CN110311686B - 一种压缩感知的伪随机等效采样信号重构方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种压缩感知的伪随机等效采样信号重构方法，属于信息处理技术领域，利用伪随机等效采样方法对周期信号进行采样；将采样信号在某个变换域内进行稀疏表示或近似稀疏表示；构造观测矩阵；为了重构原始信号需求解式min||α||₀s.t.y＝Φx。本发明利用伪随机等效采样方法对信号进行采样，最终采用OMP算法恢复原始信号，解决了ADC实时采样速率不足问题，降低了控制复杂度，且能够高精度恢复原信号；利用压缩感知理论中的OMP算法恢复原始信号，在不增加任何硬件条件的情况可通过较少采样点实现信号重构，在采样点较少时可精确重构原始信号，同时较基于压缩感知的随机等效采样重构方法具有更高的重构成功率。

Description

一种压缩感知的伪随机等效采样信号重构方法

技术领域

本发明属于信息处理技术领域，具体涉及一种压缩感知的伪随机等效采样信号重构方法。

背景技术

在传统的实时采样技术中，模数转换器(Analog Digital Converter,ADC)以信号最高频率两倍以上的转换速率进行采样，对于时域上极窄的宽带信号要求ADC具有很高的采样速率，因此极大地增加了硬件设计实施难度。然而等效采样方法通过以远低于奈奎斯特采样率对信号不同周期多次采样得到的采样点进行重构信号波形，从而能够达到较高的等效采样率，因此已成为学术界研究的热点。

传统的等效采样方法分为顺序等效采样和随机等效采样。顺序等效采样方法按时间顺序依次获得采样点，每一次触发时增加一个小的增量Δt，直到采样点填满时间窗时按时间顺序恢复重构原始信号，然而该方法仅能在触发点后采样，且当增量Δt较小时难以实现。吴兵等人在论文“一种超宽带等效采样接收机的设计与实现”(雷达科学与技术，2017(4).15(4):443-448)中提出了一种改进的顺序等效采样方法，即在一个触发周期内采集多个数据，并通过在FPGA上内置延迟线控制波形产生系统，从而消除数据对齐问题并能达到较高的等效采样速率。随机等效采样方法通过以触发点为参考基准对信号进行采样，从而能够在若干个周期内采集足够的数据，但该方法难以精确测量出触发点与采样时钟的时间间隔Δt，且采样点分布的不均匀性导致大量的采样点仍无法填充所有的时间窗，因此该方法在采集数据不足时无法有效重构出原始信号。基于并行结构的随机等效采样方法是通过多路ADC对信号进行时间交替采样达到更高的等效采样速率，然而存在各路ADC增益和偏置不一致以及时间非均匀采样问题。

针对上述两种方法存在的问题，车俐等人在论文“伪随机等效采样法在超宽带接收机中的应用”(现代雷达，2014,36(7):62-64))中提出了一种伪随机等效采样方法，该方法利用采样周期数和采样点数间的互质关系，使得各采样点均匀复现于同一周期内，因此该方法具有较高的采样重构性能。谢跃雷等人在论文“一种基于FPGA的超宽带雷达数字接收机”(现代雷达，2014，36(1):62-65.))中设计了一种并行的雷达数字接收机，通过FPGA控制驱动四路ADC实现伪随机等效采样，等效采样速率最高可达10Gs/s。

实际应用过程中，为了精确重构出原始信号通常需要增加采样时间以获得大量的采样数据，从而导致上述方法采样时间过长，因此限制了其在实际工程中的应用。压缩感知(Compressed Sensing,CS)理论是一种全新的采样恢复理论，将传统信号处理中的采样和压缩过程相结合。当信号满足稀疏性时，可以以远低于奈奎斯特采样速率对信号进行采样，并能通过最终的采样值精确重构原始信号，从而能够解决采样数据不足时无法精确重构原始信号的问题。Zhao等人在论文“Compressed sensing enhanced random equivalentsampling”(IEEE International Conference on Acoustics.IEEE,2012.3445-3448)中提出了一种基于压缩感知的随机等效采样重构方法，该方法构造了随机等效采样观测矩阵，通过转换求解l₀范数最优化问题重构出原始信号，但由于随机等效采样点分布不均匀性导致了信号重构成功率低。

因此，针对信号采样重构方法存在的问题，研究一种重构精度高、实时性强的采样恢复信号的方法是十分有必要的。

发明内容

发明目的：本发明的目的在于提供一种压缩感知的伪随机等效采样信号重构方法，该发明通过构造伪随机等效采样观测矩阵，并选择离散傅里叶变换基建立稀疏重构模型，然后利用压缩感知中的正交匹配追踪(Orthogonal Matching Pursuit,OMP)算法求解该模型，从而重构出原始信号。通过验证可知，本发明能够有效重构出原始信号且具有更好的重构性能。

技术方案：为实现上述目的，本发明采用如下技术方案：

一种压缩感知的伪随机等效采样信号重构方法，括如下步骤：

步骤1)利用伪随机等效采样方法对周期信号进行采样获得采样信号；

步骤2)将步骤1)中采样信号在离散傅里叶变换域内进行稀疏表示；

步骤3)构造伪随机等效采样观测矩阵，建立稀疏重构模型；

步骤4)利用OMP算法转换求解该稀疏重构模型，重构谱域后做逆傅里叶变换得到时域信号。

进一步地，所述的步骤1)中，设被采样信号周期为T，根据等效采样处理的信号周期性以第一个采样点的时刻为起始时刻，求得之后的N-1个采样点相对于起始时刻为基准的排列时间点大小，N为传统伪随机等效采样重构信号一个周期所需要的采样点数，从而各采样点按时间顺序由小到大排列。

进一步地，步骤2)中，所述的变换域选取快速傅里叶变换域或离散小波变换域。

进一步地，所述的步骤2)中，设原始信号x∈R^N在变换基Ψ的变换系数为α，其中Ψ＝[ψ₁,ψ₂,...,ψ_N]^T，R为实数集，[·]^T表示转置运算，ψ₁,ψ₂,...,ψ_N为变换基Ψ的列向量，则原始信号x可稀疏表示为

其中α＝[α₁,α₂,...,α_N]，i为正整数且i∈[1,N]，若α中的非零系数个数为K时，其中K＜＜N，则称信号x在变换基Ψ内是稀疏的，稀疏度为K。

进一步地，所述的步骤3)中，所述的原始信号x与观测值y关系表示为y＝Φx，其中Φ为观测矩阵。

进一步地，设A＝ΦΨ∈R^M×N为压缩感知等效观测矩阵，其中M＜＜N，M为重构具有长度为N的信号波形所需的采样值序列长度，则观测值y∈R^M，y的维度远小于x的维度，式y＝Φx＝ΦΨα没有唯一解，原始信号x在表示基Ψ内具有稀疏性，通过l₀范数最优化问题由观测值y重构原始信号x，建立稀疏重构模型：min||α||₀s.t.y＝Φx，式中，||·||₀为向量的l₀范数，表示向量α中非零元素个数。

进一步地，所述的步骤4)中，重构原始信号需求解式min||α||₀s.t.y＝Φx，采用凸优化松弛算法或贪婪算法求解l₀范数。而求解l₀范数是一个NP-hard(Non-deterministicPolynomial Hard)问题，需将此问题进行转换处理。目前所提出的算法有凸优化松弛算法(Convex Optimization Relaxtion)和贪婪算法(Greedy Algorithm)，凸优化松弛算法通过用l₁范数替换l₀范数转换为求解凸优化问题，然而贪婪算法比凸优化松弛算法工程实现更简单、计算复杂度低，因此本发明采用OMP算法进行信号重构，首先在投影前对搜寻到的原子进行正交化过程，然后在原子集上投影获得残差并利用最小二乘法进行更新，最终重构谱域后做逆傅里叶变换得到时域信号。

有益效果：传统的实时采样技术中，模数转换器(Analog Digital Converter,ADC)以信号最高频率两倍以上的转换速率进行采样，对于时域上极窄的信号要求ADC具有很高的采样速率；本发明的一种压缩感知的伪随机等效采样信号重构方法，利用伪随机等效采样方法对信号进行采样，最终采用OMP算法恢复原始信号，解决了ADC实时采样速率不足问题，降低了控制复杂度，且能够高精度恢复原信号；现有的信号重构多是利用采样点重排列方法，本发明利用压缩感知理论中的OMP算法恢复原始信号，在不增加任何硬件条件的情况可通过较少采样点实现信号重构，在采样点较少时可精确重构原始信号，同时较基于压缩感知的随机等效采样重构方法具有更高的重构成功率。

附图说明

图1为压缩感知的伪随机等效采样信号重构方法的流程图；

图2为伪随机等效采样图；

图3为伪随机等效采样点重构波形；

图4为基于CS的伪随机等效采样重构信号波形图；

图5为所提方法和伪随机等效采样重构方法重构成功率对比；

图6为基于CS的伪随机和随机等效采样重构方法重构成功率对比。

具体实施方式

以下结合实例和附图对本发明做进一步的说明。

一种压缩感知的伪随机等效采样信号重构方法，括如下步骤：

步骤1)利用伪随机等效采样方法对周期信号进行采样获得采样信号；步骤1)中，设被采样信号周期为T，根据等效采样处理的信号周期性以第一个采样点的时刻为起始时刻，求得之后的N-1个采样点相对于起始时刻为基准的排列时间点大小，N为传统伪随机等效采样重构信号一个周期所需要的采样点数，从而各采样点按时间顺序由小到大排列。

步骤2)将步骤1)中采样信号在离散傅里叶变换域内进行稀疏表示；步骤2)中，变换域选取快速傅里叶变换域或离散小波变换域。步骤2)中，设原始信号x∈R^N在变换基Ψ的变换系数为α，其中Ψ＝[ψ₁,ψ₂,...,ψ_N]^T，R为实数集，[·]^T表示转置运算，ψ₁,ψ₂,...,ψ_N为变换基Ψ的列向量，则原始信号x可稀疏表示为

其中α＝[α₁,α₂,...,α_N]，i为正整数且i∈[1,N]，若α中的非零系数个数为K时，其中K＜＜N，则称信号x在变换基Ψ内是稀疏的，稀疏度为K。

步骤3)构造伪随机等效采样观测矩阵，建立稀疏重构模型；步骤3)中，原始信号x与观测值y关系表示为y＝Φx，其中Φ为观测矩阵。设A＝ΦΨ∈R^M×N，其中M＜＜N，为压缩感知等效观测矩阵，M为重构具有长度为N的信号波形所需的采样值序列长度，则观测值y∈R^M，y的维度远小于x的维度，式y＝Φx＝ΦΨα没有唯一解，原始信号x在表示基Ψ内具有稀疏性，通过l₀范数最优化问题由观测值y重构原始信号x，建立稀疏重构模型：min||α||₀s.t.y＝Φx，式中，||·||₀为向量的l₀范数，表示向量α中非零元素个数。

步骤4)利用OMP算法转换求解该稀疏重构模型，重构谱域后做逆傅里叶变换得到时域信号。重构原始信号需求解式min||α||₀s.t.y＝Φx，采用凸优化松弛算法或贪婪算法求解l₀范数。而求解l₀范数是一个NP-hard(Non-deterministic Polynomial Hard)问题，需将此问题进行转换处理。目前所提出的算法有凸优化松弛算法(Convex OptimizationRelaxtion)和贪婪算法(Greedy Algorithm)，凸优化松弛算法通过用l₁范数替换l₀范数转换为求解凸优化问题，然而贪婪算法比凸优化松弛算法工程实现更简单、计算复杂度低，因此本发明采用OMP算法进行信号重构，首先在投影前对搜寻到的原子进行正交化过程，然后在原子集上投影获得残差并利用最小二乘法进行更新，最终重构谱域后做逆傅里叶变换得到时域信号。

实施例

压缩感知的伪随机等效采样信号重构方法，包括如下步骤：

步骤1:

利用伪随机等效采样方法对周期信号进行采样。设被采样信号周期为T，根据等效采样处理的信号周期性以第一个采样点的时刻为起始时刻，可求得之后的N-1个采样点相对于起始时刻为基准的排列时间点大小，从而各采样点按时间顺序由小到大排列。设起始采样时刻为t₀，第二次采样时刻为t₁，则相对于起始时刻的时间差t₁-t₀＝T_s，然后将t₀和t₁采样点的数据data₀和data₁在同一信号周期内进行复现，若T_s≤T，则data₀和data₁位于同一信号周期内，data₁复现的时间点q₁＝t₁-t₀；若T_s＞T，则data₀和data₁位于不同信号周期内，data₁复现的时间点q₁＝mod(t₁-t₀,T)，其中，mod(t₁-t₀,T)表示t₁-t₀除以T的余数。用上述方法求出data₂,data₃,...,data_N-1与data₀在同一信号周期内复现的时间点大小q₂,q₃,...,q_N-1，最后根据q₁,q₂,...,q_N-1的大小进行数据排列以重构原始信号。

由式N＝T/Δt可以计算出重构信号一个周期所需采样点数N，式中T为信号周期，Δt为等效采样周期，伪随机等效采样的采样时钟周期T_s必须满足N×T_s＝V×T，式中N为重构信号一个周期所需要的采样点数，V为采样周期数，且V和N满足互质条件，则每一个采样点均可复现到一个周期内的不同位置，且每两点均匀间隔。

步骤2:

将采样信号在某个变换域内进行稀疏表示或近似稀疏表示，设原始信号x∈R^N在变换基Ψ的变换系数为α，其中Ψ＝[ψ₁,ψ₂,...,ψ_N]^T，[·]^T表示转置运算，ψ₁,ψ₂,...,ψ_N为变换基Ψ的行矩阵，则原始信号x可稀疏表示为

其中α＝[α₁,α₂,...,α_N]，若α中的非零系数个数为K，且K＜＜N时，则称信号x在变换基Ψ内是稀疏的，稀疏度为K。变换域可以选取快速傅里叶变换域、离散小波变换域等，由于等效采样信号是周期性的，即信号具有离散傅里叶频谱，则信号在频域内可稀疏表示，因此本发明选取离散傅里叶变换基(DiscreteFourier Transform,DFT)作为变换域矩阵。离散傅里叶变换基表示为

步骤3:

构造观测矩阵，目前所研究的典型观测矩阵有高斯随机矩阵、贝努利测量矩阵和傅里叶随机测量矩阵，均满足约束等距性(Restricted Isometry Property,RIP)，RIP特性是非相关性的等价条件，但硬件上难以实现。观测值y与原始信号x关系可表示为y＝Φx，其中Φ为观测矩阵。设A＝ΦΨ∈R^M×N为压缩感知等效观测矩阵，其中M＜＜N则观测值y∈R^M，显然y的维度远小于x的维度，因此式y＝Φx＝ΦΨα没有唯一解，然而信号x在表示基Ψ内具有稀疏性，可以通过l₀范数最优化问题由观测值y重构原始信号x，建立稀疏重构模型：min||α||₀s.t.y＝Φx，式中，||·||₀为向量的l₀范数，表示向量α中非零元素个数。本发明提出了一种基于伪随机等效采样的观测矩阵，该矩阵由著名的Whittaker-Shannon插值公式构造

式中1≤m≤M，1≤n≤N，q_m为图1中的第m个时间间隔，T_e为等效采样周期。在基于压缩感知的伪随机等效采样重构中，采样信号通过低速ADC输出，作为重构信号观测值y，观测值y(q_m)为/>

观测值y可通过矩阵向量表示为

其中，φ_m,n是观测矩阵Φ的第m行第n列的元素。

步骤4:

为了重构原始信号需求解式min||α||₀s.t.y＝Φx，然而求解l₀范数是一个NP-hard(Non-deterministic Polynomial Hard)问题，需将此问题进行转换处理。目前所提出的算法有凸优化松弛算法(Convex Optimization Relaxtion)和贪婪算法(GreedyAlgorithm)，凸优化松弛算法通过用l₁范数替换l₀范数转换为求解凸优化问题，然而贪婪算法比凸优化松弛算法工程实现更简单、计算复杂度低。本发明中选取一种改进的贪婪算法，即OMP算法以求解稀疏向量α的问题。OMP算法首先在投影前对搜寻到的原子进行正交化过程，然后在原子集上投影获得残差并利用最小二乘法进行更新，最终重构谱域后做逆傅里叶变换得到时域信号。OMP算法具体步骤如下：

步骤4-1初始化余量r₀＝y；等效观测矩阵A＝ΦΨ；索引集

其中/>

表示空集；迭代次数i＝0。

步骤4-2计算等效观测矩阵A的列向量和余量的内积gⁱ＝|<r_i,τ_j>|，其中τ_j为等效观测矩阵A的第j列。

步骤4-3通过搜索gⁱ各元素中最大值确定最大投影位置P_i，更新索引集Γⁱ＝Γ^i-1∪{P_i}与原子集合

其中原子集中D₀为空矩阵。

步骤4-4利用最小二乘法计算信号近似解

并更新余量r_i＝y-H_iD_i。

步骤4-5更新迭代次数i＝i+1，判断i≤K条件是否成立，若成立返回步骤4-2，若不成立输出稀疏逼近信号H_i。

步骤5:

本发明的技术效果可通过以下仿真进一步说明，为了验证本发明方法在采样数据较少时基于CS的伪随机等效采样重构方法的重构性能，进行了以下仿真实验。实验中选择调幅信号为原始信号，稀疏度K＝3，信号频率f_s＝100MHz，等效采样频率f_e＝25GHz，则时间窗数N＝f_e/f_s＝250。定义重构信噪比公式

式中，||·||表示欧几里得范数，x为原始信号向量，/>

为重构信号向量，当SNR大于17dB时为一次成功重构。定义重构成功率公式：/>

仿真实验1图4为基于CS的伪随机等效采样重构信号波形图。设置采样点个数为30，从全部采样点中随机选取。由图2-3可以看出，若采用传统伪随机等效采样重构方法需要250个采样点才能准确重构原始信号波形，而基于CS的伪随机等效采样重构方法在采样点数据个数为30时即可精确重构原信号波形。因此证实所提方法在采样点个数较少时能够精确恢复原始信号波形。

仿真实验2图5为所提方法和传统伪随机等效采样重构方法重构成功率对比。设置采样点个数为20～120，各采样点长度进行10000次信号重构实验。从图4中可以看出，当采样点个数为20时，传统的伪随机等效采样重构方法无法重构原始信号波形，而基于CS的伪随机等效采样重构方法重构成功率可达到64.28％；当采样点个数为40时，基于CS的伪随机等效采样重构方法重构成功率99.73％，而当采样点个数为120时，传统的伪随机等效采样重构方法重构成功率才达到99.62％。因此证实了所提方法在采样点个数较少时比传统的伪随机等效采样重构方法具有更高的重构成功率。

仿真实验3图6为基于CS的伪随机和随机等效采样重构方法重构成功率对比。设置采样点个数15～40，各采样点长度进行10000次信号重构实验。从图5中可以看出，当采样点个数为20时，基于CS的伪随机等效采样重构方法重构成功率较基于CS的随机等效采样重构方法高出7.73％；而当采样点个数为40时，两种采样重构方法重构成功率才接近一致。因此证实了所提方法在采样点个数较少时比基于CS的随机等效采样重构方法具有更高的重构成功率。

Claims (1)

1.一种压缩感知的伪随机等效采样信号重构方法，其特征在于，包括如下步骤：

步骤1)利用伪随机等效采样方法对周期信号进行采样获得采样信号；具体如下：设被采样信号周期为T，根据等效采样处理的信号周期性以第一个采样点的时刻为起始时刻，求得之后的N-1个采样点相对于起始时刻为基准的排列时间点大小，N为传统伪随机等效采样重构信号一个周期所需要的采样点数，从而各采样点按时间顺序由小到大排列；

步骤2)将步骤1)中采样信号在离散傅里叶变换域内进行稀疏表示；所述的变换域选取快速傅里叶变换域或离散小波变换域；具体如下：设原始信号x∈R^N在变换基Ψ的变换系数为α，其中Ψ＝[ψ₁,ψ₂,...,ψ_N]^T，R为实数集，[·]^T表示转置运算，ψ₁,ψ₂,...,ψ_N为变换基Ψ的列向量，则原始信号x可稀疏表示为

其中α＝[α₁,α₂,...,α_N]，i为正整数且i∈[1,N]，若α中的非零系数个数为K时，其中K＜＜N，则称信号x在变换基Ψ内是稀疏的，稀疏度为K；

步骤3)构造伪随机等效采样观测矩阵，建立稀疏重构模型；所述的原始信号x与观测值y关系表示为y＝Φx，其中Φ为观测矩阵；具体如下：设A＝ΦΨ∈R^M×N为压缩感知等效观测矩阵，其中M＜＜N，M为重构具有长度为N的信号波形所需的采样值序列长度，则观测值y∈R^M，y的维度远小于x的维度，式y＝Φx＝ΦΨα没有唯一解，原始信号x在表示基Ψ内具有稀疏性，通过l₀范数最优化问题由观测值y重构原始信号x，建立稀疏重构模型：min||α||₀s.t.y＝Φx，式中，||·||₀为向量的l₀范数，表示向量α中非零元素个数；

步骤4)利用OMP算法转换求解该稀疏重构模型，重构谱域后做逆傅里叶变换得到时域信号；重构原始信号需求解式min||α||₀s.t.y＝Φx，采用凸优化松弛算法或贪婪算法求解l₀范数。

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