CN114726342A - 一种过渡带陡度可控的fir半带滤波器设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种过渡带陡度可控的FIR半带滤波器设计方法，所述方法包括步骤：步骤一：构建II型一般对称FIR半带滤波器；步骤二：构建一般拉格朗日半带多项式LHBP；步骤三：引入过渡带陡度参数h₀，构建广义拉格朗日半带多项式g‑LHBP；步骤四：构建g‑LHBP的目标控制函数：过渡带陡度参数h₀，得到FIR半带滤波器的频率响应。本发明具有明显的过渡带宽控制和灵活性好等优点。

Description

一种过渡带陡度可控的FIR半带滤波器设计方法

技术领域

本发明主要涉及滤波技术领域，具体涉及一种过渡带陡度可控的FIR半带滤波器设计方法。

背景技术

相量测量单元的广泛应用为实现智能电网的动态安全监控提供了数据基础，其动态行为是系统安全控制的关键。然而经分析，在系统动态情况下,传统的离散傅里叶变换算法会因频谱泄漏产生误差，引起振荡分析错误；另一方面，在广域测量系统中，子站PMU将相量上传主站时，有可能发生频率混叠，影响基于PMU的各种应用，数字滤波器的应用可以在一定程度解决上述问题。

最大平坦滤波器MAXFLAT是一种重要的非递归有限脉冲响应FIR滤波器，适用于需要高阻带衰减或平滑频率响应的情况。设计MAXFLAT的FIR滤波器的基本思想是使用一个数学证明的闭合解，该解在频带末端满足MAXFLAT约束，并将其映射到传递函数中，计算滤波器的系数。然而，经典的设计涉及到用一个合适的闭型多项式来近似期望的频率响应，因为这种闭型解主要关注滤波器的平坦性，而不是精确的频率响应。目前已经提出了几种设计MAXFLAT的FIR半带滤波器的方法和实现技巧。这些滤波器具有精确的截止频率在频带的中间ω＝π/2，并允许计算效率的实现，因为几乎一半的脉冲响应IR系数是零。然而，它们的过渡带比其他滤波器相对更宽，只能通过增加滤波器的长度来缩小。

大多数流行的MAXFLAT的FIR半带滤波器是由拉格朗日半带多项式LHBP设计的，LHBP在z＝-1处具有最大的零数。这类滤波器有许多应用，如滤波器组、基于小波的压缩和多速率技术。然而，与现有的MAXFLAT的FIR半带滤波器相似，LHBP滤波器也没有任何独立参数。换句话说，没有直接控制LHBP滤波器的频率响应，以实现在阻带衰减和过渡带宽度之间的合理权衡。这是由于在z＝-1处的最大可能的零数是施加在半带封闭形式解上的，它没有留下自由度，因此没有独立的参数。

目前国内外的设计方法主要是实现窄带过渡滤波器，而关于实现窄带过渡带宽的半带滤波器的设计中，经常会出现宽频带问题，它不允许任意的自由度，即独立的参数，通过某种封闭的多项式来控制频率响应，因此，更需要具有可控频率特性的高精度滤波器，即在过渡带锐度和通带和阻带波纹之间进行合理的权衡。

为了解决目前FIR滤波器设计中过渡带狭窄的问题，人们在频响控制方向上做了大量的工作。锐利过渡FIR滤波器使用正弦频率函数来评估封闭形式的脉冲响应系数。该方法允许封闭参数的简单直接计算，但在阻带和通带会出现不可忽略的振幅畸变。基于智能元启发式的迭代方法使用多适应度函数结合加权误差函数，但是这种滤波器设计的缺点是需要进行复杂和大量的计算来调整频带的波纹和过渡频带的宽度，且存在半带滤波器设计的局限性。

发明内容

本发明要解决的技术问题就在于：针对现有技术存在的问题，本发明提供一种具有明显的过渡带宽控制的FIR半带滤波器的设计方法。

为解决上述技术问题，本发明提出的技术方案为：

一种过渡带陡度可控的FIR半带滤波器设计方法，包括步骤：

步骤一：构建II型一般对称FIR半带滤波器；

步骤二：构建一般拉格朗日半带多项式LHBP；

步骤三：引入过渡带陡度参数h₀，构建广义拉格朗日半带多项式g-LHBP；

步骤四：构建g-LHBP的目标控制函数：过渡带陡度参数h₀，得到FIR半带滤波器的频率响应。

优选地，步骤一的具体过程为：

设一个II型的一般对称FIR半带滤波器H(z)，其脉冲响应h_n为4K-2阶，表示为H(z)＝z^-(2K-1)Q_K(z)，传递函数

式(1)所示的MAXFLAT的FIR半带滤波器通过使用封闭形式的多项式，然后通过变换映射到滤波器函数中进行构建。

优选地，步骤二的具体过程为：

在Q_K(z)的设计中，当Q_K(z)在z＝-1处为零，即1+z^-1形式的项，设计4K-2阶MAXFLAT的FIR半带滤波器使用拉格朗日半带多项式LHBP，表达式为：

其中，l＝0,1,2,...,K，

LHBP在z＝-1处有最大的零数，因此在ω＝π处有最大的平坦响应，即：

式(2)的LHBP滤波器不具有任何独立参数，并且对LHBP获得的滤波器的频率响应没有直接的控制。

优选地，步骤三的具体过程为：

当Q_K(z)在z＝-1处存在2(K-1)个零点，即：

将其条件应用于式(1)，并在重合点处使用拉格朗日插值，使Q_K(z)具有与式(2)相同的递归关系，用h₀得到一个封闭的半带多项式，即广义拉格朗日半带多项式g-LHBP：

当过渡带陡度参数h₀为：

广义拉格朗日半带多项式g-LHBP过渡带陡度参数h₀是通过在式(6)上z＝-1处额外加一个零得到；对于闭式表达式，将式(6)映射到：

根据h₀和K获得插值系数g_l：

其中，l＝0,1,2,...,K，以及获得IR系数h_n：

或者表示为：

当A<B或B<0时，

式(9)代入式(10)时奇数索引系数为0，如式(11)所示，即h_2n-1＝0；根据式(6)，滤波器的频率响应由K和h₀表示：

根据式(12)，引入h₀作为参数保持频率响应可控。

优选地，步骤四的具体过程为：

a)由递归关系计算Q_K-1(ω)_LHBP和峰值频率

b)选择

确定过渡带陡度参数h_0,γ。

优选地，在步骤四之后，还包括对过渡带陡度参数h_0,γ进行性能评估。

优选地，性能评估的具体过程为：

1)推导

关系式，计算最大超调波

推导不等式关系；

2)设计两个g-LHBP滤波器；

3)对比不同g-LHBP滤波器的相关参数。

本发明还公开了一种过渡带陡度可控的FIR半带滤波器设计系统，包括：

第一程序模块，用于构建II型一般对称FIR半带滤波器；

第二程序模块，用于构建一般拉格朗日半带多项式LHBP；

第三程序模块，用于引入过渡带陡度参数h₀，构建广义拉格朗日半带多项式g-LHBP；

第四程序模块，用于构建g-LHBP的目标控制函数：过渡带陡度参数h₀，得到FIR半带滤波器的频率响应。

本发明进一步公开了一种计算机可读存储介质，其上存储有计算机程序，所述计算机程序在被处理器运行时执行如上所述方法的步骤。

本发明还公开了一种计算机设备，包括存储器和处理器，所述存储器上存储有计算机程序，所述计算机程序在被处理器运行时执行如上所述方法的步骤。

与现有技术相比，本发明的优点在于：

本发明针对现有半带滤波器设计中存在没有直接控制频率响应的独立参数的不足，提供了一种具有明显的过渡带宽控制的FIR半带滤波器的设计方法。首先，构建一个广义拉格朗日半带多项式g-LHBP，对于给定阶滤波器，它的所有IR系数用第0个IR系数h₀表示；然后，通过分析g-LHBP的线性递归关系，将h₀参数化，直接控制该滤波器类型的过渡带陡度或宽度；最后，提供显式公式用于直接计算与选择所需滤波器特性相关的设计参数，通过在过渡带锐度和通带与阻带平坦度之间的合理权衡。此外，为最终滤波器的性能评估提供明确的公式，使得选择具有所需幅度响应特性的最佳滤波器时，即在过渡频带锐度和通带与阻带平坦度之间进行权衡，具有不同寻常的灵活性。

附图说明

图1为本发明的方法在实施例的流程图。

具体实施方式

以下结合说明书附图和具体实施例对本发明作进一步描述。

如图1所示，本发明实施例的过渡带陡度可控的FIR半带滤波器的设计方法具体步骤如下：

步骤一：构建II型一般对称FIR半带滤波器；

设一个II型的一般对称FIR半带滤波器H(z)，其脉冲响应h_n为4K-2阶，滤波器的系统函数H(z)＝z^-(2K-1)Q_K(z)，传递函数为：

其中K为自然数，z是一个复变量，z^-(2K-1)是对信号进行z变换的一种运算因子；式(1)所示的MAXFLAT的FIR半带滤波器可通过使用合适的封闭形式的多项式，然后通过变换映射到滤波器函数中进行设计。

步骤二：构建一般拉格朗日半带多项式LHBP；

在Q_K(z)的设计中，当Q_K(z)在z＝-1处为零，即1+z^-1形式的项，设计4K-2阶MAXFLAT的FIR半带滤波器使用拉格朗日半带多项式LHBP，表达式为：

其中，l＝0,1,2,...,K，

LHBP在z＝-1处有最大的零数，因此，它在ω＝π处有最大的平坦响应，即：

其中

为微分符号，表示对函数Q求k阶偏导数；

式(2)所述的LHBP滤波器不具有任何独立参数，并且对LHBP获得的滤波器的频率响应没有直接的控制。

步骤三：引入过渡带陡度参数h₀，构建广义拉格朗日半带多项式g-LHBP；

当Q_K(z)在z＝-1处存在2(K-1)个零点，即：

将其条件应用于式(1)，并在重合点处使用拉格朗日插值，使Q_K(z)具有与式(2)相同的递归关系，可以用h₀得到一个封闭的半带多项式，即广义拉格朗日半带多项式g-LHBP。

当过渡带陡度参数

广义拉格朗日半带多项式g-LHBP过渡带陡度参数h₀是通过在式(6)上z＝-1处额外加一个零得到。对于一般的闭式表达式，将式(6)映射到：

其中g_K和g_K-l为关于K的系数；

根据h₀和K获得插值系数g_l：

其中，l＝0,1,2,...,K，以及获得IR系数h_n：

或者表示为：

当A<B或B<0时，

式(9)中代入式(10)时奇数索引系数为0，如式(11)所示，即h_2n-1＝0。

根据式(6)，滤波器的频率响应由K和h₀表示：

根据式(12)，引入h₀作为参数保持频率响应可控。

步骤四：构建g-LHBP的目标控制函数：过渡带陡度参数h₀；

(a)由递归关系计算滤波器的频率响应Q_K-1(ω)_LHBP和峰值频率

A_K(z)作为Q_K-1(z)_LHBP到Q_K(z)的目标函数，滤波器的频率响应Q_K(ω)为：

Q_K(ω)＝Q_K-1(ω)_LHBP+A_K(ω) (13)

其中Q_K-1(ω)_LHBP和A_K(ω)分别为：

将A_K(ω)简化为

根据式(13)，对于给定K，由于Q_K-1(ω)是已知的MAXFLAT低通函数，A_K(z)用h₀表征Q_K(ω)；从式(14)开始，A_K(ω)经过ω＝0，ω＝π/2，ω＝π处的零值，在0≤ω≤π范围内，以π/2为中心呈反对称正弦波状。因此，有两个反对称峰值可用于识别A_K(ω)在Q_K(ω)上h₀的影响观测值。

和

是A_K(ω)的两个峰值频率，可以通过在

时，通过解

可以得到：

将式(15)代入式(14)，得到

和

两个峰值：

其中，

(双符号同序)表示

和

与

的

有关。由于Q_K-1(z)_LHBP和A_K(ω)作为0≤ω≤π的中心点，对ω＝π/2都是反对称的，因此滤波器的频率响应

和峰值

满足：

由式(13)可得，

和

满足：

(b)选择

确定过渡带陡度参数h_0,γ

用

将式(16)代入式(13)，并对h₀化简，可得

利用

和

作为该滤波器的两个过渡带边缘频率，即上下边缘频率，可以得到这类g-LHBP过滤器的斜率如下：

其中

通过式(15)的积化和差变换

得到。

从式(20)可以看出，式(19)中所示的h₀可用作陡度参数，以直接控制给定的K用

和

表示过渡带斜率。因此，令上边缘频率

下边缘频率

然后根据γ改写h₀和slope_K：

为了根据式(21)确定h_0,γ，使g-LHBP滤波器比MAXFLATg-LHBP滤波器有一个相对较窄的过渡带，γ必须在

的范围内选择。其中，

可根据式(8)、式(13)、式(15)计算得到。对于给定的K，将

代入式(21)计算得到的h_0,γ与由式(8)计算得来的h₀相等。而将h₀与γ>1结合计算得到的Q_K(ω)在通带和阻带有更尖锐的过渡带和更大的畸变响应。

本发明针对现有半带滤波器设计中存在没有直接控制频率响应的独立参数的不足，提供了一种具有明显的过渡带宽控制的FIR半带滤波器的设计方法。首先，构建一个广义拉格朗日半带多项式g-LHBP，对于给定阶滤波器，它的所有IR系数用第0个IR系数h₀表示；然后，通过分析g-LHBP的线性递归关系，将h₀参数化，直接控制该滤波器类型的过渡带陡度或宽度；最后，提供显式公式用于直接计算与选择所需滤波器特性相关的设计参数，通过在过渡带锐度和通带与阻带平坦度之间的合理权衡。此外，为最终滤波器的性能评估提供明确的公式，使得选择具有所需幅度响应特性的最佳滤波器时，即在过渡频带锐度和通带与阻带平坦度之间进行权衡，具有不同寻常的灵活性。

下面结合附图对本发明的具体过程进行详细说明：

首先，设计过渡带陡度可控的FIR半带滤波器，过程为：

(a)给定K，构建g-LHBP滤波器一般形式Q_K(z)；

给定K＝4的情况下，即滤波器的阶数为4K-2＝14，构建14阶g-LHBP的一般形式：

(b)计算插值系数g_l(l＝0,1,2,3,4)：

得到传递函数Q₄(z)，表示为：

(c)得到系数h_2n和h_2n-1，计算频率响应Q₄(ω)；

半带滤波器的奇数索引系数为零，即h_2n-1(n＝1,2,3)＝0；h_2n(n＝1,2,3)可以通过将插值系数替换式(11)中的K＝4来获得。通过Q₄(ω)＝Q₃(ω)_LHBP+A₄(ω)得到频率响应：

(d)构建g-LHBP的目标控制函数：过渡带陡度参数h₀；

首先，计算Q_K-1(ω)_LHBP和峰值频率

得

得

选择

确定过渡带陡度参数h_0,γ；

选择γ＝MAXFLAT＝0.8592代入计算式

中，得到过渡带陡度参数h_0,γ＝h₀＝-d_4,3/2¹⁴＝-0.00122；选择γ＝1.0，代入

确定过渡带陡度参数h_0,γ＝-0.0584,因此得到滤波器的频率响应Q₄(ω)。

γ＝MAXFLAT和γ＝1.0情况下两个g-LHBP滤波器的g_l和h_n，如表1所示；

表1 K＝4时两个g-LHBP滤波器的系数

然后评估过渡带陡度参数h_0,γ性能，并与其他滤波器进行性能比较。选择h_0,γ和h₀在

范围内，会分别在通带和阻带中发生过调和下调。

具体地，对过渡带陡度参数h_0,γ性能评估，过程如下：

(1)推导

关系式，计算最大超调波

推导不等式关系；

假定K＝3，且超调频率

和欠调频率

和

分别在通带和阻带内达到峰值。在

时，可以得到

由K和h_0,γ得到

由于Q_K-1(z)_LHBP和A_K(ω)作为0≤ω≤π的中心点，对ω＝π/2都是反对称的，因此

和

满足性质

和

则得到关系式：

因此，最大超调波计算公式为：

其中，当选择h_0,γ＝0设计具有MAXFLAT响应的g-LHBP滤波器时，

根据式子

和

推导出不等式关系如下所示：

(2)设计两个g-LHBP滤波器；

在γ＝1.0和γ_MAXFLAT＝0.8667两种情况下计算h_0,γ并设计两个g-LHBP滤波器。结果表明，使用h_0,γ可使g-LHBP滤波器具有窄过渡带，但在通带和阻带中会出现失真，如超调和欠调，因此，仍然存在由于使用h_0,γ导致的这种不希望出现的失真是否在此类滤波器的设计可接受的限值范围内，具有容许的幅度失真但过渡带较窄。

(3)对比不同的g-LHBP滤波器的相关参数；

假定K＝2、3、5、6，在γ＝0.9、γ＝1.0和γ_MAXFLAT三种种情况下计算h_0,γ设计不同的g-LHBP滤波器，对比相关参数，相关参数如下表2所示。

表2 γ_MAXFLAT，γ＝0.9和γ＝1.0时的相关参数

结果表明：在给定的K条件下，随着γ的增加，过渡带斜率的陡度迅速增加，但振幅畸变

略有增加。K增加越多，产生的影响越大。上述方法可导出具有可控频率特性的灵活FIR半带滤波器，即在过渡带锐度和通带及阻带波纹之间进行合理的权衡。

本发明采用不同的过渡带陡度参数设计了g-LHBP低通滤波器，验证了可控的过渡带陡度参数对于滤波器设计的有效性，通过控制过渡带陡度参数，g-LHBP低通滤波器在可接受范围内可以容忍失真，过渡带相对较窄，滤波器具有近似平坦的幅度响应，使得半带滤波器设计具有可控频率特性，与先进方法进行对比，能很好地在过渡带锐度和通带和阻带波纹之间进行合理的权衡，具有不同寻常的灵活性，为明确控制频率响应提供了一些独立参数的物理意义。

本发明通过分析g-LHBP的线性递归关系，将h₀作为过渡带陡度控制因子h₀参数化，直接控制该滤波器类型的过渡带陡度(或宽度)，实现灵活选择具有所需幅度响应特性的最佳滤波器，是现有技术不具备的。

本发明实施例还提供了一种过渡带陡度可控的FIR半带滤波器设计系统，包括：

第一程序模块，用于构建II型一般对称FIR半带滤波器；

第二程序模块，用于构建一般拉格朗日半带多项式LHBP；

第三程序模块，用于引入过渡带陡度参数h₀，构建广义拉格朗日半带多项式g-LHBP；

第四程序模块，用于构建g-LHBP的目标控制函数：过渡带陡度参数h₀，得到FIR半带滤波器的频率响应。

本发明的设计系统与上述设计方法相对应，同样具有如上设计方法所述的优点。

本发明实施例还提供了一种计算机可读存储介质，其上存储有计算机程序，所述计算机程序在被处理器运行时执行如上所述方法的步骤。本发明实施例还提供了一种计算机设备，包括存储器和处理器，所述存储器上存储有计算机程序，所述计算机程序在被处理器运行时执行如上所述方法的步骤。

以上仅是本发明的优选实施方式，本发明的保护范围并不仅局限于上述实施例，凡属于本发明思路下的技术方案均属于本发明的保护范围。应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理前提下的若干改进和润饰，应视为本发明的保护范围。

Claims (10)

1.一种过渡带陡度可控的FIR半带滤波器设计方法，其特征在于，包括步骤：

步骤一：构建II型一般对称FIR半带滤波器；

步骤二：构建一般拉格朗日半带多项式LHBP；

步骤三：引入过渡带陡度参数h₀，构建广义拉格朗日半带多项式g-LHBP；

步骤四：构建g-LHBP的目标控制函数：过渡带陡度参数h₀，得到FIR半带滤波器的频率响应。

2.根据权利要求1所述的过渡带陡度可控的FIR半带滤波器设计方法，其特征在于，步骤一的具体过程为：

设一个II型的一般对称FIR半带滤波器H(z)，其脉冲响应h_n为4K-2阶，表示为H(z)＝z^-(2K-1)Q_K(z)，传递函数

其中K为自然数，z是一个复变量，z^-(2K-1)是对信号进行z变换的一种运算因子；式(1)所示的MAXFLAT的FIR半带滤波器通过使用封闭形式的多项式，然后通过变换映射到滤波器函数中进行构建。

3.根据权利要求2所述的过渡带陡度可控的FIR半带滤波器设计方法，其特征在于，步骤二的具体过程为：

在Q_K(z)的设计中，当Q_K(z)在z＝-1处为零，即1+z^-1形式的项，设计4K-2阶MAXFLAT的FIR半带滤波器使用拉格朗日半带多项式LHBP，表达式为：

其中，l＝0,1,2,...,K，

LHBP在z＝-1处有最大的零数，因此在ω＝π处有最大的平坦响应，即：

其中

为微分符号，表示对函数Q求k阶偏导数；式(2)的LHBP滤波器不具有任何独立参数，并且对LHBP获得的滤波器的频率响应没有直接的控制。

4.根据权利要求3所述的过渡带陡度可控的FIR半带滤波器设计方法，其特征在于，步骤三的具体过程为：

当Q_K(z)在z＝-1处存在2(K-1)个零点，即：

将其条件应用于式(1)，并在重合点处使用拉格朗日插值，使Q_K(z)具有与式(2)相同的递归关系，用h₀得到一个封闭的半带多项式，即广义拉格朗日半带多项式g-LHBP：

当过渡带陡度参数h₀为：

广义拉格朗日半带多项式g-LHBP过渡带陡度参数h₀是通过在式(6)上z＝-1处额外加一个零得到；对于闭式表达式，将式(6)映射到：

根据h₀和K获得插值系数g_l：

其中，l＝0,1,2,...,K，以及获得IR系数h_n：

或者表示为：

当A<B或B<0时，

式(9)代入式(10)时奇数索引系数为0，如式(11)所示，即h_2n-1＝0；根据式(6)，滤波器的频率响应由K和h₀表示：

根据式(12)，引入h₀作为参数保持频率响应可控。

5.根据权利要求4所述的过渡带陡度可控的FIR半带滤波器设计方法，其特征在于，步骤四的具体过程为：

a)由递归关系计算Q_K-1(ω)_LHBP和峰值频率

b)选择

确定过渡带陡度参数h_0,γ。

6.根据权利要求5所述的过渡带陡度可控的FIR半带滤波器设计方法，其特征在于，在步骤四之后，还包括对过渡带陡度参数h_0,γ进行性能评估。

7.根据权利要求6所述的过渡带陡度可控的FIR半带滤波器设计方法，其特征在于，性能评估的具体过程为：

1)推导

关系式，计算最大超调波

推导不等式关系；

2)设计两个g-LHBP滤波器；

3)对比不同g-LHBP滤波器的相关参数。

8.一种过渡带陡度可控的FIR半带滤波器设计系统，其特征在于，包括：

第一程序模块，用于构建II型一般对称FIR半带滤波器；

第二程序模块，用于构建一般拉格朗日半带多项式LHBP；

第三程序模块，用于引入过渡带陡度参数h₀，构建广义拉格朗日半带多项式g-LHBP；

第四程序模块，用于构建g-LHBP的目标控制函数：过渡带陡度参数h₀，得到FIR半带滤波器的频率响应。

9.一种计算机可读存储介质，其上存储有计算机程序，其特征在于，所述计算机程序在被处理器运行时执行如权利要求1～7中任意一项所述方法的步骤。

10.一种计算机设备，包括存储器和处理器，所述存储器上存储有计算机程序，其特征在于，所述计算机程序在被处理器运行时执行如权利要求1～7中任意一项所述方法的步骤。

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