CN102075749A - 压缩感知框架下基于非凸模型的图像压缩重构方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种压缩感知CS框架下基于非凸模型的图像压缩重构方法。主要解决目前基于lp范数的CS非凸模型在图像压缩重构上计算存储量大和运算速度慢，且工程实现难的问题，其实现步骤是：对图像作变换，得到变换域的系数；通过对变化域的系数进行傅里叶变换并随机抽取获得压缩后的数据；对压缩后的数据采用梯度投影法，通过计算下降方向和下降步长来更新迭代及优化求解，重构变换域的系数；对重构后的变换域的系数做逆变换得到重构后的图像。本发明压缩简单，重构精度高，重构过程只存在快速傅里叶变换及向量点乘操作，成功地解决了海量存储问题，重构速度也非常快，本发明可用于图像压缩编码。

Description

压缩感知框架下基于非凸模型的图像压缩重构方法

技术领域

本发明属于图像处理领域，涉及压缩感知框架下的图像压缩重构，可用于对图像和视频的压缩编码。

技术背景

随着压缩感知CS理论的不断发展，它的应用也逐渐渗透到各行各业。在图像处理领域，人们已经开始研究基于压缩感知理论的图像/视频压缩编码方法。现阶段应用较为广泛的是基于l₁范数最小化理论的CS压缩重构模型：

$\underset{x\hat{I}{R}^n}{\min }{\left|\right|x\left|\right|}_{l_1},s.t.\mathrm{Ax}=b---\left(1\right)$

其中x是原始图像I经过小波变换或者DCT变换得到的稀疏系数，经过处理后为一长度为N的列向量，A是观测矩阵或压缩采样矩阵，矩阵维数为M×N，由于M＜＜N，从而达到了对图像压缩的目的。为l₁范数的定义。

关于式(1)模型的求解，涌现了大量的求解方法，如BP、OMP以及适用于大规模问题，如二维图像处理的StOMP。但是随着理论研究的深入，已有文献证明基于l_p范数(0＜p＜1)的非凸模型在压缩重构性能上远优于式(1)的基于l₁范数CS模型，并且采用该模型可以更大程度的降低观测数量。通常基于l_p范数的非凸CS模型如下所示：

$\underset{x\hat{I}{R}^n}{\min }{\left|\right|x\left|\right|}_{l_p},s.t.\mathrm{Ax}=b---\left(2\right)$

其中

Rao等人在“An Affine Scaling Methodology for best Basis Selection”一文中提出了适用于上述模型求解的FOCUSS方法。该方法通过对非凸模型进行一阶近似，结合仿射变换思想将其转化为加权l₂范数的求解模型，如下式所示：

$\underset{x\hat{I}{R}^n}{\min }{\left|\right|q\left|\right|}_{l_2},s.t.A_{k+1}q=b---\left(3\right)$

其中A_k+1＝AW_k+1，k表示第k次迭代。通过内点法优化即可得到迭代加权最小二乘解。为了防止迭代过程中解x_k[i]为零值的现象，而导致奇异情况，Chartrand等人在“Iteratively Reweighted Algorithms for Compressive Sensing”中对上述算法做了改进，提出了ε-Regularization FOCUSS，从而确保了该方法的稳定性。

但是目前上述方法在压缩感知框架下的图像压缩重构中存在如下的技术问题：

1、压缩感知框架下基于l₁范数的模型的压缩重构的方法StOMP，图像重构精度不高。

2、压缩感知框架下基于非凸模型的压缩重构的方法FOCUSS，存储量过大，速度太慢，尚不能用于图像的压缩重构。

发明内容

本发明的目的在于充分挖掘基于l_p范数的CS非凸模型的稀疏性能优势，克服上述现有技术存在海量存储及CS工程实现难的问题，实现图像高压缩比下的快速精确重构。

实现本发明的技术思路为：对图像作变换，得到变换域的系数，然后对系数作傅里叶变换并随机抽取得到压缩后的图像数据；重构是利用式(2)的模型由压缩后的数据重构出图像变换域的系数，其重构方法是采用梯度投影法，通过计算下降方向和下降步长来迭代更新优化求解，其关键是利用了当前迭代结果构造权值来估计下降步长；最后对重构的系数作逆变换得到重构后的图像。具体实现包括如下两种技术方案，其中技术方案1没有对图像作分块处理，技术方案2对图像作了分块处理，是技术方案1的一种并行处理方式。

技术方案1，

一种压缩感知框架下基于非凸模型的图像压缩重构方法，包括如下步骤：

(1)获取大小为N的原始图像I，假定所需的图像压缩率为r，得出需要从原始图像中获取M＝rN的数据量，其中N等于原始图像的行数与列数的乘积；

(2)对原始图像I作二维小波变换，得到变换后的系数矩阵W；

(3)根据系数矩阵设定系数阈值：

(3a)将系数矩阵W按幅度大小降序排成一个列向量α；

(3b)计算系数阈值：μ＝α(κ)，其中κM/5，并取整的值，α(κ)表示列向量α中索引为κ的元素；

(4)根据系数阈值μ对W做阈值处理，即将小于μ的系数置为0，大于μ的系数保持不变；

(5)将作完阈值处理后的系数矩阵作归一化处理，即用W除以系数矩阵中幅度最大的元素的绝对值C，称C为归一化常数；

(6)将归一化之后的系数矩阵的奇数列组成矩阵Q₁，偶数列组成矩阵Q₂，令Q＝Q₁+jQ₂，并将矩阵Q排成列向量x，称x为原始图像的系数列向量；

(7)对系数列向量x进行随机傅里叶压缩，即先对系数列向量x作傅里叶变换，然后随机抽取得到压缩后的数据b，压缩操作如下式：

其中F(×)表示快速傅里叶变换，u是傅里叶变换后的系数，W是从1到N中随机选取的M个数，u(W)表示u中W所指索引处的元素，b表示压缩后的图像数据；

(8)由压缩后的图像数据b重构原始图像的系数列向量x的数学模型如下：

其中min表示最小化，F(×)表示快速傅里叶变换，

s.t.表示约束；

(9)按如下基于梯度投影思想的重构方法步骤对上述重构模型进行求解，得到重构后的系数列向量x：

(9a)初始化：k＝0，l＝0，x_k＝invF(b，N)，itr，e_k，

其中k表示迭代次数，l表示迭代满100次的标志，

表示N维的快速逆傅里叶变换，x_k表示当前迭代得到的系数列向量，itr表示最大迭代次数，设为500～1000次，e_k是一个可调参数，设置在0.08～0.2之间；

(9b)由x_k构造权值向量：w(x_k)＝(|x_k|²+e_k)^p/2-1；

(9c)根据权值向量计算系数列向量x的p范数即

的负梯度d_k：

(9d)由负梯度d_k和权值向量w(x_k)计算系数列向量x的p范数即

的下降步长a_k：

$a_k=\frac{<d_k,d_k>}{<d_k,w\left(x_k\right)*d_k>}$

其中

表示内积，w(x_k)*d_k表示点乘运算，即对应位置元素相乘；

(9e)由下降步长a_k、负梯度d_k和图像压缩后的向量b更新当前的系数列向量x_k，得到x_k+1：

其中F(×)表示快速傅里叶变换，invF(×)表示快速逆傅里叶变换；

(9f)设置迭代结束的条件容差h为10^-6，判断|x_k+1-x_k|＜h是否成立，如果成立，得到重构的系数列向量x＝x_k+1；否则，迭代次数k增加1，并判断迭代满100次的标志l＜100是否成立，如果成立，l＝l+1；否则，l＝0，更新可调参数e_k＝0.05e_k-1，返回步骤(9b)进行下一次迭代；

(10)将重构后的系数列向量x乘以归一化常数C，并排列成矩阵

对做二维逆小波变换即得到重构后的图像。

技术方案2，

一种压缩感知框架下基于非凸模型的图像压缩重构方法，包括如下步骤：

1)获取大小为N的原始图像I，假定所需的图像压缩率为r，得出需要从原始图像中获取M＝rN的数据量，其中N等于原始图像的行数与列数的乘积；

2)对原始图像I作二维小波变换，得到变换后的系数矩阵W；

3)根据系数矩阵设定系数阈值：

3a)将系数矩阵W按幅度大小降序排成一个列向量α；

3b)计算系数阈值：μ＝α(κ)，其中κ＝M/5，并取整的值，α(κ)表示列向量α中索引为κ的元素；

4)根据系数阈值μ对W做阈值处理，即将小于μ的系数置为0，大于μ的系数保持不变；

5)将作完阈值处理后的系数矩阵作归一化处理，即用W除以系数矩阵中幅度最大的元素的绝对值C；

6)对归一化后的系数矩阵进行交织抽取分块，分成4个子块系数矩阵V₁，V₂，V₃，V₄；

7)分别将4个子块系数矩阵V₁，V₂，V₃，V₄的奇数列组成矩阵Q_i，1，将偶数列组成矩阵Q_i，2，令Q_i＝Q_i，1+jQ_i，2，并将Q_i排成列向量x_i，其中i＝1，2，3，4表示4个子块，称x_i为子块系数向量；

8)分别对以上四个子块系数列向量x_i进行随机傅里叶压缩，即先对子块系数列向量x_i作傅里叶变换，然后随机抽取得到子块压缩后的数据b_i，压缩操作如下式：

其中F(×)表示快速傅里叶变换，i表示第i个子块，u_i表示傅里叶变换后的系数，W_i是从1到N/4中随机选取的M/4个数，u_i(W_i)表示u_i中W_i所指索引处的元素，b_i表示每个子快压缩后的图像数据；

9)由子块压缩后的图像数据b_i重构子块系数列向量x_i的模型如下：

其中min表示最小化，

表示子块系数列向量x_i的p范数，

0≤p＜1，s.t.表示约束；

10)按如下基于梯度投影的重构方法步骤对上述重构模型进行求解，得到重构后的子块系数列向量x_i：

10a)初始化：k＝0，l＝0，x_i，k＝invF(b_i，N/4)，itr，e_i，k，

其中k表示迭代次数，l表示迭代次数满100次的标志，invF(，N)表示N维的快速逆傅里叶变换，x_i，k表示当前迭代得到的第i个子块的系数列向量，itr表示最大迭代次数，设为500～1000次，e_i，k是一个可调参数，设置在0.08～0.2之间；

10b)由x_i，k构造权值向量w(x_i，k)＝(|x_i，k|²+e_i，k)^p/2-1；

10c)根据权值向量计算系数列向量x_i的p范数即

的负梯度：

10d)根据负梯度d_i，k和权值向量w(x_i，k)计算系数列向量x_i的p范数即的下降步长a_i，k：

$a_{i,k}=\frac{<d_{i,k},d_{i,k}>}{<d_{i,k},w\left(x_{i,k}\right)*d_{i,k}>},i=\mathrm{1,2,3,4}$

其中

表示内积操作，w(x_i，k)*d_i，k表示点乘运算，即对应位置元素相乘；

10e)由下降步长a_i，k、负梯度d_i，k和图像压缩后的向量b_i更新系数列向量x_i，k，得到x_i，k+1：

其中F(×)表示快速傅里叶变换，invF(×)表示快速逆傅里叶变换；

10f)设置迭代结束的条件容差h为10^-6，判断|x_i，k+1-x_i，k|＜h是否成立，如果成立，得到子块系数列向量x_i＝x_i，k+1；否则，迭代次数k增加1，并判断迭代满100次的标志l＜100是否成立，如果成立，l＝l+1；否则，l＝0，更新可调参数e_i，k＝0.05e_i，k-1，返回步骤(10b)进行下一次迭代；

10g)将重构后的子块系数向量x₁，x₂，x₃，x₄分别排成子块的系数矩阵，并将子块系数矩阵合成得到重构后的图像系数矩阵

11)对重构后的图像系数矩阵

作二维逆小波变换，即得到重构后的图像。本发明具有如下优点：

A.本发明由于采用了非凸重构模型，大大地提高了图像重构精度，仿真结果也显示本发明相对现有StOMP在图像压缩重构精度上的明显优势；

B.本发明由于采用随机傅里叶操作进行压缩及基于梯度投影思想的重构方法，从而使整个压缩重构过程只存在快速变换操作及向量点乘操作，成功地解决了海量存储问题，重构速度也得到了大大的提高。

附图说明

图1为本发明技术方案1的实现流程图；

图2为本发明技术方案2的实现流程图；

图3为本发明由压缩后数据重构原始图像的子流程图；

图4为本发明将原始图像的系数矩阵排成列向量的原理图；

图5为本发明交织抽取分块的原理图；

图6为本发明与现有方法StOMP对图像压缩重构的精度仿真对比图；

图7为本发明与现有方法StOMP对图像压缩重构的速度仿真对比图。

具体实施方式

参见图1，本发明的技术方案1的具体实现步骤如下：

步骤一，获取原始图像I的系数列向量x：

(1.1)根据原始图像I的大小N及所需的图像压缩率r，得出需要从原始图像I中获取M＝rN的数据量，其中N等于原始图像的行数与列数的乘积；

(1.2)对原始图像I作二维小波变换，得到系数矩阵W，该小波变换还可采用任意一种图像稀疏变换，如离散余弦变换或curvelet变换；

(1.3)根据系数矩阵设定系数阈值：

(1.3a)将系数矩阵W按幅度大小降序排成一个列向量α；

(1.3b)计算系数阈值：μ＝α(κ)，其中κ＝M/5，并取整的值，α(κ)表示列向量α中索引为κ的元素；

(1.4)根据系数阈值μ对W做阈值处理，即将小于μ的系数置为0，大于μ的系数保持不变；

(1.5)将作完阈值处理后的系数矩阵作归一化处理，即用W除以系数矩阵中幅度最大的元素的绝对值C；

(1.6)将归一化之后的系数矩阵的奇数列组成矩阵Q₁，偶数列组成矩阵Q₂，令Q＝Q₁+jQ₂；

(1.7)将Q排成一个列向量即得到原始图像的系数列向量x，

参见图4，排列步骤如下：

(1.7a)将Q的第一列的尾部与第二列的头部相接；

(1.7b)将Q的第三列的头部与第二列的尾部相接，这样依次将后一列的尾部与前一列的头部相接。

步骤二，将系数列向量x进行随机傅里叶压缩，即先对系数列向量x作傅里叶变换，然后随机抽取得到压缩后的数据b，压缩操作如下式：

其中F(×)表示快速傅里叶变换，u是傅里叶变换后的系数，W是从1到N中随机选取的M个数，u(W)表示u中W所指索引处的元素，b表示压缩后的图像数据。

步骤三，由压缩后的图像数据b重构原始图像的系数列向量x的模型如下：

其中min表示最小化，F(×)表示快速傅里叶变换，

表示系数列向量x的p范数，0≤p＜1，s.t.表示约束。

步骤四，按如下基于梯度投影的重构方法步骤对上述重构模型进行求解，得到重构后的系数列向量x：

参见图3，本步骤的具体实现如下：

(4.1)初始化：k＝0，l＝0，x_k＝invF(b，N)，itr，e_k，

其中k表示迭代次数，l表示迭代次数满100次的标志，

表示N维的快速逆傅里叶变换，x_k表示当前迭代得到的系数列向量，itr表示最大迭代次数，设为500～1000次，e_k是一个可调参数，设置在0.08～0.2之间；

(4.2)由x_k构造权值向量：w(x_k)＝(|x_k|²+e_k)^p/2-1；

(4.3)根据权值向量计算系数列向量x的p范数即

的负梯度d_k：

(4.4)由负梯度d_k和权值向量w(x_k)计算系数列向量x的p范数即

的下降步长a_k：

$a_k=\frac{<d_k,d_k>}{<d_k,w\left(x_k\right)*d_k>}$

其中

表示内积，w(x_k)*d_k表示点乘运算，即对应位置元素相乘；

(4.5)由下降步长a_k、负梯度d_k和图像压缩后的向量b更新当前的系数列向量x_k，得到x_k+1：

其中F(×)表示快速傅里叶变换，invF(×)表示快速逆傅里叶变换；

(4.6)设置迭代结束的条件容差h为10^-6，判断|x_k+1-x_k|＜h是否成立，如果成立，得到原始图像系数列向量x＝x_k+1；否则，迭代次数k增加1，并判断迭代满100次的标志l＜100是否成立，如果成立，l＝l+1；否则，l＝0，更新可调参数e_k＝0.05e_k-1，返回步骤(4.2)进行下一次迭代。

步骤五，利用重构后的系数列向量x得到重构后的图像：

(5.1)将重构后的系数列向量x乘以归一化常数C，并将其乘积的实部作为列向量x₁，虚部作为列向量x₂；

(5.2)将x₁和x₂分别排列成a×b的矩阵B₁和B₂，其中a表示原始图像行数，b表示原始图像列数的1/2；

(5.3)由矩阵B₁和矩阵B₂组合得到系数矩阵

组合方式是将B₁的列作为矩阵的奇数列，将B₂的列作为矩阵

的偶数列；

(5.4)对系数矩阵

做二维逆小波变换，即得到重构后的图像。

上述步骤二、步骤三和步骤四中所述的快速傅里叶变换，还可以采用快速哈达玛变换。

参见图2，本发明技术方案2的具体实现步骤如下：

步骤1，获取原始图像I的子块系数列向量x_i，i＝1，2，3，4，i表示第i个子块：

1.1)根据原始图像I的大小N及所需的图像压缩率r，得出需要从原始图像I中获取M＝rN的数据量，其中N等于原始图像的行数与列数的乘积；

1.2)对原始图像I作二维小波变换，得到系数矩阵W；

1.3)根据系数矩阵设定系数阈值：

(1.3a)将系数矩阵W按幅度大小降序排成一个列向量α；

(1.3b)计算系数阈值：μ＝α(κ)，其中κ＝M/5，并取整的值，α(κ)表示列向量α中索引为κ的元素；

1.4)根据系数阈值μ对W做阈值处理，即将小于μ的系数置为0，大于μ的系数保持不变；

1.5)将作完阈值处理后的系数矩阵作归一化处理，即用W除以系数矩阵中幅度最大的元素的绝对值C；

1.6)对归一化后的系数矩阵进行交织抽取分块，分成4个子块系数矩阵V₁，V₂，V₃，V₄，

参见图5，交织抽取分块步骤如下：

1.6a)将系数矩阵进行第一次分块：平均分成4块，并对右上角、左下角和右下角的三块再分别平均分成4块；

1.6b)将系数矩阵进行第二次分块：对第一次分块的左上角的块平均分成4块，并对右上角、左下角和右下角的三块再分别平均分成4块；

1.6c)根据小波变换的级数确定对系数矩阵进行分块的次数，即分块的次数等于小波变换的级数；

1.6d)将对应位置相同的块合在一起，即将所有左上角的块合成子块系数矩阵V₁，所有右上角的块合成子块系数矩阵V₂，所有左下角的块合成子块系数矩阵V₃，所有右下角的块合成子块系数矩阵V₄。

1.7)分别将4个子块系数矩阵V₁，V₂，V₃，V₄的奇数列组成矩阵Q_i，1，将偶数列组成矩阵Q_i，2，令Q_i＝Q_i，1+jQ_i，2；

1.8)参见图4，按照如下步骤分别将Q_i排成列向量：

1.8a)将Q_i的第一列的尾部与第二列的头部相接；

1.8b)将Q_i的第三列的头部与第二列的尾部相接，这样依次将后一列的尾部与前一列的头部相接，得到原始图像I的子块系数列向量x_i。

步骤2，分别对以上四个子块系数列向量x_i进行随机傅里叶压缩，即先对子块系数列向量x_i作傅里叶变换，然后随机抽取得到子块压缩后的数据b_i，压缩操作如下式：

其中F(×)表示快速傅里叶变换，i表示第i个子块，u_i表示傅里叶变换后的系数，W_i是从1到N/4中随机选取的M/4个数，u_i(W_i)表示u_i中W_i所指索引处的元素，b_i表示每个子块压缩后的图像数据。

步骤3，由子块压缩后的图像数据b_i重构子块系数列向量x_i的模型如下：

其中min表示最小化，

表示子块系数列向量x_i的p范数，

0≤p＜1，s.t.表示约束。

步骤4，按如下基于梯度投影的重构方法对上述重构模型进行求解，得到重构后的子块系数列向量x_i：

参见图3，本步骤的具体实现如下：

4.1)初始化：k＝0，l＝0，x_i，k＝invF(b_i，N/4)，itr，e_i，k，

其中k表示迭代次数，l表示迭代次数满100次的标志，invF(，N)表示N维的快速逆傅里叶变换，x_i，k表示当前迭代得到的第i个子块的系数列向量，itr表示最大迭代次数，设为500～1000次，e_i，k是一个可调参数，设置在0.08～0.2之间；

4.2)由x_i，k构造权值向量w(x_i，k)＝(|x_i，k|²+e_i，k)^p/2-1；

4.3)根据权值向量计算子块系数列向量x_i的p范数即

的负梯度d_i，k：

4.4)根据负梯度d_i，k和权值向量w(x_i，k)计算子块系数列向量x_i的p范数即

的下降步长a_i，k：

$a_{i,k}=\frac{<d_{i,k},d_{i,k}>}{<d_{i,k},w\left(x_{i,k}\right)*d_{i,k}>},i=\mathrm{1,2,3,4}$

其中

表示内积操作，w(x_i，k)*d_i，k表示点乘运算，即对应位置元素相乘；

4.5)由下降步长a_i，k、负梯度d_i，k和子块压缩后的图像数据b_i更新当前的子块系数列向量x_i，k，得到x_i，k+1：

其中F(×)表示快速傅里叶变换，invF(×)表示快速逆傅里叶变换；

4.6)设置迭代结束的条件容差h为10^-6，判断|x_i，k+1-x_i，k|＜h是否成立，如果成立，得到子块系数列向量x_i＝x_i，k+1；否则，迭代次数k增加1，并判断迭代次数满100次的标志l＜100是否成立，如果成立，l＝l+1；否则，l＝0，更新可调参数e_i，k＝0.05e_i，k-1，返回步骤4.2)进行下一次迭代。

步骤5，利用重构后的子块系数向量x_i，i＝1，2，3，4得到重构后的图像：

5.1)将重构后的子块系数向量x_i乘以归一化常数C，并将其乘积的实部作为向量x_i，1，虚部作为向量x_i，2；

5.2)将x_i，1和x_i，2分别排列成m_i×n_i的矩阵B_i，1和B_i，2，这里m_i表示第i个子块的行数，n_i表示第i个子块的列数的1/2；

5.3)由矩阵B_i，1和矩阵B_i，2组合得到子块系数矩阵V_i，i＝1，2，3，4，组合方式是将B_i，1的列作为V_i的奇数列，将B_i，2的列作为V_i的偶数列；

5.4)将子块系数矩阵V_i，i＝1，2，3，4合成原始图像的系数矩阵

其实现过程为交织抽取的逆过程；

5.5)对系数矩阵做二维逆小波变换，即得到重构后的图像。

本发明的效果通过以下仿真进一步说明：

1.仿真条件：

以技术方案1为例，运行系统为3.0GHz Intel E8400GPU上的64位GNU/Linux操作系统，仿真程序采用MATLAB程序设计语言实现。所用到的测试图像是图像处理领域中常用的图像Lena，大小为256×256，采用的变换是5级9/7二维小波变换，最大迭代次数设为600，p取0。

2.仿真内容：

由于现有的求解基于非凸模型的FOCUSS算法在CS图像压缩重构领域尚存在海量数据计算与存储问题，所以无法与之比较图像的压缩重构。这里只给出了与求解l₁范数最小化模型的StOMP方法在图像压缩重构的精度和重构时间上的比较，绘制了如图6的重构精度对比曲线和图7的重构速度对比曲线。

3.仿真结果：

从图6的重构精度对比曲线可以看出，本发明的重构精度在相同压缩率的条件下远远高于StOMP。

从图7的重构时间对比曲线可以看出，本发明的重构时间在相同压缩率的条件下远远低于StOMP，即重构速度远远高于StOMP。

Claims (2)

1.一种压缩感知框架下的基于非凸最小化模型的图像压缩重构方法，包括如下步骤：

(1)获取大小为N的原始图像I，假定所需的图像压缩率为r，得出需要从原始图像中获取M＝rN的数据量，其中N等于原始图像的行数与列数的乘积；

(2)对原始图像I作二维小波变换，得到变换后的系数矩阵W；

(3)根据系数矩阵设定系数阈值：

3a)将系数矩阵W按幅度大小降序排成一个列向量α；

3b)计算系数阈值：μ＝α(κ)，其中κM/5，并取整的值，α(κ)表示列向量α中索引为κ的元素；

(4)根据系数阈值μ对W做阈值处理，即将小于μ的系数置为0，大于μ的系数保持不变；

(5)将作完阈值处理后的系数矩阵作归一化处理，即用W除以系数矩阵中幅度最大的元素的绝对值C，称C为归一化常数；

(6)将归一化之后的系数矩阵的奇数列组成矩阵Q₁，偶数列组成矩阵Q₂，令Q＝Q₁+jQ₂，并将矩阵Q排成列向量x，称x为原始图像的系数列向量；

(7)对系数列向量x进行随机傅里叶压缩，即先对系数列向量x作傅里叶变换，然后随机抽取得到压缩后的数据b，压缩操作如下式：

其中F(×)表示快速傅里叶变换，u是傅里叶变换后的系数，W是从1到N中随机选取的M个数，u(W)表示u中W所指索引处的元素，b表示压缩后的图像数据；

(8)由压缩后的图像数据b重构原始图像的系数列向量x的数学模型如下：

其中min表示最小化，F(×)表示快速傅里叶变换，

表示系数列向量x的p范数，

0≤p＜1，s.t.表示约束；

(9)按如下基于梯度投影的重构方法步骤对上述重构模型进行求解，得到重构后的系数列向量x：

(9a)初始化：k＝0，l＝0，x_k＝invF(b，N)，itr，e_k，

其中k表示迭代次数，l表示迭代满100次的标志，

表示N维的快速逆傅里叶变换，x_k表示当前迭代得到的系数列向量，itr表示最大迭代次数，设为500～1000次，e_k是一个可调参数，设置在0.08～0.2之间；

(9b)由x_k构造权值向量：w(x_k)＝(|x_k|²+e_k)^p/2-1；

(9c)根据权值向量计算系数列向量x的p范数即的负梯度d_k：

(9d)由负梯度d_k和权值向量w(x_k)计算系数列向量x的p范数即

的下降步长a_k：

$a_k=\frac{<d_k,d_k>}{<d_k,w\left(x_k\right)*d_k>}$

其中

表示内积，w(x_k)*d_k表示点乘运算，即对应位置元素相乘；

(9e)由下降步长a_k、负梯度d_k和图像压缩后的向量b更新系数列向量x_k，得到x_k+1：

其中F(×)表示快速傅里叶变换，invF(×)表示快速逆傅里叶变换；

(9f)设置迭代结束的条件容差h为10^-6，判断|x_k+1-x_k|＜h是否成立，如果成立，得到重构的图像系数列向量x＝x_k+1；否则，迭代次数k增加1，并判断迭代满100次的标志l＜100是否成立，如果成立，l＝l+1；否则，l＝0，更新可调参数e_k＝0.05e_k-1，返回步骤(9b)进行下一次迭代；

(10)将重构后的图像系数列向量x乘以归一化常数C，并排列成矩阵

对

做二维逆小波变换即得到重构后的图像。

2.一种压缩感知框架下的基于非凸最小化模型的图像压缩重构方法，包括如下步骤：

1)获取大小为N的原始图像I，假定所需的图像压缩率为r，得出需要从原始图像中获取M＝rN的数据量，其中N等于原始图像的行数与列数的乘积；

2)对原始图像I作二维小波变换，得到变换后的系数矩阵W；

3)根据系数矩阵设定系数阈值：

3a)将系数矩阵W按幅度大小降序排成一个列向量α；

3b)计算系数阈值：μ＝α(κ)，其中κ＝M/5，并取整的值，α(κ)表示列向量α中索引为κ的元素；

4)根据系数阈值μ对W做阈值处理，即将小于μ的系数置为0，大于μ的系数保持不变；

5)将作完阈值处理后的系数矩阵作归一化处理，即用W除以系数矩阵中幅度最大的元素的绝对值C；

6)对归一化后的系数矩阵进行交织抽取分块，分成4个子块系数矩阵V₁，V₂，V₃，V₄；

7)分别将4个子块系数矩阵V₁，V₂，V₃，V₄的奇数列组成矩阵Q_i，1，将偶数列组成矩阵Q_i，2，令Q_i＝Q_i，1+jQ_i，2，并将Q_i排成列向量x_i，其中i＝1，2，3，4表示4个子块，称x_i为子块系数向量；

8)分别对以上四个子块系数列向量x_i进行随机傅里叶压缩，即先对子块系数列向量x_i作傅里叶变换，然后随机抽取得到子块压缩后的数据b_i，压缩操作如下式：

其中F(×)表示快速傅里叶变换，i表示第i个子块，u_i表示傅里叶变换后的系数，W_i是从1到N/4中随机选取的M/4个数，

表示u_i中W_i所指索引处的元素，b_i表示每个子快压缩后的图像数据；

9)由子块压缩后的图像数据b_i重构子块系数列向量x_i的模型如下：

其中min表示最小化，

表示子块系数列向量x_i的p范数，0≤p＜1，s.t.表示约束；

10)按如下基于梯度投影的重构方法步骤对上述重构模型进行求解，得到重构后的子块系数列向量x_i：

10a)初始化：k＝0，l＝0，x_i，k＝invF(b_i，N/4)，itr，e_i，k，

其中k表示迭代次数，l表示迭代次数满100次的标志，invF(，N)表示N维的快速逆傅里叶变换，x_i，k表示当前迭代得到的第i个子块的系数列向量，itr表示最大迭代次数，设为500～1000次，e_i，k是一个可调参数，设置在0.08～0.2之间；

10b)由x_i，k构造权值向量w(x_i，k)＝(|x_i，k|²+e_i，k)^p/2-1；

10c)根据权值向量计算当前系数列向量x_i的p范数即的负梯度d_i，k：

10d)根据负梯度d_i，k和权值向量w(x_i，k)计算系数列向量x_i的p范数即

的下降步长a_i，k：

$a_{i,k}=\frac{<d_{i,k},d_{i,k}>}{<d_{i,k},w\left(x_{i,k}\right)*d_{i,k}>},i=\mathrm{1,2,3,4}$

其中表示内积操作，w(x_i，k)*d_i，k表示点乘运算，即对应位置元素相乘；

10e)由下降步长a_i，k、负梯度d_i，k和图像压缩后的向量b_i更新系数列向量x_i，k，得到x_i，k+1：

其中F(×)表示快速傅里叶变换，invF(×)表示快速逆傅里叶变换；

10f)设置迭代结束的条件容差h为10^-6，判断|x_i，k+1-x_i，k|＜h是否成立，如果成立，得到子块系数列向量x_i＝x_i，k+1；否则，迭代次数k增加1，并判断迭代满100次的标志l＜100是否成立，如果成立，l＝l+1；否则，l＝0，更新可调参数e_i，k＝0.05e_i，k-1，返回步骤(10b)进行下一次迭代；

10g)将重构后的子块系数向量x₁，x₂，x₃，x₄分别排成子块的系数矩阵，并将子块系数矩阵合成得到重构后的图像系数矩阵

11)对重构后的图像系数矩阵

作二维逆小波变换，即得到重构后的图像。

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