CN102624399B - 一种压缩感知信号的重构方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供了一种压缩感知信号的重构方法，包括：A、计算经过压缩感知处理的信号y与传感矩阵Φ每一列的内积g₁＝Φ^Ty，作为第一次迭代的内积结果；B、根据本次迭代的内积结果g_t判断是否停止迭代；若不停止，则从本次迭代的内积结果g_t中找到绝对值最大的元素对应的索引值λ_t，将索引值λ_t加入索引集合，计算下次迭代的内积结果为并进入下次迭代过程，返回步骤B；其中，t为迭代索引值，为矩阵X＝Φ^TΦ的第λ_t列；若停止，则将当前索引集合中各个互不相同的索引值对应的传感矩阵的列构成矩阵Φ_Λ，并根据构成的矩阵Φ_Λ和所述信号y重构压缩感知信号；所述Φ_Λ中的列按照索引值由低到高的顺序排列，Λ为当前索引集合中各个互不相同的索引值构成的集合。应用本发明，能够节省计算时间和资源。

Description

一种压缩感知信号的重构方法

技术领域

本发明涉及通信系统中的信号处理技术，特别涉及一种压缩感知信号的重构方法。

背景技术

压缩感知(Compressive Sensing)，是一种利用稀疏的或可压缩的信号进行信号重建的理论。该理论指出：对于可压缩的信号，可通过远低于奈奎斯特采样率的速率对信号进行非自适应的测量编码，测量值并非信号本身，而是高维到低维的投影值，从数学的角度看，每个测量值是传统理论下的每个样本信号的组合函数，即一个测量值已经包含了所有样本信号的少量信息。

压缩感知信号的突出优点就是针对可稀疏表示的信号，能将传统的数据采集与数据压缩合二为一，大大减少了数据的获取时间和存储空间。

不同于传统的均匀采样，压缩感知的核心是线性测量过程。假定x为采样得到的信号(例如采集的静态图像信号或视频信号等)，长度为N，且为K稀疏的(若信号只有K个元素非零，则称其为K稀疏信号，K称为它的稀疏度)，而通过压缩感知则可直接得到信号y(也称为测量值y)，长度为M(M＜N，且M＝O(log(N)))，它们的关系为

y＝Φx

其中Φ称为传感矩阵或者测量矩阵，大小为M×N。

若采样信号x本身不稀疏，x在正交稀疏变换下可通过系数向量s表示，记为x＝Ψs，其中s为K稀疏的，于是我们也可将测量过程重新写为：

y＝ΦΨs＝Θs

信号重构是压缩感知理论的核心，是指由M维测量向量y重构出长度为N(M＜N)的信号s的过程。信号重构问题可以通过求解最小l₀范数问题解决：

$\hat{s}=\arg \min {\left|\right|s\left|\right|}_0,s.t.,\mathrm{\Θs}=y$

其中‖·‖₀为向量的l₀范数，表示向量s中非零元素的个数。

但是最小l₀范数问题是一个NP-hard问题，需要穷举s中非零值的所有种排列可能，因而无法求解。鉴于此，研究人员提出了一系列求得次最优解的方法，主要包括最小l₁范数法、匹配追踪系列方法等。

基于l₁范数最小的重建方法重建图像质量高，但其计算量巨大，对于大规模信号无法应用。

匹配追踪系列方法仅限压缩感知信号重建时，基本思想是在每一次的迭代过程中，从传感矩阵Φ中选择与信号y最匹配的原子(即矩阵的列)来构建稀疏逼近，并求出信号残差，然后继续选择与信号残差最为匹配的原子，经过一定次数的迭代，信号可以由一些原子线性表示。该系列方法重建效果比较好，但是重建速度较慢，主要有MP(Matching Pursuit)、OMP(OrthogonalMatching Pursuit)、ROMP(Regularized Orthogonal Matching Pursuit)、CMP(Complementary Matching Pursuit)等。

发明内容

本发明提供了一种压缩感知信号的重构方法，能够在保证重构性能的基础上，大大节省重构时间。

为实现上述目的，本发明采用如下的技术方案：

一种压缩感知信号的重构方法，包括：

A、计算经过压缩感知处理的信号y与传感矩阵Φ每一列的内积g₁＝Φ^Ty，作为第一次迭代的内积结果；

B、根据本次迭代的内积结果g_t判断是否停止迭代；

若不停止，则从本次迭代的内积结果g_t中找到绝对值最大的元素对应的索引值λ_t，将索引值λ_t加入索引集合，计算下次迭代的内积结果为并进入下次迭代过程，返回步骤B；其中，t为迭代索引值，为矩阵X＝Φ^TΦ的第λ_t列；

若停止，则将当前索引集合中各个互不相同的索引值对应的传感矩阵的列构成矩阵Φ_Λ，并根据构成的矩阵Φ_Λ和所述信号y重构压缩感知信号；所述Φ_Λ中的列按照索引值由低到高的顺序排列，Λ为当前索引集合中各个互不相同的索引值构成的集合。

较佳地，所述根据构成的矩阵Φ_Λ和所述信号y重构压缩感知信号为：所述为重构的压缩感知信号。

较佳地，所述根据本次迭代的内积结果g_t判断是否停止迭代为：判断本次迭代的内积结果g_t是否满足迭代停止条件‖g_t‖₂≤δ，所述δ为预设的终止阈值，若满足，则停止迭代，否则，不停止迭代。

由上述技术方案可见，本发明中，在各次迭代过程中，仅在第一次迭代时直接计算传感矩阵每一列与余量的内积；而在之后的每次迭代中，利用上次迭代内积结果的向量计算得到本次迭代的内积结果，而不再直接计算内积；同时，在迭代过程停止之前，不需要计算重构信号的近似解，从而降低计算难度，节省计算时间。

附图说明

图1为本发明实施例中压缩感知信号重构方法的流程示意图；

图2为本发明的方法与现有方法的性能比较示意图。

具体实施方式

为使本发明的目的、技术手段和优点更加清楚明白，以下结合附图对本发明做进一步详细说明。

对现有的匹配追踪系列方法进行分析可知，该系列方法中，在每次迭代时，需要计算传感矩阵Φ的每一列与上次迭代确定出的信号残差的内积，也就是要计算传感矩阵的转置与信号残差r的乘积Φ^Tr，涉及的是矩阵运算；进一步地，为计算信号残差，需要在每次迭代中计算重构信号的近似解。可见，匹配追踪系列方法中，每次迭代都涉及矩阵运算，每次迭代都需要计算重构信号的近似解，这部分计算处理将耗费大量的时间，占用大量计算资源。

基于上述分析，本发明的基本思想是：在保证信号重构准确性的基础上，简化每次迭代过程中的内积运算，以节省计算时间和资源；进一步地，还可以简化每次迭代过程中对于重构信号近似解的计算，从而进一步节省计算时间和计算资源。

不失一般性，假设Ψ＝I_N为N阶单位矩阵，则传感矩阵为ΦΨ＝Φ。在本发明中，首先依据传感矩阵Φ_M×N构造矩阵X_N×N，其中传感矩阵Φ的列向量为矩阵X的元素为列向量为{χ_j，j＝1，2，…，N}。在除第一次迭代之外的其他每次迭代中，利用矩阵X_N×N中的一列与上次迭代中的内积结果间的向量运算得到本次迭代的内积结果，从而避免了每次迭代中必须进行的矩阵运算，大大节省了计算时间。

进一步地，本发明在除第一次迭代之外的其他每次迭代中，通过前述向量运算确定内积结果，而不需要利用信号残差计算内积结果，从而也就不需要计算信号残差，进而就不需要在除第一次迭代之外的其他每次迭代中计算重构信号的近似解，因此又进一步节省了计算时间。

下面对本发明的具体实现进行详细介绍。首先快速获取原始采样信号非零值的位置，然后根据位置信息求解相应的系数。

图1为本发明中压缩信号重构方法的具体流程图。如图1所示，该方法包括：

步骤101，确定传感矩阵Φ，获得经过压缩感知处理的信号y。

其中，确定传感矩阵的方式与现有相同，这里就不再赘述。

步骤102，计算传感矩阵的转置相乘矩阵X＝Φ^TΦ。

X具体形式为：

式中为传感矩阵Φ的元素。

步骤103，计算信号y和传感矩阵Φ的每一列的内积g₁＝Φ^Ty，令索引集迭代次数t＝1，

开始进行第一次迭代，其中t＝1，索引集第一次迭代中信号残差就是原始测量值信号y，初始的重构信号为零向量。并且，本发明中第一次迭代时，仍然采用矩阵运算确定内积结果，即计算信号y和传感矩阵Φ的每一列的内积g₁＝Φ^Ty。

步骤104，判断是否满足迭代停止条件‖g_t‖₂≤δ，若满足，转入执行步骤109，若不满足，执行步骤105。

每次迭代后的内积结果是信号残差与传感矩阵的内积，由于信号残差反映了重构信号与原始信号的接近程度，残差越小，可知重构信号与原始信号越接近。随着迭代次数的增加，信号残差会越来越小，内积也会越来越小。因此，根据内积结果能够判断出重构的信号是否足够接近原始采样信号，即重构信号的准确性是否达到预期要求，如果达到则可以停止迭代，完成信号重构，如果未达到则继续迭代，继续寻找与信号残差匹配的传感矩阵的列。由此可见，本领域技术人员根据内积结果能够判断是否需要停止迭代。

本步骤中给出了一个具体的迭代停止条件，该迭代停止条件与现有的匹配追踪方法中的迭代停止条件相同，其中，迭代终止阈值δ为预设的参数，具体取值的确定和设置与现有方式相同，这里就不再赘述。当然，这里给出的迭代停止条件仅为一个示例，本领域技术人员可以根据需要设置其他迭代停止条件，本发明对于迭代停止条件不做限定。

步骤105，找出本次迭代的内积结果g_t中绝对值最大的元素索引值，即λ_t＝arg max_{i∈{1，2，…，N}}|g_t[i]|。

步骤106，更新索引集Λ_t＝Λ_t-1∪{λ_t}。

步骤107，根据本次迭代的内积结果g_t和矩阵X计算下次迭代的内积结果

其中是矩阵X的第λ_t列。通过理论推导可知，利用矩阵X的第λ_t列和g_t间的运算得到的结果与现有匹配追踪方法中每次迭代时信号残差和传感矩阵每一列的内积结果是存在极强的相关性的，可以利用运算的结果来替代信号残差与传感矩阵每一列的内积结果Φ^Tr，能够保证信号重构的准确性。

而运算仅涉及向量运算，不涉及矩阵运算，并且在每次迭代中都采用向量运算代替矩阵运算，从而大大节省了运算时间。进一步地，由于上述运算过程中不涉及信号残差，因此也就不需要一定在每次迭代结束时计算采样信号的近似值，用于计算信号残差，又进一步节省了计算时间。

步骤108，将t自加，返回步骤104，进行下一次迭代。

步骤109，判断t是否为1，若是，则执行步骤110，否则执行步骤111。

步骤110，确定

该步骤用于在第一次迭代中内积结果就足够小，满足迭代停止条件的特殊情况。

步骤111，将当前索引集合Λ_t-1中各个互不相同的索引值构成索引集Λ，根据信号y和索引集Λ中的各索引值对应的传感矩阵的列构成的矩阵Φ_Λ，重构压缩感知信号。

索引集Λ为当前索引集合Λ_t-1中各个互不相同的索引值构成的。具体构成方式不限，可以是在每次迭代结束后将当前索引集合Λ_t-1中的重复元素去除，或者也可以集中在最后一次迭代后将当前索引集合Λ_t-1中的重复元素去除。构成的矩阵中的列按照索引值由低到高的顺序排列。

具体根据构造的矩阵Φ_Λ和信号y重构压缩感知信号的方式可以为多种，可以由本领域技术人员根据实际的性能和处理复杂度等的需求进行重构。这里，给出一种最小二乘法的方式确定重构的压缩感知信号：其中，由于重构的压缩感知信号与原始采样信号x一定存在误差，因此，利用表示重构的压缩感知信号，以与原始采样信号x相区别。

至此，本发明中的压缩信号重构方法流程结束。由上述可见，本发明中，只需在第一步计算y和传感矩阵Φ的每一列的内积g₁＝Φ^Ty，以获得初始内积结果的绝对值最大项的位置索引，存入索引集合中，得到第一次迭代的索引集合Λ₁；在后续的迭代中，不需要再依据内积公式进行矩阵计算，而是利用简单的向量计算求内积的方法，即在第j(j＞1)次迭代中获取其绝对值最大元素索引，存入索引集中，得到Λ_j。当满足迭代停止条件时，就去除索引集中的重复元素，得到最终索引集Λ，最后只需利用诸如最小二乘等的方式做一次采样信号的计算，就能够重构信号，从而大大缩短重构时间。

接下来，提供利用本发明进行压缩感知信号重构的仿真结果。

选取256×256Lena图作为图像信号x，并进行小波变换，得到信号的稀疏表达，压缩感知过程通过一个大小为M×N的归一正交化的高斯矩阵Φ实现，每次实验中，Φ都是随机生成的。仿真实验中，重构图像的PSNR值和消耗的时间为1000次实验的平均值。

令测量值个数M从26到208按等差数列变化(M/N从0.1到0.8变化)，公差26。表1给出了MP、OMP、ROMP、CMP方法进行信号重构和利用本发明方法进行信号重构的PSNR对比结果。

表1 MP、OMP、ROMP、CMP方法和本发明方法重构图像PSNR对比表，单位：dB

图2为MP、OMP、ROMP、CMP方法和本发明方法进行信号重构时对应于表1的消耗时间图。

从表1中可以看出，本发明方法的PSNR与现有匹配追踪方法相差不大，可见，本发明的压缩感知信号重构方法，能够保证信号重构的准确性。

从图2的时间变化曲线来看，本发明方法的时间远远小于现有匹配追踪系列方法的重构时间。

以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内，所做的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明保护的范围之内。

Claims (1)

1.一种压缩感知信号的重构方法，其特征在于，该方法包括：

A、计算传感矩阵的转置相乘矩阵Χ＝Φ^TΦ，并计算经过压缩感知处理的信号y与传感矩阵Φ每一列的内积结果g₁＝Φ^Ty，作为第一次迭代的内积结果；设t＝1，当前索引集合为空集；

B、根据本次迭代的内积结果g_t判断是否停止迭代，当满足迭代停止条件||g_t||₂≤δ时停止迭代，当不满足所述迭代停止条件时不停止迭代；

若不停止，则从本次迭代的内积结果g_t中找到绝对值最大的元素对应的索引值λ_t＝argmax_{i∈{1,2,...,N}}|g_t[i]|，将索引值λ_t加入当前索引集合Λ_t＝Λ_t-1∪{λ_t}，计算下次迭代的内积结果为t，并进入下次迭代过程，返回步骤B；其中，t为迭代索引值，为所述转置相乘矩阵Χ＝Φ^TΦ的第λ_t列，δ为预设的终止阈值；

若停止，则判断t是否为1，若是，则将零向量作为重构的感知信号；否则，将当前索引集合中各个互不相同的索引值对应的传感矩阵的列构成矩阵Φ_Λ，并根据构成的矩阵Φ_Λ和所述信号y重构压缩感知信号所述Φ_Λ中的列按照索引值由低到高的顺序排列，Λ为当前索引集合中各个互不相同的索引值构成的集合，所述为重构的压缩感知信号。