CN103279932B - 一种二维合成稀疏模型和基于该模型的字典训练方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开一种充分利用图像的相关性、分别刻画图像不同维度的特性、大量节省字典的存储空间、去噪效果好的二维合成稀疏模型，以及基于该模型的字典训练方法，包括步骤：（1）构造训练样本集I；（2）初始化两个字典D₁,D₂；（3）稀疏编码；（4）字典更新；（5）判断是否达到迭代停止条件：如果满足迭代条件回到步骤（3），否则执行步骤（6）；（6）输出字典D₁,D₂，完成字典的训练。

Description

一种二维合成稀疏模型和基于该模型的字典训练方法

技术领域

本发明属于信号建模的技术领域，具体地涉及一种二维合成稀疏模型，以及其字典训练方法。

背景技术

信号模型对于处理很多问题起着重要的作用，比如说压缩，采样，重建等等。稀疏表示是一种比较成熟的的建模方式，已经被广泛研究，而且在大多数信号处理领域广泛应用，如图像去噪，纹理合成，视频处理和图像分类。

利用稀疏表示对信号建模主要包括两类：合成稀疏建模和分析稀疏建模。合成模型定义如下：x=Db,s.t.||b||₀=k，这里是一个过完备字典，其中每一列表示一个原子。是一个稀疏向量。||·||₀定义为l₀范数，表示一个向量中非零元素的个数，记为k，用来表征稀疏度。这个模型的含义是指信号x可以由D中的k个原子线性表示。

x表示一个维度为的向量，为一个过完备字典，为稀疏系数，为一个过完备分析字典，其中表示实数域。合成模型中字典都在稀疏表示中都起着重要的作用。字典一般根据形成的方式可分为两类，解析字典和学习字典。解析字典是预定义和有数学表达式的，一些自然图像的解析字典包括：小波,曲小波,轮廓小波，条带波等。而学习字典是通过训练样本得到的，区别于解析字典有有限的表达式，而学习字典能够自适应的表达信号，具有更广泛的表达能力。

目前比较成熟的字典训练方法有：K-SVD和sparse coding。稀疏求解作为字典训练的基础，提供了一系列的求解稀疏系数的方法，一些常用的稀疏求解方法有：匹配跟踪Matching Pursuit(MP),正交匹配跟踪(Orthogonal MP),Lasso,Proximal method。字典学习方法中，Lee等把稀疏求解方法定义为两种凸规划问题的结合，一个是由特征搜索解决的L1范数规范的最优化问题来求解稀疏系数，另一个是利用拉格朗日对偶法求解的L2范数约束的最优化问题来训练字典的基元。而K-SVD方法是一种稀疏系数求解和字典更新过程迭代的求解方法，能够更好的拟合数据。它是一个两阶段迭代更新算法。

但是这些稀疏模型中字典训练过程中的输入信号都是作为一维信号进行处理的。以图像信号为例，二维图像总是被按行或按列将二维信号重排列为一维向量。而这种转换方式打破了图像中空间相关性。为了充分利用图像的相关性，本发明定义了水平字典和垂直字典用来定义二维稀疏模型，本发明中主要研究的是二维合成模型。在本发明中同时提出了相应的稀疏求解方法和字典更新算法，并将最终的二维合成模型应用于图像去噪，来说明本发明中的应用较之传统一维合成模型能够具有更好的性能。

发明内容

本发明的技术解决问题是：克服现有技术的不足，提供一种充分利用图像的相关性、分别刻画图像不同维度的特性、大量节省字典的存储空间、去噪效果好的基于二维合成稀疏模型的字典训练方法。

本发明的技术解决方案是：这种二维合成稀疏模型，该模型为公式（1）

$X=D_1{B}^T{D}_2^T,$

s.t.||B||₀=k, (1)

X=D₁A₁,||A₁||₀=p，

X^T=D₂A₂,||A₂||₀=q，

其中分别为水平字典和垂直字典，分别为图像块在字典D₁下相应的水平稀疏系数和图像块在字典D₂下的垂直稀疏系数，图像块的稀疏表示系数为k是为了说明稀疏度的，矩阵的稀疏度定义为||·||₀，表示矩阵中非零系数的个数。

还提供了基于该二维合成稀疏模型的字典训练方法，包括以下步骤：

（1）构造训练样本集l：对含噪图像进行随机采样得到若干图像块，并将图像块组合到训练样本集中，得到训练样本集其中Y_j表示对图像进行采样得到的第j个d₁×d₁的图像块的大小，表示实数域，其维度为d₁，M₀=M×d₁,M表示图像块样本数量；

（2）初始化两个字典D₁,D₂：利用冗余的离散余弦变换字典初始化字典D₁,D₂；

（3）稀疏编码：首先通过得到张量生成的字典D，将训练样本集中的每一块重排列，得到新样本集其中y_j表示对图像块Y_j进行按列重排列的结果，其中d=d₁×d₁，于是对每一列信号y_j，利用公式(6)求解得到各列信号的稀疏系数，对重排列为图像块的形式，得到B_j，将其组合起来得到稀疏系数B，利用当前的D₁,D₂，得到A₁=[(D₂B₁)^T,(D₂B₂)^T,Κ,(D₂B_M)^T]，

$A_2=[{\left(D_1{B_1}^T\right)}^T,{\left(D_1{B_2}^T\right)}^T,K,{\left(D_1{B}_M^T\right)}^T],$

${\hat{b}}_j=\arg \underset{b_j}{\min }{\left|\right|y_j-{\mathrm{Db}}_j\left|\right|}_F^2+\mathrm{\λ}{\left|\right|b_j\left|\right|}_0---\left(6\right);$

（4）字典更新：利用D₁,D₂分别为重建图像块X和X^T的字典，而整个训练样本集的稀疏系数对应为A₁和A₂，(或者直接改成：利用D₁,D₂分别为训练样本集和训练样本集的字典，而稀疏系数对应为A₁和A₂,)通过利用A₁中非零系数和样本集I，对D₁中的每一列字典进行更新，此时每一个样本对应原始图像块中的某一列，通过公式（4）、（5）进行字典更新，

${\hat{D}}_1=\arg \min {\left|\right|I-D_1{A}_1\left|\right|}_F^2,---\left(4\right)$

${\hat{D}}_2=\arg \min {\left|\right|J-D_2{A}_2\left|\right|}_F^2,---\left(5\right)$

其中 $J=[{Y_1}^T,{Y_2}^T,K,Y_M^Y];$

（5）判断是否达到迭代停止条件：如果满足迭代条件回到步骤（3），否则执行步骤（6）；

（6）输出字典D₁,D₂，完成字典的训练。

传统稀疏表示模型中将图像按列或按行扫描成向量形式，这样破坏了图像的空间结构，图像原始的相关性无法充分利用，如图像块原本第一行的元素与最后一行的元素原本不相邻，相关性较弱，而经过了按列扫描后，在训练字典过程中，认为它们是强相关的，这样训练得到的字典的结果一定不能很好地反应图像的空间相关性。传统稀疏表示模型中字典反映了向量化图像块的特性，其基元也是图像块的向量形式的，即只考虑了图像一个维度的特性，而本发明中提出的二维分析模型中考虑了两个字典D₁,D₂分别从水平方向和垂直方向来刻画图像的特性，这样可以充分利用图像的空间结构，和图像的空间相关性，这样只需要训练存储空间较小的字典就可以自适应地反映图像的特性，相应利用训练得到的字典进行图像去噪，可以更好地从待噪图像中挖掘出原始图像特性，从而实现更好的图像去噪。本发明的实施例反映当字典D₁,D₂的存储空间大小远小于传统一维合成模型中字典D的存储空间的大小，而是与字典D₁,D₂张量生成的D₀存储空间相等时，本发明的去噪效果与传统稀疏模型的去噪效果相当。而当传统模型中字典小到与本发明字典的大小相当时，去噪效果明显下降，因此本发明中在降低字典存储空间，仍可以保证图像的去噪效果，而传统模型字典降低到与本发明字典存储大小相等时，去噪效果则明显下降，本发明的去噪效果要远远好于传统模型。

附图说明

图1示出了根据本发明的一种基于二维合成稀疏模型的字典训练方法的流程图；

图2示出了利用本发明的基于二维合成稀疏模型的字典训练方法的图像去噪方法的流程图。

具体实施方式

这种二维合成稀疏模型，该模型为公式（1）

${X=D}_1{B}^T{D}_2^T,$

s.t.||B||₀=k, (1)

X=D₁A₁,||A₁||₀=p，

X^T=D₂A₂,||A₂||₀=q，

其中 分别为水平字典和垂直字典， 分别为图像块在字典D₁下相应的水平稀疏系数和图像块在字典D₂下的垂直稀疏系数，图像块的稀疏表示系数为k是为了说明稀疏度的，矩阵的稀疏度定义为||·||₀，表示矩阵中非零系数的个数。

如图1所示，基于二维合成稀疏模型的字典训练方法，包括以下步骤：

（1）构造训练样本集I：对含噪图像进行随机采样得到若干图像块，并将图像块组合到训练样本集中，得到训练样本集其中Y_j表示对图像进行采样得到的第j个d₁×d₁的图像块的大小，表示实数域，其维度为d₁，M₀=M×d₁,M表示图像块样本数量；

（2）初始化两个字典D₁,D₂：利用冗余的离散余弦变换字典初始化字典D₁,D₂；

（3）稀疏编码：首先通过得到张量生成的字典D，将训练样本集中的每一块重排列，得到新样本集其中y_j表示对图像块Y_j进行按列重排列的结果，其中d=d₁×d₁，于是对每一列信号y_j，利用公式(6)求解得到各列信号的稀疏系数，对重排列为图像块的形式，得到B_j，将其组合起来得到稀疏系数B，利用当前的D₁,D₂，得到

$A_1=[{\left(D_2{B}_1\right)}^T,{\left(D_2{B}_2\right)}^T,K,{\left(D_2{D}_M\right)}^T],A_2=[{\left(D_1{B_1}^T\right)}^T,{\left(D_1{B_2}^T\right)}^T,K,{\left(D_1{B}_M^T\right)}^T],$

${\hat{b}}_j=\arg \underset{b_j}{\min }{\left|\right|y_j-{\mathrm{Db}}_j\left|\right|}_F^2+\mathrm{\λ}{\left|\right|b_j\left|\right|}_0---\left(6\right);$

（4）字典更新：利用D₁,D₂分别为重建图像块X和X^T的字典，而整个训练样本集的稀疏系数对应为A₁和A₂，利用D₁,D₂分别为重建图像块X和X^T的字典，相应训练样本集和训练样本集稀疏系数对应为A₁和A₂，(或者直接改成：利用D₁,D₂分别为训练样本集和训练样本集的字典，而稀疏系数对应为A₁和A₂,)通过利用A₁中非零系数和样本集I，对D₁中的每一列字典进行更新，此时每一个样本对应原始图像块中的某一列，通过公式（4）、（5）进行字典更新，

${\hat{D}}_1=\arg \min {\left|\right|I-D_1{A}_1\left|\right|}_F^2,---\left(4\right)$

${\hat{D}}_2=\arg \min {\left|\right|J-D_2{A}_2\left|\right|}_F^2,---\left(5\right)$

其中 $J=[{Y_1}^T,{Y_2}^T,K,Y_M^T];$

（5）判断是否达到迭代停止条件：如果满足迭代条件回到步骤（3），否则执行步骤（6）；

（6）输出字典D₁,D₂，完成字典的训练。

传统稀疏表示模型中将图像按列或按行扫描成向量形式，这样破坏了图像的空间结构，图像原始的相关性无法充分利用，如图像块原本第一行的元素与最后一行的元素原本不相邻，相关性较弱，而经过了按列扫描后，在训练字典过程中，认为它们是强相关的，这样训练得到的字典的结果一定不能很好地反应图像的空间相关性。传统稀疏表示模型中字典反映了向量化图像块的特性，其基元也是图像块的向量形式的，即只考虑了图像一个维度的特性，而本发明中提出的二维分析模型中考虑了两个字典D₁,D₂分别从水平方向和垂直方向来刻画图像的特性，这样可以充分利用图像的空间结构，和图像的空间相关性，这样只需要训练存储空间较小的字典就可以自适应地反映图像的特性，相应利用训练得到的字典进行图像去噪，可以更好地从待噪图像中挖掘出原始图像特性，从而实现更好的图像去噪。本发明的实施例反映当字典D₁,D₂的存储空间大小远小于传统一维合成模型中字典D的存储空间的大小，而是与字典D₁,D₂张量生成的D₀存储空间相等时，本发明的去噪效果与传统稀疏模型的去噪效果相当。而当传统模型中字典小到与本发明字典的大小相当时，去噪效果明显下降，因此本发明中在降低字典存储空间，仍可以保证图像的去噪效果，而传统模型字典降低到与本发明字典存储大小相等时，去噪效果则明显下降，本发明的去噪效果要远远好于传统模型。

优选地，所述步骤（1）中采样8×8的图像块。

优选地，迭代条件为迭代次数是否达到上限num或噪声误差是否达到指定值。

下面具体说明本方法的具体实施例。

为了便于下文中公式和符号的方便理解，这里先给出些符号公式的解释。下文中黑色大写字符表示矩阵：如矩阵X，黑色小写字符表示向量，如向量x。而且x通常表示矩阵X按列重排列后的向量形式。的l_q范数定义为这里x_j是向量x中的第j的元素。||·||₀表示l₀范数，用来表征一个向量的非零元素的个数。矩阵的F范数是指其中x_ij表示矩阵X的第i行第j列。符号表示张量算子。我们同样定义向量a是矩阵A中的一个向量，A表示向量的集合。和分别表示字典D₁和D₂的第j列。

为了能够更有效地刻画图像间的二维空间特性，本发明提出了二维稀疏模型(2Dsparse model),定义如下：

$X=D_1{B}^T{D}_2^T,$

s.t.||B||₀=k, (1)

X=D₁A₁,||A₁||₀=p，

X^T=D₂A₂,||A₂||₀=q，

这里 分别为水平字典和垂直字典。 分别为图像块在字典D₁下相应的水平稀疏系数和图像块在字典D₂下的垂直稀疏系数。这个模型的实质是指图像块X可以由水平字典和垂直字典表示，整个图像块的稀疏表示系数为k是为了说明稀疏度的，其中矩阵的稀疏度定义为||·||₀，表示矩阵中非零系数的个数。

以上模型的具体含义是指给定的图像块存在一个水平字典使得图像块的每一列可以由该字典D₁中的少量的基元线性组合得到，其对应的每一个稀疏系数向量可以组成矩阵因此存在X=D₁A₁,同理，X^T的每一列也可以由 $D_2=[d_1^{\left(2\right)},d_2^{\left(2\right)},\mathrm{\Λ},d_{n_1}^{\left(2\right)}]$ 中的某几列线性表出。

以上分析中，X=D₁A₁,和X^T=D₂A₂仅考虑了一维的相关性。本发明中需要建立图像两个方向上的相关性。我们可以看出稀疏表示系数矩阵A₁在垂直方向上是存在冗余的，而D₂是反映垂直方向的字典。因此A₁的转置一定可以由D₂中某几个原子线性表出，因此存在同理而这正好满足

本发明中的二维模型与一维稀疏表示合成模型的关系，是当D₁，D₂给定时，可以通过Kronecker product(张量积)转化为一维模型：x=Db。而其中D与D₁,D₂的关系如下：

$D=D_1\⊗D_2---\left(2\right)$

本发明针对二维图像中需要解决当给定字典D₁,D₂和待噪图像块，如何重建图像。本发明中记一个被噪声污染的图像块为Y，且满足Y=X+V，其中原始图像块X满足以上二维合成模型，即或者这里V是均值为零的加性高斯白噪声，B为稀疏系数，满足||B||₀=L≤n₁×n₁。为了后续中叙述方便，本发明中记满足以上条件的图像块X符合(ε,L,D₁,D₂)模型。而这个重建问题可写作是：

$\hat{X}=\arg \underset{X}{\min }{\left|\right|X-Y\left|\right|}_F^2,s.t.X=D_1{B}^T{D}_2^T,{\left|\right|B\left|\right|}_0=L.---\left(3\right)$

当然本发明中也解决当给定图像块集合，如何训练得到字典D₁,D₂，使字典能够更好的表达图像块的特性，并将以上二维稀疏表示模型应用于去噪，修复，压缩感知等领域。

由于字典更新中需要用到以上模型，所以本发明给出该模型在图像去噪的字典训练方法。

当给定样本集这里Y_j是大小为d₁×d₁的图像块，而M₀=d₁×M。训练集中包含了M个图像块，假设当前给定的每个图像块Y_j是属于(ε,L,D₁,D₂)这个模型下的X_j的图像块的加噪图像块，即Y_j=X_j+V_j。V_j加性高斯白噪声。本发明的目的是通过给定的训练集得到二维的字典。目标函数可以定义为如下的形式：

$\{D_1,D_2,B\}=\underset{D_1,D_2,B}{\arg \min }{\left|\right|I-\mathrm{II}\left|\right|}_F^2$

$s.t.D_1{B}_j^T{D}_2^T=X_j,1\≤j\≤M,---\left(4\right)$

$\left|\right|B_j^T{\left|\right|}_0=k$

这里B为样本的稀疏系数矩阵。是X_j的稀疏系数矩阵。经典的字典训练方法中，字典和稀疏系数的最优化问题不是联合凸规划问题，但是当固定稀疏系数求解字典时，该问题就是最优化问题，反之也是如此。因此以上问题，本发明中也采用两阶段分块松弛方法来求解，其两个关键环节：1.稀疏编码：在给定字典D₁,D₂，获得二维信号的稀疏表示B。2.字典更新：对于得到上述稀疏系数B时，如果更新字典D₁,D₂。

当两个方向的字典D₁,D₂给定时，求解稀疏系数的问题，归结为对于M个图像块Y_j，求解其稀疏系数的问题。对于每一个Y_j，实际上需要求解以下最优化问题：

${\hat{B}}_j=\arg \underset{B_j}{\min }{\left|\right|Y_j-D_1{B_j}^T{D}_2^T\left|\right|}_F^2+\mathrm{\λ}{\left|\right|B_j\left|\right|}_0---\left(5\right)$

该问题是一个二维稀疏编码问题(基追踪问题)，可以通过2D-OMP求解[14]。Fang等学者已经证明2D-OMP和1D-OMP是等价的，计算结果是一致的。只是在算法复杂度和存储空间是2D-OMP低于1D-OMP。对于以上问题，1D-OMP的求解复杂度为O(d×n)，这里d=d₁×d₁，n=n₁×n₁，而2D-OMP的算法复杂度为O(d₁×n)，是1D-OMP的1/d₁；同样存储空间上，一维稀疏编码中需要字典大小为d×n，而二维稀疏编码d₁×q,q=n₁+n₂。本发明中采用将其转化为一维稀疏编码问题去求解：

${\hat{b}}_j=\arg \underset{b_j}{\min }{\left|\right|y_j-{\mathrm{Db}}_j\left|\right|}_F^2+\mathrm{\λ}{\left|\right|b\left|\right|}_0---\left(6\right)$

其中y_j,b_j分别是Y_j，的按列重排列向量。而D是D₁,D₂的KroneckerProduct(张量)运算的结果，即

当稀疏系数B求出来后，对D₁,D₂进行更新。首先利用当前的D₁,D₂，得到A₁=[(D₂B₁)^T,(D₂B₂)^T,Κ,(D₂B_M)^T]， $A_2=[{\left(D_1{B_1}^T\right)}^T,{\left(D_1{B_2}^T\right)}^T,K,{\left(D_1{B}_M^T\right)}^T],$ 然后通过以下最优化问题对D₁,D₂进行更新。

${\hat{D}}_1=\arg \min {\left|\right|I-D_1{A}_1\left|\right|}_F^2,---\left(7\right)$

${\hat{D}}_2=\arg \min {\left|\right|J-D_2{A}_2\left|\right|}_F^2,---\left(8\right)$

其中 $J=[{Y_1}^T,{Y_2}^T,K,Y_M^T].$

对于求解(7),本发明中需要通过A₁中的非零系数来对字典D₁更新。假设I和A₁都固定，考虑对D₁的第j列和A₁中第j行稀疏系数进行更新，可以表示为则公式(7)可写作：

${\left|\right|I-D_1{A}_1\left|\right|}_F^2={\left|\right|I-\underset{j=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{d}_j^{\left(1\right)}{A}_{1T}^j\left|\right|}_F^2={\left|\right|I-\underset{j\≠k}{\mathrm{\Σ}}{d}_j^{\left(1\right)}{A}_{1T}^j-d_k^{\left(1\right)}{A}_{1T}^k\left|\right|}_F^2={\left|\right|E_k-d_k^{\left(1\right)}{A}_{1T}^k\left|\right|}_F^2---\left(9\right)$

本发明中将乘积D₁A₁转换为M个秩1矩阵的和。其中M-1项是固定的，而其中第k项是未知的。E_k表示当第k列字典被移除后，对于所有的M个样本的重建误差。本发明中使用奇异值分解(svd)来求解更新的实质就是利用k-svd算法找到E_k的秩1的分解向量,从而使得上述误差尽可能小。

这里总结一下本发明中提出的二维合成稀疏模型中字典更新过程中的算法复杂度和存储大小。一个m×n的矩阵的准确SVD算法复杂度为O(min{mn²,nm²})。传统的一维字典更新过程中，更新每个原子都需要SVD。由于更新一个原子的算法复杂度为O(d²M)(d<<M)，则更新D中所有原子的算法复杂度为O(nd²M)。而本发明中上述二维字典更新过程中，需要进行SVD的矩阵大小为d₁×N，这里N=d₁×M。因此更新D₁中每个字典的算法复杂度为O(d₁ ²N)＝O(d^3/2M)，所以更新D₁和D₂都需要更新n₁个原子，因此本发明中提出的字典更新算法中所需要的算法复杂度为O(n^1/2d^3/2M)。对于存储空间，本发明中二维模型字典所需空间为2d₁×n₁=2d^1/2n^1/2个像素，而传统的一维模型中字典所需存储空间为dn个像素。因此，本发明中二维稀疏模型中时间算法复杂度和存储空间大小都远远小于一维模型。

为了说明本发明的有效性，本发明将提出的二维稀疏模型及其字典训练方法应用于图像去噪中。

图像去噪可归结为解决如下问题，对于一副含噪图像V，满足V=U+W。这里W是加性高斯白噪声图像，U不含噪声的原始图像，该图像中的每一个图像块满足(ε,L,D₁,D₂)模型。因此图像去噪就是解决以下最优化问题：

$\{\widehat{B_{\mathrm{ij}}},\hat{U}\}=\underset{B_{\mathrm{ij}},U,}{\arg \min }{\left|\right|U-V\left|\right|}_F^2+\underset{i,j}{\mathrm{\&Sigma;}}{\mathrm{\&mu;}}_{\mathrm{ij}}{\left|\right|B_{\mathrm{ij}}\left|\right|}_0+\underset{i,j}{\mathrm{\&Sigma;}}{\left|\right|D_1{B_{\mathrm{ij}}}^T{D}_2^T-U_{\mathrm{ij}}\left|\right|}_2^2---\left(10\right)$

上式中第一项是为了保证图像U和V误差尽可能小的约束，第二项和第三项是为了使得位置为(i,j)大小为d₁×d₁的图像块U_ij能够满足(ε,L,D₁,D₂)模型。

本发明具体是使用以上提出的二维字典训练方法来解决图像去噪问题。测试图像包括'Lena','Peppers','House','Barbara','Fingerprint','Boats'。当对以上图像添加不同的均方误差的高斯噪声后，得到噪声图像，然后对噪声图像做去噪处理。其中采样的图像块大小为d₁×d₁=8×8，初始字典D₁,D₂大小为8×16，张量生成的字典D大小为64×256。

为了验证对以上图像的去噪效果，主要是通过峰值信噪比（Peak Signal toNoise Ratio，PSNR）度量，单位为分贝（dB）。其计算公式如下：

$\mathrm{PSNR}=10\&CenterDot;{\log }_{10}\left(\frac{{255}^2}{\mathrm{MSE}}\right)---\left(11\right)$

两幅大小为m*n的图像的均方误差MSE的定义如下：

$\mathrm{MSE}=\frac{1}{m\&times;n}\underset{x=0}{\overset{m-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{y=0}{\overset{n-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\left|\right|I(x,y)-J(x,y)\left|\right|}^2---\left(12\right)$

其中I,J分别表示原始不含噪声的图像和利用稀疏编码方法重建图像，而I(x,y),J(x,y)为对应于位置(x,y)处的像素值，则均方误差越小，则PSNR越高，则该方法的去噪效果越高。

本发明中给出了当二维模型的字典远远小于一维模型字典存储空间时，图像去噪的结果，其中二维字典张量生成的字典大小与一维模型所使用和训练的字典的大小一致。实验结果如表2所示。尽管2D模型中使用的字典存储空间远小于1D模型中的字典，但对添加不同大小的噪声图像的去噪效果和1D模型下的去噪效果相当，甚至有个别会高于1D模型(黑体的实验结果)。但是此时2D模型中字典却能大量节省存储空间。

以下说明二维合成模型图像去噪实施例

1.利用含噪图像构造待求解的图像块。

对已知含噪图像进行8×8的块采样，而且采样过程中使用有重叠的方式进行采样，重叠部分为overlap=1。共采样N块，则并将图像块排列成8×8N的待稀疏重建的图像，得到待重建集合Y。

2.利用两个训练字典D₁,D₂求解一维稀疏编码中所需字典D

通过得到张量生成的字典D

3.利用传统的一维稀疏重建方法求解Y的重建值

本实施例采用一维传统的稀疏重建算法(1D-OMP)，对以上Y中每一个图像块进行重排列，得到重建，对其中的每列信号y_j进行稀疏表示，得到稀疏系数最终则其重建结果为:然后对I进行逆重排列操作，得到图像块的形式的重建图像块集合。(当然也可以直接采用2D-OMP算法)。

4.利用上述N个重建图像块得到去噪图像。

根据采样过程中的采样方式以及相应图像块的重叠方式，将目前得到的N个重建图像块重新恢复回原始图像大小，对应于有重叠的地方，则采用取平均值的操作。即如果某个像素点被m=7个块同时共有，则该块最终的值为相应于其共有的采样块上该像素点的平均值。最终可以恢复得到重建的去噪的图像。

以上所述，仅是本发明的较佳实施例，并非对本发明作任何形式上的限制，凡是依据本发明的技术实质对以上实施例所作的任何简单修改、等同变化与修饰，均仍属本发明技术方案的保护范围。

Claims (3)

1.一种基于二维合成稀疏模型的字典训练方法，其特征在于：

该二维合成稀疏模型为公式(f1)

$\begin{array}{c}X=D_1{B}^T{D}_2^T,\\ \begin{array}{cc}s.t.& \left|\right|B|{|}_0=k,\\ & X=D_1{A}_1,\left|\right|A_1|{|}_0=p,\\ & X^T=D_2{A}_2,\left|\right|A_2|{|}_0=q,\end{array}\end{array}---\left(f1\right)$

其中分别为水平字典和垂直字典， 分别为图像块在字典D₁下相应的水平稀疏系数和图像块在字典D₂下的垂直稀疏系数，图像块的稀疏表示系数为k是为了说明稀疏度的，矩阵的稀疏度定义为||·||₀，表示矩阵中非零系数的个数；

该字典训练方法包括以下步骤：

(1)构造训练样本集对含噪图像进行随机采样得到若干图像块，并将图像块组合到训练样本集中，得到训练样本集其中Y_j表示对图像进行采样得到的第j个d₁×d₁的图像块的大小，表示实数域，其维度为d₁，M₀＝M×d₁,M表示图像块样本数量；

(2)初始化两个字典D₁,D₂：利用冗余的离散余弦变换字典初始化字典D₁,D₂；

(3)稀疏编码：首先通过得到张量生成的字典D，将训练样本集中的每一块重排列，得到新样本集其中y_j表示对图像块Y_j进行按列重排列的结果，其中d＝d₁×d₁，于是对每一列信号y_j，利用公式(f6)求解得到各列信号的稀疏系数，将重排列为图像块的形式，得到将其组合起来得到稀疏系数利用当前的D₁,D₂，得到

${\hat{b}}_j=\arg \underset{b_j}{min}\left|\right|y_j-{\mathrm{Db}}_j|{|}_F^2+\mathrm{\&lambda;}|\left|b_j\right|{|}_0---\left(f6\right);$

(4)字典更新：利用D₁,D₂分别为重建图像块X和X^T的字典，相应训练样本集和训练样本集的稀疏系数对应为和通过利用中非零系数和样本集对D₁中的每一列字典进行更新，此时每一个样本对应原始图像块中的某一列，通过公式(f4)、(f5)进行字典更新，

其中

(5)判断是否达到迭代停止条件：如果满足迭代条件回到步骤(3)，否则执行步骤(6)；

(6)输出字典D₁,D₂，完成字典的训练。

2.根据权利要求1所述的基于二维合成稀疏模型的字典训练方法，其特征在于：所述步骤(1)中采样为8×8的图像块。

3.根据权利要求1所述的基于二维合成稀疏模型的字典训练方法，其特征在于：迭代停止条件为迭代次数是否达到上限num或噪声误差是否达到指定值。