CN107907852A - 基于空间平滑的协方差矩阵秩最小化doa估计方法 - Google Patents

Abstract

本发明属于信号处理领域，针对传统波达方向角（DOA）估计算法在相干信号及非均匀噪声下角度估计精度差、分辨率低的问题，基于空间平滑方法，提出一种接收信号协方差矩阵秩最小化DOA估计算法。在传统空间平滑方法基础上，所提算法将接收信号协方差矩阵分别左右乘交换矩阵以得到空间后向平滑协方差矩阵；而后基于平滑矩阵的低秩性，将协方差矩阵重构为无噪声协方差矩阵；最后利用传统MUSIC算法实现DOA估计。数值仿真表明，与传统MUSIC、MC‑MUSIC和RTM算法相比，所提算法能较好抑制非均匀噪声影响，且相干条件下具有较好的DOA估计性能。

Description

基于空间平滑的协方差矩阵秩最小化DOA估计方法

技术领域

本发明属于信号处理领域，具体涉及一种在相干信号及非均匀噪声下提高 DOA估计性能的方法。

背景技术

在雷达、声呐、移动通信、地震传感和水下检测等领域，波达方向角(direction ofarrival，DOA)估计一直是热门研究方向之一，受到广泛关注。在众多DOA估计方法中，如多重信号分类(multiple signal classification，MUSIC)等子空间类算法，可显著提高DOA的估计性能，具有较高的估计精度和分辨力。然而，在相干信号和非均匀噪声条件下，由于信号协方差矩阵秩亏及其主对角元素的非均匀性导致协方差矩阵特征空间的主特征矢量无法张成整个信号空间，从而导致基于子空间的DOA估计算法性能显著下降。为改善非均匀噪声下DOA估计性能。Liao B等人提出一种基于矩阵补全的DOA估计方法，该算法首先基于矩阵补全理论将协方差矩阵重构为无噪声信号协方差矩阵以抑制非均匀噪声的影响，而后通过传统MUSIC算法实现DOA估计，但是该算法没有考虑相干信号对DOA估计性能的影响。

近年来，随着DOA估计研究的不断深入，众多相干信号和非均匀噪声条件下DOA估计算法相继被提出。董等人基于传统空间平滑理论提出一种改进的空间平滑算法，该算法首先将子阵输出的自相关矩阵进行互相关，而后基于前后向互相关矩阵的均值获得较好的信号空间谱估计，然而，该算法没有考虑非均匀复高斯噪声的情况，且由于将阵列分成若干子阵，使得阵列孔径减小，进而降低了算法分辨率，从而限制了该算法的应用。Liao B等人提出一种协方差矩阵秩迹最小化(rank and trace minimization，RTM)算法，该算法利用协方差矩阵低秩特性将无噪声协方差矩阵低秩问题转化为噪声功率最大化问题，以此求得未知非均匀噪声功率，而后利用接收信号和非均匀噪声协方差矩阵之差实现 DOA估计，然而，信号相干条件下，由于接收信号协方差矩阵秩进一步降低，可能导致算法所得协方差矩阵秩低于真实值，从而无法保证该算法DOA估计性能。

发明内容

本发明所要解决的技术问题是：提出一种基于空间平滑的协方差矩阵秩最小化DOA估计方法，以解决在相干信号和非均匀噪声条件下DOA估计算法性能下降的问题。

本发明为解决其技术问题所采用的技术方案为提出基于空间平滑的协方差矩阵秩最小化DOA估计方法。包括如下步骤：

第一步：建立接收信号模型

考虑入射角度为{θ₁,θ₂,…,θ_L}的L个远场窄带信号入射至一个具有M 个阵元的均匀线性阵列，则t时刻的阵列输出信号模型可表示为：

其中，x(t)为接收信号矢量，为第l个信源的阵列导向矢量，α＝2πdsin(θ_l)/λ为相邻阵元之间的相位差，d和λ分别为阵元间距和信号波长，通常d≤λ/2，n(t)＝[n₁(t),n₁(t),…,n_M(t)]为互不相关的非均匀高斯噪声，且n(t)～CN(0,Q)，Q为非均匀噪声协方差功率矩阵，窄带信号s_l(t)互不相关；

将式(1)接收信号模型进一步改写为：

x(t)＝As(t)+n(t) (2)

其中，为阵列流型矩阵，且假设M＞＞L，即阵元数远大于信源数，a(θ)＝[a₁(θ),a₂(θ),…,a_M(θ)]^T，

对于多次快拍，则式(2)可进一步表示为：

X＝AS+N (3)

其中为J个快拍下的接收信号矩阵，和分别为信号幅度矩阵和非均匀高斯噪声矩阵；

基于式(3)，接收信号协方差矩阵可表示为：

其中，R_X为接收信号协方差矩阵，为发射信号协方差矩阵，且 P＝{P₁,P₂,…,P_L}，P_l为第l个信号功率；Q＝{q₁,q₂,…,q_M}是非均匀噪声协方差矩阵， q_m为第m个阵元上的噪声功率，且信号和噪声互不相关；

第二步：基于空间平滑的信号协方差矩阵秩最小化算法

(1)改进的空间平滑算法

基于传统空间平滑理论，以阵列本身为子阵，即接收信号X为待平滑信号，则空间后向平滑信号可表示为：

Y(t)＝JX^*(t) (5)

其中X^*(t)为X(t)的复共轭，J为交换矩阵，满足J^HJ＝1，且J可表示为：

由式(5)可知，空间后向平滑信号Y(t)的协方差可进一步表示为：

基于式(4)及(7)，空间平滑信号协方差矩阵可表示为：

其中R_ss和Q_ss分别为空间平滑无噪声协方差和非均匀噪声协方差矩阵；

基于式(8)，空间平滑无噪声信号协方差可进一步表示为：

(2)协方差矩阵秩最小化算法

为了利用凸优化方法求解式(9)中无噪声信号协方差Q_ss，基于矩阵优化理论，利用信号协方差低秩特性将上述问题转化为协方差矩阵秩最小化问题：

由式(9)可知，无噪声协方差R_ss求解问题可转化为R-Q_ss秩最小化问题，即：

其中，代表一个正定矩阵合集；

由于秩函数的非凸性使得式(10)难以求解，将式(10)最小化问题等价松弛为：

其中，||·||_*表示核范数，等价于矩阵的对角线元素之和，即矩阵迹之和，基于矩阵迹的性质，优化问题(11)中目标函数可重构为：

基于式(11)和(12)，优化问题(10)可等价为如下的半定规划问题，即：

第三步：空域信号DOA估计

(1)非均匀噪声协方差Q_ss求解

基于式(13)，可得非均匀噪声功率q_ss估计值，即非均匀噪声协方差可表示为：

Q_ss＝diag{q_ss} (14)

(2)无噪声协方差求解

基于式(9)和式(14)，空间平滑无噪声协方差矩阵可表示为：

(3)基于MUSIC的DOA估计

基于式(15)得到的空间平滑无噪声协方差矩阵，可通过以MUSIC方法为代表的子空间类算法对其特征空间分解实现DOA估计，即对进行特征值分解可得：

由式(16)可知，空间信号空域谱可进一步表示为：

本发明基于空间平滑理论，以阵列本身为子阵分别通过左右乘交换矩阵对信号协方差矩阵作预处理，并将接收信号协方差和空间后向平滑信号协方差的均值作为平滑协方差矩阵，以此降低信号相干性；此外所提算法利用空间平滑信号协方差矩阵的低秩性将接收信号协方差矩阵重构为无噪声协方差矩阵以改善相干信号条件下的DOA估计精度，并抑制非均匀噪声影响，且相干条件下具有较好的DOA估计性能。

附图说明

图1为本发明实现的流程图；

图2为在信噪比SNR＝-5dB和0dB条件下的非相干信号空域谱对比图；

图3为在信噪比SNR＝-5dB和0dB条件下的相干信号空域谱对比图；

图4为DOA估计RMSE随信噪比SNR的变化对比图；

图5为DOA估计RMSE随快拍数的变化对比图；

图6为DOA估计RMSE随WNPR的变化对比图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明的实现步骤做进一步详细描述。如图1所示。

第一步：建立接收信号模型

考虑入射角度为{θ₁,θ₂,…,θ_L}的L个远场窄带信号入射至一个具有M 个阵元的均匀线性阵列，则t时刻的阵列输出信号模型可表示为：

其中，x(t)为接收信号矢量，为第l个信源的阵列导向矢量，α＝2πdsin(θ_l)/λ为相邻阵元之间的相位差，d和λ分别为阵元间距和信号波长，通常d≤λ/2；n(t)＝[n₁(t),n₁(t),…,n_M(t)]为互不相关的非均匀高斯噪声，且n(t)～CN(0,Q)，Q为非均匀噪声协方差功率矩阵；窄带信号s_l(t)互不相关。

为便于推导，式(1)接收信号模型可改写为：

x(t)＝As(t)+n(t) (18)

其中，为阵列流型矩阵，且假设M＞＞L，即阵元数远大于信源数；a(θ)＝[a₁(θ),a₂(θ),…,a_M(θ)]^T，第i个阵元相对参考原点阵元的位置可表示为：

对于多次快拍，则式(2)可进一步表示为：

X＝AS+N (20)

其中，为J个快拍下的接收信号矩阵；和分别为信号幅度矩阵和非均匀高斯噪声矩阵。

基于式(4)，接收信号协方差矩阵可表示为：

其中，R_X为接收信号协方差矩阵，为发射信号协方差矩阵，且 P＝{P₁,P₂,…,P_L}，P_l为第l个信号功率；Q＝{q₁,q₂,…,q_M}是非均匀噪声协方差矩阵， q_m为第m个阵元上的噪声功率，且信号和噪声互不相关。

由式(5)可知，可通过子空间类算法对接收信号协方差R_X进行特征空间分解从而实现DOA估计。然而，当信源为相干信号时，将导致接收信号协方差矩阵秩亏，从而使得R_X特征分解得到的特征值数目小于信源个数，进而无法有效实现信号DOA估计。

第二步：基于空间平滑的信号协方差矩阵秩最小化算法

传统空间平滑算法利用线阵平移不变性，将均匀线性阵列等同划分为D个子阵，若每个子阵包含阵元O个，可得：M＝O+D-1，且D≥L+1，O≥L+1，则子阵输出可表示为：

X_i,O＝A_i,Oγ_i,lS+N_i,O (22)

其中，A_i,O,N_i,O分别是与第i个子阵相对应的阵列导向矢量和噪声矢量；为对角旋转矩阵，diag{·}为对角化算子。

基于式(6)，第i个子阵所得信号协方差矩阵可表示为：

其中，Q_i,O为子噪声功率矩阵。

传统空间后向平滑可表示为：

其中J_O为O×O次对角矩阵。

基于式(7)和(8)，传统空间平滑协方差矩阵可表示为：

由式(9)可知，传统空间平滑算法将空间线阵等同划分为D个子阵，可降低信号相干性影响从而实现较好的相干信号DOA估计，然而同时也降低了天线孔径，进而导致DOA估计分辨率下降。此外，非均匀高斯噪声下，由于信号协方差特征分解会引起信号子空间泄漏，进而导致基于空间平滑的接收信号协方差DOA估计性能的严重下降。

针对上述问题，在传统空间平滑方法基础上，本发明提出一种改进的信号协方差矩阵秩最小化DOA估计方法。

(1)改进的空间平滑算法

由式(8)知，子阵协方差矩阵R_ii,O分别左右乘以交换矩阵J_O得到后向平滑矩阵基于此，本发明以阵列本身为子阵，即接收信号X为待平滑信号，则空间后向平滑信号可表示为：

Y(t)＝JX^*(t) (26)

其中X^*(t)为X(t)的复共轭，J为交换矩阵，满足J^HJ＝1，且J可表示为：

由式(10)可知，空间后向平滑信号Y(t)的协方差可进一步表示为：

基于式(5)及(12)，空间平滑信号协方差矩阵可表示为：

其中R_ss和Q_ss分别为空间平滑无噪声协方差和非均匀噪声协方差矩阵。

基于式(13)，空间平滑无噪声信号协方差可进一步表示为：

(2)协方差矩阵秩最小化算法

为了利用凸优化方法求解式(14)中无噪声信号协方差Q_ss，基于矩阵优化理论，利用信号协方差低秩特性将上述问题转化为协方差矩阵秩最小化问题。基于此，为了利用秩最小化方法求解Q_ss以重构无噪声信号协方差矩阵，需要首先证明R_ss为低秩矩阵。为此，本发明提出如下命题：

命题1：如果信号s(t)互不相关，且信源数L远小于阵元数M，则R-Q_ss和R_ss是一个低秩矩阵。

证明过程如下：

阵列流型矩阵A可表示为：

则A的共轭转置左乘交换矩阵J可得：

同理，由式(16)可得：

基于式(14)、(16)及(17)，可得

由式(13)进一步可得：

即Q_ss为半正定矩阵。

对于一个秩为L的矩阵R和一个实对角矩阵Λ，通常可得：

rank(R-Λ)≥L (36)

由式(20)及rank(APA^H)＝L可知，当.Λ＝Q_ss.时，可得：

rank(R-Q_ss)＝rank(APA^H)＝L (37)

则式(21)满足式(20)不等式关系，即R-Q_ss和R_ss是一个低秩矩阵，命题 1成立。

由命题1可知，R-Q_ss是一个低秩矩阵，故可将R-Q_ss秩最小化问题作如下所示：

其中，代表一个正定矩阵合集。

由于秩函数的非凸性使得式(22)难以求解，故可将式(22)最小化问题等价松弛为：

其中，||·||_*表示核范数，等价于矩阵的对角线元素之和，即矩阵迹之和。基于矩阵迹的性质，优化问题(23)中目标函数可重构为：

基于式(23)和(24)，优化问题(22)可等价为如下的半定规划问题 (semidefiniteprogramming,SDP)，即：

第三步：空域信号DOA估计

(1)非均匀噪声协方差Q_ss求解

上述SDP优化问题可用Matlab凸优化工具包比如，CVX，实现高效求解。基于式(25)，可得非均匀噪声功率q_ss估计值，即非均匀噪声协方差可表示为：

Q_ss＝diag{q_ss} (42)

(2)无噪声协方差求解

基于式(14)和式(26)，空间平滑无噪声协方差矩阵可表示为：

(3)基于MUSIC的DOA估计

基于式(27)得到的空间平滑无噪声协方差矩阵，可通过以MUSIC方法为代表的子空间类算法对其特征空间分解实现DOA估计，即对进行特征值分解可得：

由式(28)可知，空间信号空域谱可进一步表示为：

本发明的有益效果可通过以下仿真进一步说明：

仿真条件：

考虑阵元间距d＝λ/2的均匀线性阵列，阵元个数M＝8，信号快拍数J＝500。

非均匀高斯噪声下，信噪比SNR定义为：

其中，和分别为单信号功率和噪声功率。

均方根误差定义为：

非均匀高斯噪声功率协方差定义为：

Q＝diag{2.0,10,2.5,5.0,0.5,1.5,3.0,5.0} (32)

仿真内容：

仿真1：信噪比SNR＝-5dB和0dB条件下的非相干信号空域谱对比图。考虑三个入射角度分别为-3°、10°和16°的非相干信号，图2为SNR＝-5dB和0dB 时的信号空域谱。图2(a)为SNR＝-5dB时，四种算法空间谱估计对比图。由图2(a)知，低信噪比条件下，传统MUSIC、MC-MUSIC和RTM算法无法分辨位于10°和16°的两个目标角度，而本发明所提SS-CRM算法可有效分辨三个目标角度。图2(b)为SNR＝0dB时，四种算法空间谱估计对比图。由图2(b) 知，由于非均匀噪声影响，基于接收信号协方差矩阵的传统MUSIC算法不能有效分辨位于10°和16°的目标角度，而基于无噪声信号协方差的MC-MUSIC、 RTM和SS-CRM算法均可有效分辨三个目标角度。此外，由图2还可看出，与其它三种算法相比，所提算法具有较窄主瓣及较低旁瓣，表明所提SS-CRM算法在非均匀高斯噪声和低信噪比条件下具有较好的DOA估计性能。

仿真2：信噪比SNR＝-5dB和0dB条件下的相干信号空域谱对比图。考虑三个入射角度分别为-3°、10°和16°的信号，其中位于-3°和10°的两个入射信号为相干信号，图3为SNR＝-5dB和0dB时的信号空域谱。图3(a)为SNR＝-5dB 时，四种算法空间谱估计对比图。由图3(a)可知，相干信号条件下，MUSIC、 MC-MUSIC和RTM算法均不能有效分辨三个目标角度，而由于所提SS-CRM 算法采用空间平滑降低信号相干性，从而可分辨三个目标。图3(b)为SNR＝0dB 时，四种算法空间谱估计对比图。由图3(b)可知，非均匀噪声和相干信号条件下，所提SS-CRM算法可正确分辨三个目标角度，且具有较窄主瓣及较低旁瓣，而其它三种算法只能分辨位于16°的一个目标信号角度。由此表明，与 MUSIC、MC-MUSIC和RTM三种算法相比，所提SS-CRM算法在相干信号和非均匀噪声条件下亦具有较高估计精度和角度分辨力。

仿真3：DOA估计RMSE随信噪比SNR的变化对比图。分别考虑两个入射角度为-3°和16°的非相干信号和相干信号，信号快拍数J＝500，信噪比 SNR＝[-8:2:12]，进行200次蒙特卡洛独立重复实验，图4为SNR＝5dB时非相干信号、相干信号的DOA估计RMSE。由图4(a)可知，非相干信号和非均匀噪声下，传统MUSIC算法的RMSE相对较高，而MC-MUSIC算法和RTM算法、 SS-CRM算法分别基于矩阵补全理论和协方差秩最小化抑制非均匀噪声从而可显著降低DOA估计RMSE。由图4(b)可知，相干信号和非均匀噪声条件下，四种算法的RMSE均有所增加。然而，需要注意的是，所提SS-CRM算法的RMSE 始终低于其它三种算法。由此表明，与其它三种算法相比，无论在非相干或相干条件下，所提算法RMSE均低于其它三种算法，从而说明所提方法具有较好的角度估计精度和分辨力。另外，由图4还可看出，低信噪比条件下，所提算法估计性能RMSE意义下明显优于其它三种算法，表明所提算法在相干信号和低信噪比条件下具有较好的DOA估计性能。

仿真4：DOA估计RMSE随快拍数的变化对比图。考虑两个入射角度分别为-3°和16°的相干信号，信噪比SNR＝0dB，信号快拍数J＝[100:1100]，进行 200次蒙特卡洛独立重复实验。由图5可知，随着快拍数的增加，所提SS-CRM 算法、传统MUSIC、MC-MUSIC、RTM算法的DOA估计RMSE均逐渐降低。并且，所提SS-CRM算法的RMSE显著低于其它算法，特别在快拍数较少条件下，更加明显。由此表明，在相干信号及非均匀噪声条件下，所提算法DOA估计性能明显优于传统MUSIC、MC-MUSIC和RTM算法，具有较高角度估计精度。

仿真5：DOA估计RMSE随WNPR的变化对比图。考虑两个入射角度为-3°和16°的相干信号，信噪比SNR＝5dB，快拍数J＝500，进行200次蒙特卡洛独立重复实验。非均匀噪声条件下，噪声最大最小功率之比可定义为其中指标WNPR表示噪声非均匀强度。由式(32)知，噪声最小功率假设噪声最大功率即WNPR＝[20:120]。由图6 可知，随着WNPR增大，所提SS-CRM算法、MC-MUSIC、RTM算法的DOA 估计RMSE波动范围较小；反之，传统MUSIC算法的DOA估计RMSE变化较大。此外，从图6还可看出，较大WNPR值条件下，所提SS-RTM算法的DOA 估计RMSE明显小于其它三种算法。由此可知，相干信号及非均匀噪声条件下，所提SS-CRM算法不仅可以较好抑制非均匀噪声，还可实现对相干信号的DOA 估计。

综上所述，本发明基于空间平滑理论，提出了一种信号协方差矩阵秩最小化DOA估计算法。首先，该算法基于空间平滑方法以阵列本身为子阵分别通过左右乘交换矩阵对信号协方差矩阵作预处理，并将接收信号协方差和空间后向平滑信号协方差的均值作为平滑协方差矩阵，以此降低信号相干性；而后，所提算法利用空间平滑信号协方差矩阵的低秩性将接收信号协方差矩阵重构为无噪声协方差矩阵以改善相干信号条件下的DOA估计精度，并抑制非均匀噪声影响；最后利用传统MUSIC算法实现DOA估计。仿真结果表明，与传统的MUSIC、 MC-MUSIC和RTM算法相比，所提算法在相干信号和非均匀高斯噪声条件下，具有较好的DOA参数估计性能。由此，本发明所提算法可以为工程应用中阵列信号处理领域的DOA估计性能研究提供坚实的理论与实现依据。

Claims (1)

1.基于空间平滑的协方差矩阵秩最小化DOA估计方法，其特征在于：包括如下步骤：

第一步：建立接收信号模型

考虑入射角度为{θ₁,θ₂,…,θ_L}的L个远场窄带信号入射至一个具有M个阵元的均匀线性阵列，则t时刻的阵列输出信号模型可表示为：

其中，x(t)为接收信号矢量，a(θ_l)＝[1,e^-jα,…,e^-j(M-1)α]^T为第l个信源的阵列导向矢量，α＝2πd sin(θ_l)/λ为相邻阵元之间的相位差，d和λ分别为阵元间距和信号波长，通常d≤λ/2，n(t)＝[n₁(t),n₁(t),…,n_M(t)]为互不相关的非均匀高斯噪声，且n(t)～CN(0,Q)，Q为非均匀噪声协方差功率矩阵，窄带信号s_l(t)互不相关；

将式(1)接收信号模型进一步改写为：

x(t)＝As(t)+n(t) (2)

其中，为阵列流型矩阵，且假设M＞＞L，即阵元数远大于信源数，a(θ)＝[a₁(θ),a₂(θ),…,a_M(θ)]^T，

对于多次快拍，则式(2)可进一步表示为：

X＝AS+N (3)

其中为J个快拍下的接收信号矩阵，和分别为信号幅度矩阵和非均匀高斯噪声矩阵；

基于式(3)，接收信号协方差矩阵可表示为：

其中，R_X为接收信号协方差矩阵，为发射信号协方差矩阵，且P＝{P₁,P₂,…,P_L}，P_l为第l个信号功率；Q＝{q₁,q₂,…,q_M}是非均匀噪声协方差矩阵，q_m为第m个阵元上的噪声功率，且信号和噪声互不相关；

第二步：基于空间平滑的信号协方差矩阵秩最小化算法

(1)改进的空间平滑算法

基于传统空间平滑理论，以阵列本身为子阵，即接收信号X为待平滑信号，则空间后向平滑信号可表示为：

Y(t)＝JX^*(t) (5)

其中X^*(t)为X(t)的复共轭，J为交换矩阵，满足J^HJ＝1，且J可表示为：

由式(5)可知，空间后向平滑信号Y(t)的协方差可进一步表示为：

基于式(4)及(7)，空间平滑信号协方差矩阵可表示为：

其中R_ss和Q_ss分别为空间平滑无噪声协方差和非均匀噪声协方差矩阵；

基于式(8)，空间平滑无噪声信号协方差可进一步表示为：

(2)协方差矩阵秩最小化算法

为了利用凸优化方法求解式(9)中无噪声信号协方差Q_ss，基于矩阵优化理论，利用信号协方差低秩特性将上述问题转化为协方差矩阵秩最小化问题：

由式(9)可知，无噪声协方差R_ss求解问题可转化为R-Q_ss秩最小化问题，即：

其中，代表一个正定矩阵合集；

由于秩函数的非凸性使得式(10)难以求解，将式(10)最小化问题等价松弛为：

其中，||·||_*表示核范数，等价于矩阵的对角线元素之和，即矩阵迹之和，基于矩阵迹的性质，优化问题(11)中目标函数可重构为：

基于式(11)和(12)，优化问题(10)可等价为如下的半定规划问题，即：

第三步：空域信号DOA估计

(1)非均匀噪声协方差Q_ss求解

基于式(13)，可得非均匀噪声功率q_ss估计值，即非均匀噪声协方差可表示为：

Q_ss＝diag{q_ss} (14)

(2)无噪声协方差求解

基于式(9)和式(14)，空间平滑无噪声协方差矩阵可表示为：

(3)基于MUSIC的DOA估计

基于式(15)得到的空间平滑无噪声协方差矩阵，可通过以MUSIC方法为代表的子空间类算法对其特征空间分解实现DOA估计，即对进行特征值分解可得：

由式(16)可知，空间信号空域谱可进一步表示为：