CN107918710B - 基于凸优化的非下采样图滤波器组的设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开一种基于凸优化的非下采样图滤波器组的设计方法，利用直接构造法和优化方法进行非下采样图滤波器组的设计，同时全面考虑图滤波器组的频谱特性和完全重构条件。在图信号的去噪仿真实验中，与现有技术相比，本发明设计所得的非下采样图滤波器组的去噪性能更好。

Description

基于凸优化的非下采样图滤波器组的设计方法

技术领域

本发明涉及图信号处理领域中的图滤波器组技术领域，具体涉及一种基于凸优化的非下采样图滤波器组的设计方法。

背景技术

在网络、计算机视觉和高维云数据等领域中，图提供了一个灵活的模型来表示数据。随着图信号处理的发展，越来越多的学者从事图信号处理领域的研究工作。图信号处理将传统信号处理中的诸多概念和理论拓展至图结构上，引申出了图傅里叶变换等重要概念。图信号既可表示小规模数据信号也可表示大规模数据信号，由于大规模图具有庞大的节点数和边数，图傅里叶变换是全局变换，它不适合于大规模图信号的处理。为此，许多学者提供了图小波和图滤波器组，其具备多尺度变换特性，适合于处理大规模图信号。近年来，图小波和图滤波器组已被广泛应用于图信号的多分辨分析，压缩，去噪和分类。

Narang和Ortega最早提出完全重构两通道图小波滤波器组的设计方法，该方法在二分图中，针对上下采样运算引起的频谱混叠现象，设计出具有临界采样、混叠消除、完全重构特性的正交镜像图滤波器组，但该方法设计是针对于二分图或可以分解为二分图的图信号的。此后，Narang和Ortega构造出对于任意无向图的双正交的小波滤波器组，松弛正交条件，设计得到双正交图小波，其可以对任意图信号进行处理，但此双正交图小波的设计方法未考虑滤波器的频谱选择性。Akie Sakiyama和Yuichi Tanaka提出图滤波器组的过采样拉普拉斯矩阵，在原始图的基础上附加节点和边构造出一个包含所有原始图信息的二分图，过采样对于图信号的处理有更大的设计自由，但通过对原始图附加节点和边，导致原始图结构的改变。随后他又提出M通道过采样图滤波器组的设计算法,M通道图滤波器组具有更多的子带划分，对于大规模的图信号处理有重大的意义。

上述的图小波和图滤波器组的研究主要是基于临界采样和过采样进行滤波器组的设计，其结构中均含有图信号的下采样运算，这可能导致图滤波器组中对图信号采样时会要求特殊的图结构，如二分图、可二分图或循环图。而对于一般图的结构而言，基于图染色的采样模式并不精确，基于奇异值分解的采样模式是不适用于连通图的处理，而基于最大生成树的采样模式对一般图的采样运算也缺乏准确的定义。传统数字信号处理中，传统的非下采样小波滤波器组有着广泛的应用。目前，在图信号处理中难以准确定义一般图的图信号下采样运算且非下采样图滤波器的研究相对较少，因此对于非下采样图滤波器进一步的研究有待提出。

发明内容

本发明所要解决的是目前图滤波器组的设计方法难以准确定义一般图的图信号下采样运算的问题，提供一种基于凸优化的非下采样图滤波器组的设计方法。

为解决上述问题，本发明是通过以下技术方案实现的：

基于凸优化的非下采样图滤波器组的设计方法，具体包括如下步骤：

步骤1，本发明首先采用样条图小波作为非下采样图滤波器组的分析滤波器组。根据样条图小波的定义，非下采样图滤波器的分析滤波器组可表示为；

步骤2，根据步骤1中给定的分析滤波器组，利用非下采样图滤波器组的完全重构条件，直接构造出综合滤波器组：

G₀＝I_N,G₁＝I_N

步骤3，根据步骤1中给定的分析滤波器组，以综合滤波器组的阻带能量为目标函数，以完全重构条件为约束函数，约束优化问题是半正定规划问题，可以求解出综合滤波器。优化问题为

式中，E_s(g₀)为综合低通滤波器的阻带能量；E_s(g₁)为综合高通滤波器的阻带能量；α,β为综合权值；h₀,h₁分别为分析低通和高通滤波器；g₀,g₁分别为综合低通和高通滤波器；c_Lh0(·),c_Lh1(·)为分析滤波器h₀,h₁的频率向量，c_Lg0(·),c_Lg1(·)为综合滤波器g₀,g₁的频率向量；L_h0,L_h1为分析滤波器h₀,h₁的长度，L_g0,L_g1为综合滤波器g₀,g₁的长度，

N+1为频率离散点数；ε_r为重构误差容限；T代表转置；

步骤4，根据前三步中直接构造法和优化设计法所得的两通道非下采样图滤波器组，对其低频分量采用级联的方式，从两通道非下采样图滤波器组扩展到多通道非下采样图滤波器组。

上述步骤3中，采用半正定规划求解器SDPT3有效求解综合滤波器。

上述步骤3中，权值α＝1与权值β＝0.1。

上述步骤3中，λ_k的取值范围为[0,2]。

与现有技术相比，本发明利用直接构造法和优化方法进行非下采样图滤波器组的设计，同时全面考虑图滤波器组的频谱特性和完全重构条件。在图信号的去噪仿真实验中，与现有技术相比，本发明设计所得的非下采样图滤波器组的去噪性能更好。

附图说明

图1为两通道非下采样图滤波器组的基本结构。

图2为多通道非下采样图滤波器组的基本结构。

图3为图滤波器的幅度响应。其中(a)为本发明中直接构造所得到图滤波器的幅度响应；(b)为本发明中优化设计所得到图滤波器的幅度响应。

图4为本发明中所得到的非下采样图滤波器系统与已有方法得到的图滤波器系统进行去噪实验的仿真结果。其中(a)为输入信号；(b)为噪声信号(σ＝1/2)；(c)为基于现有方法1(临界采样双正交图滤波器组)设计的图滤波器组去噪后的输出信号；(d)为基于现有方法2(M通道过采样图滤波器组)设计的图滤波器组去噪后的输出信号；(e)为本发明直接构造方法设计所得的两通道非下采样图滤波器组去噪后的输出信号；(f)为本发明直接构造方法设计所得的三通道非下采样图滤波器组去噪后的输出信号；(g)为本发明优化设计方法所得的两通道非下采样图滤波器组去噪后的输出信号；(h)为本发明优化设计方法所得的三通道非下采样图滤波器组去噪后的输出信号。

具体实施方式

为了便于理解，下面以两通道和三通道非下采样图滤波器组为例，对本发明基于凸优化的非下采样图滤波器组的设计方法，进行进一步详细说明。

根据图1中表示的两通道非下采样图滤波器组，其中两个线性滤波器H₀,H₁组成分析滤波器组，综合滤波器组由两个线性滤波器G₀,G₁组成。图信号f为图滤波器组的输入信号，输出信号为

，f₀,f₁分别表示低频子带系数和高频子带系数。分析图滤波器组和综合图滤波器组可分别表示为

σ(G)是由图G的拉普拉斯矩阵所有特征值构成的特征空间,P_λ,λ∈σ(G)是特征空间的投影矩阵，h_i(λ),g_i(λ)分别是分析子带滤波器和综合子带滤波器。两通道非下采样图滤波器组的输入输出关系可表示为

T是图滤波器组的传递函数。两通道非下采样图滤波器组的完全重构条件可写为

G₀H₀+G₁H₁＝I_N (3)

由式(1)、(3)得

h₀(λ)g₀(λ)+h₁(λ)g₁(λ)＝1 (4)

多项式中λ∈[0,2]。

第一步：采用样条图小波作为分析滤波器组。根据样条图小波的定义，任意图的样条图小波分析滤波器组可表示为

H_LP,H_HP分别为任意图的样条图小波滤波器组的低通和高通滤波器。当n＝1时，定义非下采样图滤波器组的分析滤波器组为

Λ是归一化拉普拉斯矩阵

的正实数特征值λ∈[0,2]组成的对角矩阵，U是特征值λ对应的特征向量组成的矩阵，上标H表示共轭转置。根据公式(1)、(7)和(8)，可得非下采样图滤波器组的分析子带滤波器

第二步：采用直接构造的方法，在图滤波器组的设计中，完全重构特性是首要考虑的。和传统滤波器组一样，重构误差是衡量图滤波器组整体性能的主要性能指标，当图滤波器组是无失真传输，重构误差为零时，则滤波器组是完全重构的，即设计的综合滤波器组能准确的重构出输入信号。在设计带下采样运算的图滤波器组中，完全重构是很难实现的，而在非下采样图滤波器组的设计却提供了完全重构的可能。根据给定的H₀,H₁，可知分析滤波器组为互补滤波器，即

H₀+H₁＝I_N (11)

利用非下采样图滤波器组的完全重构条件，直接构造出综合滤波器组

G₀＝I_N,G₁＝I_N (12)

第三步：根据第一步中给定的分析子带滤波器组h₀(λ),h₁(λ)，采用优化设计的方法，从综合滤波器组的频谱特性来考虑，采用带约束优化方法设计综合子带滤波器g₀(λ),g₁(λ)。可表示

式中，L_hi,L_gi分别表示分析滤波器h_i和综合滤波器g_i的长度。

c_L＝[1,λ,...,λ^L-1]^T,h_i＝[h_i,0,h_i,1,...,h_i,L_hi-1]^T,g_i＝[g_i,0,g_i,1,...,g_i,L_gi-1]^T,i＝0,1 (15)和传统滤波器组类似，λ_s0,λ_s1分别为g₀,g₁的阻带截止频率，滤波器的阻带衰减由阻带能量来决定:

式中，

根据公式(4)，完全重构条件可表示为

以给定的h₀(λ),h₁(λ)为已知条件，在完全重构约束条件下，只需考虑最大化综合滤波器阻带衰减，以综合滤波器组的阻带能量为目标函数来求解综合滤波器。

α,β为权值，ε_r是重构误差容限，N+1是离散点数，许多实例表明N＝100则可保证重构误差精确度。为便于求解，记

其中，

大小为L_g0×(L_g0+L_g1)的矩阵，

大小为L_g1×(L_g0+L_g1)的矩阵，I₀是大小为L_g0×L_g0的单位阵，I₁是大小为L_g1×L_g1的单位阵，0为全零矩阵。则上述问题可等效写为

向量a^T(λ_k)和b分别为

上述优化问题为半正定规划问题，可通过半正定规划求解器SDPT3有效求解。

第三步：一个两通道非下采样图滤波器对图信号分解只能得到一个高频分量和一个低频分量。为实现非下采样图滤波器组的多分辨分析特性，根据前三步中直接构造法和优化设计法所得的两通道非下采样图滤波器组，对其低频分量采用级联的方式，从两通道非下采样图滤波器组扩展到多通道非下采样图滤波器组。图2表示一个多通道的非下采样图滤波器组。当在两通道非下采样图滤波器组的低频分量上再级联一个两通道非下采样图滤波器组时，可得三通道非下采样图滤波器组，此时，f₀₀,f₀₁,f₁可分别表示三通道非下采样图滤波器组的第一通道低频子带系数、第二通道高频子带系数和第三通道高频子带系数。进行多通道非下采样图滤波器组仿真实验时，本发明以三通道为例。

下面通过具体仿真实例，对本发明的性能进行说明。

仿真实例1：

本发明中直接构造方法所得的两通道非下采样滤波器组的幅度响应如图3(a)所示，重构误差为零，所得的滤波器组是完全重构的。优化设计方法中的两通道非下采样滤波器组参数设为：L_h0＝2，L_h1＝2，L_g0＝5，L_g1＝5，λ_s0＝1.5，λ_s1＝0.6，α＝1，β＝0.1，ε_r＝10-¹⁴，所得的两通道非下采样滤波器组是近似完全重构的，重构误差PE＝9.0927×10-¹⁴，重构信噪比SNR＝274.45dB，幅度响应如图3(b)所示。实验对比表明直接构造方法设计所得的非下采样图滤波器组比优化设计方法设计所得的非下采样图滤波器组有更好的重构特性,而优化设计方法设计所得的综合滤波器组具备更好的频谱特性。

仿真实例2：

用例1设计所得的图滤波器组对Minnesota交通图采用硬阈值法进行去噪实验，输入的噪声图信号f_n首先进行归一化预处理f＝D¹²f_n，经过去噪后的输出信号

再进行逆处理

D为图的度矩阵。本文中两通道非下采样图滤波器组处理高频子带系数f₁，和现有一样，硬阈值取τ＝3σ，σ为噪声标准差。三通道非下采样图滤波器组对不同的高频子带系数取不同的硬阈值进行处理，处理高频子带系数f₀₁，通过实验验证，硬阈值取τ＝1.2σ，处理高频子带系数f₁，硬阈值取τ＝3σ。当σ＝1/2时，使用现有方法1(临界采样双正交图滤波器组)和现有方法2(M通道过采样图滤波器组)和本发明中直接构造方法和优化设计方法设计的非下采样两通道图滤波器组及非下采样三通道图滤波器组进行去噪的仿真实验对比。其中优化设计方法参数为：L_h0＝2，L_h1＝2，L_g0＝2，L_g1＝2，λ_s0＝1.4，λ_s1＝0.6，α＝1，β＝0.1，ε_r＝10^-12，得到重构误差PE＝1.9984×10^-14，重构信噪比SNR＝274.46dB，本发明仿真结果如图4(a)-(h)。表1给出了噪声标准差σ取不同值时的信噪比对比。

表1

相同的运行环境下，本发明的直接构造方法、优化设计方法设计所得的非下采样图滤波器组与现有方法1相比，本发明直接构造方法、优化设计方法设计所得的非下采样图滤波器组去噪性能更好。本发明直接构造方法所得的非下采样三通道图滤波器组与现有方法2相比，有更好的去噪性能。与现有方法2和直接构造方法相比，优化设计方法设计所得的三通道非下采样图滤波器组的去噪效果更好。

本发明根据给定的分析滤波器组，首先利用完全重构条件，直接构造出综合滤波器组，可得到完全重构的两通道非下采样图滤波器组。然后从非下采样图滤波器组的频谱特性考虑，采用带约束优化算法设计综合滤波器组，可得到近似完全重构的两通道非下采样图滤波器组。本发明构造出了具有多分辨分析特性的多通道非下采样图滤波器组。在图信号的去噪仿真实验中，与现有技术相比，本发明设计所得的多通道非下采样图滤波器组有更好的去噪性能。

需要说明的是，尽管以上本发明所述的实施例是说明性的，但这并非是对本发明的限制，因此本发明并不局限于上述具体实施方式中。在不脱离本发明原理的情况下，凡是本领域技术人员在本发明的启示下获得的其它实施方式，均视为在本发明的保护之内。

Claims (4)

1.基于凸优化的非下采样图滤波器组的设计方法，其特征是，包括步骤如下：

步骤1，采用样条图小波作为非下采样图滤波器组的分析滤波器组，并根据样条图小波的定义，给定两通道下的分析滤波器组；

步骤2，根据步骤1中给定的分析滤波器组，利用非下采样图滤波器组的完全重构条件，直接构造出两通道下的综合滤波器组；

步骤3，基于给定的分析滤波器组，以综合滤波器组的阻带能量为目标函数，将完全重构条件为约束函数，构建优化问题来求解综合滤波器；其中优化问题为：

式中，E_s(g₀)为综合低通滤波器的阻带能量；E_s(g₁)为综合高通滤波器的阻带能量；α和β为综合权值；h₀为分析低通滤波器；h₁为分析高通滤波器；g₀为综合低通滤波器；g₁为综合高通滤波器；

为分析低通滤波器h₀的频率向量；

为分析高通滤波器h₁的频率向量；

为综合低通滤波器g₀的频率向量；

为综合高通滤波器g₁的频率向量；N+1为频率离散点数；ε_r为重构误差容限；上标T代表转置；

步骤4，对所得的两通道下的非下采样图滤波器组的低频分量采用级联的方式，将两通道下非下采样图滤波器组扩展到多通道下的非下采样图滤波器组。

2.根据权利要求1所述的基于凸优化的非下采样图滤波器组的设计方法，其特征是，步骤3中，采用半正定规划求解器SDPT3来求解综合滤波器。

3.根据权利要求1所述的基于凸优化的非下采样图滤波器组的设计方法，其特征在于：步骤3中，权值α＝1，权值β＝0.1。

4.根据权利要求1所述的基于凸优化的非下采样图滤波器组的设计方法，其特征在于：步骤3中，

的取值范围为[0,2]。

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