CN105933008B - 基于聚集稀疏正则化正交匹配追踪算法的多频带信号重构方法 - Google Patents

Abstract

基于聚集稀疏正则化正交匹配追踪算法的多频带信号重构方法，涉及信息与通信技术领域，是为解决从Xampling框架下经过调制宽带转换器采样，通过连续‑有限模块转化后的未知稀疏度的多观测值向量中恢复出原始多频带信号的问题。由于信号处理过程中的许多模拟信号满足多频带信号模型，本发明对于将压缩感知理论运用于模拟信号有很大作用。本算法的基本思想是将无限观测值向量问题转化成单观测值向量问题。实现方法是将测量值列矢量化，将观测矩阵通过克罗内克积进行扩展，运用两者及信号稀疏度估计原信号的支撑集，最终重构信号，估计支撑集的过程中运用了正则化思想。

Description

基于聚集稀疏正则化正交匹配追踪算法的多频带信号重构 方法

技术领域

本发明涉及信息与通信技术领域，具体涉及基于Xampling的模拟信号压缩感知重构方法。

背景技术

当今社会，随着信息需求量的飞速增长，信号载频越来越高。依照传统的信号或图像的采样方法，只有采样速率不少于信号最高频率的两倍(即：奈奎斯特率)，才能保证从样本点精确恢复出原信号。这一条件使得信号处理时需要越来越高的采样频率，处理的难度越来越大。与此同时，实际应用中，经常通过压缩的方式在不丢失有用信息的前提下通过对信号进行重组来降低其冗余度，提高信号处理、传输和存储的效率，其间抛弃了大量的非重要数据，实际上造成了采样资源的浪费。那么，是否能够根据信号的一些特征，利用其它变换空间描述信号，以实现低于奈奎斯特采样频率的采样，同时又不影响信号的恢复？如果能实现这一设想，毫无疑问将大大降低信号采样和存储的代价，显著减少其处理时间，为信号处理带来新的曙光。

早在上个世纪，许多科学家就开始研究如何从噪声中提取正弦信号，但是基于信号可压缩性的数据采集仍是一个新的研究方向。它起源于对有限信息率信号(即单位时间内自由度有限的信号)利用结构性奇函数以两倍于新信率而非奈奎斯特采样频率的速率对信号进行采样的研究。而近年来，D.Donoho、E.Candès和T.Tao等人又提出来一种新颖的理论——压缩感知，与传统香农-奈奎斯特采样定理不同，压缩感知理论指出：对于可压缩或可以进行稀疏化处理的信号，可以用一个与变换基(变换矩阵，稀疏化矩阵)不相关的观测矩阵对其进行降维处理，得到数量远少于原信号的观测值，然后将重构信号问题转化为求解优化问题再将原信号从观测值中重构出来。根据这一理论，采样的不是信号而是信息，采样速率由信号的特性决定，而不是两倍的信号最高频率。因为该方法显著减少了传感器的数目和采集到的数据的冗余度，所以一经提出就影响广泛，目前在信息论、图像处理、医学成像、无线通信等领域已有相当大的进展，我国关于压缩感知的研究已经起步并迅速发展，且在未来仍有很大的发展空间。

针对离散信号的压缩感知理论经过近十年来科学家们的不断研究，目前已形成了比较完善的理论体系。但是，想要真正为信号采样带来大的变革，还需将压缩感知理论运用到模拟信号领域。S.Kirolos和J.Laska在2006年提出的模拟信息转换器是目前比较成熟的针对模拟有限速率信号的数据采集技术。实质上，AIC中输入信号的模型是有限多个单频信号的叠加，而许多实际信号，如窄带信号，是定义在连续的频率区间上的，并不是模拟稀疏信号。针对这一情况，M.Mishali和Y.C.Eldar提出了Xampling的概念，它是针对多频带信号的采样和重构方法。输入模拟信号首先与周期一定服从相同分布的不同伪随机序列相乘，每个伪随机序列对应一个通道，然后每一通道得到的结果经过一个低通滤波器后进行低速采样，将其组合得到多通道的测量结果，最后从观测值中重构出原始的信号。其中，采样系统被称为调制宽带转换器，其观测值是无限观测值向量，不能通过传统的压缩感知重构算法直接求解。针对这一问题，可通过连续-有限模块寻找信号的支持集，并通过联合稀疏的方式把无限观测值向量转化为多观测值向量问题再重构原信号。但这仍然不能使用传统的压缩感知重构算法，需要把原有算法进行调整和扩展，使其能够解决多观测值向量问题，目前连续-有限模块中利用的重构算法主要为同步正交匹配追踪算法，该算法存在许多缺点，如每次仅能筛选出一个原子，收敛速度较慢；重构精度不够高；采样速率为4NBlog(M/2N)，距离理论值2NB仍有很大距离，其中M是每个周期内采样脉冲p_i(t)的脉冲数，N是子频带数，B每个子频带最大带宽。

发明内容

本发明是为了解决现有基于Xampling系统的同步正交匹配追踪算法的以下问题：

(1)、采样速率为4NBlog(M/2N)，距离理论值2NB仍有很大距离；

(2)、重构精度不够高；

(3)、每次仅能筛选出一个原子，收敛速度较慢；

从而提供一种基于聚集稀疏正则化正交匹配追踪算法的多频带信号重构方法。

基于聚集稀疏正则化正交匹配追踪算法的多频带信号重构方法，它包括以下步骤：

步骤一、输入观测矩阵A、

子频带数N，测量数p；

步骤二、初始化：支撑集

候选集

残差

迭代数k＝0；

步骤三、根据公式：

构造矩阵D；式中：I_p为p阶单位阵；

步骤四、判断是否满足k≤N，如果判断结果为是，则执行步骤五；如果判断结果为否，则执行步骤十五；

步骤五、根据公式：

求取ξ_i；式中：i∈{1_,2,…,pL}；

步骤六、将ξ_i及其后的p-1个元素分为一组，每组内元素求和，记为b_i，i∈{1,2,…,pL-p+1}；

步骤七、找出b_i中绝对值最大的N个元素，构成矩阵B，对应的索引值i存入候选集J中；

步骤八、将B分成若干组，记为

n＝1,2…，每组中的元素满足|b_i|<2|b_j|，i,j∈J；

步骤九、求

内元素平方和，记为c_n；

步骤十、根据公式：

c^*＝max c_n

求取

内最大值的元素c^*；

步骤十一、将

内最大值的元素c^*对应的候选集J中索引值i，及i+1,i+2,…,i+p-1加入候选集J₀；

步骤十二、更新支撑集，S＝S∪J₀；

步骤十三、支撑集S中索引值所对应的D中的原子构成一个向量集合D_S；

步骤十四、更新信号残差：

令k＝k+1，返回执行步骤四；

步骤十五、输出支撑集S，并根据支撑集S进行多频带信号重构。

步骤十五所述的多频带信号，是L₂空间的连续实信号，满足模平方可积条件，即：

则其可以傅里叶变换表示为

如果X(f)是带限的，其频谱范围为[-1/2T,1/2T]，则其奈奎斯特频率为f_NYQ＝1/T。如果又有X(f)又满足如图1所示的结构，即其在[-1/2T,1/2T]范围内包含N个(图1中N＝6)不相交的子频带，且每个子频带带宽小于B，则x(t)是一个多频带信号。

观测矩阵A和框架矩阵V是多频带信号x(t)经过调制宽带转换器和连续-有限模块处理得到的。针对多频带信号的采样器是调制宽带转换器，它不需要知道原信号的载频，采样速率不取决于信号带宽并且远低于奈奎斯特频率，可以用现有的ADC实现。其系统示意图2所示；

设m是采样通道数，T_p是混频函数p_i(t)的周期，T_s是采样间隔，M是每个周期内p_i(t)的脉冲数，α_ik是在第k个间隔内p_i(t)的取值；

信号同时进入m个通道，与每个支路中周期服从相同分布的不同伪随机序列相乘，然后每一通道得到的结果经过一个截止频率为1/2T_s的低通滤波器后再以T_s为速率进行低速采样，最终得到多通道的测量结果；

对调制宽带转换器进行频域分析：考虑第i通道，混频函数p_i(t)是一个伪随机序列，表示为：

其中，α_ik∈{+1,-1}，p_i(t)的傅里叶级数为：

令

其傅里叶变换为：

可得，

的频谱为X(f)平移l个f_p的线性组合，f_p＝1/T_p，经截止频率为1/2T_s的低通滤波器滤波和以T_s为时间间隔采样后，得到观测值y_i[n]，其傅里叶变换为：

其中：f_p＝1/T_p，F_s＝[-f_s/2,f_s/2]，L₀是能保证X(f)的所有频谱进入Y(f)的最小整数，满足：

可得：

将观测值y_i[n]的傅里叶变换

与原信号x(t)的傅里叶变换X(f)之间的关系，改写为矩阵形式：

y(f)＝Aα(f)，f∈F_s (12)

式中：y(f)是由

组成的m×1维向量，观测矩阵A是由

-L₀≤l≤L₀组成的m×L维矩阵，其中L＝2L₀+1，α(f)是由α_i(f)＝X(f+(i-L₀-1)f_p),f∈F_s组成的L×1维向量；

要想恢复出原信号，需要先从y(f)＝Aα(f)，f∈F_s中求解稀疏频谱α(f)，再通过逆傅里叶变换求出x(t)的估计值

但是由于f定义在连续区间上的，其观测值是无限观测值向量，所以实际上这是一个求无数多个欠定方程组的稀疏解的问题，不能通过传统的压缩感知重构算法直接求解。

针对这一问题，可通过连续-有限模块寻找信号的支持集，并通过联合稀疏的方式把无限观测值向量转化为多观测值向量问题。之后或者可以把解决单观测值向量问题的算法进行推广，使其能解决多观测值向量问题，目前文献中使用的主要为同步正交匹配追踪算法，或者将多观测值向量问题再转换为单观测值向量问题，再使用相应的算法解决，本发明属于第二种思路。

首先对信号y[n]构造一个框架矩阵V，再求V＝AU的最稀疏解

的支撑集，根据

的支撑集与信号y[n]的支撑集一致求出信号支撑集S，最后由信号支撑集恢复出原信号。

构造框架矩阵V采用以下方式：

首先利用y[n]构造一个矩阵Q：

其中，y[n]＝[y₁[n],y₂[n],...,y_m[n]]^T，将矩阵Q分解为Q＝VV^H，由此得到框架矩阵V。

将多观测值向量问题，转化为单观测值向量问题的具体方法如下：

矩阵Y＝[y₁[n],y₂[n],...,y_m[n]]^T，由于信号的稀疏特性，只需要有限维的测量数即可提取支撑集，故Y∈C^m×p，p应大于等于2N，N为原信号子频带数。

其中vec(·)表示列矢量化，

是α(f)的离散形式，则公式(12)中的MMV问题可转化为SMV问题

式中：I_p是p阶单位阵，

是克罗内克积，解向量

是Np-稀疏信号。

步骤十一中的i是一个数，或者为多个数；假设有q个i满足要求，则一次筛选出pq个匹配原子。

采用残差条件替换k>N作为循环停止条件。

本发明具有以下特点和显著进步：

1、本发明解决的并非基于压缩感知的离散信号或模拟有限信息率信号的重构问题，而是针对时域和频域均连续的多频带信号。本发明在原有的离散信号重构方法的基础上进行了调整和扩展，使其能够运用于连续信号的重构；

2、相比于同步正交匹配追踪算法及其衍生算法重构信号所需的采样速率4NBlog(M/2N)，本发明需要的采样速率更接近理论值仅2NB；

3、相比于同步正交匹配追踪算法及其衍生算法，本发明在相同子频带数和采样通道数的情况下有更高的重构概率；

4、不同于同步正交匹配追踪算法，本发明每次循环能筛选出多个与原信号匹配的原子；

5、本发明虽然在一次迭代中能筛选出多个原子，但由于筛选一次原子的复杂度变高，两相抵消可能导致信号重构时间并未减小。

附图说明

图1是多频带信号模型示意图；

图2是MWC系统示意图；

图3是连续-有限模块恢复信号支撑集示意图；

图4是本发明中聚集稀疏正则化正交匹配追踪算法追踪算法的流程图；

图5是本发明的重构算法流程图；

图6是具体实施方式一中原信号和重构信号的时域对比示意图；

图7是具体实施方式一中原信号和重构信号的频域对比示意图；

图8是子频带数N＝6，p＝2N，采样通道数m＝10～30的情况下，采样通道数对聚集稀疏正则化正交匹配追踪算法重构概率的影响示意图；

图9是子频带数N＝2～20，p＝2N，采样通道数m＝25的情况下，采样通道数对聚集稀疏正则化正交匹配追踪算法重构概率的影响示意图；

具体实施方式

具体实施方式一、结合图4说明本实施方式，基于聚集稀疏正则化正交匹配追踪算法的多频带信号重构方法，其具体过程是：输入观测矩阵A，

子频带数(联合稀疏度)N，测量数p。初始化令支撑集

候选集

残差

迭代数k＝0。

I_p为p阶单位阵。

满足k≤N时重复以下步骤：

将ξ_i及其后的p-1个元素分为一组，每组内元素求和，记为b_i，i∈{1,2,…,pL-p+1}；找出b_i中绝对值最大的N个元素，构成矩阵B，对应的索引值i存入候选集J中；将B分成若干组，记为

n＝1,2…，每组中的元素满足|b_i|<2|b_j|，i,j∈J；求

内元素平方和，记为c_n；c^*＝maxc_n；将c^*对应的J中索引值i，及i+1,i+2,…,i+p-1加入候选集J₀；更新支撑集，S＝S∪J₀；支撑集S中索引值所对应的D中的原子构成一个向量集合D_S；更新信号残

k＝k+1。

循环停止后输出支撑集S。原信号频带的支撑集后，利用公式(15)可通过支撑集S中元素对应的矩阵A中原子构成矩阵A_S，可以重构出稀疏频谱α(f)。

本发明解决的并非基于压缩感知的离散信号或模拟有限信息率信号的重构问题，而是针对时域和频域均连续的多频带信号。本发明在原有的离散信号重构算法的基础上进行了调整和扩展，使其能够运用于连续信号的重构。相比于同步正交匹配追踪算法及其衍生算法重构信号所需的采样速率4NBlog(M/2N)，本算法需要的采样速率接近理论值仅为2NB，因此在相同子频带数、信噪比、采样通道数的情况下有更高的重构概率。而且不同于同步正交匹配追踪算法，本算法每次循环能筛选出多个与原信号匹配的原子。本算法虽然在一次迭代中能筛选出多个原子，但由于筛选一次原子的复杂度变高，两相抵消可能导致信号重构时间并未减小。、

为检验上述设想是否能够实现需要进行仿真实验：

该算法性能的检验是在Matlab平台上进行的。由于该算法是Xampling的整体框架中的一部分，算法输入值中的观测矩阵A，

是多频带信号x(t)经过调制宽带转换器和连续-有限模块处理得到，所以要想检测算法的整体性能，必须首先对调制宽带转换器和连续-有限模块进行仿真，然后由本发发明的算法进行重构，其基本原理已在发明内容中有所介绍，主要过程如图5所示：首先产生一个多频带信号，其形式如下：

令其与同分布周期相同的不同混频函数相乘，然后经过一个低通滤波器，再对滤波后的信号进行低速采样，采样后的信号经过连续-有限模块处理，最后由本发明中的重构算法求出支撑集并恢复出原信号。

实现明确了仿真步骤后，首先需要验证本算法是否能精确重构出原信号，设定的参数如下：子频带数为N＝6(在MWC系统仿真中，简单地将子频带数认定为联合稀疏度，由于实信号频谱对称，故有3对信号)，子频带最大带宽为50MHz，信号频带范围[-5GHz,5GHz]，奈奎斯特采样速率f_NYQ＝10GHz，每个频带的能量大小随机，载波随机，L₀＝97，L＝195，M＝195，通道数m＝50，伪随机序列p_i(t)的周期和采样周期f_p＝f_s＝f_NYQ/L＝51_.28MHz，p_i(t)为等概概率取±1的伪随机序列，服从伯努利分布。当重构信号的支撑集包与原信号的支撑集相同时认为重构成功。原信号和重构信号的时域对比如图6所示，频域对比如图7所示。可以看出，该算法每次循环筛选出多个匹配原子且可以精确重构出原信号。

为了比较本算法与同步正交匹配追踪算法相比是否具有优越性，可以比较两种算法的重构概率。采样通道数m和采样速率f_s一起决定系统整体采样速率mf_s，所以在采样速率不变时可由采样通道数决定整体采样速率。进行1000次蒙特卡洛仿真，参数如下：子频带最大带宽为50MHz，信号频带范围[-5GHz,5GHz]，奈奎斯特采样速率f_NYQ＝10GHz，每个频带的能量大小随机，载波随机，L₀＝97，L＝195，M＝195，伪随机序列p_i(t)的周期和采样周期f_p＝f_s＝f_NYQ/L＝51.28MHz，p_i(t)为等概概率取±1的伪随机序列，服从伯努利分布。当重构信号的支撑集包与原信号的支撑集相同时认为重构成功。聚集稀疏正则化正交匹配追踪算法写为clustered ROMP，同步正交匹配追踪算法写为SOMP，仿真结果如下：

(1)采样通道数对聚集稀疏正则化正交匹配追踪算法重构概率的影响

信号特征如下：子频带数N＝6，p＝2N，采样通道数m＝10～30，参见图8。

(2)子频带数对聚集稀疏正则化正交匹配追踪算法重构概率的影响

信号特征如下：子频带数N＝2～20，p＝2N，采样通道数m＝25，参见图9。

从上面的仿真结果可以看出，随着采样通道数的增大，重构概率上升；随着子频带数的增大，重构概率下降。在子频带数相同时，聚集稀疏正则化正交匹配追踪算法的重构概率达到接近100％时需要的采样通道数明显小于同步正交匹配追踪算法，且从总体来看，聚集稀疏正则化正交匹配追踪算法的重构概率一直高于同步正交匹配追踪算法。在采样通道数相同时，聚集稀疏正则化正交匹配追踪算法重构概率急剧下降的子频带数明显大于同步正交匹配追踪算法，且下降的速度较缓。此外，对比两种算法的重构时间，发现它们大致相同，这是由于虽然本发明中的算法可以在一次循环中筛选出多个匹配原子，但由于每次循环的复杂度增加，故重构时间并未减少。

经上述仿真试验验证，本发明具有以下特点和显著进步：

1、本发明解决的并非基于压缩感知的离散信号或模拟有限信息率信号的重构问题，而是针对时域和频域均连续的多频带信号。本发明在原有的离散信号重构方法的基础上进行了调整和扩展，使其能够运用于连续信号的重构；

2、相比于同步正交匹配追踪算法及其衍生算法重构信号所需的采样速率4NBlog(M/2N)，本发明需要的采样速率更接近理论值仅2NB；

3、相比于同步正交匹配追踪算法及其衍生算法，本发明在相同子频带数和采样通道数的情况下有更高的重构概率；

4、不同于同步正交匹配追踪算法，本发明每次循环能筛选出多个与原信号匹配的原子；

5、本发明虽然在一次迭代中能筛选出多个原子，但由于筛选一次原子的复杂度变高，两相抵消可能导致信号重构时间并未减小。

Claims (4)

1.基于聚集稀疏正则化正交匹配追踪算法的多频带信号重构方法，其特征是：它包括以下步骤：

步骤一、输入观测矩阵A、

子频带数N，测量数p；

步骤二、初始化：支撑集

候选集

残差

迭代数k＝0；

步骤三、根据公式：

构造矩阵D；式中：I_p为p阶单位阵；

步骤四、判断是否满足k≤N，如果判断结果为是，则执行步骤五；如果判断结果为否，则执行步骤十五；

步骤五、根据公式：

求取ξ_i；式中：i∈{1,2,...,pL}；

步骤六、将ξ_i及其后的p-1个元素分为一组，每组内元素求和，记为b_i，i∈{1,2,...,pL-p+1}；

步骤七、找出b_i中绝对值最大的N个元素，构成矩阵B，对应的索引值i存入候选集J中；

步骤八、将矩阵B分成若干组，记为

每组中的元素满足|b_i|<2|b_j|，i,j∈J；

步骤九、求

内元素平方和，记为c_n；

步骤十、根据公式：

c^*＝maxc_n

求取

内最大值的元素c^*；

步骤十一、将

内最大值的元素c^*对应的候选集J中索引值i，及i+1,i+2,...,i+p-1加入候选集J₀；

步骤十二、更新支撑集，S＝S∪J₀；

步骤十三、支撑集S中索引值所对应的D中的原子构成一个向量集合D_S；

步骤十四、更新信号残差：

令k＝k+1，返回执行步骤四；

步骤十五、输出支撑集S，并根据支撑集S进行多频带信号重构；

观测矩阵A是多频带信号x(t)经过调制宽带转换器和连续-有限模块处理得到的，具体为：

设m是采样通道数，T_p是混频函数p_i(t)的周期，T_s是采样间隔，M是每个周期内p_i(t)的脉冲数，α_ik是在第k个间隔内p_i(t)的取值；

信号同时进入m个通道，与每个支路中周期服从相同分布的不同伪随机序列相乘，然后每一通道得到的结果经过一个截止频率为1/2T_s的低通滤波器后，再以T_s为速率进行低速采样，最终得到多通道的测量结果；

对调制宽带转换器进行频域分析：考虑第i通道，混频函数p_i(t)是一个伪随机序列，表示为：

其中，α_ik∈{+1,-1}，p_i(t)的傅里叶级数为：

令

其傅里叶变换为：

可得，

的频谱为X(f)平移l个f_p的线性组合，f_p＝1/T_p，经截止频率为1/2T_s的低通滤波器滤波和以T_s为时间间隔采样后，得到观测值y_i[n]，其傅里叶变换为：

其中：f_p＝1/T_p，F_s＝[-f_s/2,f_s/2]，L₀是能保证X(f)的所有频谱进入Y(f)的最小整数，满足：

可得：

将观测值y_i[n]的傅里叶变换

与原信号x(t)的傅里叶变换X(f)之间的关系，改写为矩阵形式：

y(f)＝Aα(f)，f∈F_s (12)

式中：y(f)是由

组成的m×1维向量，观测矩阵A是由

组成的m×L维矩阵，其中L＝2L₀+1，α(f)是由α_i(f)＝X(f+(i-L₀-1)f_p),f∈F_s组成的L×1维向量；

对信号y[n]构造一个框架矩阵V，再求V＝AU的最稀疏解

的支撑集，根据

的支撑集与信号y[n]的支撑集一致求出信号支撑集S，最后由信号支撑集S恢复出原信号；

构造框架矩阵V采用以下方式：

首先利用y[n]构造一个矩阵Q：

其中，y[n]＝[y₁[n],y₂[n],...,y_m[n]]^T，将矩阵Q分解为Q＝VV^H，由此得到框架矩阵V；

将多观测值向量问题，转化为单观测值向量问题的具体方法如下：

矩阵Y＝[y₁[n],y₂[n],...,y_m[n]]^T，由于信号的稀疏特性，只需要有限维的测量数即可提取支撑集，故Y∈C^m×p，p应大于等于2N，N为原信号子频带数；

其中vec(·)表示列矢量化，

是α(f)的离散形式，则公式(12)中的MMV问题可转化为SMV问题

式中：I_p是p阶单位阵，

是克罗内克积，解向量

是Np-稀疏信号。

2.根据权利要求1所述的基于聚集稀疏正则化正交匹配追踪算法的多频带信号重构方法，其特征在于其特征在于步骤十五所述的多频带信号，是L₂空间的连续实信号，满足模平方可积条件，即：

3.根据权利要求1所述的基于聚集稀疏正则化正交匹配追踪算法的多频带信号重构方法，其特征在于步骤十一中的i是一个数，或者为多个数；假设有q个i满足要求，则一次筛选出pq个匹配原子。

4.根据权利要求1所述的基于聚集稀疏正则化正交匹配追踪算法的多频带信号重构方法，其特征在于采用残差条件替换k>N作为循环停止条件。

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