CN109738852B - 基于低秩矩阵重建的分布式源二维空间谱估计方法 - Google Patents

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Abstract

本发明提供一种基于低秩矩阵重建的分布式源二维空间谱估计方法，将分布式源的二维空间谱看作一个低秩矩阵，并将信号协方差矩阵改写成与该空间谱矩阵有关的重建形式，通过对空间谱矩阵施加低秩约束，将空间谱矩阵估计转化为低秩矩阵重建问题。不同于传统基于稀疏性的来波方向估计问题，本发明通过构造低秩矩阵重建问题，提供了求解分布式源空间谱的新思路，本发明方法对阵列形状不做限制，且无需假设信源空间分布形状已知，并且适用于不同信源为不同种分布的情形。

Description

基于低秩矩阵重建的分布式源二维空间谱估计方法
技术领域
本发明属信号处理领域，具体为阵列信号处理中，一种空间分布式源的二维空间谱估计方法。
背景技术
波达方向(DOA)估计是阵列信号处理领域的研究热点，也是通信、探测等诸多应用领域的关键问题。学者们提出了许多高分辨DOA估计方法。然而多数研究工作都是基于点源模型假设，在实际场景中，信号有时并不满足点源模型假设。例如由于信号的多径效应和空间扩散等导致信号的DOA展宽，此时需将信号建模为分布式源模型。对分布式源的参数估计方法也有大量的研究成果，但已有技术仍有许多局限。如一些方法只能应用在特定阵列形状下，如均匀线阵，或者具备旋转不变性的阵列。一些方法还只适用于单个信源情形，无法用于多个信源。另外，现有的分布式源参数估计方法中，大部分需要已知信号空间分布的具体形态，如均匀分布或高斯分布等。当真实的信号空间分布与假设模型不一致的时候，参数估计的性能将受到很大影响。
另外，近些年来，基于稀疏重建技术的DOA估计方法受到越来越多关注并得到快速发展，这种方法利用了信号空间谱的稀疏性，通过施加稀疏性约束来求解信号DOA。相较于传统方法，基于稀疏重建的DOA估计方法具有分辨力高、对信噪比不敏感等优良特性。但是，基于稀疏重建的DOA估计方法目前还只应用于点源模型，对于分布式源模型还未见应用报道。这主要是因为分布式源情形下，存在角度拓展的信号空间谱并不能很好的满足稀疏性，例如在高斯分布情形下，理论上，空间谱的任何位置都不为零，已经不满足稀疏假设，尤其是当角度扩散比较大时。
总结现有分布式源的空间谱估计方法，有以下主要问题：
(1)现有方法仍有许多局限：如一些方法只适用于特定形状阵列、一些方法只适用于单个信源情形、以及一些方法需假设已知分布式源的空间分布形状。
(2)与点源模型不同，分布式源的空间谱通常不能很好的满足空间稀疏性，因此基于稀疏重建准则的空间谱方法不适用于分布式源情形。
发明内容
本发明目的在于克服上述分布式源空间谱估计方法存在的主要问题，提出一种基于低秩矩阵重建的分布式源空间谱估计方法。不同于稀疏准则，本发明的主要思想是用低秩准则来描述和约束分布式源的空间谱，解决分布式源的空间谱不满足稀疏性的问题。并且本发明提出方法无需已知信号空间分布的具体形状，也不用假设空间分布为对称的，只需假设描述信号二维空间分布的矩阵为满足低秩条件，而这个假设在实际中更容易满足。另外，所提出的方法为可近似转化为基于核范数最小化的凸优化形式，可以高效方便的求解。
为更好的描述本方法，先介绍算法考虑的信号与系统模型。考虑在三维空间内，有K个窄带远场独立分布的散射信号源到达二维阵列，信号的到达到的中心角的水平角和俯仰角分别用θ和
Figure BDA0001907358280000021
表示，则阵列接收的信号x(t),t＝1,2,…,M，可以表示为：
Figure BDA0001907358280000022
其中n(t)为白噪声，
Figure BDA0001907358280000023
为方向向量，
Figure BDA0001907358280000024
表示信号在角度-时间域的分布密度。信号的协方差矩阵可以表示为：
Figure BDA0001907358280000025
其中
Figure BDA0001907358280000026
在式(2)中，Rs和
Figure BDA0001907358280000027
分别为信号和噪声的协方差矩阵，
Figure BDA0001907358280000028
噪声的能量，在式(3)中，
Figure BDA0001907358280000029
为信号的能量，
Figure BDA00019073582800000210
为信号的角度分布函数,
Figure BDA00019073582800000211
(
Figure BDA00019073582800000212
为
Figure BDA00019073582800000213
的简化表示)，
Figure BDA00019073582800000214
表示了信号能量在二维角度空间的分布情况。将
Figure BDA00019073582800000215
用m×m的矩阵进行离散近似表示，即：
Figure BDA00019073582800000216
根据本文的假设，矩阵
Figure BDA00019073582800000217
通常为低秩矩阵。
将Rs向量化，可以写成：
Figure BDA00019073582800000218
令
Figure BDA00019073582800000219
并用求和来近似(4)中r的积分，得到：
Figure BDA0001907358280000031
其中
Figure BDA0001907358280000032
由于r具有如(5)的形式，并且矩阵
Figure BDA0001907358280000033
具有低秩特性，因此考虑用如下低秩重建问题求解
Figure BDA0001907358280000034
的估计量
Figure BDA0001907358280000035
Figure BDA0001907358280000036
Figure BDA0001907358280000037
考虑到噪声的影响及协方差矩阵基于信号有限个快拍的估计误差，在实际中，(7)通常为改进为：
Figure BDA0001907358280000038
Figure BDA0001907358280000039
优化问题(8)为典型的低秩矩阵重建或称作低秩矩阵恢复问题，许多技术方法可以用于这种问题框架的求解，例如常用核范数来凸近似(8)中的秩最小化，即：
Figure BDA00019073582800000310
Figure BDA00019073582800000311
其中||X||*表示矩阵的核范数，即矩阵奇异值的和。转化为凸优化问题后，可以方便有效的利用凸优化技术求解。
总结上述过程，本发明所述基于低秩矩阵重建的空间谱估计方法包含如下步骤：
S1：初始化，设定阵元数N，阵列形状等阵列参数，感兴趣的角度范围，离散重建精度等；
S2：根据步骤S1参数，构造重建基底
Figure BDA00019073582800000312
S3：获得接收的阵列信号，并求协方差矩阵R，并重写成向量形式r＝vec(R)；
S4：根据步骤S2，S3得到的r及
Figure BDA00019073582800000313
构造如低秩矩阵重建的优化问题，并求解低秩矩阵
Figure BDA0001907358280000041
S5：根据得到的空间谱矩阵
Figure BDA0001907358280000042
可以根据需求得到分布式源的中心角，角度扩散以及其他信号的空间分布信息。
进一步地，步骤S4中：根据步骤S2，S3得到的r及
Figure BDA0001907358280000043
将r构造为低秩矩阵重建形式，并对空间谱矩阵施加低秩约束，对构造误差施加l2范数约束，形成低秩矩阵重建的优化问题：
Figure BDA0001907358280000044
Figure BDA0001907358280000045
式中
Figure BDA0001907358280000046
为待求解的空间谱矩阵，ε为描述重建误差的参数，需根据具体问题适当选取。
进一步地，步骤S4中所构造低秩矩阵重建问题包含的低秩约束
Figure BDA0001907358280000047
为非凸的，采用核范数约束
Figure BDA0001907358280000048
来近似代逼近，转化为凸优化问题求解，即：
Figure BDA0001907358280000049
Figure BDA00019073582800000410
或构造为等效的软约束形式：
Figure BDA00019073582800000411
其中λ为正则化参数，需根据具体问题适当选取。
与现有方法相比，本发明具有的主要特点或优势是：
(1)由于分布式源在空间域存在扩散，通常不能较好的满足空间的稀疏性假设，为此本发明用低秩性描述分布式源的空间谱矩阵。不同于传统基于稀疏性的重建问题，本发明通过构造低秩矩阵重建问题，提供了求解分布式源空间谱的新思路。
(2)传统分布式源估计方法需假设信号的分布形状已知或满足对称性，而本发明无需类似假设，只需空间分布矩阵为低秩矩阵。
(3)本发明可以转化为凸优化问题有效的求解，避免了传统方法需要多维搜索的计算量。
(4)本发明对阵列形状没有特殊要求，并且适用于多个信源的情形，并且适用于不同信源为不同分布的情形。
附图说明
图1是本发明所述空间谱估计方法的流程图。
图2a是实施例设置的真实空间谱灰度图；
图2b是本发明方法估计得到空间谱灰度图。
具体实施方式
下面结合附图以及实施例，对本发明所述方法的实施作进一步说明，但本发明的实施和保护不限于此，需指出的是，以下若有未特别详细说明之过程或参数，均是本领域技术人员可参照现有技术理解或实现的。
图1为本实施例所述基于低秩矩阵重建的二维分布式源空间谱估计方法的流程图。如图1所示。下面结合实施例，描述本发明基于低秩矩阵重建的分布式源二维空间谱估计方法实施步骤。
实施例：考虑阵元数为6×6的均匀平面阵，空间有两个不同种分布形状的分布式源到达阵列，其空间分布分别服从高斯分布和均匀分布，高斯分布的二维空间的中心角为(30°,40°)角度拓展分别为(10°,6°)，均匀分布信号的中心角为(40°,27.5°)，角度拓展为5°。
本实施例的基于低秩矩阵重建的分布式源二维空间谱估计方法实施步骤包括：
S1：初始化，设置阵列参数，感兴趣的角度范围为
Figure BDA0001907358280000051
空间谱量化精度为0.5度；
S2：根据步骤S1参数，构造重建基底
Figure BDA0001907358280000052
S3：获得接收的阵列信号，并求协方差矩阵，并重写成向量形式r＝vec(R)；
S4：根据步骤S2，S3得到的r及
Figure BDA0001907358280000053
构造如(8)的低秩矩阵重建的优化问题并求解，得到分布矩阵
Figure BDA0001907358280000054
除优化问题(9)外，低秩矩阵恢复的优化问题还可以有多种形式，例如还可以将优化问题改写为：
Figure BDA0001907358280000055
等形式。(9)式中ε以及(10)式中的λ为描述重建误差的参数，与协方差矩阵的估计误差和信噪比等有关，本实施例中，采用优化问题(9)，并设参数ε＝10-3。
S5：根据得到的空间谱矩阵
Figure BDA0001907358280000056
可求得分布式源的中心角，角度扩散以及其他信号的空间分布信息等。
本实施例所设置的分布式源空间谱以及本发明所述方法估计得到的信号的空间谱如图2a、图2b所示。可以看到，本发明方法可以较为准确的反演出分布式源的空间分布情况，并且高斯分布和均匀分布信号同时存在时，均可以分别有效的估计其空间分布情况，验证了发明所述方法的有效性。
上述实施例为本发明较佳的实施方式之一，但本发明的实施方式并不受上述实施例的限制，其他的任何未背离本发明的精神实质与原理下所作的改变、修饰、替代、组合、简化，均应为等效的置换方式，都包含在本发明的保护范围之内。

Claims (1)

1.一种基于低秩矩阵重建的分布式源二维空间谱估计方法，其特征在于：将分布式源的二维空间谱看作一个低秩矩阵，并将信号协方差矩阵构造成与空间谱低秩矩阵有关的重建形式，通过对空间谱矩阵施加低秩约束，将空间谱矩阵估计转化为低秩矩阵重建问题，并转化为凸优化问题进行求解，包含如下步骤：
S1：初始化，设定阵元数N，阵列形状阵列参数，感兴趣的角度范围，离散化重建的精度；
S2：根据步骤S1参数，构造重建基底
Figure FDA0003869333740000011
S3：获得接收的阵列信号，并求协方差矩阵R，并写成向量形式r＝vec(R)；
S4：根据步骤S2，S3得到的r及
Figure FDA0003869333740000012
将r构造为低秩矩阵重建形式，并对空间谱矩阵施加低秩约束，对构造误差施加l2范数约束，形成低秩矩阵重建的优化问题：
Figure FDA0003869333740000013
Figure FDA0003869333740000014
式中
Figure FDA0003869333740000015
为待求解的空间谱矩阵，ε为描述重建误差的参数；
所构造低秩矩阵重建问题包含的低秩约束
Figure FDA0003869333740000016
为非凸的，采用核范数约束
Figure FDA0003869333740000017
来近似代逼近，转化为凸优化问题求解，即：
Figure FDA0003869333740000018
Figure FDA0003869333740000019
或构造为等效的软约束形式：
Figure FDA00038693337400000110
其中λ为正则化参数；
S5：求解步骤S4的低秩矩阵重建优化问题，得到的空间谱矩阵，进而根据需求得到分布式源的中心角，角度扩散以及其他信号的空间分布信息。
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