CN107256537B - 一种设计两通道正交图滤波器组的设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开一种设计两通道正交图滤波器组的设计方法，其将两通道正交图滤波器组的设计问题建模为一个带约束优化问题，将滤波器的重构误差作为目标函数，阻带衰减作为约束条件。进而，采用迭代方法来求解该问题。在单步迭代中，通过Taylor公式和函数逼近将高度非线性非凸的目标函数转化为凸的二次函数，将非凸优化问题近似为凸优化的子问题。本发明可以得到整体性能更好的两通道正交图滤波器组。

Description

一种设计两通道正交图滤波器组的设计方法

技术领域

本发明涉及图信号处理中图滤波器组，具体涉及一种设计两通道正交图滤波器组的设计方法。

背景技术

规则信号处理要求有非常简单的结构，图信号处理允许有复杂的不规则结构。网络大数据往往定义在非规则的几何结构上，图是一个有效的建模工具，可用于刻画非规则网络上的数据，例如社交网络，神经元网络，计算机科学网络，分子生物学网络等复杂结构都可以在图上有效的表达。在过去几年里，将经典的信号处理工具应用于图定义的信号已经引起了人们极大的兴趣，图上的数据被定义为每个点的一个标量或者一个向量，图的节点表示数据所在的坐标位置，数据的大小可以用图节点信号来表示，而图中节点之间的连线可以表示不同数据节点之间的相关性，这就是我们所称的图信号。图信号是一维离散经典信号延伸(图信号是定义在循环图上，每个点有精确的两个相邻点，循环图可以形成一个循环矩阵)到任意维度的离散拓扑结构，这种拓扑结构的每个点可能有任意数量的相邻点。大数据时代，基于图的数据信号处理成为了关键。在许多应用中，数据量十分庞大，对全图的处理将带来十分巨大的计算复杂度，往往无法实现，从而催生了图信号的多分辨分析的研究工作，多分辨分析是分析、处理和压缩信号的有效方法。

在图信号处理的理论框架中，图傅里叶变换是一种基本的分析信号的方法，但其不能处理大规模的网络数据，为了解决这方面的不足，有许多学者提出了适用于图信号处理的小波变换/滤波器组。例如，适用于交通网络的类小波变换，适用于无线传感器网络的两通道可逆滤波器组，基于图频谱理论构造的任意的有限加权图小波变换。然而，这些小波变换不是临界采样，经过小波变换处理过的信号是冗余的，在许多信号处理领域不适合应用，如信号压缩。为了弥补这一缺陷，文献提出了两通道临界采样图滤波器组。有文献提出了基于切比雪夫多项式的近似Meyer核函数设计方法，这种方法设计的两通道正交图滤波器组的重构特性较差，设计中也没有考虑滤波器的频率特性。有学者用伯恩斯坦多项式逼近的方法，将两通道正交图滤波器组的设计问题归结为带约束的优化问题，设计所得的滤波器组整体性能良好。在图滤波器组的研究工作中，两通道图滤波器组是应用最广泛的结构之一，其具备临界采样、完全重构等优点。总体而言，目前用于该类图滤波器组的设计方法较为有限。

发明内容

本发明所要解决的是现有方法所设计的两通道正交图滤波器组存在频率特性差的问题，提供一种设计两通道正交图滤波器组的设计方法。

为解决上述问题，本发明是通过以下技术方案实现的：

一种设计两通道正交图滤波器组的设计方法，包括如下步骤：

步骤1，设计一个长度为L的初始滤波器,初始化滤波器系数

和迭代次数k＝0；

步骤2，先将滤波器的设计问题归结为带约束优化问题；再根据泰勒公式展开式，将该带约束优化问题中的高度非线性非凸的目标函数近似为凸的二次函数；进而将该带约束优化问题转换为关于增量的优化问题；

步骤3，对步骤2中所得的关于增量的优化问题，采用迭代方法近似求解第k次迭代的增量d_k；

步骤4，判断条件||d_k||≤η是否满足，其中η为给定的正数；

如果满足，则终止迭代，并根据

求解出第k+1次迭代的滤波器系数

进而将第k+1次迭代的滤波器系数

作为最终解去构建两通道正交图滤波器组；

如果不满足，则令k＝k+1和

并返回至步骤3继续迭代。

上述步骤2中，关于增量的优化问题为：

式中，

为最小重构误差，

为

的梯度向量，

为修正的Hessian矩阵，

为第k次迭代的滤波器系数，d_k为第k次迭代的增量，K为阻带频率的离散点的数目，

为滤波器的阻带波纹，x_j为阻带频率，j＝0,1,…,K-1，δ_s为给定的正数，x_s为阻带截止频率。

上述步骤3中，先通过引入辅助变量ε，将步骤2中关于增量的优化问题转换为下式后，再采用迭代方法近似求解第k次迭代的增量d_k；

式中，ε为辅助变量，

为最小重构误差，

为

的梯度向量，

为修正的Hessian矩阵，

为第k次迭代的滤波器系数，d_k为第k次迭代的增量，K为阻带频率的离散点的数目，

为滤波器的阻带波纹，x_j为阻带频率，j＝0,1,…,K-1，δ_s为给定的正数，x_s为阻带截止频率。

上述δ_s的取值范围为[0.01，0.15]。

上述η的取值范围为[10^-4,10^-5]。

与现有技术相比，本发明发明利用重构误差作为目标函数,阻带衰减作为约束函数，阻带衰减由阻带波纹控制，使得滤波器有更高的阻带衰减。通过Taylor公式和函数逼近将高度非线性非凸的目标函数转化为凸的二次函数,从而将非凸优化问题近似为凸优化子问题，降低了复杂度易于求得滤波器的最优系数。现有方法进行仿真对比发现,本算法设计的图滤波器组重构误差著更小,滤波器的频率特性良好。

附图说明

图1为两通道图滤波器组的结构图。

图2为本方法得到的滤波器的幅度响应图。

图3为本方法所设计的正交滤波器组用于分解明尼苏达交通网络的子带分解图，其中包括LL子带分解图，LH子带分解图，HL子带分解图，HH子带分解图。

具体实施方式

一种设计两通道正交图滤波器组的设计方法，包括如下步骤：

第一步：设计一个长度为L的初始滤波器。初始化滤波器系数

(设k＝0)，

的设计归结为目标函数是滤波器的通带失真和阻带能量的加权和，约束函数是3dB带宽的带约束优化问题：

式中，x_p是h₀(x)通带截止频率，x_s是阻带截止频率，参数α是一个加权因子(实验中可选取α＝10²,10³)。该问题是个凸优化问题，可以采用CVX或Sedumi等软件包求解，因此

可以很容易得到。

第二步：根据图1给出的两通道正交图滤波器组的结构，其采样因子为β_H，其中H₀,H₁构成了分析滤波器组，G₀,G₁构成了综合滤波器组。在两通道正交图滤波器组里，四个子带滤波器H₀,H₁,G₀,G₁是由一个滤波器h₀(λ)决定：

式中，f表示输入图信号，

表示重构图信号，两通道正交图滤波器组的输入输出关系由下式给出：

式中，下采样矩阵J_β＝diag{β_H(n)}，B项为下采样和上采样操作产生的混叠失真项，T为传递函数。当传递函数满足下式：

此时T等于单位矩阵的倍数，滤波器组是完全重构的。设h₀(λ)＝g₀(λ),g₁(λ)＝h₁(λ)＝h₀(2-λ)，其满足正交条件，那么，完全重构条件可以写为：

为了便于分析，利用变量替换x＝λ-1，定义

因此，完全重构条件(5)可以表示成：

由于完全重构条件(5)的对称性，可以只考虑一半的区间[0,1]。在下文中，我们把完全重构条件(5)写成关于

的二次方程。滤波器h₀(x)可以表示为x的多项式：

将上式写成矩阵形式：

其中，c(x,L)＝[1,x,…x^L-1]^T，

设

有下式：

因此，我们可得：

从式(9)、(10)中观察到，两个滤波器乘积的系数是两个滤波器的系数在顶点域的卷积，类似于传统离散信号处理的卷积定理，这一性质也适用于两个不同的滤波器乘积。

两个滤波器h(x),g(x)的乘积p(x)的系数等于h(x),g(x)系数的卷积，本文发明方法利用了该性质。为了便于分析，将

写成列向量

的形式。式(10)可以写成矩阵相乘的形式：

式中，

是卷积矩阵，

是L×2L-1的矩阵，第一行的元素为[h₀,h₁,…,h_L-1,0,…,0]，后面的每一行都是第一行依次右移一个，在左边添加零。

第三步：两通道正交图滤波器组在x_i点的重构误差可表示为：

式中，x_i,i＝0,…,K-1表示为区间[0,1]上的均匀离散点，其中上标‘T’表示转置，

d(x)＝c(x,2L-1)+c(-x,2L-1) (13)

子带滤波器的阻带衰减通过阻带波纹来控制，给定很小的δ_s，阻带波纹限定为：

式中，x_s表示

的阻带截止频率，x_j是在区间[x_s,1]上的均匀的离散点。

第四步：小的重构误差和高的阻带衰减可以保证两通道正交图滤波器组具备好的整体性能。综上所述，可以将滤波器的设计问题归结为如下的带约束优化问题：

由于优化问题(P1)的目标函数是关于滤波器系数的四次等式约束，很难直接求解它的最优解。在提出(15)的求解方法之前，先给出目标函数

的两个性质。

性质2.1：目标函数

的梯度向量和Hessian矩阵分别为：

矩阵U(·)可以认为是一个操作，将(2L-1)维的列向量转换为一个L×L的矩阵，即对于任意向量r，有：

由于

不一定是正定的，因此我们将Hessian矩阵

修正为：

二阶Taylor修正后的Hessian矩阵是充分正定的，用于确保后续近似函数的凸函数特性。

第五步：根据泰勒公式展开式，当x→x₀时，函数f(x)在x处的可写为：

由上式的启发，可以将优化问题(P1)中的高度非线性非凸的目标函数近似为凸的二次函数，即

受序列二次规划(sequential quadratic programming，SQP)的启发，可以采用迭代方法近似求解最优系数。假设当前迭代滤波器的取值是

那么第k+1步迭代的解可以表示为

因此，给定

结合函数逼近(21)，优化问题(P1)可以转化为关于增量d_k的优化问题。

通过引入辅助变量ε，问题(P2)可以转换成：

基于上述的分析，我们提出本文的Taylor近似的迭代优化算法，用于设计滤波器系数

第六步：判断条件||d_k||≤η(η是给定的很小的正数，在实验中η＝10^-5)是否满足。如果满足，终止迭代，将

作为最终解；否则，令k＝k+1和

返回至第步五继续迭代。

下面通过一个具体实例，对本发明的性能进行进一步说明：

设计一个长度为L＝11的滤波器组，为了与现有方法公平比较，设定阻带截止频率x_s＝0.6，其他相关参数为x_p＝-0.3,δ_s＝0.15。表1为本实例的滤波器系数，

表1

本发明算法进行了29次迭代，表2给出了本发明算法与现有算法的性能结果，表中现有方法1指的是基于切比雪夫多项式近似Meyer核函数的设计方法；现有方法2指的是伯恩斯坦多项式逼近的方法。

表2

图2为本发明方法得到的滤波器的幅度响应图。图3为本发明方法所设计的正交滤波器组用于分解明尼苏达交通网络的子带分解图，其中包括LL子带分解图，LH子带分解图，HL子带分解图，HH子带分解图。

通过比较可以看出，本发明算法设计得到的图滤波器组具有更小的重构误差，信噪比SNR更大，可以更好的恢复原信号。同时，本发明方法将阻带衰减作为优化的性能指标，设计所得的滤波器具有较好的频率特性。

本发明将两通道正交图滤波器组的设计问题建模为一个带约束优化问题，将滤波器的重构误差作为目标函数，阻带衰减作为约束条件。进而，采用迭代方法来求解该问题。在单步迭代中，通过Taylor公式和函数逼近将高度非线性非凸的目标函数转化为凸的二次函数，将非凸优化问题近似为凸优化的子问题。本发明可以得到整体性能更好的两通道正交图滤波器组。

Claims (4)

1.一种设计两通道正交图滤波器组的设计方法，该两通道正交图滤波器组的输入为图信号，输出为重构图信号，其特征是，包括如下步骤：

步骤1，设计一个长度为L的初始滤波器,初始化滤波器系数

和迭代次数k＝0；

步骤2，先将滤波器的设计问题归结为带约束优化问题；再根据泰勒公式展开式，将该带约束优化问题中的高度非线性非凸的目标函数近似为凸的二次函数；进而将该带约束优化问题转换为关于增量的优化问题；即：

式中，

为最小重构误差，

为

的梯度向量，

为修正的Hessian矩阵，

为第k次迭代的滤波器系数，d_k为第k次迭代的增量，K为阻带频率的离散点的数目，

为滤波器的阻带波纹，x_j为阻带频率，j＝0,1,…,K-1，δ_s为给定的正数，x_s为阻带截止频率；

步骤3，对步骤2中所得的关于增量的优化问题，采用迭代方法近似求解第k次迭代的增量d_k；

步骤4，判断条件||d_k||≤η是否满足，其中η为给定的正数；

如果满足，则终止迭代，并根据

求解出第k+1次迭代的滤波器系数

进而将第k+1次迭代的滤波器系数

作为最终解去构建两通道正交图滤波器组；

如果不满足，则令k＝k+1和

并返回至步骤3继续迭代。

2.根据权利要求1所述的一种设计两通道正交图滤波器组的设计方法，其特征是，步骤3中，先通过引入辅助变量ε，将步骤2中关于增量的优化问题转换为下式后，再采用迭代方法近似求解第k次迭代的增量d_k；

式中，ε为辅助变量，

为最小重构误差，

为

的梯度向量，

为修正的Hessian矩阵，

为第k次迭代的滤波器系数，d_k为第k次迭代的增量，K为阻带频率的离散点的数目，

为滤波器的阻带波纹，x_j为阻带频率，j＝0,1,…,K-1，δ_s为给定的正数，x_s为阻带截止频率。

3.根据权利要求1或2所述的一种设计两通道正交图滤波器组的设计方法，其特征是，δ_s的取值范围为[0.01，0.15]。

4.根据权利要求1所述的一种设计两通道正交图滤波器组的设计方法，其特征是，η的取值范围为[10^-5,10^-4]。

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