CN114331926B - 基于换元思想的两通道图滤波器组系数设计优化方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了基于换元思想的两通道图滤波器组系数优化设计方法。通过两个不同值域的变量作为媒介，在保证滤波器组完美重构性能不被破坏的情况下，使用换元方法将高阶数滤波器组的频率选择性误差指标进行优化，以得到在高阶数时双正交滤波器组重构误差与频率选择性误差都小的系数组。相较于现有的双正交图滤波器组设计方法只能设计低阶数的不足，本发明在高阶数滤波器组上实现创新，提出一种高阶低阶均可使用的设计方法，使得在高阶数时图滤波器组依然能够得到较好的设计效果。

Description

基于换元思想的两通道图滤波器组系数设计优化方法

技术领域

本发明属于图信号处理技术领域，具体涉及一种改进的基于换元思想的图滤波器组系数设计优化方法。

背景技术

滤波器组被广泛应用于通信、语音编码、音频编码和图像信号处理，M通道的均匀滤波器组的理论和设计已经得到广泛地研究。在这些应用中，经常要将信号分解成一组子带信号，每个子带信号各占据原信号频带的一个子频带，这些子带信号之间的频带通常互不交叠或适当交叠，有时有需要将这些子带信号重新组合成为一个信号，而要完成上述过程就需要数字滤波器组。前者是要设计分析滤波器组，它是单输入—多输出；后者是要设计综合滤波器组，它是多输入—单输出。不同于传统滤波器在设计时，往往频域性能要求较高，图滤波器组在设计时对频域性能要求较低。在应用方面，图滤波器组往往应用于图信号的过滤。

Jun-Zheng Jiang,Fang Zhou,Peng-Lang Shui提出了一种设计两通道近似正交图滤波器组的新结构，在重构误差和频率选择性两个图滤波器组的指标之中找到了一个平衡点，使得设计出的图滤波器组重构误差很小的同时频率选择性也有一定的保证。但该方法仅在低阶数图滤波器设计时有效，在高阶数图滤波器设计时频谱图像效果十分差。因此需要针对高阶数的图滤波器提出一种新的设计、优化方法。

发明内容

本发明针对现有技术的不足，提出了一种基于换元思想的两通道图滤波器组系数优化设计方法，

基于换元思想的两通道图滤波器组系数设计优化方法，具体包含以下几个步骤：

步骤一、根据设计要求，分别确定图滤波器组中低通滤波器h₀(λ)的通带截止频率λ_p，阻带截止频率λ_s，滤波器最大长度L_h与L_g。

步骤二、确定换元前变量λ和换元后变量ω之间的关系。

2-1.λ为图滤波器中常用的自变量，定义域为λ∈[0,2]，在λ域下，图滤波器常用的表达式可以写为：

其中a(i)为低通滤波器h₀(λ)的系数；而ω为传统滤波器中常用的自变量，定义域为ω∈[0，π]，自变量λ与自变量ω的关系为：

x＝λ-1，x∈[-1，1]

x＝cosθ，θ∈[π，0]

ω＝π-θ，ω∈[0，π]

联立上述三式，可以得到：

λ＝cos(π-ω)+1，ω∈[0，π]

将该公式展开，可得：

λ＝1-cosω，ω∈[0，π]

即可以构建出在ω域下的图滤波器的表达式为：

其中b(i)为低通滤波器h₀(ω)的系数，同时由该关系式可以根据λ域下的通带截止频率λ_p和阻带截止频率λ_s推导出ω域下的通带截止频率ω_p和阻带截止频率ω_s值。

2-2.通过传统滤波器中Kaiser窗生成低通滤波器的方法，生成一个通带截止频率为ω_p，阻带截止频率为ω_s，滤波器最大长度为L_h的低通滤波器h₀(ω)，同时令低通滤波器g₀(ω)的初始值与h₀(ω)相等。

2-3.确定在ω域下的完美重构条件，图滤波器组的理想重构条件在为x∈[0，2]的频域上应当满足：当λ＝0时，

当λ＝1时，h₀(λ)＝1。同时，对于近似正交图滤波器组结构，低通滤波器h₀(λ)，g₀(λ)与高通滤波器h₁(λ)，g₁(λ)存在着严格的等式关系：

h₁(λ)＝g₀(2-λ)，g₁(λ)＝h₀(2-λ)

对于任意图滤波器组结构，完美重构条件可以用如下公式表示：

h₀(λ)g₀(λ)+h₁(λ)g₁(λ)＝c²

令

并将之前的等式关系代入到上式可以得到对于近似正交图滤波器组的完美重构条件公式：

h₀(λ)g₀(λ)+h₀(2-λ)g₀(2-λ)＝2

因此在ω域下，近似正交图滤波器组的完美重构条件公式可以改写为：

h₀(ω)g₀(ω)+h₀(π-ω)g₀(π-ω)＝2

而实际设计过程中往往并不能达到完美重构条件，因此两者之间存在一个差值。定义实际重构误差E(ω)为：

E(ω)＝|h₀(ω)g₀(ω)+h₀(π-ω)g₀(π-ω)-2|

最大重构误差定义为：

E_max＝|E(ω)|_inf

2-4.由于设计出的滤波器通带与阻带应平坦才能达到较好的滤波效果，因此在考虑滤波器组指标时频率选择性也是一个重要衡量指标。确定在ω域下的频率选择性误差关系式，低通滤波器h₀(λ)的通带误差ε_h_{0_pass}和阻带误差ε_h_{0_stop}，g₀(λ)的通带误差ε_g_{0_pass}和阻带误差ε_g_{0_stop}可为：

ε_h_{0_stop}＝||[h₀(λ_s) h₀(λ_s+1) … h₀(2)]^T||^∞

ε_g_{0_stop}＝||[g₀(λ_s) g₀(λ_s+1) … g₀(2)]^T||_∞

在ω域下为：

ε_h_{0_stop}＝||[h₀(ω_s) h₀(ω_s+1) … h₀(π)]^T||_∞

ε_g_{0_stop}＝||[g₀(ω_s) g₀(ω_s+1) … g₀(π)]^T||_∞

2-5.将实际重构误差E(ω)分别对h₀(ω)和g₀(ω)的系数h_s与g_s进行求导，得到如下两个梯度表达式：

步骤三、设计信赖域迭代优化算法

3-1.定义第1次迭代时，h₀(ω)和g₀(ω)的系数h_s与g_s的修改变量分别为

与

则初始的重构误差E(ω)₀以及第1次迭代时的重构误差E(ω)₁表达式分别为：

E(ω)₀＝|h₀(h_s；ω)g₀(g_s；ω)+h₀(h_s；π-ω)g₀(g_s；π-ω)-2|

则第1次迭代时的优化目标函数为：

同时，对于修改变量

与

应满足：：

由于该优化目标函数是一个最小最大化问题，同时也是一个线性问题，可以使用CVX函数进行优化求解。求解得到第1次迭代时修改变量

与

的具体值，再对h₀(ω)和g₀(ω)的系数h_s与g_s进行重新赋值操作：

3-2.令第2次迭代时h₀(ω)和g₀(ω)的系数h_s、g_s为第1次迭代时重新赋值后的系数值h′_s、 g′_s，第2次迭代时的修改变量分别为

与

则第2次迭代的重构误差表达式E(ω)₂为：

优化目标函数为：

使用CVX函数进行优化求解。求解得到修改变量

与

的具体值，再对h₀(ω)和g₀(ω)的系数h_s与g_s进行重新赋值操作。

3-3.定义第i次迭代时的修改变量分别为

与

则第i次迭代时的实际重构误差E(ω)_i和优化目标函数分别为：

使用CVX函数对优化目标函数进行求解，得到修改变量

与

的数值，然后计算第i次迭代时的实际重构误差E(ω)_i的值；

3-4.若第i次优化后的重构误差值E(ω)_i比第i-1次优化后的重构误差值E(ω)_i-1要大，则将修改变量

与

的步长取为原来的一半，即：

此时重新进行第i次优化；若更改步长后重构误差值E(ω)_i仍然比E(ω)_i-1要大，再将步长修改为原来的一半，重新进行第i次优化。直至修改变量

与

的步长达到最小值，修改变量的步长最小值为：

若直至修改变量

与

的步长达到最小值仍未得到需要的重构误差值，跳出循环，并将该次优化结果作为第i次迭代的优化结果。

步骤四、设定迭代次数K，重复K次步骤三的算法优化求解过程，完成两通道图滤波器组系数设计优化。

本发明具有的优点是：

现有的双正交图滤波器组设计方法在低阶数滤波器时有很好的效果，但是来到高阶数时便会破坏滤波器本身的频谱特性，造成频率选择性误差非常大。本申请能够设计高阶数的双正交图滤波器组，在双正交图滤波器组的完美重构条件不被破坏的同时，频率选择性指标也能兼顾。

附图说明

图1为实施例1中通过本方法优化设计后得到的滤波器h₀(ω)和h₁(ω)图像。

图2为实施例1中通过现有技术优化设计后得到的滤波器h₀(λ)和h₁(λ)图像。

图3为实施例2中通过本方法优化设计后得到的滤波器h₀(ω)和h₁(ω)图像。

图4为实施例2中通过现有技术优化设计后得到的滤波器h₀(λ)和h₁(λ)图像。

具体实施方式

以下结合附图对本发明作进一步说明。

实施例1

本实施例中，设置低通滤波器h₀(ω)的通带截止频率λ_p＝0.6，阻带截止频率λ_s＝1.4；最大长度L_h＝50，L_g＝50；迭代次数K＝500。

通过本方法优化后，得到的重构误差值和频率选择性误差指标如表1所示：

表1

得到的低通滤波器h₀(ω)和g₀(ω)如图1所示，其中h₁(ω)＝g₀(π-ω)。

通过现有技术^[1]优化后得到的低通滤波器h₀(ω)和g₀(ω)如图2所示，与本方法得到重构误差值和频率选择性误差比较结果如表2所示：

表2

实施例2

本实施例中，设置低通滤波器h₀(ω)的通带截止频率λ_p＝0.6，阻带截止频率λ_s＝1.4；最大长度L_h＝50，L_g＝60；迭代次数K＝500。

通过本方法优化后，得到的重构误差值和频率选择性误差指标如表3所示：

表3

得到的低通滤波器h₀(ω)和g₀(ω)如图3所示。

通过现有技术优化后得到的低通滤波器h₀(ω)和g₀(ω)如图4所示，与本方法得到重构误差值和频率选择性误差比较结果如表4所示：

表4

从比较结果可以看出，本方法在设计高阶数滤波器的效果明显好于现有，能够解决现有的双正交图滤波器组设计方法不能设计高阶数滤波器的问题，做到保证图滤波器组的完美重构条件满足的情况下，同时兼顾频率选择性，整体提升双正交图滤波器组的性能和频谱图的美观程度。

[1]《Lifting-based design of two-channel biorthogonal graph filterbank》,Jun-Zheng Jiang, Fang Zhou,Peng-Lang Shui。

Claims (4)

1.基于换元思想的两通道图滤波器组系数设计优化方法，对由低通滤波器h₀(x)、g₀(x)与高通滤波器h₁(x)、g₁(x)组成的近似正交图滤波器组进行优化，在λ域下，低通滤波器h₀(λ)的通带截止频率为λ_p，阻带截止频率为λ_s；其特征在于：具体包括以下步骤：

步骤一、对于λ∈[0，2]，在λ域下图滤波器h(λ)的表达式为：

其中a(i)为低通滤波器h₀(λ)的系数；

定义ω∈[0，π]，将与图滤波器h(λ)相关的自变量λ写为：

即：

λ＝1-cosω，ω∈[0，π]

因此在ω域下图滤波器h(ω)的表达式为：

其中b(i)为低通滤波器h₀(ω)的系数；

步骤二、根据λ域下低通滤波器h₀(λ)的通带截止频率λ_p和阻带截止频率λ_s，使用步骤一中图滤波器h(ω)的表达式计算得到ω域下低通滤波器h₀(ω)的通带截止频率ω_p和阻带截止频率ω_s；低通滤波器h₀(ω)的通带误差ε_h_{0_pass}和阻带误差ε_h_{0_stop}，g₀(ω)的通带误差ε_g_{0_pass}和阻带误差ε_g_{0_stop}分别为：

ε_h_{0_stop}＝||[h₀(ω_s) h₀(ω_s+1)…h₀(π)]^T||_∞

ε_g_{0_stop}＝||[g₀(ω_s) g₀(ω_s+1)…g₀(π)]^T||_∞

ω域下的近似正交图滤波器组的完美重构条件为：

h₀(ω)g₀(ω)+h₀(π-ω)g₀(π-ω)＝2

实际重构误差E(ω)为：

E(ω)＝|h₀(ω)g₀(ω)+h₀(π-ω)g₀(π-ω)-2|

分别对两个低通滤波器的系数h_s、g_s进行求导，得到两个梯度表达式为：

步骤三、设计信赖域迭代优化算法，对两个低通滤波器的系数h_s、g_s进行迭代优化；

s3.1、定义第i次迭代时的修改变量分别为

与

则第i次迭代时的实际重构误差E(ω)_i和优化目标函数分别为：

其中，修改变量

与

满足：

使用CVX函数对优化目标函数进行求解，得到修改变量

与

的数值，然后计算第i次迭代时的实际重构误差E(ω)_i的值；

s3.2、当E(ω)_i＜E(ω)_i-1时，修改两个低通滤波器的系数为h′_s、g′_s，通过s3.1进行第i+1次迭代：

s3.3、当E(ω)_i＞E(ω)_i-1时，将修改变量

与

的步长设为原本的一半，通过s3.1重新进行第i次迭代，直至E(ω)_i＜E(ω)_i-1或修改变量

与

的步长达到最小值，结束第i次循环；

步骤四、重复步骤三K次，完成两通道图滤波器组系数设计优化。

2.如权利要求1所述基于换元思想的两通道图滤波器组系数设计优化方法，其特征在于：近似正交图滤波器组结构的低通滤波器h₀(λ)，g₀(λ)与高通滤波器h₁(λ)，g₁(λ)的等式关系为：

h₁(λ)＝g₀(2-λ)，g₁(λ)＝h₀(2-λ)。

3.如权利要求1或2所述基于换元思想的两通道图滤波器组系数设计优化方法，其特征在于：图滤波器组的理想重构条件为：在x∈[0，2]的频域上满足，当λ＝0时，

当λ＝1时，h₀(λ)＝1，即：

h₀(λ)g₀(λ)+h₁(λ)g₁(λ)＝c²

令

并根据近似正交图滤波器组的结构特征得到，完美重构条件公式为：

h₀(λ)g₀(λ)+h₀(2-λ)g₀(2-λ)＝2。

4.如权利要求1所述基于换元思想的两通道图滤波器组系数设计优化方法，其特征在于：修改变量

与

的步长最小值为10^-20。

Images