CN106160702A - 近似完全重构单原型dft调制滤波器组的设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开近似完全重构单原型DFT调制滤波器组的设计方法，其通过优化滤波器组的传递失真和原型滤波器的阻带衰减来获得整体性能良好的滤波器组。将原型滤波器的设计问题归结为一个带约束的优化问题，目标函数是原型滤波器的阻带能量，约束是滤波器组的传递失真，并采用迭代的方法来求解原型滤波器。通过多次迭代使得滤波器组的重构误差达到比较低的水平。本发明为设计近似完全重构的DFT调制滤波器组提供了一种简单高效的解决方案。

Description

近似完全重构单原型DFT调制滤波器组的设计方法

技术领域

本发明属于滤波器组设计领域，具体涉及一种近似完全重构单原型DFT调制滤波器组的设计方法。

背景技术

滤波器组被广泛应用于语音图像处理、自适应滤波、噪声抑制以及通信系统等诸多领域。对于一般结构的滤波器组而言，往往需要分别设计各个子带的滤波器，优化规模较大，实现比较困难。调制滤波器组的提出有效地解决了这个问题，原因在于此类滤波器组只需设计原型滤波器即可。余弦调制滤波器组和DFT调制滤波器组是两类主要的调制滤波器组。其中，DFT调制滤波器组可以将信号的正负频率分割到不同的子带进行处理，因此更加适合于处理复值信号。

设计滤波器组的首要任务就是设法减小和消除各种失真现象，现有的设计方法大多是基于半定规划算法的。比如Wibur M R等人在《IEEE Transactions on SignalProcessing》上发表的《Efficient design of oversampled NPR GDFT filter banks》中将设计问题描述为一个半无穷的规划问题，然后利用线性矩阵不等式将该问题转化为一个半定规划问题，最终可以得到全局最优解。但是此类方法优化规模较大，求解起来比较困难，不利于实际应用。

发明内容

本发明所要解决的是现有的单原型DFT调制滤波器组的设计方法计算复杂度高，所设计的DFT调制滤波器组整体性能较差的问题，提供一种近似完全重构单原型DFT调制滤波器组的设计方法。

为解决上述问题，本发明是通过以下技术方案实现的：

一种近似完全重构单原型DFT调制滤波器组的设计方法，包括如下步骤：

步骤1，将DFT调制滤波器组的分析滤波器和综合滤波器分别转化为原型关于原型滤波器h的函数；

步骤2，将DFT调制滤波器组的传递失真E_t(h)和原型滤波器组的阻带能量E_s(h)转化为关于原型滤波器h的函数；

步骤3，将原型滤波器h的设计问题转化为一个带约束的优化问题，目标函数是阻带能量E_s(h)，约束是传递失真E_t(h)，表示为：

其中，E_s(h_k+d)是第k步迭代原型滤波器的阻带能量，E_t(h_k+d)是第k步迭代滤波器组的传递失真，d是一个长度为N列的向量，h_k是第k-1步迭代求解出来的原型滤波器，ξ是给定的传递失真约束阈值；

步骤4，采用迭代的方法求解原型滤波器h，即：

步骤4.1，给定一个初始原型滤波器h₀，此时迭代步数k＝0；

步骤4.2，利用上一次迭代求解出来的原型滤波器h_k,求解优化问题即式①，得到向量d；

步骤4.3，更新本次迭代的原型滤波器h_k+1＝h_k+d；

步骤4.4，判断||d||₂≤δ是否成立；如果成立，则终止迭代，本次迭代所得的原型滤波器h_k+1就是最终的原型滤波器；如果不成立，则令h_k+1＝h_k,返回到步骤4.2继续迭代；其中δ是给定的迭代阈值；

步骤5，将步骤4所求出的原型滤波器h_k+1代入步骤1求得滤波器组的分析滤波器和综合滤波器，至此即可确定整个DFT调制滤波器组。

步骤1中，分析滤波器和综合滤波器相等。

步骤1中，分析滤波器和综合滤波器为：

其中，D是系统延迟，M是DFT调制滤波器组的通道数，n是系数变量，m是DFT调制滤波器组通道数变量，h_m(n)是第m通道分析滤波器，g_m(n)是第m通道综合滤波器。

与现有技术相比，本发明是通过控制滤波器组的传递失真和原型滤波器的阻带能量使得滤波器组可以获得良好的整体性能，并通过迭代的方法获得原型滤波器，优化问题的规模较低，容易求解。本发明方法在保证滤波器组近似完全重构的同时可以获得频率特性较好的子带滤波器。

附图说明

图1为DFT调制滤波器组的基本结构。

图2为本发明提供的设计DFT调制滤波器组的流程图。

图3为实例1原型滤波器的幅度响应。(a)表示半定规划方法设计的原型滤波器的幅度响应。(b)表示本发明方法设计的原型滤波器的幅度响应。

图4为实例2原型滤波器的幅度响应。(a)表示Jang J Z方法设计的原型滤波器的幅度响应。(b)表示本发明方法设计的原型滤波器的幅度响应。

具体实施方式

图1给出了一个通道数为M,采样因子为K，延迟为D的DFT调制滤波器组。基于上述结构的一种近似完全重构单原型DFT调制滤波器组的设计方法，如图2所示，具体包括如下步骤：

第一步：根据DFT调制滤波器组的理论，并结合图1，将分析和综合滤波器组转化为关于原型滤波器的函数。设h和g分别是分析和综合原型滤波器。由于是单原型的DFT调制滤波器组，那么h和g是相等的，它们的单位脉冲相应为：

g＝h＝[h(0),h(1),...,h(N-1)]^T (1)

其中，h(·)代表的是原型滤波器系数，N代表原型滤波器的长度，T代表转置，相应的频率响应为：

G(ω)＝H(ω)＝c^T(ω,N)h (2)

其中，H(ω)是分析原型滤波器的频率响应，G(ω)是综合原型滤波器的频率响应，ω代表频域变量，c(ω,N)＝[1,e^-jω,...,e^-j(N-1)ω]^T。所有的子带滤波器都是通过DFT调制得到：

$g_m\left(n\right)=h_m\left(n\right)=h\left(n\right)e^{j2\mathrm{\π}m(n-\frac{D}{2})/M},n=0,...,N-1---\left(3\right)$

其中，D是系统延迟，Μ是DFT调制滤波器组的通道数，n是系数变量，m是DFT调制滤波器组通道数变量，h_m(n)是第m通道分析滤波器，g_m(n)是第m通道综合滤波器。那么分析与综合滤波器的频率响应为：

G_m(ω)＝H_m(ω)＝H(ω-2πm/M)e^-jπmD/M (4)

其中，H_m(ω)代表第m通道分析滤波器的频率响应，G_m(ω)代表第m通道综合滤波器的频率响应，H(ω)代表分析原型滤波器的频率响应。

第二步：单原型DFT调制滤波器组的输出和输入之间的关系为：

$\stackrel{\‾}{X}\left(\mathrm{\ω}\right)=T_0\left(\mathrm{\ω}\right)X\left(\mathrm{\ω}\right)+\underset{k=1}{\overset{K-1}{\Σ}}{A}_k\left(\mathrm{\ω}\right)X(\mathrm{\ω}-\frac{2\mathrm{\π}k}{K})---\left(5\right)$

其中，

$\begin{array}{c}{T}_0\left(\mathrm{\ω}\right)=\frac{1}{K}\underset{m=0}{\overset{M-1}{\Σ}}{W}_M^{mD}{H}^2(\mathrm{\ω}-\frac{2\mathrm{\π}m}{M})\\ A_k\left(\mathrm{\ω}\right)=\frac{1}{K}\underset{m=0}{\overset{M-1}{\Σ}}{W}_M^{mD}H(\mathrm{\ω}-\frac{2\mathrm{\π}m}{M}-\frac{2\mathrm{\π}k}{K})H(\mathrm{\ω}-\frac{2\mathrm{\π}m}{M}),k=1,2,...,K-1\end{array}---\left(6\right)$

其中，k为采样因子变量，K为滤波器组的采样因子，T₀(ω)代表的是传递函数，A_k(ω)是混叠传递函数。

当传递函数T₀(ω)＝e^-jDω，滤波器组无传递失真。但是如果直接考虑该频域条件来控制滤波器组的传递失真将会十分复杂，为此需要推导出无传递失真的时域条件。

引入中间变量r＝h*h。*代表卷积。r＝[r(0),r(1)，...,r(2N-2)]^T，r_k(·)代表的是向量r_k的分量。将r＝h*h写成如下的矩阵相乘的形式：

r＝h*h＝G(h)h (7)

其中，卷积矩阵G(h)的定义为：

其中，m代表矩阵G(h)的行变量，n代表矩阵G(h)列变量。

那么系统的传递函数T₀(ω)可以表示为：

$\begin{array}{c}{T}_0\left(\mathrm{\ω}\right)=\frac{1}{K}\underset{m=0}{\overset{M-1}{\Σ}}{e}^{-j2\mathrm{\π}mD/M}{H}^2(\mathrm{\ω}-\frac{2\mathrm{\π}m}{M})\\ =\frac{1}{K}\underset{m=0}{\overset{M-1}{\Σ}}{e}^{-j2\mathrm{\π}mD/M}R(\mathrm{\ω}-\frac{2\mathrm{\π}m}{M})\\ =\frac{1}{K}\underset{m=0}{\overset{M-1}{\Σ}}\underset{n=0}{\overset{2N-2}{\Σ}}r\left(n\right)e^{j2\mathrm{\π}m(n-D)/M}{e}^{-j\mathrm{\ω}n}\\ =\frac{1}{K}\underset{n=0}{\overset{2N-2}{\Σ}}r\left(n\right)e^{-j\mathrm{\ω}n}\underset{m=0}{\overset{M-1}{\Σ}}{e}^{j2\mathrm{\π}m(n-D)/M}\end{array}---\left(9\right)$

其中，R(ω)是向量r的频率响应。

根据DFT的性质，当n-D为M的整数倍的时候否则所以要使得传递函数T₀(ω)＝e^-jDω，则有下式成立：

其中，代表下取整运算，将该条件写成一个矩阵等式，表示为：

Ar＝b (11)

其中，列向量b的维数为S，其第个元素为K/M,其余元素均为零。

矩阵A的定义为:

所以滤波器组无传递失真时域条件为:

AG(h)h-b＝0 (13)

其中，0代表一个维数为S的列向量，其元素全为零。

另外，滤波器组高的阻带衰减可以通过控制原型滤波器的阻带能量来获得，原型滤波器的阻带能量表示为：

${\∫}_{\mathrm{\π}/K}^{\mathrm{\π}}|H\left(\mathrm{\ω}\right){|}^{2}d\mathrm{\ω}=h^T\{{\∫}_{\mathrm{\π}/K}^{\mathrm{\π}}c(\mathrm{\ω},N)c^H(\mathrm{\ω},N)d\mathrm{\ω}\}h=h^{T}Qh---\left(14\right)$

其中，c(ω,N)＝[1,e^-jω...,e^-j(N-1)ω]^T，H代表共轭转置。

在DFT调制滤波器组的设计中，低传递失真和原型滤波器高的阻带衰减就可以保证滤波器组具有良好的整体性能。

第三步：结合式(13)和式(14)将原型滤波器的设计问题转化为一个带约束的优化问题：

$\begin{array}{cc}\underset{h}{min}& h^{T}Qh\\ s.t.& \left|\right|AG\left(h\right)h-b|{|}_2<\mathrm{\&xi;}\end{array}---\left(15\right)$

其中，E_s(h)＝h^TQh代表的是原型滤波器的阻带能量，E_t(h)＝AG(h)h-b是滤波器组的传递失真控制项。问题(15)是一个非凸问题，难以求解。为此本发明引入迭代的算法思想，设第k步迭代之后的原型滤波器为h_k+1，有h_k+1＝h_k+d，其中h_k是第k-1步迭代之后的原型滤波器，d是一个长度为N的列向量。当原型滤波器为h_k+1时，阻带能量为：

E_s(h_k+1)＝(h_k+d)^TQ(h_k+d) (16)

传递失真控制项变为：

$\begin{array}{c}{E}_t\left(h_{k+1}\right)=AG(h_k+d)(h_k+d)-b\\ =AG\left(h_k\right)h_k+2AG\left(h_k\right)d+AG\left(d\right)d-b\end{array}---\left(17\right)$

其中，卷积矩阵G(d)的定义为：

这里利用迭代的方法来求解原型滤波器，在每一步迭代中用h_k+1＝h_k+d来更新原型滤波器，结合式(15)(16)(17)，d的求解可以转化为求解如下的优化问题：

$\begin{array}{cc}\underset{d}{min}& {(h_k+d)}^{T}Q(h_k+d)\\ s.t.& \left|\right|AG\left(h_k\right)h_k+2AG\left(h_k\right)d+AG\left(d\right)d-b|{|}_2\&le;\mathrm{\&xi;}\end{array}---\left(19\right)$

问题(19)同样是一个非凸的问题，为此将问题(19)转化为问题(20):

$\begin{array}{cc}\underset{d}{min}& {(h_k+d)}^{T}Q(h_k+d)\\ s.t.& \left|\right|AG\left(h_k\right)h_k+2AG\left(h_k\right)d-b|{|}_2\&le;\mathrm{\&xi;}\\ & \left|d_i\right|\&le;\mathrm{\&rho;},\&ForAll;i\end{array}---\left(20\right)$

其中，d_i是向量d的第i个分量，ρ是一个很小的正数，作用是约束d的每一个分量使它们都足够小，从而保证问题(20)对问题(19)的近似。问题(20)是一个凸优化问题，容易求解。

第四步：基于问题(20)采用迭代的方法来求解原型滤波器。具体步骤如下：

1、首先给定一个初始原型滤波器h₀，此时k＝0；

2、利用得到的h_k,求解优化问题(20)得到d；

3、更新原型滤波器h_k+1＝h_k+d；

4、判断||d||₂≤δ是否成立；如果成立，则终止迭代，本次迭代所得的h_k+1就是最终的原型滤波器；如果不成立，则令h_k+1＝h_k,返回到第2步继续迭代；其中δ为给定的很小的正数，在本发明的实例中，δ取值为10^-5；

第五步：根据第四步求出的原型滤波器h_k+1，再结合公式(3)和(4)就可以得到整个滤波器组。

为了验证本发明方法的有效性，进行了相关的仿真实验。

实例1：待设计的滤波器组的参数为：M＝7，K＝3，N＝20，D＝21首先利用Wibur M R等人提出的半定规划方法进行设计，其中失真参数设置为ε_r＝2×10^-8。然后利用本发明方法进行设计，其中相关的参数设置为：ξ＝1×10^-4，δ＝1×10^-5，初始迭代设置ρ＝0.1，之后每步迭代中，ρ设置为上一次值的1/10。本发明方法仅仅用了3步迭代就得到了最终的结果。图3画出了两种方法设计的原型滤波器的幅度响应。表1列出了相关的性能指标。从表中可以看出，本发明方法设计的滤波器组重构误差比半定规划方法低了约18dB。为了尽可能无失真地恢复原信号，期望得到的滤波器组应具有更小的重构误差，所以本发明方法设计的滤波器组有着更好的重构性能。

表1

实例2：设计一个DFT调制滤波器组，其中M＝16，K＝8，N＝75，D＝74，在本发明设计方法中：ξ＝1×10^-4，δ＝1×10^-5，初始迭代设置ρ＝0.01，之后每步迭代中，ρ设置为上一次值的1/10。本发明方法用了3步迭代就得到了最终的结果。同时利用Jang J Z发表在《Signal Processing,IET》《Efficient design of very large-scale DFT modulatedfilter banks using Mth band condition》中的方法进行设计，相关参数设置为：α＝1,η＝1×10^-5。两种方法得到的原型滤波器的幅度响应如图4所示。表2给出了两种设计方法的性能指标对比。可以看出本发明方法设计的滤波器组重构误差降低了约1dB左右。

表2

本发明通过优化滤波器组的传递失真和原型滤波器的阻带衰减来获得整体性能良好的滤波器组。将原型滤波器的设计问题归结为一个带约束的优化问题，目标函数是原型滤波器的阻带能量，约束是滤波器组的传递失真，并采用迭代的方法来求解原型滤波器。通过多次迭代使得滤波器组的重构误差达到比较低的水平。本发明为设计近似完全重构的DFT调制滤波器组提供了一种简单高效的解决方案。

Claims (3)

1.一种近似完全重构单原型DFT调制滤波器组的设计方法，其特征是，包括如下步骤：

步骤1，将DFT调制滤波器组的分析滤波器和综合滤波器分别转化为原型关于原型滤波器h的函数；

步骤2，将DFT调制滤波器组的传递失真E_t(h)和原型滤波器组的阻带能量E_s(h)转化为关于原型滤波器h的函数；

步骤3，将原型滤波器h的设计问题转化为一个带约束的优化问题，目标函数是阻带能量E_s(h)，约束是传递失真E_t(h)，表示为：

其中，E_s(h_k+d)是第k步迭代原型滤波器的阻带能量，E_t(h_k+d)是第k步迭代滤波器组的传递失真，d是一个长度为N列的向量，h_k是第k-1步迭代求解出来的原型滤波器，ξ是给定的传递失真约束阈值；

步骤4，采用迭代的方法求解原型滤波器h，即：

步骤4.1，给定一个初始原型滤波器h₀，此时迭代步数k＝0；

步骤4.2，利用上一次迭代求解出来的原型滤波器h_k,求解优化问题即式①，得到向量d；

步骤4.3，更新本次迭代的原型滤波器h_k+1＝h_k+d；

步骤4.4，判断||d||₂≤δ是否成立；如果成立，则终止迭代，本次迭代所得的原型滤波器h_k+1就是最终的原型滤波器；如果不成立，则令h_k+1＝h_k,返回到步骤4.2继续迭代；其中δ是给定的迭代阈值；

步骤5，将步骤4所求出的原型滤波器h_k+1代入步骤1求得滤波器组的分析滤波器和综合滤波器，至此即可确定整个DFT调制滤波器组。

2.根据权利要求1所述的一种近似完全重构单原型DFT调制滤波器组的设计方法，其特征是，步骤1中，分析滤波器和综合滤波器相等。

3.根据权利要求2所述的一种近似完全重构单原型DFT调制滤波器组的设计方法，其特征是，步骤1中，分析滤波器和综合滤波器为：

其中，D是系统延迟，Μ是DFT调制滤波器组的通道数，n是系数变量，m是DFT调制滤波器组通道数变量，h_m(n)是第m通道分析滤波器，g_m(n)是第m通道综合滤波器。