CN113014225B - 基于全通滤波器混合迭代技术的qmf组设计方法 - Google Patents

基于全通滤波器混合迭代技术的qmf组设计方法 Download PDF

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CN113014225B CN202110148894.9A CN202110148894A CN113014225B CN 113014225 B CN113014225 B CN 113014225B CN 202110148894 A CN202110148894 A CN 202110148894A CN 113014225 B CN113014225 B CN 113014225B
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Abstract

本发明公开了基于全通滤波器混合迭代技术的QMF组设计方法。该方法包括根据设计目标确定滤波器的个数、阶数、截止频率和每个滤波器的理想相位。然后计算滤波器的实际相位与实际相位差，得到整体失真函数的实际相位差。通过LSK处理和交替迭代的方法分别完成目标函数的分母与分子的线性化，再通过CVX工具包得到滤波器系数。最后判断结果是否满足设计要求，不满足时修正加权值后重新迭代。本方法通过数学处理，降低了设计过程中公式的复杂度与求解难度，结合了不同手段的非线性处理方法将滤波器组的整体相位误差与阻带幅度误差控制在要求范围内。

Description

基于全通滤波器混合迭代技术的QMF组设计方法
技术领域
本发明属于数字信号处理技术领域，具体涉及一种基于全通滤波器交替混合迭代技术的正交镜像滤波器组的设计方法。
背景技术
数字信号处理系统经过近几十年的发展，已经在生活中的各种设备上代替了模拟系统，比如说移动通信系统、消费者电子产品和汽车电子产品，或者助听器。而滤波器作为数字系统里面不可或缺的基础性组件，其功能直接或间接性的影响到整个数字系统的性能。
滤波器组的作用在最近二十年愈发显得重要，主要是因为数字技术的发展，单一通道对信号的处理已经不能满足人们的需求，滤波器组的出现可以帮助人们将一个信号划分为多个子带，对不同频率的子带作不同方式的处理，从而达到自己想要的结果，比如说，可以在频谱分析中作为跨多路复用器，或是处理子带的频域、时域信号。而处理子带信号需要通过一个分析-合成滤波器组来获得重建的时域信号。
近年来两通道QMFB(Quadrature Mirror Filter Bank，正交镜像滤波器组)被应用于越来越多的领域，例如语音和图像信号的子带编码，小波基设计等。由于QMFB的广泛应用，人们对于它的设计关注也越来越重视。
X.Zhang和H.Iwakura提出了一种利用数字全通滤波器(DAFs，Digital AllpassFilters)设计QMFB的方法。由全通滤波器和纯延迟部分组成的QMFB具有近似线性的相位响应，使用另一个附加的DAFs作为均衡器可以使相位畸变最小化。论文中采用一个DAFs和一个纯延迟共同设计一个QMFB，设计DAFs的方法是其于1992年提出的一个算法，可以简单描述为一种基于特征值问题设计等纹波相位响应的DAFs的方法，通过计算最大特征向量和迭代法得到了最优滤波系数。这种算法借用等波纹设计FIR的方法得到了全通滤波器，但是其计算极其复杂，并且该算法并没有考虑全通滤波器和纯延迟合成时的相位误差和得到的低通滤波器的阻带误差。
S.S.Lawson和A.Klouche-Djedid提出了另外一种利用DAFs设计QMFB的方法，该方法具体表现为把全通滤波器的相位分解为分子和分母两部分，并只对分子部分进行优化，所采用的优化方法是根据正弦函数和余弦函数的正交性质，进行近似积分，从而得到全通滤波器的系数。
发明内容
针对现有技术的不足，本发明提出了基于全通滤波器混合迭代技术的QMF组设计方法，基于全通滤波器混合迭代技术的QMF组设计方法，结合了两种不同的优化方法，对分子与分母部分都进行优化，降低了计算复杂程度与计算量，提高了滤波器性能。
基于全通滤波器混合迭代技术的QMF组设计方法，具体包括以下步骤：
步骤一、确定基本参数
正交镜像滤波器组由分析滤波器组和综合滤波器组构成；分析滤波器组由低通滤波器H0(z)与高通滤波器H1(z)组成，低通滤波器H0(z)与高通滤波器H1(z)由两个全通滤波器A1(ejω)、A2(ejω)组成的，低通滤波器H0(z)的通带截止频率ωp、阻带截止频率ωs，高通滤波器H1(z)的通带截止频率ωs、阻带截止频率ωp；综合滤波器组为分析滤波器组的复数共轭形式。设置全频带上的频率点数为L，两个全通滤波器的阶数分别为N1、N2，其中N1＝N2+1，三个初始加权值W1＝1、W2＝1、W3＝W1+W2+1；令迭代初始系数k＝0，全通滤波器的初始迭代系数ai(k)＝0，i＝1、2。
步骤二、确定实际相位差
s2.1、确定滤波器的理想相位
以IIR滤波器稳定为目标，设置两个全通滤波器的理想相位分别为θd1(ω)＝-N1ω'+0.25ω'和θd2(ω)＝-N2ω'-0.25ω'，其中ω'∈[0,π]。
s2.2、求取滤波器的实际相位误差
全通滤波器的表达式为Ai(ejω)：
Figure GDA0003219740130000021
Ni分别表示两个全通滤波器的阶数N1、N2。ai(n)表示全通滤波器Ai(ejω)系数ai的第n个元素，n＝0,2,…,Ni；
全通滤波器的实际相位为θi(ω)：
Figure GDA0003219740130000031
全通滤波器的实际相位差为θei(ω)：
Figure GDA0003219740130000032
其中ω∈[0,ωp]。
Figure GDA0003219740130000033
对公式(4)去三角化后：
Figure GDA0003219740130000034
其中ψi(ω)＝0.5×(Niω+θdi(ω))。
s2.3、计算整体失真传输函数的实际相位误差
滤波器组的整体失真传输函数表达式为
Figure GDA0003219740130000035
整体失真传输函数的相位误差是分析滤波器组和综合滤波器组的综合误差，体现了整个系统的相位误差情况，其理想相位、实际相位以及相位误差分别为：
θdT(ω)＝θd1(2ω)+θd2(2ω)-ω (6)
θT(ω)＝θ1(2ω)+θ2(2ω)-ω (7)
θeT(ω)＝θT(ω)-θdT(ω) (8)
因此
Figure GDA0003219740130000041
对公式(9)去三角化后：
Figure GDA0003219740130000042
步骤三、求解全通滤波器系数ai(k)
s3.1、得到目标优化函数表式如式(11)所示
Figure GDA0003219740130000043
其中a1、a2分别表示全通滤波器A1(ejω)、A2(ejω)的系数；a表示全通滤波器A1(ejω)与A2(ejω)的系数，。
Figure GDA0003219740130000044
表示第k次迭代时全通滤波器A1(ejω)的相位误差，
Figure GDA0003219740130000045
表示第k迭代时全通滤波器A2(ejω)的相位误差，
Figure GDA0003219740130000046
表示第k次迭代时整体失真传输函数T(ejω)的相位误差，M(a,ω)表示低通滤波器H0(ejω)的阻带幅度误差：
Figure GDA0003219740130000047
Figure GDA0003219740130000048
Figure GDA0003219740130000051
s3.2、对步骤3.1中的目标函数进行LSK处理，将其转换为线性问题
Figure GDA0003219740130000052
完成目标函数(11)中的分母部分的线性转化。
s3.3对目标函数分子部分由于两个全通滤波器系数存在互乘而导致的非线性问题采用交替迭代的方法进行处理。所述交替迭代为：在第k次迭代过程中，将第k-1次迭代得到的两个全通滤波器的系数代入公式(15)中，得到常数化后的分母。然后将常数化的分母的值与第k-1次得到的全通滤波器A1的系数
Figure GDA0003219740130000053
的值代入公式(16)中，求解全通滤波器A2的系数a2；通过凸优化处理工具箱CVX得到一组滤波器系数，再将这组滤波器系数代入公式(15)中更新分母的值，并将更新后的分母与全通滤波器A2的系数代入公式(17)中，求解全通滤波器A1的系数，并通过凸优化处理工具箱CVX得到一组滤波器系数；
Figure GDA0003219740130000061
Figure GDA0003219740130000062
Figure GDA0003219740130000071
反复交替，直至迭代终止得到两个全通滤波器的系数a。
步骤四、目标判断
设置一个实数μ作为判断目标，当目标函数满足
Figure GDA0003219740130000072
时结束迭代，将步骤三得到的滤波器系数作为最终得到的全通滤波器的系数；当目标函数不满足上述条件时，进入步骤五。其中E(k)是第k次迭代中目标函数的最大值，E(k-1)是第k-1次迭代中目标函数的最大值。
Figure GDA0003219740130000073
步骤五、修正Wi
计算第k次迭代的相位误差
Figure GDA0003219740130000074
其中
Figure GDA0003219740130000075
表示第k次迭代的全通滤波器Ai(ejω)的实际相位；然后计算相位误差
Figure GDA0003219740130000076
的包络
Figure GDA0003219740130000077
设置一个实数判断目标ε，如果不满足
Figure GDA0003219740130000078
使
Figure GDA0003219740130000079
然后令
Figure GDA00032197401300000710
k＝k+1，返回步骤三；否则的话直接令
Figure GDA00032197401300000711
k＝k+1，返回步骤三。
本发明具有以下有益效果：
1、通过数学处理，降低了滤波器组设计过程中公式的复杂程度和求解的困难程度。
2、在求解目标函数的过程中，结合了不同的非线性处理方法，保证了滤波器组的整体相位误差，并且将阻带幅度误差控制在一定范围内。
附图说明
图1为实施例中全通滤波器A1的相位误差。
图2为实施例中全通滤波器A2的相位误差。
图3为实施例中两通道QMFB幅频响应图。
图4为实施例中两通道QMFB重构误差频率响应图。
图5为实施例中两通道QMFB重构相位误差。
具体实施方式
以下结合附图对本发明作进一步的解释说明；基于全通滤波器混合迭代技术的QMF组设计方法，具体包括以下步骤：
步骤一、确定基本参数
滤波器组中两个全通滤波器的阶数分别为N1＝11，N2＝10，全频带上的频率点数L＝8N1+1，低通滤波器的通带截止频率ωp＝0.4π、阻带截止频率ωs＝0.6π；最小化重构误差，最大化阻带衰减。
步骤二、确定实际相位差
确定滤波器的理想相位，计算滤波器的实际相位误差，然后确定滤波器组失真传输函数的实际相位误差。
步骤三、求解滤波器系数
设置目标函数，分别通过LSK处理与交替迭代的方法将非线性的目标函数的分母与分子常数化，即将目标函数转换为线性问题，然后使用CVX工具包求解滤波器的系数。
步骤四、目标判断
设置一个实数μ作为判断目标，当第k次迭代中目标函数的最大值E(k)满足
Figure GDA0003219740130000081
输出此时的滤波器系数作为最终设计得到的滤波器系数，否则进入步骤五进行加权值修正。
步骤五、加权值修正
计算第k次迭代的相位误差
Figure GDA0003219740130000082
其中
Figure GDA0003219740130000083
表示第k次迭代的全通滤波器Ai(ejω)的实际相位；然后计算相位误差
Figure GDA0003219740130000084
的包络
Figure GDA0003219740130000085
设置一个实数判断目标ε，如果不满足
Figure GDA0003219740130000086
使
Figure GDA0003219740130000087
然后令
Figure GDA0003219740130000088
k＝k+1，返回步骤三；否则的话直接令
Figure GDA0003219740130000089
k＝k+1，返回步骤三。
经过3次迭代后，得到最终滤波器组中两个滤波器的系数如下表1所示：
表1
Figure GDA0003219740130000091
图1、图2分别为两个滤波器的相位误差图，图3～5分别为两通道QMFB幅频响应、重构误差频率响应和相位误差响应。
计算该两通道QMFB的最大阻带衰减(PSR)，通带最大群延迟误差(MVPGD)，QMFB重构响应的最大相位误差(MVPR),最大群延迟误差(MVGR)，以及重构响应误(MVFBR)，与其他方法得到的两通道QMFB进行对比，对比结果如表2所示：
表2本设计方法与其他设计方法的关键指标的比较
Figure GDA0003219740130000092
从表2的对比结果可以看出，本实施例所获得的两通道QMFB在上述各项关键指标上都要优于其他设计方法。
[1]Y.Jou,Z.Lin and F.Chen,“Design of all-pass-based quadrature mirrorfilter banks using a Lyapunov error criterion,”2017 International Conferenceon Intelligent Informatics and BiomedicalSciences(ICIIBMS),Okinawa,2017,pp.39-42,
[2]Y.D.Jou,Y.S.Lin,and F.K.Chen,“An efficient least-squares design oftwo-channel quadrature mirror filters using IIR all-pass filters,”International Journal of Science and Engineering (IJSE),vol.4,no.1,pp.221-224,March 2014.
[3]J.-H.Lee and Y.-H.Yang,“Design of two-channel linear phase QMFbanks based on realIIR all-pass filters,”IEE Proc.-Vision,Image and SignalProcessing,vol.150,no.5,pp.331-338,Oct.2003.
[4]S.S.Lawson and A.Klouche-Djedid,“Technique for design of two-channel approximately linear phase QMF bank and its application to imagecompression,”IEEE Pro-c.Vision,Image and Signal Processing,vol.148,no.2,pp.85-92,Apr.2001.
[5]Y.Jou,Z.Lin and F.Chen,“Improved Design of Two-Channel QuadratureMirror Filter Using Explicit Toeplitz Expressions,”2018 IEEE 7th GlobalConference on Consumer Electronics (GCCE),Nara,2018,pp.1-2,doi:10.1109/GCCE.2018.8574708.

Claims (4)

1.基于全通滤波器混合迭代技术的QMF组设计方法，其特征在于；该方法具体包括以下步骤：
步骤一、确定基本参数
设置全频带上的频率点数为L，正交镜像滤波器组中的两个全通滤波器的阶数分别为N1、N2，其中N1＝N2+1，设置三个初始加权值W1＝1、W2＝1、W3＝W1+W2+1；令迭代初始系数k＝0，全通滤波器的初始迭代系数ai(k)＝0，i＝1、2；全通滤波器组成的低通滤波器H0(z)的通带截止频率ωp、阻带截止频率ωs，组成的高通滤波器H1(z)的通带截止频率ωs、阻带截止频率ωp；
步骤二、确定实际相位差
s2.1、确定滤波器的理想相位
设置两个全通滤波器的理想相位分别为θd1(ω)＝-N1ω'+0.25ω'和θd2(ω)＝-N2ω'-0.25ω'，其中ω'∈[0,π]；
s2.2、求取滤波器的实际相位误差
全通滤波器的表达式为Ai(ejω)：
Figure FDA0003219740120000011
Ni分别表示两个全通滤波器的阶数N1、N2；ai(n)表示全通滤波器Ai(ejω)系数ai的第n个元素，n＝0,2,…,Ni；
全通滤波器的实际相位为θi(ω)：
Figure FDA0003219740120000012
全通滤波器的实际相位差为θei(ω)：
θei(ω)＝θi(ω)-θdi(ω)
Figure FDA0003219740120000021
其中ω∈[0,ωp]
Figure FDA0003219740120000022
对公式(4)去三角化后：
Figure FDA0003219740120000023
其中ψi(ω)＝0.5×(Niω+θdi(ω))；
s2.3、计算整体失真传输函数的实际相位误差
滤波器组的整体失真传输函数表达式为
Figure FDA0003219740120000024
理想相位、实际相位以及相位误差分别为：
θdT(ω)＝θd1(2ω)+θd2(2ω)-ω (6)
θT(ω)＝θ1(2ω)+θ2(2ω)-ω (7)
θeT(ω)＝θT(ω)-θdT(ω) (8)
因此
Figure FDA0003219740120000025
对公式(9)去三角化后：
Figure FDA0003219740120000031
步骤三、求解全通滤波器系数ai(k)
s3.1、得到目标优化函数表式如式(11)所示
Figure FDA0003219740120000032
Figure FDA0003219740120000033
Figure FDA0003219740120000034
Figure FDA0003219740120000035
其中a1、a2分别表示全通滤波器A1(ejω)、A2(ejω)的系数；a表示全通滤波器A1(ejω)与A2(ejω)的系数，a＝[a1；a2]；f1 (k)表示第k次迭代时全通滤波器A1(ejω)的相位误差，
Figure FDA0003219740120000036
表示第k迭代时全通滤波器A2(ejω)的相位误差，
Figure FDA0003219740120000037
表示第k次迭代时整体失真传输函数T(ejω)的相位误差，M(a,ω)表示低通滤波器H0(ejω)的阻带幅度误差：
Figure FDA0003219740120000038
Figure FDA0003219740120000039
Figure FDA0003219740120000041
s3.2、对步骤3.1中的目标函数进行LSK处理，将其转换为线性问题
Figure FDA0003219740120000042
Figure FDA0003219740120000043
Figure FDA0003219740120000044
Figure FDA0003219740120000045
完成目标函数(11)中的分母部分的线性转化；
s3.3对目标函数分子部分由于两个全通滤波器系数存在互乘而导致的非线性问题采用交替迭代的方法进行处理：
所述交替迭代为：在第k次迭代过程中，将第k-1次迭代得到的两个全通滤波器的系数代入公式(15)中，得到常数化后的分母；然后将常数化的分母的值与第k-1次得到的全通滤波器A1的系数
Figure FDA0003219740120000046
的值代入公式(16)中，求解全通滤波器A2的系数a2；通过凸优化处理工具箱CVX得到一组滤波器系数，再将这组滤波器系数代入公式(15)中更新分母的值，并将更新后的分母与全通滤波器A2的系数代入公式(17)中，求解全通滤波器A1的系数，并通过凸优化处理工具箱CVX得到一组滤波器系数；
Figure FDA0003219740120000051
Figure FDA0003219740120000052
Figure FDA0003219740120000053
Figure FDA0003219740120000054
Figure FDA0003219740120000055
Figure FDA0003219740120000056
Figure FDA0003219740120000057
Figure FDA0003219740120000061
反复交替，直至迭代终止得到两个全通滤波器的系数a；
步骤四、目标判断
设置一个实数μ作为判断目标，当目标函数满足
Figure FDA0003219740120000062
时结束迭代，将步骤三得到的滤波器系数作为最终得到的全通滤波器的系数；当目标函数不满足上述条件时，进入步骤五；其中E(k)是第k次迭代中目标函数的最大值，E(k-1)是第k-1次迭代中目标函数的最大值；
Figure FDA0003219740120000063
步骤五、修正Wi
计算第k次迭代的相位误差
Figure FDA0003219740120000065
其中
Figure FDA0003219740120000066
表示第k次迭代的全通滤波器Ai(ejω)的实际相位；然后计算相位误差
Figure FDA0003219740120000067
的包络
Figure FDA0003219740120000068
设置一个实数判断目标ε，如果不满足
Figure FDA0003219740120000064
使
Figure FDA0003219740120000069
然后令
Figure FDA00032197401200000612
返回步骤三；否则的话直接令
Figure FDA00032197401200000611
返回步骤三。
2.如权利要求1所述基于全通滤波器混合迭代技术的QMF组设计方法，其特征在于：所述正交镜像滤波器组由分析滤波器组和综合滤波器组构成；分析滤波器组由两个全通滤波器A1(ejω)、A2(ejω)组成的低通滤波器H0(z)与高通滤波器H1(z)组成，综合滤波器组为分析滤波器组的复数共轭形式。
3.如权利要求1所述基于全通滤波器混合迭代技术的QMF组设计方法，其特征在于：全通滤波器的理想相位目标为保证IIR滤波器稳定。
4.如权利要求1或2所述基于全通滤波器混合迭代技术的QMF组设计方法，其特征在于：滤波器组的整体失真传输函数的相位误差是分析滤波器组和综合滤波器组的综合误差，体现整个系统的相位误差情况。
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