CN1828669A - 对称延拓双正交小波变换矩阵的构造方法 - Google Patents

Abstract

一种对称延拓双正交小波变换矩阵的构造方法；本发明方法是基于长度为L＝2^k+1的有限长信号，C_k+1＝[c_k+1，0，c_k+1，1，…，c_k+1，L－1]，进行如下方式对称延拓，{…，C_k+1,2，C_k+1,1，

，C_k+1,1，C_k+1,2，…，C_k+1,L－2，

，C_k+1,L－2，C_k+1,L－3,…,C_k+1,1，C_k+1,0，…}；小波分解过程可写为

，其中C_k＝[c_k，0，c_k，1，…，c_k，L/2－1] ^T为分解后的逼近信号,D_k＝[d_k，0，d_k，1，…，d_k，L/2－1] ^T为分解后的细节信号，为分解矩阵，

均为2^k×2^k+1的矩阵；求分解矩阵DE_k的逆矩阵即得重构矩阵RE_k=DE^－1 _k。本发明在对称延拓方式下，使有限长信号不需逐级计算而直接得到小波系数的分解矩阵和由这些小波系数重构原信号的重构矩阵的构造方法。并给出常用的相应于9/7小波的分解矩阵和重构矩阵及其基向量，它们可广泛用于基于小波的图像分块处理中，如图像压缩、图像去噪、图像增强等。

Description

对称延拓双正交小波变换矩阵的构造方法

【技术领域】：本发明属于计算机图像处理技术领域。

【背景技术】：小波变换，无论分解还是重构都需要逐级计算，而实际所处理的信号和图像都是有限的，现存文献很少研究有限长度信号小波变换的简易算法。如果小波变换的每一级计算都能通过矩阵-向量乘积实现，会非常方便。只要是基于小波变换的方法，如图像压缩、图像去噪、图像增强等，都可以用小波变换矩阵实现。而当滤波器长度大于信号长度时，信号需要被延拓处理。信号延拓方式为周期延拓和对称延拓，发明者曾给出信号周期延拓方式下小波变换矩阵，用于FRIT图像去噪，虽然简化了计算，却表现有明显的边界效应。由于自然图像块间的连续性，信号或图像的对称延拓更有实际意义，所以若能构造出信号对称延拓方式下小波变换矩阵，将更具现实意义和实用价值。

【发明内容】：本发明的目的是克服现有技术存在的不足，提供一种对称延拓双正交小波变换矩阵的构造方法；使信号在对称延拓方式下，有限长信号不需逐级计算而直接得到小波系数的分解矩阵和由这些小波系数重构原信号的重构矩阵的构造方法。

本发明提供的对称延拓双正交小波变换矩阵的构造方法，是基于长度为L＝2^k+1的有限长信号，C_k+1＝[c_k+1，0，c_k+1，1，L，c_k+1，L-1]，进行如下方式对称延拓，

小波分解过程可写为 ${\mathrm{COMP}}_k=\left(\begin{array}{c}{C}_k\\ L\\ D_k\end{array}\right)=D{E}_k\·C_{k+1},$ 其中C_k＝[c_k，0，c_k，1，…，c_k，L/2-1]^T为分解后的逼近信号，D_k＝[d_k，0，d_k，1，…，d_k，L/2-1]^T为分解后的细节信号， ${\mathrm{DE}}_k=\left(\begin{array}{c}{\tilde{P}}_k\\ {\tilde{Q}}_k\end{array}\right)$ 为分解矩阵， 均为2^k×2^k+1的矩阵；求分解矩阵DE_k的逆矩阵即得重构矩阵 ${\mathrm{RE}}_k={\mathrm{DE}}_k^{-1}.$

本发明对于9/7小波变换，其分解矩阵DE_k的构造方法如下：

首先设置一个2^k×2^k+1的空矩阵；让滤波器系数

以下标递增的方式排成一行放置在空矩阵的第一行，不够则补零，其中令

放置在(0，0)处，其左方是下标为负的滤波器系数，右方是下标为正的滤波器系数；

下面各行分别由上一行向右移两位得到，共移位2^k-1次；然后，分别以第一列和最后一列的系数为对称轴，将放置在2^k×2^k+1矩阵外面的系数折叠叠加到矩阵里面即得2^k×2^k+1的矩阵

用同样的方法在 的下方得到2^k×2^k+1的矩阵

然后，由 ${\mathrm{DE}}_k=\left(\begin{array}{c}{\tilde{P}}_k\\ {\tilde{Q}}_k\end{array}\right)$ 组成2^k+1×2^k+1的分解矩阵DE_k。

对于长度为L＝2^s+1的信号，最多可以有s+1级分解矩阵DE_k，k＝0，1，…，s，设分解的深度为m，其中1≤m≤s+1，称m＝s+1为最大分解深度。

本发明给出了分解深度为m的小波分解矩阵DE可通过如下公式(1)得到：

$\mathrm{DE}=\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{DE}}_{s-m+1}& O\\ O& I_{\frac{L(2^{m-1}-1)}{2^{m-1}}}\end{array}\right]\·\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{DE}}_{s-m+2}& O\\ O& I_{\frac{L(2^{m-2}-1)}{2^{m-2}}}\end{array}\right]\·\·\·\·\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{DE}}_{s-2}& O\\ O& I_{\frac{L(2^2-1)}{2^2}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{DE}}_{s-1}& O\\ O& I_{\frac{L}{2}}\end{array}\right]\left[D{E}_s\right]---\left(1\right)$

相应地，由双正交小波变换理论，若分解时深度为m(1≤m≤s+1)，本发明给出相应的重构矩阵的构造公式(2)如下：

$\mathrm{RE}={\mathrm{RE}}_s\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{RE}}_{s-1}& O\\ O& I_{\frac{L}{2}}\end{array}\right]\·\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{RE}}_{s-2}& O\\ O& I_{\frac{L(2^2-1)}{2^2}}\end{array}\right]L\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{RE}}_{s-m+1}& O\\ O& I_{\frac{L(2^{m-1}-1)}{2^{m-1}}}\end{array}\right]---\left(2\right).$

对于9/7小波最大分解深度为3的小波分解矩阵(8×8)为：

$\mathrm{DE}=\left[\begin{array}{cccccccc}0.4024& 0.6767& 0.5201& 0.4268& 0.3224& 0.2334& 0.1694& 0.0773\\ -0.5000& -0.6158& -0.1839& 0.1576& 0.5199& 0.3604& 0.1641& 0.0978\\ -0.4502& -0.0443& 0.7889& 0.1941& -0.3578& -0.1413& 0.0191& -0.0085\\ 0.0874& 0.0886& 0.0213& -0.3713& -0.7516& -0.0349& 0.6429& 0.3175\\ -0.4181& 0.7478& -0.3536& -0.0407& 0.0645& 0& 0& 0\\ 0.0645& -0.0407& -0.4181& 0.7885& -0.4181& -0.0407& 0.0645& 0\\ 0& 0& 0.0645& -0.0407& -04181& -0.7885& -0.3536& -0.0407\\ 0& 0& 0& 0& 0.1291& -0.0814& -0.8362& 0.7885\end{array}\right]$

相应地，重构矩阵为：

$\mathrm{RE}=\left[\begin{array}{cccccccc}0.3536& 0.3536& 0.3536& 0.3536& 0.3536& 0.3536& 0.3536& 0.3536\\ -0.4776& -0.3254& -0.0696& 0.1906& 0.4156& 0.4803& 0.4877& 0.4988\\ -0.6586& -0.0186& 0.6591& 0.2463& -0.2858& -0.2397& -0.0955& -0.0792\\ 0.0435& 0.0186& -0.0440& -0.2463& -0.3293& 0.1484& 0.6530& 0.7617\\ -0.7548& 0.7421& -0.3536& -0.0728& 0.0238& 0.0378& 0& 0\\ 0.0477& -0.0728& -0.3774& 0.8527& -0.3774& -0.1106& 0.0238& 0.0757\\ 0& 0.0378& 0.0238& -0.1106& -0.3774& 0.8905& -0.3536& -0.2212\\ 0& 0& 0& 0.0378& 0.0238& -0.1106& -0.3774& 0.8527\end{array}\right].$

本发明的优点和积极效果：1、本发明给出了信号在对称延拓方式下，有限长信号不需逐级计算而直接得到小波系数的分解矩阵和由这些小波系数重构原信号的重构矩阵的构造方法，并给出常用的相应于9/7小波的分解矩阵和重构矩阵及其基向量，它们可广泛用于基于小波的图像分块处理中，如图像压缩、图像去噪、图像增强等。本发明还给出分解、重构矩阵的互易性，使分解重构矩阵可以互用。2、本发明构造的小波变换矩阵基矢量比周期延拓方式下构造的小波变换矩阵更适于图像分块处理，其构造方法比较直观，容易理解，不仅可简化计算，而且边界效应明显减少。3、由于自然图像块间的连续性，使本发明构造出的信号对称延拓方式下小波变换矩阵，对于信号或图像的对称延拓更具现实意义和实用价值。

【附图说明】：

图1是9/7小波变换分解基矢量(8×8)图。

【具体实施方式】：

实施例1

本发明提供的对称延拓双正交小波变换矩阵的构造方法，是基于长度为L＝2^k+1的有限长信号，C_k+1＝[c_k+1，0，c_k+1，1，L，c_k+1，L-1]，进行如下方式对称延拓，

小波分解过程可写为 ${\mathrm{COMP}}_k=\left(\begin{array}{c}{C}_k\\ L\\ D_k\end{array}\right)=D{E}_k\·C_{k+1},$ 其中C_k＝[c_k，0，c_k，1，…，c_k，L/2-1]^T为分解后的逼近信号，D_k＝[d_k，0，d_k，1，…，d_k，L/2-1]^T为分解后的细节信号， ${\mathrm{DE}}_k=\left(\begin{array}{c}{\tilde{P}}_k\\ {\tilde{Q}}_k\end{array}\right)$ 为分解矩阵，

均为2^k×2^k+1的矩阵；求分解矩阵DE_k的逆矩阵即得重构矩阵 ${\mathrm{RE}}_k={\mathrm{DE}}_k^{-1}.$

实施例2

本发明指出，对于长度为L＝2^s+1的信号，最多可以有s+1级分解矩阵DE_k(k＝0，1，…，s)，其构造方法由实施例1中给出。设分解的深度为m，其中1≤m≤s+1，称m＝s+1为最大分解深度。

本发明给出了分解深度为m的小波分解矩阵DE可通过如下公式(1)得到：

$\mathrm{DE}=\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{DE}}_{s-m+1}& O\\ O& I_{\frac{L(2^{m-1}-1)}{2^{m-1}}}\end{array}\right]\·\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{DE}}_{s-m+2}& O\\ O& I_{\frac{L(2^{m-2}-1)}{2^{m-2}}}\end{array}\right]\·\·\·\·\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{DE}}_{s-2}& O\\ O& I_{\frac{L(2^2-1)}{2^2}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{DE}}_{s-1}& O\\ O& I_{\frac{L}{2}}\end{array}\right]\left[D{E}_s\right]---\left(1\right)$

相应地，由双正交小波变换理论，若分解时深度为m(1≤m≤s+1)，本发明给出相应的重构矩阵的构造公式(2)如下：

$\mathrm{RE}={\mathrm{RE}}_s\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{RE}}_{s-1}& O\\ O& I_{\frac{L}{2}}\end{array}\right]\·\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{RE}}_{s-2}& O\\ O& I_{\frac{L(2^2-1)}{2^2}}\end{array}\right]L\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{RE}}_{s-m+1}& O\\ O& I_{\frac{L(2^{m-1}-1)}{2^{m-1}}}\end{array}\right]---\left(2\right).$

本发明构造的小波变换矩阵基矢量比周期延拓方式下构造的小波变换矩阵更适于图像分块处理，其构造方法比较直观，容易理解。由图1知，这些分解基矢量具有较好的时—频分析的特点，对于长度为L的数据向量X，设DE代表L×L的小波分解矩阵，RE代表L×L的小波重构矩阵。则其小波分解的系数向量Y可以用矩阵—向量乘法实现：

Y＝DE·X

Y的每个分量y_i(i＝0，1，L，L-1)是X在基向量V_i上的投影： $y_i=v_i^T\·X.$

小波重构可用如下矩阵乘法实现：X＝RE·Y

实施例3

以9/7小波为例(本发明提出的小波变换矩阵的构造方法同样适用于其他双正交小波，滤波器系数不同而已)，分解矩阵DE_k的构造方法如下：本发明方法是先设置一个2^k×2^k+1的空矩阵(如表1中整个阴影部分)，让滤波器系数以下标递增的方式排成一行放置在空矩阵的第一行(不够则补零)，其中令 放置在(0，0)处，其左方是下标为负的滤波器系数，右方是下标为正的滤波器系数(部分系数可能出现在设置的空矩阵外面)，下面各行分别由上一行向右移两位得到(共移位2^k-1次)，表1的上半部分给出了k＝2时的情况。然后，分别以第一列和最后一列的系数为对称轴，将放置在2^k×2^k+1矩阵外面的系数折叠叠加到矩阵里面即得2^k×2^k+1的矩阵

如第一行中， 叠加到 上；

叠加到

上；第四行中，

叠加到 上； 叠加到 上；

叠加到 上等。用同样的方法在 的下方得到2^k×2^k+1的矩阵

然后，由 ${\mathrm{DE}}_k=\left(\begin{array}{c}{\tilde{P}}_k\\ {\tilde{Q}}_k\end{array}\right)$ 组成2^k+1×2^k+1的分解矩阵DE_k。

表1DE₂的构造过程

根据以上方法可构造出任意长度为L＝2^k+1信号的小波变换矩阵DE_k(例如长度L＝8，k＝2，则可构造8×8小波分解矩阵DE₂)，求分解矩阵DE_k的逆矩阵即得重构矩阵 ${\mathrm{RE}}_k={\mathrm{DE}}_k^{-1},$ 且二者具有互易性。

常用9/7小波最大分解深度为3的小波分解矩阵(8×8)为：

$\mathrm{DE}=\left[\begin{array}{cccccccc}0.4024& 0.6767& 0.5201& 0.4268& 0.3224& 0.2334& 0.1694& 0.0773\\ -0.5000& -0.6158& -0.1839& 0.1576& 0.5199& 0.3604& 0.1641& 0.0978\\ -0.4502& -0.0443& 0.7889& 0.1941& -0.3578& -0.1413& 0.0191& -0.0085\\ 0.0874& 0.0886& 0.0213& -0.3713& -0.7516& -0.0349& 0.6429& 0.3175\\ -0.4181& 0.7478& -0.3536& -0.0407& 0.0645& 0& 0& 0\\ 0.0645& -0.0407& -0.4181& 0.7885& -0.4181& -0.0407& 0.0645& 0\\ 0& 0& 0.0645& -0.0407& -04181& -0.7885& -0.3536& -0.0407\\ 0& 0& 0& 0& 0.1291& -0.0814& -0.8362& 0.7885\end{array}\right]$

相应地，重构矩阵为

$\mathrm{RE}=\left[\begin{array}{cccccccc}0.3536& 0.3536& 0.3536& 0.3536& 0.3536& 0.3536& 0.3536& 0.3536\\ -0.4776& -0.3254& -0.0696& 0.1906& 0.4156& 0.4803& 0.4877& 0.4988\\ -0.6586& -0.0186& 0.6591& 0.2463& -0.2858& -0.2397& -0.0955& -0.0792\\ 0.0435& 0.0186& -0.0440& -0.2463& -0.3293& 0.1484& 0.6530& 0.7617\\ -0.7548& 0.7421& -0.3536& -0.0728& 0.0238& 0.0378& 0& 0\\ 0.0477& -0.0728& -0.3774& 0.8527& -0.3774& -0.1106& 0.0238& 0.0757\\ 0& 0.0378& 0.0238& -0.1106& -0.3774& 0.8905& -0.3536& -0.2212\\ 0& 0& 0& 0.0378& 0.0238& -0.1106& -0.3774& 0.8527\end{array}\right]$

由双正交小波变换性质，分解、重建矩阵具有互易性。一般用带有直流分量的变换矩阵作为分解矩阵，而用其逆矩阵作为重构矩阵。所以选择RE作为9/7小波分解矩阵DE，其分解基矢量图形如下图1所示。

在滤波器长度相对较长时，构造变换矩阵时有可能需要折叠叠加多次，如表2第一行中，元素

以第一列为对称轴折叠到第四列右边，这时要再以第四列为对称轴叠加到 上。

表2DE₁的构造过程

得到DE₁如下：

${\mathrm{DE}}_1=\left(\begin{array}{c}{\tilde{P}}_1\\ {\tilde{Q}}_1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}{\tilde{p}}_0& {\tilde{p}}_1+{\tilde{p}}_{-1}& {\tilde{p}}_2+{\tilde{p}}_{-2}+{\tilde{p}}_4+{\tilde{p}}_{-4}& {\tilde{p}}_3+{\tilde{p}}_{-3}\\ {\tilde{p}}_{-2}+{\tilde{p}}_4& {\tilde{p}}_{-1}+{\tilde{p}}_3+{\tilde{p}}_{-3}& {\tilde{p}}_0+{\tilde{p}}_2+{\tilde{p}}_{-4}& {\tilde{p}}_1\\ {\tilde{q}}_0& {\tilde{q}}_1+{\tilde{q}}_{-1}& {\tilde{q}}_2+{\tilde{q}}_{-2}+{\tilde{q}}_4& {\tilde{q}}_3\\ {\tilde{q}}_{-2}+{\tilde{q}}_4& {\tilde{q}}_{-1}+{\tilde{q}}_3& {\tilde{q}}_0+{\tilde{q}}_2& {\tilde{q}}_1\end{array}\right).$

Claims (4)

1、一种对称延拓双正交小波变换矩阵的构造方法，其特征是本发明基于长度为L＝2^k+1的有限长信号，C_k+1＝[C_k+1，0，c_k+1，1，L，c_k+1，L-1]，进行如下方式对称延拓，

小波分解过程可写为 ${\mathrm{COMP}}_k=\left(\begin{array}{c}{C}_k\\ L\\ D_k\end{array}\right)={\mathrm{DE}}_k\·C_{k+1},$ 其中C_k＝[C_k，0，C_k，1，…，C_k，L/2-1]^T为分解后的逼近信号，D_k＝[d_k，0，d_k，1，…，d_k，L/2-1]^T为分解后的细节信号， ${\mathrm{DE}}_k=\left(\begin{array}{c}{\tilde{P}}_k\\ {\tilde{Q}}_k\end{array}\right)$ 为分解矩阵，

均为2^k×2^k+1的矩阵；求分解矩阵DE_k的逆矩阵即得重构矩阵 ${\mathrm{RE}}_k={\mathrm{DE}}_k^{-1}.$

2、根据权利要求1所述的对称延拓双正交小波变换矩阵的构造方法，其特征是，本发明对于分解矩阵DE_k的构造方法如下：

a)首先设置一个2^k×2^k+1的空矩阵； b)让滤波器系数

以下标递增的方式排成一行放置在空矩阵的第一行，不够则补零，其中令

放置在(0，0)处，其左方是下标为负的滤波器系数，右方是下标为正的滤波器系数；

c)下面各行分别由上一行向右移两位得到，共移位2^k-1次；

d)然后，分别以第一列和最后一列的系数为对称轴，将放置在2^k×2^k+1矩阵外面的系数折叠叠加到矩阵里面即得2^k×2^k+1的矩阵

e)用同样的方法在

的下方得到2^k×2^k+1的矩阵

然后，由 ${\mathrm{DE}}_k=\left(\begin{array}{c}{\tilde{P}}_k\\ {\tilde{Q}}_k\end{array}\right)$ 组成2^k+1×2^k+1的分解矩阵DE_k。

3、根据权利要求1、2所述的对称延拓双正交小波变换矩阵的构造方法，其特征是，对于长度为L＝2^s+1的信号，最多可以有s+1级分解矩阵DE_k，k＝0，1，…，s，设分解的深度为m，其中1≤m≤s+1，称m＝s+1为最大分解深度；

本发明给出了分解深度为m的小波分解矩阵DE可通过如下公式(1)得到：

$\mathrm{DE}=\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{DE}}_{s-m+1}& O\\ O& \frac{I_{L(2^{m-1}-1)}}{2^{m-1}}\end{array}\right]\·\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{DE}}_{s-m+2}& O\\ O& \frac{I_{L(2^{m-2}-1)}}{2^{m-2}}\end{array}\right]\·\·\·\·\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{DE}}_{s-2}& O\\ O& \frac{I_{L(2^2-1)}}{2^2}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{DE}}_{s-1}& O\\ O& \frac{I_L}{2}\end{array}\right]\left[{\mathrm{DE}}_s\right]---\left(1\right);$

相应地，由双正交小波变换理论，若分解时深度为m(1≤m≤s+1)，本发明给出相应的重构矩阵的构造公式(2)如下：

$\mathrm{RE}={\mathrm{RE}}_s\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{RE}}_{s-1}& O\\ O& \frac{I_L}{2}\end{array}\right]\·\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{RE}}_{s-2}& O\\ O& \frac{I_{L(2^2-1)}}{2^2}\end{array}\right]L\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{RE}}_{s-m+1}& O\\ O& \frac{I_{L(2^{m-1}-1)}}{2^{m-1}}\end{array}\right]---\left(2\right);$

对于长度为L的数据向量X，设DE代表L×L的小波分解矩阵，RF代表L×L的小波重构矩阵，则其小波分解的系数向量Y可以用矩阵—向量乘法实现：Y＝DE·X；Y的每个分量y_i(i＝0，1，L，L-1)是X在基向量V_i上的投影： $y_i=V_i^T\·X,$ 小波重构可用如下矩阵乘法实现：X＝RE·Y。

4、根据权利要求3所述的对称延拓双正交小波变换矩阵的构造方法，其特征是9/7小波最大分解深度为3的小波分解矩阵(8×8)为：

$\mathrm{DE}=\left[\begin{array}{cccccccc}0.4024& 0.6767& 0.5201& 0.4268& 0.3224& 0.2334& 0.1694& 0.0773\\ -0.5000& -0.6158& -0.1839& 0.1576& 0.5199& 0.3604& 0.1641& 0.0978\\ -0.4502& -0.0443& 0.7889& 0.1941& -0.3578& -0.1413& 0.0191& -0.0085\\ 0.0874& 0.0886& 0.0213& -0.3713& -0.7516& -0.0349& 0.6429& 0.3175\\ -0.4181& 0.7478& -0.3536& -0.0407& 0.0645& 0& 0& 0\\ 0.0645& -0.0407& -0.4181& 0.7885& -0.4181& -0.0407& 0.0645& 0\\ 0& 0& 0.0645& -0.0407& -0.4181& 0.7885& -0.3536& -0.0407\\ 0& 0& 0& 0& 0.1291& -0.0814& -0.8362& 0.7885\end{array}\right]$

相应地，重构矩阵为：

$\mathrm{RE}=\left[\begin{array}{cccccccc}0.3536& 0.3536& 0.3536& 0.3536& 0.3536& 0.3536& 0.3536& 0.3536\\ -0.4776& -0.3254& -0.0696& 0.1906& 0.4156& 0.4803& 0.4877& 0.4988\\ -0.6586& -0.0186& 0.6591& 0.2463& -0.2858& -0.2397& -0.0955& -0.0792\\ 0.0435& 0.0186& -0.0440& -0.2463& -0.3293& 0.1484& 0.6530& 0.7617\\ -0.7548& 0.7421& -0.3536& -0.0728& 0.0238& 0.0378& 0& 0\\ 0.0477& -0.0728& -0.3774& 0.8527& -0.3774& -0.1106& 0.0238& 0.0757\\ 0& 0.0378& 0.0238& -0.1106& -0.3774& 0.8905& -0.3536& -0.2212\\ 0& 0& 0& 0.0378& 0.0238& -0.1106& -0.3774& 0.8527\end{array}\right].$

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