CN104408697B - 基于遗传算法和正则先验模型的图像超分辨重建方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开一种基于遗传算法和正则先验模型的图像超分辨重建方法，主要解决现有方法重建结果质量差的问题。其实现步骤是：(1)从自然图像中学习一组子词典；(2)获取低分辨图像LR插值放大3倍后的高分辨率图像Xs的亮度分量估计X；(3)构造初始种群；(4)计算每个个体的适应度值；(5)对父代种群中个体进行选择和复制；(6)对父代种群个体依次进行交叉和变异；(7)重复步骤(5)‑(6)共20次，得到最优解X'；(8)用正则先验模型对X'进行局部优化；(9)重复步骤(3)‑(8)共4次，得到高分辨图像亮度分量X²，最终合成高分辨率图像。本发明能很好的保持图像边缘和纹理信息，可用于图像识别以及目标分类。

Description

基于遗传算法和正则先验模型的图像超分辨重建方法

技术领域

本发明属于图像处理技术领域，具体是一种图像超分辨重建方法，用于各种自然图像的超分辨重构。

背景技术

在实际应用中，由于成像设备能力的限制和复杂工作环境条件的影响，不容易直接获得所需要分辨率的高品质图像。图像超分辨重建SR技术突破了成像设备和环境的限制，从低分辨率观测图像中恢复出图像获取时丢失的高频信息，重建出一幅高分辨率的图像。因而SR在视频、遥感、医学和安全监控等领域都具有十分重要的应用前景，一直是图像科学研究及其工程应用的热点。

目前图像超分辨技术主要分为三种类型：基于插值的方法、基于重构的方法和基于学习的方法；其中：

基于重构的方法，主要是引入图像先验知识来对高分辨图像细节进行估计，然而，这些先验知识，通常只有利于抑制噪声和保持边缘。此外，对于大的放大倍数，这些先验知识不能有效地重建图像的细节。

基于学习的算法，需要构造低分辨率和高分辨率的图像样本库，通过学习样本库得到低分辨率图像和高分辨率图像的内在联系，从而指导图像超分辨率重建，不受放大倍数的限制。

到目前为止，人们提出了很多基于学习的超分辨重建方法。Freeman提出了基于图像样本学习的图像超分辨方法，训练集采用普通自然界图像，起到了开创性作用。随后，Chang、Sun等人在Freeman方法的基础上，建立了不同的学习模型。Yang等人将信号处理方法—稀疏表示应用到图像超分辨，学习过完备字典，认为高分辨率图像和相应的低分辨率图像块之间具有相同的稀疏表示系数。Dong等提出了自适应稀疏域ASDS，从含有丰富边缘和结构信息的实例图像块中学习过完备字典，同时引入AR和NLM来增强图像的结构和边缘信息。基于稀疏表示的学习算法成为单幅图像超分辨率领域的一个研究热点。目前超分辨率图像重建基本上是基于重建、学习或者两者的结合。但是这样只会让待估的高分辨率图像根据特定条件进行变化，限制了解的搜索范围，使解缺乏多样性。

遗传算法是1962年由美国Holland教授提出的一种新型的、模拟生物进化机制的随机化搜索和优化的方法。它将“优胜劣汰，适者生存”的生物进化原理引入优化参数形成的编码串连群体中，按所选择的适配值函数得出每个个体的适配值，并通过遗传中的复制、交叉及变异对个体进行筛选，使适配值高的个体被保留下来，组成新的群体，新的群体既继承了上一代的信息，又优于上一代。由于其具有健壮性，特别适合于处理传统搜索算法解决不好的复杂的和非线性问题。以遗传算法为核心的进化算法已于模糊系统理论、人工神经网络等一起成为计算智能研究中的热点，受到许多学科的共同关注。近年来也出现过使用遗传算法来重建超分辨图像的方法，但是由于没有图像的任何纹理和边缘信息的指导，使得到的待估高分辨率图像的随机性太大，影响图像的重建效果。

发明内容

本发明的目的在于针对上述方法不足之处，提出了一种基于遗传算法和正则先验模型的图像超分辨重建方法，以更好地恢复出图像的纹理和边缘信息，提高图像的重构效果。

实现本发明的技术思路是:将待估计图像通过遗传算法进行全局搜索，增加解的多样性，再将最优解用正则先验模型进行指导优化，实现局部搜索。其具体步骤包括如下：

(1)输入n'幅自然图像，n'≥5，从这n'幅自然图像中获取含有大量的边缘和结构信息的图像块，采用K-means将这些图像块分成K类，使用主成分分析PCA从每类中获得一个子字典Φ_k；

(2)输入低分辨图像LR，使用bicubic插值将其放大3倍，得到高分辨率图像的初始估计Xs，并将高分辨率图像的初始估计Xs从红绿蓝RGB空间转换到YCbCr颜色空间，得到高分辨率图像的亮度分量初始估计Y、蓝色色度分量估计Cb和红色色度分量估计Cr，其中亮度分量初始估计Y用X来表示，X是一个s×r的矩阵，s是矩阵的行数，r是矩阵的列数；

(3)将X中的所有元素以自身元素值为中心，在[-8,8]范围内上下随机浮动一个值，得到一个染色体矩阵，重复多次，得到N-1个矩阵，这些染色体矩阵与未浮动前的X矩阵一起就构成了遗传算法的初始种群；

(4)定义适应度函数为：F_i＝1/(E_i+ε)，i＝1,2,…,N，Y为LR图像的亮度分量，H为高斯模糊算子，D为下采样算子，ε为大于零任意小的数；

(5)利用适应度函数计算当前种群中每个个体的适应度值；

(6)保留当前种群中适应度值最高的个体，计算除适应度值最高的个体外的其他个体的选择概率：i＝1,2,…,N，依照每个个体的选择概率，对这些个体进行复制；

(7)采用算术交叉方式对复制的个体进行交叉操作产生新个体；

(8)将新个体的所有像素值在[-8,8]这个范围内进行一次上下随机浮动，得到变异后的个体，产生新的种群；

(9)将(5)-(8)步骤重复20次，得到亮度分量估计的最优解X'；

(10)利用正则先验模型对亮度分量估计的最优解X'进行局部优化；

(10a)将非局部正则项和全变差正则约束项引入到单幅超分辨问题中，利用下式对X'进行局部优化：

式中的第一项为保真项，第二项l₂范式项是非局部相似正则项，第三项l₁范式项是全变差正则约束项，其中是后验清晰图像的亮度分量估计，Y为LR图像的亮度分量，H为高斯模糊算子，D为下采样算子，I是s×r单位矩阵，s是矩阵的行数，r是矩阵的列数，μ是非局部相似正则项的权重常数，取值为0.04，λ是全变差正则约束项的权重系数，取值为0.03，W是非局部均值NLMs的相似权重矩阵，该权重矩阵中的元素计算如下：

W_ij是W中第i行、j列的元素，其表示图像块与图像块之间的相似度，P_i表示与相似索引图像块的集合，R_i是从图像中获取以i元素为中心的图像块的操作算子，h是平滑参数，取值为10，G是高斯矩阵，图像块的大小为7×7，非局部窗的大小为13×13；

(10b)用梯度下降法求解式《1》，得第一步迭代后的后验清晰图像的亮度分量估计

式《3》中，t是迭代的次数，S_x和S_y是像素在行、列方向上的移动算子，sign()是符号函数，是矩阵的一阶导数，的初始估计是X′；

(10c)利用基于自适应稀疏域选择ASDS的稀疏表示的方法，获得第二步迭代后的后验清晰图像的亮度分量估计

式中Φ_ki是第i个图像块对应的子字典，S是图像块的个数，R_i是一个从中获得图像块的算子，是最后求解出的图像块的稀疏表示的系数；

为了方便表示，使用“ο”算子来表示式《4》：

Φ是所有子字典{Φ_k}的连结，是所有的连结，的计算如下：

Φ是所有子字典{Φ_k}的连结，α是所有α_i的连结，α_i表示图像块的稀疏表示的系数，α_i,j是Φ_ki的第j个原子的相关系数，γ_i,j是α_i,j的权重系数，S是图像块的个数，n是图像块的大小，利用迭代阈值收缩算法ISTA来求解出

(10d)将(10b)、(10c)重复200次，得到对X'局部寻优后的亮度分量估计X³；

(11)重复步骤(3)-(10)共4次，得到最终的高分辨图像亮度分量X²；

(12)将得到的高分辨图像亮度分量X²与高分辨率图像蓝色色度分量估计Cb和红色色度分量估计Cr，合成最终的彩色高分辨率图像。

本发明与现有技术相比存在以下优点：

本发明由于通过遗传算法在全局范围内搜索获取较好的高分辨率图像，并用正则先验模型中的图像先验知识对其进行局部优化，能更好地恢复出图像的边缘和纹理信息，提高了图像的重构效果。

附图说明

图1是本发明的实现流程图；

图2是本发明仿真使用的三幅测试图像；

图3是现有SC方法对图2中3幅图像进行超分辨重构结果；

图4是现有Glasner’s方法对图2中3幅图像进行超分辨重构结果；

图5是现有ASDS方法对图2中3幅图像进行超分辨重构结果；

图6是本发明对图2中3幅图像进行超分辨重构结果。

具体实施方式

下面结合图1对本发明的具体实施步骤做进一步的详细描述。

步骤一，从自然图像中学习获取200个子字典。

输入5幅自然图像，从这5幅自然图像中获取含有大量的边缘和结构信息的图像块，采用K-means将这些图像块分成200类，使用主成分分析PCA从每类中获得一个子字典Φ_k。

步骤二，获得高分辨率图像Xs，提取Xs的亮度分量初始估计X。

(2a)输入低分辨图像LR，使用bicubic插值将其放大3倍，得到高分辨率图像的初始估计Xs；

(2b)将高分辨率图像的初始估计Xs从红绿蓝RGB空间转换到YCbCr颜色空间，得到高分辨率图像的亮度分量初始估计Y、蓝色色度分量估计Cb和红色色度分量估计Cr，其中亮度分量初始估计Y用X来表示，X是一个s×r的矩阵，s是矩阵的行数，r是矩阵的列数。

步骤三，种群初始化。

(3a)将矩阵X中的所有元素以自身元素值为中心，在[-8,8]范围内上下随机浮动一个值，得到一个染色体矩阵；

(3b)将(3a)重复59次，得到59个矩阵，这59个染色体矩阵与未浮动前的X矩阵一起就构成了遗传算法的初始种群。

步骤四，用遗传算法得到亮度分量估计的最优解X'。

(4a)定义适应度函数定为：F_i＝1/(E_i+ε)，i＝1,2,…,60，Y为LR图像的亮度分量，H为高斯模糊算子，D为下采样算子，ε为0.0001；

(4b)利用适应度函数计算当前种群中每个个体的适应度值；

(4c)保留当前种群中适应度值最高的个体，计算除适应度值最高的个体外的其他个体的选择概率：i＝1,2,...,60，依照每个个体的选择概率，对这些个体进行复制；

(4d)计算复制的个体的交叉概率p_c：

式中，f_max为种群中最大的适应度值，f_avg为每代种群的平均适应值，f'为要交叉的两个个体中较大的适应度值，本发明实施例中，p_c1＝0.9、p_c2＝0.6；

(4e)根据个体的交叉概率p_c，从复制的个体中选择出两个个体采用算术交叉方式对两个个体进行交叉操作产生新个体：

式中，α是[0,1]之间的随机数，t是遗传算法的进化代数，和是交叉后的两个新个体；

(4f)计算新个体的变异概率p_m：

式中，f_max为种群中最大的适应度值，f_avg为每代种群的平均适应值，f为要变异个体的适应度值，本发明实施例中，p_m1＝0.1、p_m2＝0.001；

(4g)根据变异概率p_m选择出需要变异的新个体，将选择出来的新个体的所有像素值在[-8,8]这个范围内进行一次上下随机浮动，得到变异后的个体，产生新的种群；

(4h)将(4b)-(4g)步骤重复20次，得到亮度分量估计的最优解X'。

步骤五，利用正则先验模型对亮度分量估计的最优解X'进行局部优化，得到寻优后的亮度分量估计X³。

(5a)将非局部正则项和全变差正则约束项引入到单幅超分辨问题中，利用下式对X'进行局部优化：

式中的第一项为保真项，第二项l₂范式项是非局部相似正则项，第三项l₁范式项是全变差正则约束项，其中是后验清晰图像的亮度分量估计，Y为LR图像的亮度分量，H为高斯模糊算子，D为下采样算子，I是s×r单位矩阵，s是矩阵的行数，r是矩阵的列数，μ是非局部相似正则项的权重常数，取值为0.04，λ是全变差正则约束项的权重系数，取值为0.03，W是非局部均值NLMs的相似权重矩阵，该权重矩阵中的元素计算如下：

W_ij是W中第i行、j列的元素，其表示图像块与图像块之间的相似度，P_i表示与相似索引图像块的集合，R_i是从图像中获取以i元素为中心的图像块的操作算子，h是平滑参数，取值为10，G是高斯矩阵，图像块的大小为7×7，非局部窗的大小为13×13；

(5b)用梯度下降法求解式《1》，得第一步迭代后的后验清晰图像的亮度分量估计

式《3》中，t是迭代的次数，S_x和S_y是像素在行、列方向上的移动算子，sign()是符号函数，是矩阵的一阶导数，的初始估计是X'；

(5c)利用基于自适应稀疏域选择ASDS的稀疏表示的方法，获得第二步迭代后的后验清晰图像的亮度分量估计

式《4》中是第i个图像块对应的子字典，S是图像块的个数，R_i是一个从中获得图像块的算子，是最后求解出的图像块的稀疏表示的系数；

为了方便表示，使用“ο”算子来表示式《4》：

Φ是所有子字典{Φ_k}的连结，是所有的连结，的计算如下：

式《6》中α是所有α_i的连结，α_i表示图像块的稀疏表示的系数，α_i,j是的第j个原子的相关系数，γ_i,j是α_i,j的权重系数，S是图像块的个数，n是图像块的大小，利用迭代阈值收缩算法ISTA来求解出

(5d)将(5b)、(5c)重复200次，得到对X'局部寻优后的亮度分量估计X³。

步骤六，重复步骤四、五共4次，得到最终的高分辨图像亮度分量X²。

步骤七，合成最终的彩色高分辨率图像。

将包含高分辨图像亮度分量X²、高分辨率图像蓝色色度分量估计Cb和红色色度分量估计Cr的颜色空间转换到红绿蓝RGB颜色空间，得到最终的彩色高分辨率图像。

本发明的效果可以通过以下仿真实验进一步说明：

1.实验条件

在CPU为core i3 2.4GHZ、内存2G、WINDOWS 7系统上使用Matlab7.10(2010a)进行仿真。本发明对3幅含有不同内容的标准自然图像进行测试，它们分别为Butterfly图像，Leaves图像和Building图像见附图2。

2.仿真方法

在相同的3幅测试图像上，采用对比实验形式，将本发明的结果与以下3个方法进行比较，以验证本发明的有效性。

方法1，是J.Yang等人提出的SC方法，具体参考文献“J.Yang,J.Wright,T.Huang,and Y.Ma,“Image super-resolution via sparse representation”，IEEE.Trans.ImageProcess,vol.19,n0.11,pp.2861-2873，Nov.2010”；

方法2，是Glasner等人提出的Glasner’s方法，具体参考文献“D.Glasner,S.Bagon,and M.Irani,“Super-resolution from a single image,”inProc.Int.Conf.Comput.Vis.,pp.349–356，2009.”；

方法3，是Dong等人提出的ASDS方法，具体参考文献“W.Dong,L.Zhang,G.Shi,andX.Wu,“Image deblurring and superresolution by adaptive sparse domainselection and adaptive regularization,”IEEE Trans.Image Process.,vol.20,no.7,pp.1838–1857,Jul.2011”。

3.仿真内容

仿真1，采用方法1分别对附图2中(a)、(b)和(c)三幅测试图像放大3倍，进行超分辨重建，结果如图3所示，其中图3(a)是对图2(a)测试图像的超分辨重建结果，图3(b)是对2(b)测试图像的超分辨重建结果，图3(c)是对2(c)测试图像的超分辨重建结果，超分辨重建结果评价指标如表1的第2列所示。

仿真2，采用方法2分别对附图2中(a)、(b)和(c)三幅测试图像放大3倍，进行超分辨重建，结果如图4所示，其中图4(a)是对图2(a)测试图像的超分辨重建结果，图4(b)是对2(b)测试图像的超分辨重建结果，图4(c)是对2(c)测试图像的超分辨重建结果，超分辨重建结果评价指标如表1的第3列所示。

仿真3，采用方法3分别对附图2中(a)、(b)和(c)三幅测试图像放大3倍，进行超分辨重建，结果如图5所示，其中图5(a)是对图2(a)测试图像的超分辨重建结果，图5(b)是对2(b)测试图像的超分辨重建结果，图5(c)是对2(c)测试图像的超分辨重建结果，超分辨重建结果评价指标如表1的第4列所示。

仿真4，采用本发明分别对附图2中(a)、(b)和(c)三幅测试图像放大3倍，进行超分辨重建，结果如图6所示，其中图6(a)是对图2(a)测试图像的超分辨重建结果，图6(b)是对2(b)测试图像的超分辨重建结果，图6(c)是对2(c)测试图像的超分辨重建结果，超分辨重建结果评价指标如表1的第5列所示。

从图3、4、5、6中可以看出，方法1、2都会产生一些人工刻痕以及伪纹理，方法3恢复的纹理信息没有本发明方法恢复的丰富，本发明方法的结果纹理信息比较丰富、边缘比较规整。

本发明采用的评价指标为峰值信噪比PSNR、结构相似度SSIM，其中，峰值信噪比PSNR值越大，则说明图像超分辨重建的效果越好，结构相似度SSIM范围是[0,1]，越接近1，从人眼的视觉的感受来说重建的效果越好。

表1是本发明算法和现有的方法在自然图像上的结果对比。

从表1可以看出，本发明重建结果各项指标都优于其他3种方法，对于图2中(a)图像，PSNR值要比方法1高将近1.04db，比方法2高将近0.62db，比方法3高将近0.30db；对于图2中(b)图像，PSNR值要比比方法1高将近0.96db，比方法2高将近0.52db，比方法3高将近0.24db；对于图2中(c)图像，PSNR值要比方法1高将近0.42db，比方法2高将近0.50db，比方法3高将近0.20db。

综上，本发明相比于现有的自然图像超分辨重建方法，不管是在客观指标的评价上，还是在主观视觉质量上都具有优越性，能够很好地保持纹理和边缘信息，是一种可行有效的自然图像超分辨重建方法。

Claims (2)

1.一种基于遗传算法和正则先验模型的图像超分辨重建方法，包括如下步骤：

(1)输入n'幅自然图像，n'≥5，从这n'幅自然图像中获取含有大量的边缘和结构信息的图像块，采用K-means将这些图像块分成K类，使用主成分分析PCA从每类中获得一个子字典Φ_k；

(2)输入低分辨图像LR，使用bicubic插值将其放大3倍，得到高分辨率图像的初始估计Xs，并将高分辨率图像的初始估计Xs从红绿蓝RGB空间转换到YCbCr颜色空间，得到高分辨率图像的亮度分量初始估计Y、蓝色色度分量估计Cb和红色色度分量估计Cr，其中亮度分量初始估计Y用X来表示，X是一个s×r的矩阵，s是矩阵的行数，r是矩阵的列数；

(3)将X中的所有元素以自身元素值为中心，在[-8,8]范围内上下随机浮动一个值，得到一个染色体矩阵，重复多次，得到N-1个矩阵，这些染色体矩阵与未浮动前的X矩阵一起就构成了遗传算法的初始种群；

(4)定义适应度函数为：F_i＝1/(E_i+ε)，i＝1,2,...,N，Y为LR图像的亮度分量，H为高斯模糊算子，D为下采样算子，ε为大于零任意小的数；

(5)利用适应度函数计算当前种群中每个个体的适应度值；

(6)保留当前种群中适应度值最高的个体，计算除适应度值最高的个体外的其他个体的选择概率：i＝1,2,...,N，依照每个个体的选择概率，对这些个体进行复制；

(7)采用算术交叉方式对复制的个体进行交叉操作产生新个体；

(8)将新个体的所有像素值在[-8,8]这个范围内进行一次上下随机浮动，得到变异后的个体，产生新的种群；

(9)将(5)-(8)步骤重复20次，得到亮度分量估计的最优解X'；

(10)利用正则先验模型对亮度分量估计的最优解X'进行局部优化；

(10a)将非局部正则项和全变差正则约束项引入到单幅超分辨问题中，利用下式对X'进行局部优化：

$\hat{X}=\arg \underset{{\hat{x}}^{\&prime;}}{min}\left\{\right||Y-DH{\hat{X}}^{\&prime;}|{|}_2^2+\mathrm{\&mu;}\left|\right|(I-W){\hat{X}}^{\&prime;}|{|}_2^2+\mathrm{\&lambda;}{\left|{\hat{X}}^{\&prime;}\right|}_1\}---<<1>>$

式中的第一项为保真项，第二项l₂范式项是非局部相似正则项，第三项l₁范式项是全变差正则约束项，其中是后验清晰图像的亮度分量估计，Y为LR图像的亮度分量，H为高斯模糊算子，D为下采样算子，I是s×r单位矩阵，s是矩阵的行数，r是矩阵的列数，μ是非局部相似正则项的权重常数，取值为0.04，λ是全变差正则约束项的权重系数，取值为0.03，W是非局部均值NLMs的相似权重矩阵，该权重矩阵中的元素计算如下：

$W_{ij}=\left\{\begin{array}{cc}\exp (-\frac{\left|\right|R_i{\hat{X}}^{\&prime;}-R_j{\hat{X}}^{\&prime;}|{|}_G^2}{h^2}),& j\&Element;P_i\\ 0,& otherwise\end{array}\right.---<<2>>$

W_ij是W中第i行、j列的元素，其表示图像块与图像块之间的相似度，P_i表示与相似索引图像块的集合，R_i是从图像中获取以i元素为中心的图像块的操作算子，h是平滑参数，取值为10，G是高斯矩阵，图像块的大小为7×7，非局部窗的大小为13×13；

(10b)用梯度下降法求解式《1》，得第一步迭代后的后验清晰图像的亮度分量估计

${\hat{X}}^{\&prime;(t+1/2)}={\hat{X}}^{\&prime;\left(t\right)}+H^T{D}^T(Y-DH{\hat{X}}^{\&prime;\left(t\right)})-\mathrm{\&mu;}{(I-W)}^T(I-W){\hat{X}}^{\&prime;\left(t\right)}-\mathrm{\&lambda;}(I-S_x{S}_y)sign(\&dtri;{\hat{X}}^{\&prime;\left(t\right)})---<<3>>$

式《3》中，t是迭代的次数，S_x和S_y是像素在行、列方向上的移动算子，sign()是符号函数，是矩阵的一阶导数，的初始估计是X′；

(10c)利用基于自适应稀疏域选择ASDS的稀疏表示的方法，获得第二步迭代后的后验清晰图像的亮度分量估计

${\hat{X}}^{\&prime;(t+1)}={\left(\underset{i=1}{\overset{S}{\mathrm{\&Sigma;}}}{R}_i^T{R}_i\right)}^{-1}\underset{i=1}{\overset{S}{\mathrm{\&Sigma;}}}\left(R_i^T{\mathrm{\&Phi;}}_{k_i}{\widehat{\mathrm{\&alpha;}}}_i\right)---<<4>>$

式中是第i个图像块对应的子字典，S是图像块的个数，R_i是一个从中获得图像块的算子，是最后求解出的图像块的稀疏表示的系数；

为了方便表示，使用算子来表示式《4》：

Φ是所有子字典{Φ_k}的连结，是所有的连结，的计算如下：

Φ是所有子字典{Φ_k}的连结，α是所有α_i的连结，α_i表示图像块的稀疏表示的系数，α_i,j是Φ_ki的第j个原子的相关系数，γ_i,j是α_i,j的权重系数，S是图像块的个数，n是图像块的大小，利用迭代阈值收缩算法ISTA来求解出

(10d)将(10b)、(10c)重复200次，得到对X'局部寻优后的亮度分量估计X³；

(11)重复步骤(3)-(10)共4次，得到最终的高分辨图像亮度分量X²；

(12)将得到的高分辨图像亮度分量X²与高分辨率图像蓝色色度分量估计Cb和红色色度分量估计Cr，合成最终的彩色高分辨率图像。

2.根据权利要求1所述方法，其中步骤(7)所述采用算术交叉方式对复制的个体进行交叉操作产生新个体，通过如下公式进行：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_1^{t+1}={\mathrm{\&alpha;x}}_1^t+(1-\mathrm{\&alpha;})x_2^t\\ x_2^{t+1}={\mathrm{\&alpha;x}}_2^t+(1-\mathrm{\&alpha;})x_1^t\end{array}\right.$

式中，α是[0,1]之间的随机数，t是遗传算法的进化代数，和是根据交叉概率从复制的个体中选择出的两个个体，和是交叉后的两个新个体。