CN110866344B - 基于提升结构的非下采样图滤波器组的设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于提升结构的非下采样图滤波器组的设计方法，其特征在于，包括如下步骤：1）基于提升结构的两通道非下采样图滤波器组的完全重构；2）多项式形式提升滤波器的设计；3）有理式形式提升滤波器设计；4）有理式形式提升滤波器的迭代过程；这种方法设计的基于提升结构的非下采样图滤波器组能提高滤波器组的频率响应特性。

Description

基于提升结构的非下采样图滤波器组的设计方法

技术领域

本发明涉及图信号处理技术领域，具体是基于提升结构的非下采样图滤波器组的设计方法。

背景技术

图信号处理已经成为信号处理领域的一门重要学科，在无线传感器网络、社交网络、智能电网、神经网络等诸多领域中有着广泛的应用。利用图模型中数据元素的对应关系，图信号处理为高维数据处理提供了一种新的方法。传统信号处理的很多概念已经延伸到图域上，产生了图傅里叶变换、图滤波器、图小波滤波器组等重要概念，其中图滤波器组得到了很多研究者的关注，在图信号的顶点域和频域中起着重要的作用。然而在设计图滤波器组时，下采样和上采样运算以及子带滤波器的设计存在着困难。一般图的拓扑结构比较复杂，难以定义图滤波器组的下采样运算，因此在现有技术中采用了两通道非下采样图滤波器组结构，没有考虑下采样运算，简化了滤波器组的设计，并适用于下采样难于准确定义的一般图。然而现有技术并没有充分考虑子带滤波器的频率响应特性，即关于非下采样图滤波器组的频率响应特性问题没有得到很好解决。因此，提高非下采样图滤波器组的频率响应特性的设计方法有待于进一步推出。

发明内容

本发明的目的是针对现有技术的不足，而提供一种基于提升结构的非下采样图滤波器组的设计方法。这种方法设计的基于提升结构的非下采样图滤波器组能提高滤波器组的频率响应特性。

实现本发明目的的技术方案是：

基于提升结构的非下采样图滤波器组的设计方法，与现有技术不同处在于，包括如下步骤：

1)基于提升结构的两通道非下采样图滤波器组的完全重构：两通道非下采样图滤波器组包括分析滤波器组{H₀,H₁}和综合滤波器组{G₀,G₁}，分析滤波器组的作用是将输入信号分解成不同的子带信号，综合滤波器组的作用是重构信号，因此主要考虑分析滤波器组的频率特性，目的就是设计基于提升结构的分析滤波器组使其具备良好的频率响应特性，基于提升结构的分析滤波器组{H₀,H₁}为公式(1)：

其中

和

分别是原型分析滤波器组和综合滤波器组，P表示该滤波器为原型滤波器，R为提升滤波器，原型滤波器组的完全重构条件为

I为单位矩阵，综合滤波器组{G₀,G₁}使用原型综合滤波器组

则基于提升结构的两通道非下采样图滤波器组的完全重构条件为公式(2)：

公式(2)中假设

和

满足

则有I_l＝I，即基于提升结构的非下采样图滤波器组满足完全重构条件，原型分析滤波器

使用样条滤波器组如公式(3)：

公式(3)中I为单位矩阵，

为归一化拉普拉斯矩阵，其中

为单位矩阵，D为度矩阵，W为加权邻接矩阵，n为滤波器阶数，选定原型分析滤波器组

阶数n＝1，原型综合滤波器组

则基于提升结构的非下采样图滤波器组的设计简化为提升滤波器R的设计；

2)多项式形式提升滤波器的设计：设计的滤波器组与图无关即与频谱无关，则可以等效为设计分析滤波器组{H₀,H₁}关于频率变量λ∈[0,2]即拉普拉斯矩阵

的特征值的频谱核为公式(4)：

公式(4)中

为公式(3)中原型分析滤波器组

的频谱核，即

为步骤1)中原型综合滤波器组

的频谱核，即

则公式(4)可写为公式(5)：

h₀(λ)＝1-λ/2+r(λ),h₁(λ)＝λ/2-r(λ) (5)，

其中r(λ)为提升滤波器R的频谱核，表达式如公式(6)：

其中L为滤波器长度，T为转置，r为滤波器系数向量以及：

对h₀(λ)，h₁(λ)分别近似低通滤波器和高通滤波器的频率响应如公式(8)：

综上，通过以下目标函数得到设计提升滤波器的最小二乘形式如公式(9)：

其中：

则r(λ)的设计可看作是近似r_d(λ)，归结为一个无约束优化问题如公式(11)：

其中λ_p,λ_s分别是低通滤波器h₀(λ)和高通滤波器h₁(λ)的截止频率，求解公式(11)得到r(λ)，进而得到多项式提升滤波器，最后得到基于提升结构的分析滤波器组；

3)有理式形式提升滤波器设计：有理式提升滤波器的表达式如公式(12)：

其中

以及：

其中p，q分别是a(λ)，b(λ)的系数向量，使用的原型滤波器组和步骤2)中的一样，则提升滤波器的设计可通过目标函数为平方和的优化问题求解，如公式(14)：

其中λ_i是通带区域[0,λ_p]或阻带区域[λ_s,2]的离散点，为了减少误差，公式(14)可改写为公式(15)：

是在每一次优化迭代中都变化的伪分母多项式，目的是为了近似b(λ_i)，则优化问题表达式公式(15)可写为公式(16)：

其中λ_i，λ_j分别是通带区域和阻带区域的离散点，i,j为离散点数。为了能够使

更好的近似b(λ_i)，使用迭代算法对优化问题表达式公式(16)进行求解；

4)有理式提升滤波器的迭代过程：迭代过程如下表1所示：

表1

由表1中迭代过程得到r(λ)，进而得到有理式提升滤波器，最后得到分析滤波器组。

步骤2)中的无约束优化问题公式(11)可转化为关于滤波器系数向量r的最小二乘问题如公式(17)：

其中：

c₀是与r无关的常量，公式(17)中最小二乘问题的解为：

r^*＝(A_p+A_s)^-1(b_p+b_s) (19)，

从而得到r(λ)，最后得到多项式提升滤波器。

步骤3)和步骤4)中所述的

依据近似b_m(λ)的伪分母多项式

得到。

步骤2)和步骤3)中所述的优化问题表达式公式(11)、公式(16)均采用凸优化工具包cvx求解得到r(λ)，进而求解得提升滤波器。

本技术方案与现有技术相比，该方法采用单级提升结构，通过提升滤波器有效提高非下采样图滤波器组的频率响应特性，同时能保证滤波器组的重构特性，本技术方案考虑了多项式和有理式形式提升滤波器的设计，其中有理式提升滤波器能在滤波器阶数较低的情况下有效提高滤波器组的频率响应特性。

这种方法设计的基于提升结构的非下采样图滤波器组能提高滤波器组的频率响应特性。

附图说明

图1为实施例中分析滤波器组为1阶样条滤波器组的频率响应示意图；

图2为实施例中分析滤波器组在多项式提升滤波器长度L＝5条件下的频率响应示意图；

图3为实施例中分析滤波器组在多项式提升滤波器长度L＝10条件下的频率响应示意图；

图4为实施例中分析滤波器组在有理式提升滤波器长度K_a＝3，K_b＝4条件下的频率响应示意图；

图5为实施例中分析滤波器组在有理式提升滤波器长度K_a＝5，K_b＝6条件下的频率响应示意图。

具体实施方式

下面结合附图和实施例对本发明的内容作进一步的阐述，但不是对本发明的限定。

实施例：

基于提升结构的非下采样图滤波器组的设计方法，包括如下步骤：

1)基于提升结构的两通道非下采样图滤波器组的完全重构：两通道非下采样图滤波器组包括分析滤波器组{H₀,H₁}和综合滤波器组{G₀,G₁}，分析滤波器组的作用是将输入信号分解成不同的子带信号，综合滤波器组的作用是重构信号，因此主要考虑分析滤波器组的频率特性，目的就是设计基于提升结构的分析滤波器组使其具备良好的频率响应特性，基于提升结构的分析滤波器组{H₀,H₁}为公式(1)：

其中

和

分别是原型分析滤波器组和综合滤波器组，P表示该滤波器为原型滤波器，R为提升滤波器，原型滤波器组的完全重构条件为

I为单位矩阵，综合滤波器组{G₀,G₁}使用原型综合滤波器组

则基于提升结构的两通道非下采样图滤波器组的完全重构条件为公式(2)：

公式(2)中假设

和

满足

则有I_l＝I，即基于提升结构的非下采样图滤波器组满足完全重构条件，原型分析滤波器

使用样条滤波器组如公式(3)：

公式(3)中I为单位矩阵，

为归一化拉普拉斯矩阵，其中

为单位矩阵，D为度矩阵，W为加权邻接矩阵，n为滤波器阶数，选定原型分析滤波器组

阶数n＝1，原型综合滤波器组

则基于提升结构的非下采样图滤波器组的设计简化为提升滤波器R的设计；

2)多项式形式提升滤波器的设计：设计的滤波器组与图无关即与频谱无关，则可以等效为设计分析滤波器组{H₀,H₁}关于频率变量λ∈[0,2]即拉普拉斯矩阵

的特征值的频谱核为公式(4)：

公式(4)中

为公式(3)中原型分析滤波器组

的频谱核，即

为步骤1)中原型综合滤波器组

的频谱核，即

则公式(4)可写为公式(5)：

h₀(λ)＝1-λ/2+r(λ),h₁(λ)＝λ/2-r(λ) (5)，

其中r(λ)为提升滤波器R的频谱核，表达式如公式(6)：

其中L为滤波器长度，T为转置，r为滤波器系数向量以及：

对h₀(λ)，h₁(λ)分别近似低通滤波器和高通滤波器的频率响应如公式(8)：

综上，通过以下目标函数得到设计提升滤波器的最小二乘形式如公式(9)：

其中：

则r(λ)的设计可看作是近似r_d(λ)，归结为一个无约束优化问题如公式(11)：

λ_p,λ_s分别是低通滤波器h₀(λ)和高通滤波器h₁(λ)的截止频率，求解公式(11)得到r(λ)，进而得到多项式提升滤波器，最后得到基于提升结构的分析滤波器组；

3)有理式形式提升滤波器设计：有理式提升滤波器的表达式如公式(12)：

其中

以及：

其中p，q分别是a(λ)，b(λ)的系数向量，使用的原型滤波器组和步骤2)中的一样，则提升滤波器的设计可通过目标函数为平方和的优化问题求解，如公式(14)：

其中λ_i是通带区域[0,λ_p]或阻带区域[λ_s,2]的离散点，为了减少误差，公式(14)可改写为公式(15)：

是在每一次优化迭代中都变化的伪分母多项式，目的是为了近似b(λ_i)，则优化问题表达式公式(15)可写为公式(16)：

其中λ_i，λ_j分别是通带区域和阻带区域的离散点，i,j为离散点数。为了能够使

更好的近似b(λ_i)，使用迭代算法对优化问题表达式公式(16)进行求解；

4)有理式提升滤波器的迭代过程：迭代过程如下表1所示：

表1

由表1中迭代过程得到r(λ)，进而得到有理式提升滤波器，最后得到分析滤波器组。

步骤2)中的无约束优化问题公式(11)可转化为关于滤波器系数向量r的最小二乘问题如公式(17)：

其中：

c₀是与r无关的常量，公式(17)中最小二乘问题的解为：

r^*＝(A_p+A_s)^-1(b_p+b_s) (19)，

从而得到r(λ)，最后得到多项式提升滤波器。

步骤3)和步骤4)中所述的

依据近似b_m(λ)的伪分母多项式

得到。

步骤2)和步骤3)中所述的优化问题表达式公式(11)、公式(16)均采用凸优化工具包cvx求解得到r(λ)，进而求解得提升滤波器。

具体地：

仿真实验1：

本次仿真使用多项式形式提升滤波器，设置通带截止频率λ_p＝0.7和阻带截止频率λ_s＝1.3，通带区域[0,λ_p]和阻带区域[λ_s,2]的离散点数量都为100，即i,j最大为100，在迭代算法中ρ＝(ρ(m))_m＞0定义为ρ(m+1)＝ρ(m)/m^1.5，其中ρ(0)＝0.01，图结构使用的是节点N＝1000的随机传感器图，如图1所示的是分析滤波器组为公式(3)中的样条滤波器组时的频率响应，设定提升滤波器阶数L分别为5，20，得到不同阶数的基于提升结构的分析滤波器组{H₀,H₁}的频率响应如图2、3所示，可以看出，图2、图3的频率响应特性比图1的好，即采用本例方法设计的基于提升结构的分析滤波器组能有效改善频率响应特性，且随着提升滤波器阶数L的增长，分析滤波器组{H₀,H₁}的通带和阻带波纹减小，能够具备更好的频率响应特性，然而提高的频率响应特性是在L较大的情况下，以增加的计算和通信成本为代价的。

仿真实验2：

本次仿真使用有理式形式提升滤波器，其他参数设置和仿真案例1的一样，分别设计了阶数K_a＝3，K_b＝4以及K_a＝5，K_b＝6的有理式形式提升滤波器，分析滤波器组的频率响应如图4、图5所示，相比于图2、图3，采用本例方法设计的基于有理式提升滤波器的分析滤波器组在滤波器阶数较低的情况下具有更好的频率响应特性，可以有效减少设计滤波器的阶数，进而减少计算量和通信代价。

Claims (4)

1.基于提升结构的非下采样图滤波器组的设计方法，其特征在于，包括如下步骤：

1)基于提升结构的两通道非下采样图滤波器组的完全重构：两通道非下采样图滤波器组包括分析滤波器组{H₀,H₁}和综合滤波器组{G₀,G₁}，基于提升结构的分析滤波器组{H₀,H₁}为公式(1)：

其中

和

分别是原型分析滤波器组和综合滤波器组，P表示该滤波器为原型滤波器，R为提升滤波器，原型滤波器组的完全重构条件为

I为单位矩阵，综合滤波器组{G₀,G₁}使用原型综合滤波器组

则基于提升结构的两通道非下采样图滤波器组的完全重构条件为公式(2)：

公式(2)中假设

和

满足

则有I_l＝I，即基于提升结构的非下采样图滤波器组满足完全重构条件，原型分析滤波器

使用样条滤波器组如公式(3)：

公式(3)中I为单位矩阵，

为归一化拉普拉斯矩阵，其中

为单位矩阵，D为度矩阵，W为加权邻接矩阵，n为滤波器阶数，选定原型分析滤波器组

阶数n＝1，原型综合滤波器组

则基于提升结构的非下采样图滤波器组的设计简化为提升滤波器R的设计；

2)多项式形式提升滤波器的设计：分析滤波器组{H₀,H₁}关于频率变量λ∈[0,2]即拉普拉斯矩阵

的特征值的频谱核为公式(4)：

公式(4)中

为公式(3)中原型分析滤波器组

的频谱核，即

为步骤1)中原型综合滤波器组

的频谱核，即

则公式(4)可写为公式(5)：

h₀(λ)＝1-λ/2+r(λ),h₁(λ)＝λ/2-r(λ) (5)，

其中r(λ)为提升滤波器R的频谱核，表达式如公式(6)：

其中L为滤波器长度，T为转置，r为滤波器系数向量以及：

对h₀(λ)，h₁(λ)分别近似低通滤波器和高通滤波器的频率响应如公式(8)：

通过以下目标函数得到设计提升滤波器的最小二乘形式如公式(9)：

其中：

则r(λ)的设计可看作是近似r_d(λ)，归结为一个无约束优化问题如公式(11)：

其中λ_p,λ_s分别是低通滤波器h₀(λ)和高通滤波器h₁(λ)的截止频率，求解公式(11)得到r(λ)，进而得到多项式提升滤波器，最后得到基于提升结构的分析滤波器组；

3)有理式形式提升滤波器设计：有理式提升滤波器的表达式如公式(12)：

其中

以及：

其中p，q分别是a(λ)，b(λ)的系数向量，使用的原型滤波器组和步骤2)中的一样，则提升滤波器的设计可通过目标函数为平方和的优化问题求解，如公式(14)：

其中λ_i是通带区域[0,λ_p]或阻带区域[λ_s,2]的离散点，公式(14)可改写为公式(15)：

其中

是在每一次优化迭代中都变化的伪分母多项式，优化问题表达式公式(15)可写为公式(16)：

使用迭代算法对优化问题表达式公式(16)进行求解；

4)有理式形式提升滤波器的迭代过程：迭代过程如下表1所示：

表1

由表1中迭代过程得到r(λ)，进而得到有理式提升滤波器，最后得到分析滤波器组。

2.根据权利要求1所述的基于提升结构的非下采样图滤波器组的设计方法，其特征在于，步骤2)中的无约束优化问题公式(11)可转化为关于滤波器系数向量r的最小二乘问题如公式(17)：

其中：

c₀是与r无关的常量，公式(17)中最小二乘问题的解为：

r^*＝(A_p+A_s)^-1(b_p+b_s) (19)，

从而得到r(λ)，最后得到多项式提升滤波器。

3.根据权利要求1所述的基于提升结构的非下采样图滤波器组的设计方法，其特征在于，步骤3)和步骤4)中所述的

依据近似b_m(λ)的伪分母多项式

得到。

4.根据权利要求2所述的基于提升结构的非下采样图滤波器组的设计方法，其特征在于，步骤2)和步骤3)中所述的优化问题表达式公式(11)、公式(16)均采用凸优化工具包cvx求解得到r(λ)，进而求解得提升滤波器。

Images