总数为N，快拍索引n＝1，2，3，…，N，初始化n＝1；
步骤2、以稀疏阵列第n个快拍数据向量x(t)排列构造成Toeplitz矩阵XT，则矩阵XT为满足低秩特性的稀疏矩阵；
步骤3、运用DPNALM算法对低秩稀疏矩阵XT的未知元素进行填充，得到填充后的满阵
步骤4、获取满阵中的第一列数据，该列数据即为填充补全后的第n个快拍数据向量，然后将该列数据作为填充后的回波数据矩阵Xr的第n列数据；
步骤5、令n＝n+1，重复步骤2～步骤4直至n＝N，此时所有快拍的采样数据均填充补全完毕，得到填充补全后的阵列接收数据矩阵Xr；
步骤6、对经过补全后的稀疏阵列回波数据矩阵Xr求协方差矩阵Rxx并对其进行Toeplitz重构：对矩阵Rxx的位于每一条平行于矩阵主对角线的斜线上的元素求平均值，再用各条斜线的元素平均值代替该斜线上的所有元素以达到解相干目的，Toeplitz重构后的接收数据协方差矩阵为
步骤7、运用常规DOA估计算法对经过矩阵填充、Toeplitz重构后的接收数据协方差矩阵进行DOA估计，得出信源波达方向角。
第二方面，本发明提供一种计算机设备，包括存储器、处理器及存储在存储器上并可在处理器上运行的计算机程序，所述处理器执行所述程序时实现第一方面所述的方法的步骤。
第三方面，本发明提供一种计算机可读存储介质，其上存储有计算机程序，该程序被处理器执行时实现第一方面所述的方法的步骤。
第四方面，本发明提供一种计算机程序产品，包括计算机程序，该计算机程序被处理器执行时实现第一方面所述的方法的步骤。
由于已有的矩阵填充算法模型需要观测数据矩阵在采样集上保持相对准确，然而阵列回波信号会受到严重的噪声污染，即先验信息与其真实值有一定的误差，会破坏观测矩阵的低秩性假设，从而使“恢复矩阵与观测矩阵在采样集上相等”这一约束会降低恢复精度。本发明中基于DPNALM的矩阵填充算法采用矩阵恢复过程与去噪过程交替嵌套进行的思想，通过迭代阈值收缩算子来促进矩阵的低秩特性，通过Dykstra交替投影得到低秩原子集来修正回波数据矩阵的已知信息，其显著优点为：1)在小型稀疏阵列DOA估计应用中，可以减弱阵元之间的互耦效应，可以更准确地恢复满阵，得到更准确的来波方向；2)在回波数据矩阵的秩相对较大的情况下依然具有很好的性能；3)该算法同时适用于来波信源非相干和相干的情况，应用范围更广。
下面结合附图对本发明作进一步详细描述。
附图说明
图1为本发明提出的一种矩阵填充方法——DPNALM算法的流程图。
图2为本发明提出的矩阵填充方法在稀疏阵列DOA估计中的应用流程图。
图3为稀疏线阵模型图。
图4(a)、图4(b)是本发明实施例1的空间谱对比图，其中图4(a)为非相干信源DOA估计空间谱、图4(b)为相干信源DOA估计空间谱。
图5(a)、图5(b)是本发明实施例2的均方根误差对比图，其中图5(a)为非相干信源DOA估计RMSE，图5(b)为相干信源DOA估计RMSE。
图6(a)、图6(b)是本发明实施例3的均方根误差对比图，其中图6(a)为非相干信源DOA估计RMSE，图6(b)为相干信源DOA估计RMSE。
图7(a)、图7(b)是本发明实施例4的均方根误差对比图，其中图7(a)为非相干信源DOA估计RMSE，图7(b)为相干信源DOA估计RMSE。
具体实施方式
结合图1和图2所示，本发明为一种基于Dykstra交替投影的嵌套拉格朗日乘子法(Dykstra Projection Nested Augmented Lagrange Multiplier,DPNALM)算法及其在稀疏阵列DOA估计中的应用，包括以下步骤：
步骤1、设置稀疏阵列回波采样数据的快拍总数为N，快拍索引n＝1，2，3，…，N，采集N个快拍数据即构成稀疏阵列的回波快拍数据阵列Xr，初始化n＝1；
步骤2、以稀疏阵列第n个快拍数据向量x(t)排列构造成Toeplitz矩阵XT，则矩阵XT为满足低秩特性的稀疏矩阵；
其中，M为阵列的阵元数目，xm(t)为第m个阵元在t时刻的接收数据，m＝1，2，…，M-1，M，Toeplitz(x(t))代表以x(t)为第一列，xH(t)为第一行构造Toeplitz矩阵，Toeplitz矩阵XT为满足低秩性、非相关性的稀疏矩阵。
步骤3、运用DPNALM算法对低秩稀疏矩阵XT的未知元素进行填充，得到填充后的满阵基于秩最小化的矩阵填充算法的数学优化模型为：
min rank(X)
其中，XT为输入的观测数据矩阵，Y为辅助变量，E为填充矩阵，Ω为采样集，为线性映射，表示采样集索引对应的元素保持不变，采样集外元素置零。不同于ALM算法的数学优化模型，DPNALM算法在数学优化模型中引入辅助变量Y以将原问题分解为未知元素恢复和去噪修正两个子问题进行交替求解，并在模型中考虑了观测矩阵的Toeplitz结构特点，对最终输出矩阵加入了结构约束以保证输出矩阵和观测矩阵在结构上的一致性。
该优化模型的增广拉格朗日函数为：
其中Λ和Г为拉格朗日乘子，μ为惩罚参数，上式的收敛解是基于秩最小化的矩阵填充模型的最小化近似解。特别地，由于观测矩阵的已知元素往往受到噪声的污染，DPNALM算法基于原子去噪和矩阵结构约束的思想，将该子问题的求解等效为求解模型：
min rank(T)
其中u为标量，向量yk+1为Yk+1+Γk的第一列元素，X∈span(T)，利用Dykstra交替投影法求解该子问题。Dykstra交替投影首先定义两个序列通过在一系列有限个闭凸集Ωi的交集上找到离给定点/>的最佳逼近点，迭代步骤为：
类似地，DPNALM算法通过在Toeplitz矩阵闭凸集ΩToep和由线性不等式定义的闭凸集ΩLMI上进行Dykstra交替投影得到低秩原子空间T，并将X投影到T所在空间上以完成/>的求解。
DPNALM算法通过交替求解变量Y，E，X直至达到收敛条件而跳出迭代循环，具体步骤为：
步骤3-1、初始化矩阵XT，Y0，Λ0，Γ0，误差ε，步长ρ，最大迭代kmax，k＝0；
步骤3-2、迭代过程：
3-2-1更新Yk+1
其中σi代表奇异值；
3-2-2、更新Ek+1
3-2-3、更新Λk+1
Λk+1＝Λk+μk(XT-Yk+1-Ek+1)
3-2-4、更新μk+1＝ρμk；
3-2-5、更新Xk+1
Xk+1＝Toeplitz(V(VHV)-1VH(Yk+1)1，：)
其中是Dykstra交替投影，步骤为：
(1)Dykstra投影初始化yk+1＝(Yk+1+Γk)1，：，误差η，i＝0；
(2)计算P0＝O，Q0＝O，j＝0，I代表单位矩阵，P，Q代表增量矩阵，O为零矩阵；
(3)计算其中/>表示对矩阵Rj+Pj平行于主对角线的斜线上的元素用该斜线上所有元素的平均值替代；
(4)计算Pj+1＝Rj+Pj-Zj；
(5)计算eig( )代表特征分解；
(6)计算
(7)计算Qj+1＝Zj+Qj-Rj+1；
(8)若进入步骤(9)，否则j＝j+1，重复(3)～(8)；
(9)令Ti+1＝Rj+1，若进入步骤(10)，否则i＝i+1，重复(2)～(9)；
(10)计算M为矩阵维数；
(11)计算Xk+1＝Toeplitz(V(VHV)-1VH(Yk+1)1，：)，进入步骤3-2-6；
3-2-6、更新Γk+1
Γk+1＝Γk+Yk+1-Xk+1
3-2-7、计算若/>或者k＞kmax，结束循环进入步骤3-3，否则k＝k+1重复步骤3-2；
步骤3-3、输出
步骤4、获取满阵中的第一列数据，该列数据即为填充补全后的第n个快拍数据向量，然后将该列数据作为填充后的回波数据矩阵Xr的第n列数据；
步骤5、令n＝n+1，重复步骤2～步骤4直至n＝N，此时所有快拍的采样数据均填充补全完毕，得到填充补全后的阵列接收数据矩阵Xr；
步骤6、对经过补全后的稀疏阵列回波数据矩阵Xr求其协方差矩阵Rxx，具体为：
并对其Rxx进行Toeplitz重构：对矩阵Rxx的位于每一条平行于矩阵主对角线的斜线上的元素求平均值，再用各条斜线的元素平均值代替原本平行于矩阵主对角线的同一条斜线上的元素以达到解相干目的，从而保证信源波达方向能被常规DOA估计算法正确估计，Toeplitz重构后的接收数据协方差矩阵为
步骤7、运用常规DOA估计算法对经过矩阵填充、Toeplitz重构后的接收数据协方差矩阵进行DOA估计，得出信源波达方向角。
步骤7-1：对协方差矩阵进行特征值分解，确定信号子空间US和噪声子空间UN：
由于特征子空间具有方向矩阵A(由方向矢量a(θ)构成)与噪声子空间UN正交的性质，故有：
aH(θ)UN＝0
步骤7-2：然而在实际环境中，由于噪声等因素的干扰，aH(θ)UN＝0并不完全满足，此时对aH(θ)UN求最小化，即等效为求空间谱的谱峰，MUSIC算法的空间谱估计公式为：
步骤7-3：对PMUSIC进行谱峰搜索，谱峰对应的θ即为所求信号源波达方向角度。
图3给出了稀疏线阵的结构示意图，为本发明提出的基于DPNALM算法的稀疏阵列DOA估计方法的一种应用场景。如图3所示，设均匀直线阵列的阵元个数为M，阵元间距为d(d≤λ/2,λ为信号波长)，有D个远场窄带信号，信号的入射角度为θi(i＝1,2,...D)，令信号源矢量为S(t)＝[s1(t)，s2(t)，…，sD(t)]，噪声矢量(缺失阵元上的噪声为0)为N(t)＝[n1(t)，n2(t)，…，nM(t)]，以第一个阵元为参考阵元，均匀线阵的阵列导向矩阵A可以表示为：
则接收信号为X(t)＝AS(t)+N(t)。随机关闭阵列中的部分阵元，则阵列导向矩阵A中对应缺失阵元的行元素全部为0，即可获得相同孔径大小的稀疏线阵，接下来的四个实施例均基于此应用场景。
本发明提出的DPNALM算法将基于秩最小化的矩阵填充模型分解为低秩逼近和去噪两个子问题，利用Dykstra交替投影得到观测矩阵的低秩原子集，并将观测矩阵投影到低秩原子集上进行去噪，将DPNALM应用在非相关信源和相关信源下的稀疏阵列DOA估计中，均能取得较好效果；在高阵列稀疏度、多目标源的情况下，都能保持较好测向性能。
下面结合四个实施例对本发明作进一步详细描述。
实施例1
设置信号源个数为3，来波方向为[-35° 20° 55°]，均匀线阵的阵元个数为30，随机关闭阵元的个数占总阵元个数的40％。设置快拍数为100，信噪比为10dB。
图4(a)和图4(b)分别给出了非相干信源和相干信源下在不同矩阵填充算法下得到的空间谱。由图4(a)、图4(b)可知，本发明的DPNALM算法对非相干信源还是相干信源下的稀疏阵列均能取得较好的DOA估计效果，且比TNNR和IALM方法得到的谱峰搜索结果的旁瓣更低。该结果表明本发明方法对信源间的相关性不敏感，且DOA估计效果优于TNNR、IALM方法。
实施例2
设置信号源个数为3，来波方向为[-35° 20° 55°]，均匀线阵的阵元个数分别为20、30、40、50、60、70，随机关闭阵元的个数占总阵元个数的40％，设置快拍数为100，回波信噪比为10dB，做100次蒙特卡洛实验求出DOA估计的均方根误差(RMSE)。
图5(a)、图5(b)分别给出了在非相干信源和相干信源下，当阵元个数不同时，采用本发明的DPNALM算法、IALM算法、TNNR算法对稀疏阵列进行DOA估计的均方根误差对比。由图5(a)、图5(b)可知，阵列的阵元数目越多，接收数据矩阵中包含的有效信息越多，DOA估计均方根误差就越小，结果就越准确。无论在非相干信源还是相干信源下，当阵元个数较少时，采用本发明的DPNALM算法进行DOA估计的误差均小于其他方法的DOA估计误差。
实施例3
设置信号源个数为3，来波方向为[-35° 20° 55°]，均匀线阵的阵元个数为30，并设置随机关闭阵元的个数分别占阵元总个数的10％，20％，30％，40％，50％，60％。同时设置快拍数为100，信噪比为10dB，做100次蒙特卡洛实验求出DOA估计的均方根误差。
图6(a)、图6(b)分别给出了在非相干信源和相干信源下，对不同稀疏程度的稀疏阵列采用本发明的DPNALM算法、IALM算法、TNNR算法进行DOA估计的均方根误差对比。由图6(a)、图6(b)可知，缺失阵元越多，阵列接收数据矩阵中包含的有效信息越少，DOA估计的均方根误差越大，估计效果越不理想。但是无论在非相干信源还是相干信源下，对不同稀疏度的稀疏阵列采用本发明DPNALM算法进行DOA估计的误差均小于其他方法的DOA估计误差。
实施例4
设置信号源个数分别1、2、3，即稀疏阵列接收来自1个方向，2个不同方向，3个不同方向的信号，同时设置均匀线阵的阵元个数为40，随机关闭阵元的个数占总阵元个数的40％，快拍数为100，信噪比为10dB，做100次蒙特卡洛实验求出DOA估计的均方根误差。
图7(a)、图7(b)分别给出了在非相干信源、相干信源下，对不同个数的信号源接收信号时，稀疏阵列采用本发明的DPNALM算法、IALM算法、TNNR算法进行DOA估计的均方根误差对比。由图7(a)、图7(b)可知，信号源个数越多，DOA估计的均方根误差越大，DOA估计的效果越不理想。但是无论在非相干信源还是相干信源下，对不同个数的信号源接收信号时，稀疏阵列采用DPNALM算法进行DOA估计误差均小于其他方法的DOA估计误差。
本发明的DPNALM算法对在非相干信源、相干信源下的稀疏阵列均能取得较好的DOA估计效果，且比TNNR和IALM方法谱峰搜索结果的旁瓣更低，在阵列更稀疏、信号源个数更多的情况下，都能保持很好的性能，本方法应用在稀疏阵列DOA估计中，可以获得更准确的来波方向。
Claims (6)
1.一种基于DPNALM算法的稀疏阵列DOA估计方法，其特征在于，包括以下步骤：
步骤1、设置稀疏阵列回波采样数据的快拍总数为N，快拍索引n＝1，2，3，…，N，初始化n＝1；
步骤2、以稀疏阵列第n个快拍数据向量x(t)排列构造成Toeplitz矩阵XT，则矩阵XT为满足低秩特性的稀疏矩阵；构造的Toeplitz矩阵XT为：
其中，M为阵列的阵元数目，xm(t)为第m个阵元在t时刻的接收数据，m＝1，2，…，M-1，M，Toeplitz(x(t))代表以x(t)为第一列，xH(t)为第一行构造Toeplitz矩阵，Toeplitz矩阵XT为满足低秩性、非相关性的稀疏矩阵；
步骤3、运用DPNALM算法对低秩稀疏矩阵XT的未知元素进行填充，得到填充后的满阵基于秩最小化的矩阵填充算法的数学优化模型为：
min rank(X)
其中，XT为输入的观测数据矩阵，Y为辅助变量，E为填充矩阵，Ω为采样集，为线性映射，表示采样集索引对应的元素保持不变，采样集外元素置零；该优化模型的增广拉格朗日函数为：
其中Λ和Γ为拉格朗日乘子，μ为惩罚参数，上式的收敛解是基于秩最小化的矩阵填充模型的最小化近似解；DPNALM算法基于原子去噪和矩阵结构约束的思想，将该子问题的求解等效为求解模型：
min rank(T)
其中u为标量，向量yk+1为Yk+1+Γk的第一列元素，X∈span(T)，利用Dykstra交替投影法求解该子问题；Dykstra交替投影首先定义两个序列通过在一系列有限个闭凸集Ωi的交集上找到离给定点/>的最佳逼近点，迭代步骤为：
DPNALM算法通过在Toeplitz矩阵闭凸集ΩToep和由线性不等式定义的闭凸集ΩLMI上进行Dykstra交替投影得到低秩原子空间T，并将X投影到T所在空间上以完成去噪；
步骤4、获取满阵中的第一列数据，该列数据即为填充补全后的第n个快拍数据向量，然后将该列数据作为填充后的回波数据矩阵Xr的第n列数据；
步骤5、令n＝n+1，重复步骤2～步骤4直至n＝N，此时所有快拍的采样数据均填充补全完毕，得到填充补全后的阵列接收数据矩阵Xr；
步骤6、对经过补全后的稀疏阵列回波数据矩阵Xr求协方差矩阵Rxx并对其进行Toeplitz重构：对矩阵Rxx的位于每一条平行于矩阵主对角线的斜线上的元素求平均值，再用各条斜线的元素平均值代替该斜线上的所有元素以达到解相干目的，Toeplitz重构后的接收数据协方差矩阵为
步骤7、运用DOA估计算法对经过矩阵填充、Toeplitz重构后的接收数据协方差矩阵进行DOA估计，得出信源波达方向角。
2.根据权利要求1所述的基于DPNALM算法的稀疏阵列DOA估计方法，其特征在于，DPNALM算法通过交替求解变量Y，E，X直至达到收敛条件而跳出迭代循环，具体步骤为：
步骤3-1、初始化矩阵XT，Y0，Λ0，Γ0，误差ε，步长ρ，最大迭代kmax，k＝0；
步骤3-2、迭代过程：
3-2-1、更新Yk+1
其中σi代表奇异值；
3-2-2、更新Ek+1
3-2-3、更新Λk+1
Λk+1＝Λk+μk(XT-Yk+1-Ek+1)
3-2-4、更新μk+1＝ρμk；
3-2-5、更新Xk+1
Xk+1＝Toeplitz(V(VHV)-1VH(Yk+1)1，：)
其中是Dykstra交替投影，步骤为：
(1)Dykstra投影初始化yk+1＝(Yk+1+Γk)1，：，误差η，i＝0；
(2)计算P0＝O，Q0＝O，j＝0，其中I代表单位矩阵，P，Q代表增量矩阵，O为零矩阵；
(3)计算其中/>表示对矩阵Rj+Pj平行于主对角线的斜线上的元素用该斜线上所有元素的平均值替代；
(4)计算Pj+1＝Rj+Pj-Zj；
(5)计算eig()代表特征分解；
(6)计算
(7)计算Qj+1＝Zj+Qj-Rj+1；
(8)若进入步骤(9)，否则j＝j+1，重复(3)～(8)；
(9)令Ti+1＝Rj+1，若进入步骤(10)，否则i＝i+1，重复(2)～(9)；
(10)计算其中V代表特征向量，D代表特征值，M为矩阵维数；
(11)计算Xk+1＝Toeplitz(V(VHV)-1VH(Yk+1)1，：)，进入步骤3-2-6；
3-2-6、更新Γk+1
Γk+1＝Γk+Yk+1-Xk+1
3-2-7、计算若/>或者k＞kmax，结束循环进入步骤3-3，否则k＝k+1重复步骤3-2；
步骤3-3、输出
3.根据权利要求2所述的基于DPNALM算法的稀疏阵列DOA估计方法，其特征在于，步骤7中DOA估计采用多重信号分类算法，具体原理为：
步骤7-1：对协方差矩阵Rxx进行特征值分解，确定信号子空间US和噪声子空间UN：
由于特征子空间具有方向矩阵A与噪声子空间UN正交的性质，故有：
aH(θ)UN＝0
步骤7-2：对aH(θ)UN求最小化，即等效为求空间谱的谱峰，MUSIC算法的空间谱估计公式为：
步骤7-3：对PMUSIC进行谱峰搜索，谱峰对应的θ即为所求信号源波达方向角度。
4.一种计算机设备，包括存储器、处理器及存储在存储器上并可在处理器上运行的计算机程序，其特征在于，所述处理器执行所述程序时实现权利要求1-3中任一所述的方法的步骤。
5.一种计算机可读存储介质，其上存储有计算机程序，其特征在于，该程序被处理器执行时实现权利要求1-3中任一所述的方法的步骤。
6.一种计算机程序产品，包括计算机程序，其特征在于，该计算机程序被处理器执行时实现权利要求1-3中任一所述的方法的步骤。
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