CN103473744B - 基于变权重式压缩感知采样的空域可缩小图像重构方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供了一种基于变权重式压缩感知采样的空域可缩小图像重构方法，它是针对现有的基于压缩感知的图像压缩方法中利用“压缩感知域重构-空域下采样”两步实现低分辨率图像展示的方法会降低最终所产生的图像的质量，通过在压缩感知域对原始图像的压缩采样数据先进行修正，再进行重构，最终在压缩感知域直接产生低分辨率的图像，即将图像的压缩感知采样与空域可缩小重构相结合，实现在低采样率的条件下直接构造高质量低分辨率图像的目的。与现有的基于压缩感知的空域可缩小重构方法相比,本发明具有能够高效地提供高质量低分辨率图像的特点，可广泛用于图像处理技术领域。

Description

基于变权重式压缩感知采样的空域可缩小图像重构方法

技术领域

本发明属于图像处理领域,主要涉及数字图像的空域缩小重构技术。

背景技术

图像通常来源于自然场景，任何图像的拍摄记录过程,实质是将原始景物进行数据采样和压缩的过程。随着网络技术和新兴多媒体技术的发展，要求图像处理不仅要适应复杂多变的网络环境，而且要适应多变的显示环境。如何实现高效的多分辨率图像处理，特别是低采样率条件下的多分辨率图像处理，以适应多变的显示环境，是目前图像处理领域所面临的一大挑战。而如何在新兴压缩技术下实现对原始场景或图像的低分辨率显示，是首当其冲需要解决的问题。

长期以来,为了能够完整地重建信号,传统的采样过程都要遵循奈奎斯特采样定理来实现。这一采样理论在信号处理领域被沿用了将近八十年，直到压缩感知理论的提出，才打破了这一采样准则。2006年,Donobo,Candes和Tao等人提出了针对稀疏信号处理的压缩感知理论，根据压缩感知理论，可以在远低于奈奎斯特采样定理中所要求的采样频率的情况下对信号进行随机采样，从而得到少量的观测值，然后通过求解凸优化问题，即可利用这些观测值对原始信号进行精确重构，以实现数据的压缩。这一理论的一个重要应用就是对图像进行压缩处理，这也是近年来图像处理领域的一项重大突破。经过压缩感知采样得到的数据，在完成对原始数据采样的同时，也完成了对数据的压缩，这本身就是一个高效的信息处理过程。

利用现有的基于压缩感知的图像压缩及重构技术对经过采样后的数据进行低分辨率图像重构时，需要分两步实现：第一步，对采样后的数据在压缩感知域进行与原图像同分辨率的重构；第二步，对重构后的图像在空域进行下采样，得到低分辨率的图像。这种分步实现的方法，存在一个重大的缺陷：在采样率较低的情况下，重构出的同分辨率图像质量较差，再利用这种低质量的图像去产生低分辨率的图像，最终得到的图像的质量也会比较差。为了克服这一缺陷，本发明专利利用压缩采样得到的数据在压缩感知域直接构造高质量的低分辨率图像，以实现可缩小的图像重构。

发明内容

本发明的目的一种基于压缩感知采样的空域可缩小图像的重构方法，它是通过把对图像的压缩感知采样与空域可缩小重构相结合，实现在低采样率的条件下直接构造高质量低分辨率图像的目的。与现有的基于压缩感知的空域可缩小重构方法相比,本发明具有能够高效地提供高质量低分辨率图像的特点，能够克服现有方法中使用“压缩感知域重构-空域下采样”两步实现图像的空域可缩小重构,而无法提供高质量参考图像,进而无法产生高质量低分辨率图像的缺点。

为了方便描述本发明的内容，首先做以下术语定义：

定义1，传统的图像分块方法

传统的图像分块方法按照JPEG标准中对图像进行分块的方法，将原始图像划分为多个互不重叠的等尺寸图像块，具体描述过程参见“JPEG(JointPhotographicExpertsGroup):ISO/IECIS10918–1/ITU-TRecommendationT.81,DigitalCompressionandCodingofContinuous-ToneStillImage,1993”；

定义2，传统的图像块合成图像的方法

传统的图像块合成图像的方法是按照JPEG标准中用图像块进行相互不重叠组合以合成完整图像的方法，具体描述过程参见“JPEG(JointPhotographicExpertsGroup):ISO/IECIS10918–1/ITU-TRecommendationT.81,DigitalCompressionandCodingofContinuous-ToneStillImage,1993”；

定义3，传统的压缩感知采样

传统的压缩感知采样方法是在低于奈奎斯特采样率的条件下，根据设定的采样率，产生随机采样矩阵Ф，用随机采样矩阵Ф对原始信号进行采样，获取信号的离散样本的方法,具体描述过程参见文献“Compressedsensing”。

定义4，传统的基于图像块的压缩感知采样

为了实现对二维图像的压缩感知采样，通常先将二维图像分块,再将每个二维图像块转化为一个一维信号，最终用随机采样矩阵Ф对每个一维信号进行压缩采样,具体步骤参见文献“Blockcompressedsensingofnaturalimages”。

定义5，传统的梯度投影稀疏重建法

梯度投影稀疏重建法(Gradientprojectionforsparsereconstruction，GPSR)是一种将凸优化问题转化为二次规划问题，并利用特殊的线搜索法和终止技术，对压缩感知采样后的数据进行快速重构的方法，具体步骤参见文献“GradientProjectionforSparseReconstruction:ApplicationtoCompressedSensingandOtherInverseProblems”。

定义6，基于压缩感知的图像块重建

基于压缩感知的图像块重建是在对图像进行基于图像块的压缩采样后，对采样得到的数据利用求解凸优化的问题进行重建，产生一维的重建信号，再将一维的重建信号转化为二维的图像信号，用来实现整个图像的重建，具体步骤参见文献“Blockcompressedsensingofnaturalimages”。

定义7，传统的图像等间隔无加权空域下采样法

传统的图像等间隔空域无加权下采样法是用来实现图像缩小显示的一种方法。这种方法以图像左上角第一个像素点为起点，同时沿水平向右和垂直向下两个方向对部分像素点直接进行等间隔不重复抽取，而不做任何邻域加权处理的采样方法。

定义8，传统的对矩阵进行子矩阵划分的方法

传统的对矩阵进行子矩阵划分的方法按照线性代数理论中对矩阵进行分块的方法，将原始矩阵划分为多个互不重叠的等尺寸子矩阵，具体描述过程参见“工程数学线性代数(第五版)”,同济大学数学系编著,高等教育出版社。

定义9，Matlab

Matlab是矩阵实验室(MatrixLaboratory)的简称，美国MathWorks公司出品的商业数学软件，用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境。具体用法详见文献“MATLAB实用教程(第二版)”，HollyMoore编著，高会生、刘童娜、李聪聪译，电子工业出版社。

本发明提供了一种基于压缩感知采样的空域可缩小图像的重构方法，它包括以下步骤，如附图1所示：

步骤1，原始图像的预处理

将分辨率为W×H的原始图像,按照传统的图像分块方法划分为N＝(W×H)/m²个互不重叠的，大小为m×m的图像块，记为B₀，B₁，…，B_N-1，这里W代表原始图像的宽度，H代表原始图像的高度，N代表原始图像块的个数，m代表原始图像块的宽度和高度；设定传统的图像等间隔无加权空域下采样法中的采样间隔为L，L＝2^t<m，t为正整数；

步骤2，索引矩阵的产生

把n²个整数0，1，…，n²-1按从小到大的顺序逐列摆放，产生一个大小为n×n的索引矩阵，记为A，n为正整数，

A中的元素记为A(x,y)，0≤x<n,0≤y<n，这里，取n＝m；x代表索引矩阵A内元素的横坐标，y代表索引矩阵A内元素的纵坐标；

步骤3，变权重式采样矩阵的产生

首先，按照传统的压缩感知采样中产生随机采样矩阵的方法，产生一个随机采样矩阵，记为S，这里矩阵S的列数为m²，矩阵S的行数由传统的压缩感知采样中的采样率决定；

其次，根据传统的图像等间隔无加权空域下采样法对索引矩阵A中的元素进行间隔为L的采样；用采样得到的元素组成一个集合，记为idx_1，用剩余的元素组成另外一个集合，记为idx_2，这里idx_1∪idx_2＝A，集合idx_1的大小记为k_1，集合idx_2的大小记为k_2，并且k_1+k_2＝m²；将idx_1中的元素记为idx_1(i),将idx_2中的元素记为idx_2(j)，这里，i代表集合idx_1中元素的索引号，j代表集合idx_2中元素的索引号，0≤i<k_1，0≤j<k_2；

然后，产生一个大小为m²×m²的单位矩阵，记为C：

C中的元素记为C(x_c,y_c)，这里，0≤x_c<m²,0≤y_c<m²，x_c代表矩阵C内元素的横坐标，y_c代表矩阵C内元素的纵坐标；修改矩阵C的对角线元素，令C(idx_1(i),idx_1(i))＝5，C(idx_2(j),idx_2(j))＝1，将修改后的矩阵记为D；

最后，用S左乘D,得到变权重式采样矩阵，记为Ф，这里Ф＝S·D，这里矩阵Ф的列数为m²，矩阵Ф的行数由传统的压缩感知采样中的采样率决定；

步骤4，图像的压缩感知采样

对步骤1中产生的每个图像块B₀，B₁，…，B_N-1用步骤3中产生的采样矩阵Ф逐一实现传统的基于图像块的压缩感知采样，得到采样数据G₀，G₁，…，G_N-1；集合采样数据G₀，G₁，…，G_N-1，记为G，G＝{G₀，G₁，…，G_N-1}，G是原始图像的压缩感知采样数据；

步骤5，索引矩阵的分块

对步骤2中产生的索引矩阵A，以A(0,0)为起点，按照传统的对矩阵进行子矩阵划分的方法，把A划分为k＝n²/l²个互不重叠的，大小为l×l的子索引矩阵，记为A₀，A₁，…，A_k-1，A也可以表示为：

将索引子矩阵A_id中的每个元素记为A_id(x_A,y_A)；这里，id代表子索引矩阵的索引下标，id＝0,1,…，k-1；k代表子索引矩阵的个数，k＝n²/l²，l代表子索引矩阵的行数和列数,l＝L；x_A代表子索引矩阵A_id内元素的横坐标，y_A代表子索引矩阵A_id内元素的纵坐标，x_A和y_A是整数，0≤x_A<l,0≤y_A<l；

步骤6，采样矩阵的修正

首先，将步骤3中产生的采样矩阵Ф的每一个列向量表示为这里，s代表每一个列向量的索引下标,s＝0,1,…，M，M＝m²；

其次，将Ф中的M个列向量分成k＝n²/l²个列向量组，记为g_d，这里，d代表每一个列向量组的索引下标，d＝0,1,…，k-1,每个列向量组g_d包含l²个向量，步骤如下：

第1组，

第2组，

同理，对第d组,

然后，将每个列向量组g_d内的所有列向量相加得到一个列向量，记为v_d，步骤如下：

第1组，

第2组，

同理，对第d组,

最后，将产生的k个列向量v₀，v₁，…，v_k-1组成一个采样矩阵，记为E，E＝[v₀,v₁,…，v_k-1]；

步骤7，低分辨率图像的重构

在梯度投影稀疏重建法中，用采样矩阵E对步骤4中产生的每一个采样数据G₀，G₁，…，G_N-1逐一实现传统的基于压缩感知的图像块重建,得到重建后大小为(n/l)×(n/l)的图像块，记为…，用传统的图像块合成图像的方法将所有的…，组成完整的重建图像，记为Q，Q的分辨率为w×h，这里，w代表重建图像Q的宽度，h代表重建图像Q的高度，w＝W/l,h＝H/l。

本发明的创新点：针对现有的基于压缩感知的图像压缩方法中利用“压缩感知域重构-空域下采样”两步实现低分辨率图像展示的方法会降低最终所产生的图像的质量，本发明提供了一种新的在压缩感知域直接实现图像的压缩和低分辨率重构的方法。所提出的方法通过修正原始图像的压缩采样数据，把低分辨率的图像重构集中在压缩感知域完成，从而达到提高重构图像质量的目的。

本发明的基本原理：假设要实现对原始信号(以离散信号x_1D为例)的空域半采样重构，从数学意义上讲，这时的压缩采样重构信号z_1D＝[z₀,…,z_l-1]^T∈R^l,(l＝L/2)是对原始信号x_1D中做完下采样后的部分↓x_1D＝[x₀,x₂…,x_L-2]^T∈R^L/2的一种逼近。假设在对原始信号的采样过程中得到了K(K<<L)个样本。虽然采样率K/L相对于x_1D较低，但当l＝L/2时，采样率相对于↓x_1D则翻了一番，因为此时的相对采样率是K/l＝2×(K/L)。而且l越小，相对采样率K/l就会越大。对于二维信号↓x_2D,向下的半采样意味着在两个方向(垂直和水平方向)都需要做半采样,这样就相当于对整个信号做了1/4的采样；而当两个方向都做1/4采样时，则相当于对整个信号做了1/16的采样。因此，即使对于原始图像使用十分低的采样率，例如只有10％，但对于做了空域下采样后的图像而言，采样率将会加倍。例如，对于经过2×2下采样后的图像而言，采样率为40％，而对于经过4×4下采样后的图像而言，采样率为160％，此时已经完全变成了过采样的情况。正是因为有了这种采样率的相对变化，即从低采样率采样转化成为高采样率采样甚至是过采样，才为重构高质量的低分辨率图像提供了保障。

本发明的技术方案是对压缩采样后的样本数据进行修正，并利用压缩感知重构算法，如梯度投影稀疏重建法，直接实现可缩小图像重构。

具体地，根据压缩感知理论，对一个高度稀疏的一维信号x_1D＝[x₀,…,x_L-1]^T∈R^L用一组(K个)线性基对其进行随机采样：

即使采样个数K<<L,仍可以通过求解一个凸优化的问题，把信号精确的重构出来。

对于一维信号，根据公式(1)，在压缩感知下获得的采样数据可表示为线性组合：

$y_i=c_{i,0}{x}_0+c_{i,1}{x}_1+...+c_{i,L-1}{x}_{L-1}=\underset{j=0}{\overset{L-1}{\&Sigma;}}{c}_{i,j}{x}_j,i=0,...,K-1---\left(2\right)$

如果假设那么公式(2)可以写成：

$y_i=(c_{i,0}+c_{i,1})x_0+(c_{i,2}+c_{i,3})x_2+...+(c_{i,L-2}+c_{i,L-1})x_{L-2}=\underset{j=0}{\overset{L/2-1}{\&Sigma;}}(c_{i,2j}+c_{i,2j+1})x_{2j.}---\left(3\right)$

这里虽然每一个y_i都是从原始信号x_1D＝[x₀,…,x_L-1]^T∈R^L中获得，但它同时也可以等效于从经过半采样后的信号↓x_1D＝[x₀,x₂…,x_L-2]^T∈R^L/2中直接获得。只不过此时采样矩阵中的系数变成了c_i,2j+c_i,2j+1。更进一步地考虑，现在的原始信号由x_1D变成了↓x_1D。而对于↓x_1D而言，采样率已经得到了提高，因此能够重建一个高质量的信号z_1D。

对于二维信号，采样后的数据可以写成：

此处代表点乘，∑是对矩阵中的所有元素求和。为了重构经过2×2下采样的低分辨率图像，可以假设x(2u,2v)≡x(2u+1,2v)≡x(2u,2v+1)≡x(2u+1,2v+1)，那么公式(4)就可以被改写为：

与一维的情况类似，对于二维的情况，每一个样本y_i可以看作是直接对经过2×2下采样后的信号↓x_2D进行随机采样的结果。此时采样矩阵中的每一个系数变成了系数矩阵[C_m,n]_2×2中所有元素的和。同样地，对于↓x_2D而言，因为采样率得到了提高，也能够重建一个高质量的信号z_2D＝[z(m,n)]_h×w。

无论对于一维问题中的假设x_2j≡x_2j+1还是对于二维问题中的假设x(2u,2v)≡x(2u+1,2v)≡x(2u,2v+1)≡x(2u+1,2v+1)，事实上都并一定能够成立。如果这样的假设无法成立，那么压缩采样后的数据{y_i}也就无法准确地描述↓x_1D或↓x_2D。在某些极端的情况下，用这样的方式来描述信号甚至会带来严重的误差。为了消除这一误差，需要对采样后的样本进行修正，使其逼近那些可以从↓x_2D中得到的样本数据(假设这些数据存在)，即通过修改{y_i}让其逼近公式(5)中的数值。

本发明的优点；将压缩感知采样作用于原始图像后，在压缩感知域直接实现图像的低分辨率重构，避免了通过“压缩感知域重构-空域下采样”的两步实现过程。本发明的实质是通过在压缩感知域对原始图像的压缩采样数据先进行修正，再进行重构，最终在压缩感知域直接产生低分辨率的图像。

附图说明

图1为本发明的实现流程；

图2为采用不同方法在不同采样率下对不同图像进行空域2×2缩小重构得到的PSNR和

SSIM值。

具体实施方式

本发明主要采用仿真实验的方式验证该系统模型的可行性，所有步骤、结论都在MATLAB7.11上验证正确。为实现空域2×2缩小重构，具体实施步骤如下：

步骤1，原始图像的预处理

设定m＝32，将分辨率为W×H的原始图像,按照传统的图像分块方法划分为N＝(W×H)/32²个互不重叠的，大小为32×32的图像块，记为B₀，B₁，…，B_N-1，这里W代表原始图像的宽度，H代表原始图像的高度，N代表原始图像块的个数。设定传统的图像等间隔无加权空域下采样法中的采样间隔L＝2；

步骤2，索引矩阵的产生

把32²个整数0，1，…，1023按从小到大的顺序逐列摆放，产生一个大小为32×32的索引矩阵，记为A：

A中的元素记为A(x,y)(0≤x<32,0≤y<32)，这里，x代表索引矩阵A内元素的横坐标，y代表索引矩阵A内元素的纵坐标；

步骤3，变权重式采样矩阵的产生

首先，按照传统的压缩感知采样中产生随机采样矩阵的方法，产生一个随机采样矩阵，记为S，这里矩阵S的列数为32²＝1024，矩阵S的行数由传统的压缩感知采样中的采样率决定。

其次，根据传统的图像等间隔无加权空域下采样法对步骤2种产生的索引矩阵A中的元素进行间隔为2的采样。用采样得到的元素组成一个集合，记为idx_1，用剩余的元素组成另外一个集合，记为idx_2，这里idx_1∪idx_2＝A，集合idx_1的大小为256，集合idx_2的大小为1024-256＝768。将idx_1中的元素记为idx_1(i),将idx_2中的元素记为idx_2(j)，这里，i代表集合idx_1中元素的索引号，j代表集合idx_2中元素的索引号，0≤i<256，0≤j<768。

然后，产生一个大小为32²×322的单位矩阵，记为C：

C中的元素记为C(x_c,y_c)(0≤x_c<32²,0≤y_c<32²)，这里x_c代表矩阵C内元素的横坐标，y_c代表矩阵C内元素的纵坐标。修改矩阵C的对角线元素，令C(idx_1(i),idx_1(i))＝5，C(idx_2(j),idx_2(j))＝1，将修改后的矩阵记为D。

最后，用矩阵S左乘矩阵D,得到变权重式采样矩阵，记为Ф，这里Ф＝S·D，这里矩阵Ф的列数为32²＝1024，矩阵Ф的行数由传统的压缩感知采样中的采样率决定。

步骤4，图像的压缩感知采样

对步骤1中产生的每个图像块B₀，B₁，…，B_N-1用步骤3中产生的采样矩阵Ф逐一实现传统的基于图像块的压缩感知采样，得到采样数据G₀，G₁，…，G_N-1。集合采样数据G₀，G₁，…，G_N-1，记为G，G＝{G₀，G₁，…，G_N-1}，G是原始图像的压缩感知采样数据。

步骤5，索引矩阵的分块

对步骤2中产生的索引矩阵A，以A(0,0)为起点，按照传统的对矩阵进行子矩阵划分的方法，把A划分为32²/2²＝256个互不重叠的，大小为2×2的子索引矩阵，记为A₀，A₁，…，A₂₅₅，A也可以表示为：

将索引子矩阵A_id中的每个元素记为A_id(x_A,y_A)；这里，id代表子索引矩阵的索引下标，id＝0,1,…，255；k代表子索引矩阵的个数，k＝n²/l²，l代表子索引矩阵的行数和列数,l＝L；x_A代表子索引矩阵A_id内元素的横坐标，y_A代表子索引矩阵A_id内元素的纵坐标，x_A和y_A是整数，0≤x_A<2,0≤y_A<2；

步骤6，采样矩阵的修正

首先，将随机采样矩阵Ф的每一个列向量表示为这里，s代表每一个列向量的索引下标,s＝0,1,…，1023；

其次，将Ф中的1024个列向量分成256个列向量组，记为g_d，这里，d代表每一个列向量组的索引下标，d＝0,1,…，255,每个列向量组g_d包含4个向量，步骤如下：

第1组，

第2组，

同理，对第d组,

然后，将每个列向量组g_d内的所有列向量相加得到一个列向量，记为v_d，步骤如下：

第1组，

第2组，

同理，对第d组,

最后，将产生的256个列向量v₀，v₁，…，v₂₅₅组成一个采样矩阵，记为E，E＝[v₀,v₁,…，v₂₅₅]。

步骤7，低分辨率图像的重构

在梯度投影稀疏重建法中，用步骤6种产生的采样矩阵E对步骤4中产生的每一个采样数据G₀，G₁，…，G_N-1逐一实现传统的基于压缩感知的图像块重建,得到重建后大小为16×16的图像块，记为…，用传统的图像块合成图像的方法将所有的…，组成完整的重建图像，记为Q，Q的分辨率为w×h，这里，w代表重建图像Q的宽度，h代表重建图像Q的高度，w＝W/2,h＝H/2。

将实施例应用于Lena,Fishingboat和Goldhill三幅尺寸为512×512的经典图例中，附图2是在不同采样率下，对不同图像用不同方法进行空域2×2缩小重构的对比，包括峰值信噪比(peaksignaltonoiseratio,PSNR)和结构相似度(structuralsimilarity，SSIM)的比较。很明显，本发明中的方法较现有方法有明显的性能提升。

Claims (1)

1.基于变权重式压缩感知采样的空域可缩小图像重构方法，其特征是它包括以下步骤：

步骤1，原始图像的预处理

将分辨率为W×H的原始图像,按照传统的图像分块方法划分为N＝(W×H)/m²个互不重叠的，大小为m×m的图像块，记为B₀，B₁，…，B_N-1，这里W代表原始图像的宽度，H代表原始图像的高度，N代表原始图像块的个数，m代表原始图像块的宽度和高度；设定传统的图像等间隔无加权空域下采样法中的采样间隔为L，L＝2^t<m，t为正整数；

步骤2，索引矩阵的产生

把n²个整数0，1，…，n²-1按从小到大的顺序逐列摆放，产生一个大小为n×n的索引矩阵，记为A，n为正整数，

A中的元素记为A(x,y)，0≤x<n,0≤y<n，这里，取n＝m；x代表索引矩阵A内元素的横坐标，y代表索引矩阵A内元素的纵坐标；

步骤3，变权重式采样矩阵的产生

首先，按照传统的压缩感知采样中产生随机采样矩阵的方法，产生一个随机采样矩阵，记为S，这里矩阵S的列数为m²，矩阵S的行数由传统的压缩感知采样中的采样率决定；

其次，根据传统的图像等间隔无加权空域下采样法对索引矩阵A中的元素进行间隔为L的采样；用采样得到的元素组成一个集合，记为idx_1，用剩余的元素组成另外一个集合，记为idx_2，这里idx_1∪idx_2＝A，集合idx_1的大小记为k_1，集合idx_2的大小记为k_2，并且k_1+k_2＝m²；将idx_1中的元素记为idx_1(i),将idx_2中的元素记为idx_2(j)，这里，i代表集合idx_1中元素的索引号，j代表集合idx_2中元素的索引号，0≤i<k_1，0≤j<k_2；

然后，产生一个大小为m²×m²的单位矩阵，记为C：

C中的元素记为C(x_c,y_c)，这里，0≤x_c<m²,0≤y_c<m²，x_c代表矩阵C内元素的横坐标，y_c代表矩阵C内元素的纵坐标；修改矩阵C的对角线元素，令C(idx_1(i),idx_1(i))＝5，C(idx_2(j),idx_2(j))＝1，将修改后的矩阵记为D；

最后，用S左乘D,得到变权重式采样矩阵，记为Ф，这里Ф＝S·D，这里矩阵Ф的列数为m²，矩阵Ф的行数由传统的压缩感知采样中的采样率决定；

步骤4，图像的压缩感知采样

对步骤1中产生的每个图像块B₀，B₁，…，B_N-1用步骤3中产生的采样矩阵Ф逐一实现传统的基于图像块的压缩感知采样，得到采样数据G₀，G₁，…，G_N-1；集合采样数据G₀，G₁，…，G_N-1，记为G，G＝{G₀，G₁，…，G_N-1}，G是原始图像的压缩感知采样数据；

步骤5，索引矩阵的分块

对步骤2中产生的索引矩阵A，以A(0,0)为起点，按照传统的对矩阵进行子矩阵划分的方法，把A划分为k＝n²/l²个互不重叠的，大小为l×l的子索引矩阵，记为A₀，A₁，…，A_k-1，A也可以表示为：

将索引子矩阵A_id中的每个元素记为A_id(x_A,y_A)；这里，id代表子索引矩阵的索引下标，id＝0,1,…，k-1；k代表子索引矩阵的个数，k＝n²/l²，l代表子索引矩阵的行数和列数,l＝L；x_A代表子索引矩阵A_id内元素的横坐标，y_A代表子索引矩阵A_id内元素的纵坐标，x_A和y_A是整数，0≤x_A<l,0≤y_A<l；

步骤6，采样矩阵的修正

首先，将步骤3中产生的采样矩阵Ф的每一个列向量表示为φ_s，这里，s代表每一个列向量的索引下标,s＝0,1,…，M，M＝m²；

其次，将Ф中的M个列向量分成k＝n²/l²个列向量组，记为g_d，这里，d代表每一个列向量组的索引下标，d＝0,1,…，k-1,每个列向量组g_d包含l²个向量，步骤如下：

第1组，

第2组，

同理，对第d组,

然后，将每个列向量组g_d内的所有列向量相加得到一个列向量，记为v_d，步骤如下：

第1组，

第2组，

同理，对第d组,

最后，将产生的k个列向量v₀，v₁，…，v_k-1组成一个采样矩阵，记为E，E＝[v₀,v₁,…，v_k-1]；

步骤7，低分辨率图像的重构

在梯度投影稀疏重建法中，用采样矩阵E对步骤4中产生的每一个采样数据G₀，G₁，…，G_N-1逐一实现传统的基于压缩感知的图像块重建,得到重建后大小为(n/l)×(n/l)的图像块，记为用传统的图像块合成图像的方法将所有的组成完整的重建图像，记为Q，Q的分辨率为w×h，这里，w代表重建图像Q的宽度，h代表重建图像Q的高度，w＝W/l,h＝H/l。