CN102930573B - 一种基于二维分析稀疏模型及其训练字典的图像重建方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开一种更能反映图像空间特性、重建效果好的基于二维分析稀疏模型及其训练字典的图像重建方法，包括：（1）构造训练样本集；（2）构造并训练第一个方向的字典；（3）构造并训练第二个方向的字典；（4）求解原稀疏求解中的字典Ω₀，以便进行一维分析稀疏重建；（5）利用Ω₀和一维分析稀疏重建方法求解重建值；（6）对重建值进行反操作，得到对应于N个图像块的重建值，从而得到重建图像。

Description

一种基于二维分析稀疏模型及其训练字典的图像重建方法

技术领域

本发明属于信号建模的技术领域，具体地涉及一种基于二维分析稀疏模型及其训练字典的图像重建方法。

背景技术

信号模型对于处理很多问题起着很重要的作用，比如压缩，采样，重建，等等。目前对于信号进行建模的很重要的一种方法就是基于合成模型的稀疏表示方法。合成模型如下所示：Dα＝x,其中x∈R^d,D∈R^dxn。信号x∈R^d被认为是给定字典下某些稀疏基α∈Rⁿ的线性组合。这种模型在过去的近几年里，引起了广泛的关注。特别是其在图像压缩，超分辨率重建，图像去噪领域应用十分广泛。对于这种合成模型的稀疏表示方法，其研究重点集中在从采样信号中得到字典，一些稀疏字典的学习方法包括K-奇异值分解(K-SVD),稀疏编码sparsecoding,等等，都已经比较成熟。或者就是在给定字典的情况下，信号可以得到精确的稀疏解，即求解如下问题：toy＝Dx，其中||x||₀表示x中非零元素的个数，用来表示该信号的稀疏度和该信号所属空间的维度。

对于合成模型的稀疏表示方法已经有很大的应用，但是对于稀疏表示的分析模型则一直被搁置。分析模型表示为如下形式：||Ωx||₀＝p-l,其中Ω∈R^p×d是一个线性算子,l表征稀疏信号x的联合稀疏度。对比与合成模型中使用非零个数来表示信号的稀疏度，而这里使用领的个数来表征稀疏度和定义信号所属空间维度。在合成模型中D为稀疏字典，而分析模型中Ω为字典，对于分析模型中相应的重建逆问题为：

$\underset{x}{\min }{\left|\right|x-y\left|\right|}_2\mathrm{subject}$ to||Ωx||₀＝p-l。

不过，近年来分析模型的稀疏表示在图像处理方面也被成功地应用于图像去噪，图像模糊，以及压缩感知领域。因此基于分析模型的稀疏表示方法也引起了广泛关注。针对该模型的研究主要集中于两方面，一方面是该模型的应用，如Figueiredo提出的利用过完备小波变换进行图像的重建，分析模型的应用主要体现在先对信号应用前向变换来得到稀疏系数。并且他们把分析模型与l₁范数规范下过完备字典变换应用于去噪和图像复原。而Portilla将分析模型应用于图像的解卷积和图像重建，他们把稀疏系数定义为一个稀疏矢量和其高斯矫正项。最终利用迭代边缘最小化来解决逆问题。而该模型的另一个研究方面就是分析稀疏字典的学习方法。Ophir提出的训练方法，主要是每次训练Ω的一行，来说明和一部分训练集正交的向量的方向。然而，他们的方法是随机进行初始化，当需要训练的字典增大时，则训练的效率会大大提高。Rubinstein提出的训练算法主要包含两种贪婪追踪算法——BackGreedyAlgorithm(BGA反向贪婪算法)和OptimizedBackGreedyAlgorithm（OBGA,最优反向贪婪算法），而且可以使用联合稀疏度和误差两种方式控制迭代次数，从而完成字典的训练。另外Rubinstein提出的算法是采用字典的支撑集的联合秩而不是利用联合稀疏度来控制迭代条件，因此输出稀疏表示的实际为零的个数大于联合秩的个数。

但是，基于传统分析模型的稀疏表示的建立和求解，都是将图像块重新排列为一个一维信号，然后利用上述分析模型来求解重建信号，以及利用大量的重建信号来不断更新字典的每一行，从而实现分析稀疏字典的学习，以及完成图像的重建。然而实际中图像块的相关性是存在方向性的，如果直接将图像块按列或者按行进行重排，则会造成不必要的相关性的引入，如第一列信号的最后一个像素与第二列的第一个像素的相关性在图像中是相对比较弱的，但是当图像块按列重排成一维信号，在训练过程中，必然会认为这两个像素间是强相关的。这种不必要的相关性的引入普遍存在于传统的字典训练中，无法反映图像的时间空间特性、重建效果差。

发明内容

本发明的技术解决问题是：克服现有技术的不足，提供一种更能反映图像空间特性、重建效果好的基于二维分析稀疏模型及其训练字典的图像重建方法。

本发明的技术解决方案是：这种基于二维分析稀疏模型及其训练字典的图像重建方法，包括以下步骤：

（1）构造训练样本集 $\mathrm{II}=[y^{\left(1\right)},y^{\left(2\right)},\·\·\·,y^{\left(i\right)},\·\·\·y^{\left(M\right)}]\∈R^{d_1\×M_0},$ 其中y⁽ⁱ⁾表示对图像进行采样得到的第i个d₁×d₁的图像块，表示实数域，其维度为d₁，M₀＝M*d₁,M表示图像块样本数量；

（2）构造并训练第一个方向的字典Ω₁：构造第一个新的训练样本集1≤j≤d₁，Y中每一个元素都是原始图像块中的每一列，j是列数，对该训练样本集采用分析稀疏字典训练方法K-SVD在给定联合秩r₁＝1约束下训练字典Ω₁，即求解稀疏系数以及不断更新字典Ω₁的每一行表示Ω₁的第k₁行；

（3）构造并训练第二个方向的字典Ω₂：利用Ω₁对样本集II中的每一个图像块求解Ω₁y⁽ⁱ⁾，得到第二图像块，对每一个第二图像块进行转置，得到z⁽ⁱ⁾＝(Ω₁y⁽ⁱ⁾)^T，即 $Z=[z_j^{\left(1\right)}{z}_j^{\left(2\right)}\·\·\·z_j^{\left(i\right)}\·\·\·z_j^{\left(M_2\right)}],$ 1≤j≤p₁，表示第z⁽ⁱ⁾块的第j列,j可取的范围为1≤j≤p₁，即有z⁽ⁱ⁾块有p₁列，对训练集Z采用分析稀疏字典训练方法K-SVD在给定联合秩r₂＝1约束下训练字典Ω₂；

（4）利用Ω₁、Ω₂和公式（1）求解原稀疏求解中的字典Ω₀，以便进行一维分析稀疏重建：

$y(i,j)=\underset{l}{\mathrm{\Σ}}{\mathrm{\Ω}}_1(i,l)\left({\mathrm{x\Ω}}_2^T\right)(l,j)=\underset{l}{\mathrm{\Σ}}{\mathrm{\Ω}}_1(i,l)\underset{k}{\mathrm{\Σ}}x(l,k){\mathrm{\Ω}}_2^T(k,j)$

$\left(1\right)$

$=\underset{l}{\mathrm{\Σ}}\underset{k}{\mathrm{\Σ}}{\mathrm{\Ω}}_1(i,l){\mathrm{\Ω}}_2^T(k,j)x(l,k)=\underset{l}{\mathrm{\Σ}}\underset{k}{\mathrm{\Σ}}\left({\mathrm{\Ω}}_1(i,l){\mathrm{\Ω}}_2^T(k,j)\right)x(l,k)$

其中y(i,j)表示二维图像y的第(i,j)个元素，即第i行第j列的元素，而Ω₁(i,l)表示字典Ω₁的第i行，第l列，表示矩阵的第l行，第j列，x(l,k)表示图像块x的第l行，第k列，而表示矩阵的第k行，第j列，其中的T表示矩阵的转置；

（5）利用Ω₀和一维分析稀疏重建方法求解Y的重建值：对每一个E都利用一维分析稀疏重建方法进行重建，

$\hat{X}=\underset{X,\mathrm{\&Lambda;},}{\arg \min }\mathrm{rank}\left({\mathrm{\&Omega;}}_{\mathrm{\&Lambda;}}\right),\mathrm{subject}$ $\mathrm{to}{\mathrm{\&Omega;}}_{\mathrm{\&Lambda;}}X=0,{\left|\right|X-Y\left|\right|}_F^2<\mathrm{\&epsiv;}---\left(3\right)$

即公式（3）为rank(Ω_Λ)的最小，其中Ω_Λ为当前X的支撑集为Λ的字典，rank(Ω_Λ)表示求Ω_Λ的秩，该公式满足的约束条件为：

即支撑集下的字典与样本X正交，而且X与已知Y尽可能的接近，误差矩阵X-Y的F范数尽可能地小，小于一定的阈值ε；最终的求解过程得到重建的并约束条件规范下得到相应的支撑集；

（6）对进行反操作，得到对应于N个图像块的重建值，从而得到重建图像。

由于该方法在训练字典的过程中每次只考虑一列或一行的信息，减少了引入不必要的相关性的可能，所以更能反映图像空间特性、重建效果好。

还提供了另一种基于二维分析稀疏模型及其训练字典的图像重建方法，包括以下步骤：

（1）构造训练样本集 $\mathrm{II}=[y^{\left(1\right)},y^{\left(2\right)},\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;,y^{\left(i\right)},\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;y^{\left(M\right)}]\&Element;R^{d_1\&times;M_0},$ 其中y⁽ⁱ⁾表示对图像进行采样得到的第i个d₁×d₁的图像块，表示实数域，其维度为d₁，M₀＝M*d₁,M表示图像块样本数量；

（2）构造并训练第一个方向的字典Ω₁：构造第一个新的训练样本集1≤j≤d₁，Y中每一个元素都是原始图像块中的每一列，j是列数，对该训练样本集采用分析稀疏字典训练方法K-SVD在给定联合秩r₁＝1约束下训练字典Ω₁，即求解稀疏系数以及不断更新字典Ω₁的每一行表示Ω₁的第k₁行；

（3）构造并训练第二个方向的字典Ω₂：利用Ω₁对样本集II中的每一个图像块求解Ω₁y⁽ⁱ⁾，得到第二图像块，对每一个第二图像块进行转置，得到z⁽ⁱ⁾＝(Ω₁y⁽ⁱ⁾)^T，即 $Z=[z_j^{\left(1\right)}{z}_j^{\left(2\right)}\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;z_j^{\left(i\right)}\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;z_j^{\left(M_2\right)}],$ 1≤j≤p₁，表示第z⁽ⁱ⁾块的第j列,j可取的范围为1≤j≤p₁，即有z⁽ⁱ⁾块有p₁列，对训练集Z采用分析稀疏字典训练方法K-SVD在给定联合秩r₂＝1约束下训练字典Ω₂；

（4）利用Ω₁和Ω₂构造二维分析稀疏求解中的Ω：

$\mathrm{\&Omega;}=\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{\&Omega;}}_A& 0\\ 0& {\mathrm{\&Omega;}}_B\end{array}\right],$ 即以

Ω₁作为Ω_A的对角线元素，而且需要使用d₁个，Ω₂作为Ω_B的对角线元素，而且需要使用p₁个；

（5）利用已知含噪图像构造待重建图像的图像块e；

（6）构造用于二维分析稀疏重建的信号E：对于以上每个图像块e，首先利用u＝Ω₁e^T得到新的图像块u,作为稀疏求解的约束条件，然后对e和u按照列方向重排序得到和将和重新组合起来得到 $E=\left[\begin{array}{c}\stackrel{\&OverBar;}{e}\\ \stackrel{\&RightArrow;}{u}\end{array}\right];$

（7）利用一维分析稀疏重建方法求解Y的重建值：对每一个E都利用一维分析稀疏重建方法进行重建，

$\hat{X}=\underset{X,\mathrm{\&Lambda;},}{\arg \min }\mathrm{rank}\left({\mathrm{\&Omega;}}_{\mathrm{\&Lambda;}}\right),\mathrm{subject}$ $\mathrm{to}{\mathrm{\&Omega;}}_{\mathrm{\&Lambda;}}X=0,{\left|\right|X-Y\left|\right|}_F^2<\mathrm{\&epsiv;}---\left(3\right)$

即公式（3）为rank(Ω_Λ)的最小，其中Ω_Λ为当前X的支撑集为Λ的字典，rank(Ω_Λ)表示求Ω_Λ的秩，该公式满足的约束条件为：

即支撑集下的字典与样本X正交，而且X与已知Y尽可能的接近，误差矩阵X-Y的F范数尽可能地小，小于一定的阈值ε；最终的求解过程得到重建的并约束条件规范下得到相应的支撑集；

（8）对进行反操作，得到对应于N个图像块的重建值；

（9）利用步骤（8）的N个图像块得到去噪图像：对应于有重叠的地方，采用取平均值的操作。

这种方法主要是在第一种方法的基础上构造了新的二维分析稀疏模型，从而重建得到更能反映图像空间特性、重建效果更好的图像。

附图说明

图1示出了根据本发明的一种基于二维分析稀疏模型及其训练字典的图像重建方法的流程图；

图2示出了根据本发明的另一种基于二维分析稀疏模型及其训练字典的图像重建方法的流程图。

具体实施方式

如图1所示，这种基于二维分析稀疏模型及其训练字典的图像重建方法，包括以下步骤：

（1）构造训练样本集 $\mathrm{II}=[y^{\left(1\right)},y^{\left(2\right)},\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;,y^{\left(i\right)},\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;y^{\left(M\right)}]\&Element;R^{d_1\&times;M_0},$ 其中y⁽ⁱ⁾表示对图像进行采样得到的第i个d₁×d₁的图像块，表示实数域，其维度为d₁，M₀＝M*d₁,M表示图像块样本数量；

（2）构造并训练第一个方向的字典Ω₁：构造第一个新的训练样本集1≤j≤d₁，Y中每一个元素都是原始图像块中的每一列，j是列数，对该训练样本集采用分析稀疏字典训练方法K-SVD在给定联合秩r₁＝1约束下训练字典Ω₁，即求解稀疏系数以及不断更新字典Ω₁的每一行表示Ω₁的第k₁行；

（3）构造并训练第二个方向的字典Ω₂：利用Ω₁对样本集II中的每一个图像块求解Ω₁y⁽ⁱ⁾，得到第二图像块，对每一个第二图像块进行转置，得到z⁽ⁱ⁾＝(Ω₁y⁽ⁱ⁾)^T，即1≤j≤p₁，表示第z⁽ⁱ⁾块的第j列,j可取的范围为1≤j≤p₁，即有z⁽ⁱ⁾块有p₁列，对训练集Z采用分析稀疏字典训练方法K-SVD在给定联合秩r₂＝1约束下训练字典Ω₂；

（4）利用Ω₁、Ω₂和公式（1）求解原稀疏求解中的字典Ω₀，以便进行一维分析稀疏重建：

$y(i,j)=\underset{l}{\mathrm{\&Sigma;}}{\mathrm{\&Omega;}}_1(i,l)\left({\mathrm{x\&Omega;}}_2^T\right)(l,j)=\underset{l}{\mathrm{\&Sigma;}}{\mathrm{\&Omega;}}_1(i,l)\underset{k}{\mathrm{\&Sigma;}}x(l,k){\mathrm{\&Omega;}}_2^T(k,j)$

$\left(1\right)$

$=\underset{l}{\mathrm{\&Sigma;}}\underset{k}{\mathrm{\&Sigma;}}{\mathrm{\&Omega;}}_1(i,l){\mathrm{\&Omega;}}_2^T(k,j)x(l,k)=\underset{l}{\mathrm{\&Sigma;}}\underset{k}{\mathrm{\&Sigma;}}\left({\mathrm{\&Omega;}}_1(i,l){\mathrm{\&Omega;}}_2^T(k,j)\right)x(l,k)$

其中y(i,j)表示二维图像y的第(i,j)个元素，即第i行第j列的元素，而Ω₁(i,l)表示字典Ω₁的第i行，第l列，表示矩阵的第l行，第j列，x(l,k)表示图像块x的第l行，第k列，而表示矩阵的第k行，第j列，其中的T表示矩阵的转置；

（5）利用Ω₀和一维分析稀疏重建方法求解Y的重建值：对每一个E都利用一维分析稀疏重建方法进行重建，

$\hat{X}=\underset{X,\mathrm{\&Lambda;},}{\arg \min }\mathrm{rank}\left({\mathrm{\&Omega;}}_{\mathrm{\&Lambda;}}\right),\mathrm{subject}$ $\mathrm{to}{\mathrm{\&Omega;}}_{\mathrm{\&Lambda;}}X=0,{\left|\right|X-Y\left|\right|}_F^2<\mathrm{\&epsiv;}---\left(3\right)$

即公式（3）为rank(Ω_Λ)的最小，其中Ω_Λ为当前X的支撑集为Λ的字典，rank(Ω_Λ)表示求Ω_Λ的秩，该公式满足的约束条件为：

即支撑集下的字典与样本X正交，而且X与已知Y尽可能的接近，误差矩阵X-Y的F范数尽可能地小，小于一定的阈值ε；最终的求解过程得到重建的并约束条件规范下得到相应的支撑集；

（6）对进行反操作，得到对应于N个图像块的重建值，从而得到重建图像。

由于该方法在训练字典的过程中每次只考虑一列或一行的信息，减少了引入不必要的相关性的可能，所以更能反映图像空间特性、重建效果好。

还提供了另一种基于二维分析稀疏模型及其训练字典的图像重建方法，包括以下步骤：

（1）构造训练样本集 $\mathrm{II}=[y^{\left(1\right)},y^{\left(2\right)},\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;,y^{\left(i\right)},\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;y^{\left(M\right)}]\&Element;R^{d_1\&times;M_0},$ 其中y⁽ⁱ⁾表示对图像进行采样得到的第i个d₁×d₁的图像块，表示实数域，其维度为d₁，M₀＝M*d₁,M表示图像块样本数量；

（2）构造并训练第一个方向的字典Ω₁：构造第一个新的训练样本集1≤j≤d₁，Y中每一个元素都是原始图像块中的每一列，j是列数，对该训练样本集采用分析稀疏字典训练方法K-SVD在给定联合秩r₁＝1约束下训练字典Ω₁，即求解稀疏系数以及不断更新字典Ω₁的每一行表示Ω₁的第k₁行；

（3）构造并训练第二个方向的字典Ω₂：利用Ω₁对样本集II中的每一个图像块求解Ω₁y⁽ⁱ⁾，得到第二图像块，对每一个第二图像块进行转置，得到z⁽ⁱ⁾＝(Ω₁y⁽ⁱ⁾)^T，即 $Z=[z_j^{\left(1\right)}{z}_j^{\left(2\right)}\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;z_j^{\left(i\right)}\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;z_j^{\left(M_2\right)}],$ 1≤j≤p₁，表示第z⁽ⁱ⁾块的第j列,j可取的范围为1≤j≤p₁，即有z⁽ⁱ⁾块有p₁列，对训练集Z采用分析稀疏字典训练方法K-SVD在给定联合秩r₂＝1约束下训练字典Ω₂；

（4）利用Ω₁和Ω₂构造二维分析稀疏求解中的Ω：

$\mathrm{\&Omega;}=\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{\&Omega;}}_A& 0\\ 0& {\mathrm{\&Omega;}}_B\end{array}\right],$ 即以

Ω₁作为Ω_A的对角线元素，而且需要使用d₁个，Ω₂作为Ω_B的对角线元素，而且需要使用p₁个；

（5）利用已知含噪图像构造待重建图像的图像块e；

（6）构造用于二维分析稀疏重建的信号E：对于以上每个图像块e，首先利用u＝Ω₁e^T得到新的图像块u,作为稀疏求解的约束条件，然后对e和u按照列方向重排序得到和将和重新组合起来得到 $E=\left[\begin{array}{c}\stackrel{\&OverBar;}{e}\\ \stackrel{\&RightArrow;}{u}\end{array}\right];$

（7）利用一维分析稀疏重建方法求解Y的重建值：对每一个E都利用一维分析稀疏重建方法进行重建，

$\hat{X}=\underset{X,\mathrm{\&Lambda;},}{\arg \min }\mathrm{rank}\left({\mathrm{\&Omega;}}_{\mathrm{\&Lambda;}}\right),\mathrm{subject}$ $\mathrm{to}{\mathrm{\&Omega;}}_{\mathrm{\&Lambda;}}X=0,{\left|\right|X-Y\left|\right|}_F^2<\mathrm{\&epsiv;}---\left(3\right)$

即公式（3）为rank(Ω_Λ)的最小，其中Ω_Λ为当前X的支撑集为Λ的字典，rank(Ω_Λ)表示求Ω_Λ的秩，该公式满足的约束条件为：

即支撑集下的字典与样本X正交，而且X与已知Y尽可能的接近，误差矩阵X-Y的F范数尽可能地小，小于一定的阈值ε；最终的求解过程得到重建的并约束条件规范下得到相应的支撑集；

（8）对进行反操作，得到对应于N个图像块的重建值；

（9）利用步骤（8）的N个图像块得到去噪图像：对应于有重叠的地方，采用取平均值的操作。

这种方法主要是在第一种方法的基础上构造了新的二维分析稀疏模型，从而重建得到更能反映图像空间特性、重建效果更好的图像。

优选地，所述步骤（7）中的一维分析稀疏重建方法为反向贪婪算法BGA或最优反向贪婪算法OBGA。

下面具体说明第二种方法，其包括：

1.构造训练样本集

针对一幅带噪图像或者一些比较干净的图像集。对该图像进行随机采样一些图像块，如采样5x5的图像块。计算每块图像的积极程度(active)，即判断图像块是否含有边缘，如果含有边缘就保留下来作为作为训练集中的一个图像块y⁽ⁱ⁾，将图像块按如下方式组合为训练样本集其中M表示样本的数量，如选择2000图像块作为样本集。

2.训练第一个方向的字典Ω₁

构造第一个新的训练样本集1≤j≤d₁，Y中每一个元素都是原始图像块中的每一列。则训练集Y为d₁×M_y的矩阵，M_y＝M₀×d₁。这里为10,000列信号。对该训练样本采用传统的分析稀疏字典训练方法（AnalysisK-SVD），在给定联合秩r₁＝1约束下训练字典Ω₁。训练方法主要是求解稀疏系数以及不断更新字典Ω₁的每一行其中我们要求Ω₁的大小为p₁×d₁＝10×5的，而rank(Ω₁)＝5-1＝4。

3.构造第二个方向的字典Ω₂所需训练集，并采用传统分析稀疏字典训练方法K-SVD训练字典。

构造训练Ω₂的训练样本集：首先利用Ω₁对样本集II中的每一个图像块求解Ω₁y⁽ⁱ⁾，得到新的图像块，对每一个图像块进行转置，得到z⁽ⁱ⁾＝(Ω₁y⁽ⁱ⁾)^T。则对新图像块z⁽ⁱ⁾的每一列作为样本集Z的每一列，即

1≤j≤p₁。则Z的大小为d₁×M_z，其中M_z＝p₁×M₀。这里20,000列信号。对构造好的训练集Z，同样采用传统的分析稀疏字典训练方法K-SVD在给定联合秩r₂＝1约束下训练字典Ω₂。这里

rank(Ω₂)＝d₁-r₂＝5-1＝4。得到的Ω₂＝p₂×d₁＝10×5。

4.利用Ω₁和Ω₂构造二维分析稀疏求解中的Ω

利用已知的水平和垂直两个方向的字典Ω₁和Ω₂构造二维分析稀疏求解中的Ω。

$\mathrm{\&Omega;}=\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{\&Omega;}}_A& 0\\ 0& {\mathrm{\&Omega;}}_B\end{array}\right],$ 即以

Ω₁作为Ω_A的对角线元素，而且需要使用d₁个，Ω₂作为Ω_B的对角线元素，而且需要使用p₁个。

5.利用含噪图像构造待求解的图像块。

对已知含噪图像进行5×5的块采样，而且采样过程中使用有重叠的方式进行采样，重叠部分为overlap=3。共采样N块y则并将图像块排列成5×5N的待稀疏重建的图像块。

6.构造用于二维分析稀疏重建的信号E：

对于以上每个图像块e，首先利用u＝Ω₁e^T得到新的图像块u,作为稀疏求解的约束条件，然后对e和u按照列方向重排序得到和将和重新组合起来得到 $E=\left[\begin{array}{c}\stackrel{\&OverBar;}{e}\\ \stackrel{\&RightArrow;}{u}\end{array}\right].$

7.利用传统的一维分析稀疏重建方法求解Y的重建值

对每一个Y,我们都利用传统的一维分析稀疏重建方法,对Y进行重建，如采用BackwardGreedyAlgorithm(BGA)反向贪婪算法，或者是OptimizedBackwardGreedyAlgorithm(OBGA)算法进行求解重建具体目标函数为

$\mathrm{to}{\mathrm{\&Omega;}}_{\mathrm{\&Lambda;}}X=0,{\left|\right|X-Y\left|\right|}_F^2<\mathrm{\&epsiv;}---\left(3\right)$

而且原始图像对应的每一个图像块经过上述稀疏求解后，则公式（3）中每列图像数据都进行了重建。

8.利用重建图像数据得到对应于原始图像块的重建值。

对应于上面的重建的前K(K＝d₁×d₁＝25)行数据，为重建图像块按列方向重排序得到的。因此这里需要进行反操作，将该25行数据进行重排序成5×5的图像块。则可以得到N个图像块。

9.利用上述N个重建图像块得到去噪图像。

根据采样过程中采样方式，以及相应图像块的重叠方式，将目前得到的N个重建图像块重新恢复回原始图像大小，对应于有重叠的地方，则采用取平均值的操作。即如果某个像素点被m＝3个块同时共有，则该块最终的值为相应于其共有的采样块上该像素点的平均值。最终可以恢复得到重建的去噪的图像。

以上所述，仅是本发明的较佳实施例，并非对本发明作任何形式上的限制，凡是依据本发明的技术实质对以上实施例所作的任何简单修改、等同变化与修饰，均仍属本发明技术方案的保护范围。

Claims (2)

1.一种基于二维分析稀疏模型及其训练字典的图像重建方法，其特征在于：包括以下步骤：

(1)构造训练样本集其中y⁽ⁱ⁾表示对图像进行采样得到的第i个d₁×d₁的图像块，表示实数域，其维度为d₁，M₀＝M*d₁,M表示图像块样本数量；

(2)构造并训练第一个方向的字典Ω₁：构造第一个新的训练样本集Y中每一个元素都是原始图像块中的每一列，j是列数，对该训练样本集采用分析稀疏字典训练方法K-SVD在给定联合秩r₁＝1约束下训练字典Ω₁，即求解稀疏系数以及不断更新字典Ω₁的每一行 表示Ω₁的第k₁行；

(3)构造并训练第二个方向的字典Ω₂：利用Ω₁对样本集II中的每一个图像块求解Ω₁y⁽ⁱ⁾，得到第二图像块，对每一个第二图像块进行转置，得到z⁽ⁱ⁾＝(Ω₁y⁽ⁱ⁾)^T，即 $Z=\&lsqb;z_j^{\left(1\right)}{z}_j^{\left(2\right)}...z_j^{\left(i\right)}...z_j^{\left(M_2\right)}\&rsqb;,1\&le;j\&le;p_1,$ 表示第z⁽ⁱ⁾块的第j列,j可取的范围为1≤j≤p₁，即第z⁽ⁱ⁾块有p₁列，对训练集Z采用分析稀疏字典训练方法K-SVD在给定联合秩r₂＝1约束下训练字典Ω₂；

(4)利用Ω₁和Ω₂构造二维分析稀疏求解中的Ω：

$\mathrm{\&Omega;}=\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{\&Omega;}}_A& 0\\ 0& {\mathrm{\&Omega;}}_B\end{array}\right],$ 即以Ω₁作为Ω_A的对角线元素，而且需要使用d₁个，Ω₂作为Ω_B的对角线元素，而且需要使用p₁个；

(5)利用已知含噪图像构造待重建图像的图像块e；

(6)构造用于二维分析稀疏重建的信号E：对于以上每个图像块e，首先利用u＝Ω₁e^T得到新的图像块u,作为稀疏求解的约束条件，然后对e和u按照列方向重排序得到和将和重新组合起来得到

(7)利用一维分析稀疏重建方法求解Y的重建值对每一个E都利用一维分析稀疏重建方法进行重建，

$\hat{X}=\underset{X,\mathrm{\&Lambda;},}{\mathrm{argmin}}rank\left({\mathrm{\&Omega;}}_{\mathrm{\&Lambda;}}\right),subject{\mathrm{to\&Omega;}}_{\mathrm{\&Lambda;}}X=0,\left|\right|X-Y|{|}_F^2<\mathrm{\&epsiv;}---\left(3\right)$

即公式(3)为rank(Ω_Λ)的最小值，其中Ω_Λ为当前X的支撑集为Λ的字典，rank(Ω_Λ)表示求Ω_Λ的秩，该公式满足的约束条件为：即支撑集下的字典与样本X正交，而且X与已知Y尽可能的接近，误差矩阵X-Y的F范数尽可能地小，小于一定的阈值ε；最终的求解过程得到重建的并在约束条件规范下得到相应的支撑集；

(8)对进行反操作，得到对应于N个图像块的重建值；

(9)利用步骤(8)的N个图像块得到去噪图像：对于有重叠的地方，采用取平均值的操作。

2.根据权利要求1所述的基于二维分析稀疏模型及其训练字典的图像重建方法，其特征在于：所述步骤(7)中的一维分析稀疏重建方法为反向贪婪算法BGA或最优反向贪婪算法OBGA。