CN103956987A - 一种数字滤波器设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种数字滤波器设计方法，具体为：将待设计数字滤波器的指标变换为对应的模拟滤波器的指标；根据对应的模拟滤波器的指标直接在相应的频率域中综合模拟滤波器，得到模拟滤波器的系统函数；将所得到的模拟滤波器的系统函数转化为待设计的数字滤波器的系统函数。本发明的方法可以实现非对称的单频带或多频带的频率响应，能够不改变滤波器的阶数，通过改变传输零点的位置，灵活得调整滤波器的频率响应，使其满足实际需要。每个频带的带宽可以被准确控制，并且带内的波动是恒定的。

Description

一种数字滤波器设计方法

技术领域

本发明属于通信技术领域，涉及一种数字滤波器设计方法，具体涉及一种具有广义切比雪夫特性的数字无限长冲激响应滤波器设计方法。

背景技术

数字信号处理在通信、语音、图像、自动控制、雷达、军事、航空航天、医疗和家用电器等众多领域得到了广泛的应用。数字滤波器是对数字信号进行滤波处理以得到期望响应特性的离散时间系统。它主要用于对信号进行变换、增强、滤波、估计与识别等操作，是信息获取、处理和利用过程的重要环节。从结构上来说，数字滤波器可以分为有限冲击响应(FIR)数字滤波器和无限冲击响应(IIR)数字滤波器两大类。由于FIR滤波器的系统函数的极点固定在原点，所以只能用较高的阶数来实现其高选择性，对于同样的滤波器设计指标，FIR滤波器所要求的阶数要比IIR高很多倍，所以成本较高，信号延迟也较大。IIR数字滤波器系统函数的极点可在单位圆内任意位置，它可比FIR数字滤波器用更少的乘法和加法单元实现相同的选频特性、获得更小的通带群延迟等。因此，IIR数字滤波器在高选频、小延迟和需要快速处理的场合得到了广泛的应用。

目前，IIR数字滤波器的设计方法主要包括主间接设计方法和直接设计方法两大类。

直接设计方法是依据某些设计准则直接设计IIR数字滤波器以使其满足期望的频率响应特性，主要使用一些优化算法来进行设计，如最小P误差法、遗传算法件、进化规划、人工鱼群算法、粒子群算法、量子遗传算法及神经网络等等。这些算法在数字滤波器的设计中得到了较好的应用。但是它们都有一些缺点，如收敛速度慢和陷入局部极值等，IIR数字滤波器优化设计的困难之一是优化问题的非凸性。另外由于传递函数分母的存在，IIR数字滤波器没有内秉稳定性，因而如何保证所设计滤波器稳定，是IIR数字滤波器优化设计的另一难题。

间接设计方法主要有双线性变换法、脉冲响应不变法、阶跃响应不变法和频率变换法等。它的思路是先设计一个合适的模拟滤波器,然后将其数字化,通过变换得到IIR数字滤波器。用间接设计方法设计IIR数字滤波器可以利用现成的模拟滤波器设计公式,所以相对来说比较方便。间接设计方法主要基于几种现有的模拟低通原型，即巴特沃斯型、普通切比雪夫、广义切比雪夫型及椭圆函数型等。然而现有的这几种模拟低通原型的幅度响应必须是关于零频率是对称的，才能确保其系数为实的。这造成现有的间接方法缺乏足够的灵活性，难以设计具有更为复杂的非对称频率响应的IIR数字带通或带阻滤波器。另外，现有的间接设计方法主要针对IIR数字单频带滤波器，没有见到用于IIR数字多频带滤波器的设计。

发明内容

本发明的目的在于克服现有技术中存在的不足和缺陷，解决现有的IIR数字滤波器设计方法中存在的问题，即难以实现非对称的频率响应和多频带的频率响应等缺点，提出一种数字滤波器设计方法。

本发明的技术方案是：一种数字滤波器设计方法，整个综合过程包括以下步骤(如图1所示)：

S1.将待设计数字滤波器的指标变换为对应的模拟滤波器的指标；

S2.根据对应的模拟滤波器的指标直接在相应的频率域中综合模拟滤波器，得到模拟滤波器的系统函数；

S3.将所得到的模拟滤波器的系统函数转化为待设计的数字滤波器的系统函数。

本发明的有益效果：本发明的方法可以用于对任意带宽的单频带或多频带滤波器进行直接设计，具体有如下几个优点：

①本发明所述方法是一种解析方法，具有简单、灵活、快速及准确的优点；

②滤波器的每个频带的带宽能被准确控制，带内的波动是恒定的；

③通过在所需的频率位置设置传输零点，滤波器的频率响应可以被灵活控制；

④可以使用不同类型的传输零点来控制滤波器的性能，例如，可以使用纯虚数传输零点来满足待设计数字滤波器的幅度响应要求，使用复数传输零点来改善通带内群时延的平坦性要求；

⑤本发明所涉及的方案可容易应用到IIR数字广义切比雪夫多阻带滤波器的设计中。

附图说明

图1为本发明所述方法的流程示意图。

图2为本发明中所提供的实施例中的模拟广义切比雪夫双通带滤波器的幅度频率响应。

图3为本发明中所提供的实施例中的IIR数字广义切比雪夫双通带滤波器的幅度频率响应(四个传输零点都位于有限频率处)。

图4为本发明中所提供的实施例中的IIR数字广义切比雪夫双通带滤波器的幅度频率响应(两个传输零点位于有限频率处，一个传输零点位于零频率，一个位于无穷远)。

具体实施方式

以下结合附图和实施例对本发明作进一步说明。

假设数字角频率用ω表示，待设计数字滤波器具有M个频带(M为大于或等于1的自然数；当M等于1时，即为单频带；当M大于1时，即为多频带)，这M个频带分别位于[ω_d,k,ω_u,k]，其中，k＝1,…,M，ω_u,i和ω_d,i分别是第k个频带的上边界角频率和下边界角频率；待设计数字滤波器具有N个传输零点，其中，N_p个传输零点位于零频率，N_m个传输零点位于有限频率处，N_L个传输零点位于频率π处，其总数为N＝N_p+N_m+NL，这些传输零点可以是纯虚数、纯实数甚至复数形式，用p_0k(其中，k＝1,…,N)来表示。

本发明所述方法的实施步骤如图1所示，包括以下步骤：

S1：将待设计数字滤波器的指标变换为对应的模拟滤波器的指标。

本实施例中，假设待设计数字滤波器具有M个频带，分别位于其中i＝1,…,M。通过下面的关系将待设计数字滤波器的指标变换为对应的模拟滤波器的指标，即，

$\stackrel{\‾}{\mathrm{\Ω}}=\stackrel{\‾}{c}\tan \frac{\mathrm{\ω}}{2}---\left(1\right)$

其中，f_s0是作为归一化的基准频率(可以任意选定f_s0，在本实施例中选择f_s0＝f_s，f_s是抽样频率)；系数其中，模拟频率Ω被基准频率f_s0归一化之后，变为

通过变换公式(1)将待设计数字滤波器的指标变换为对应的模拟滤波器的指标。于是，得到模拟滤波器的指标为：待设计的模拟滤波器具有M个频带，分别位于(其中，k＝1,…,M)，和分别是第k个频带的归一化上边界角频率和下边界角频率。待设计数字滤波器的N个传输零点(即p_0k，其中，k＝1,…,N)被变换公式(1)变换到模拟滤波器的平面内为：(其中，k＝1,…,N)。

S2：根据对应的模拟滤波器的指标直接在相应的频率域中综合模拟滤波器，得到模拟滤波器的系统函数。

在得到对应的模拟滤波的指标之后，直接在相应的频率域中综合相应的模拟滤波器。本实施例中，根据模拟滤波器的频带数目M来构造下面的频率变换关系。

$g^2=\±A\underset{k=1}{\overset{M}{\mathrm{\Π}}}\frac{{\stackrel{\‾}{s}}^2+{\stackrel{\‾}{\mathrm{\Ω}}}_{u,k}^2}{{\stackrel{\‾}{s}}^2+{\stackrel{\‾}{\mathrm{\Ω}}}_{d,k}^2},\mathrm{Reg}\≤0---\left(2\right)$

其中，临时复数变量g＝x+jy；A是系数(例如，简单起见，可令A＝1)；Re是指取实部的运算。当频率变换关系公式(2)中取正号时，如果时，对应的将会被变换至g-平面上的虚轴上；当频率变换关系公式(2)中取负号时，如果时，对应的将会被变换至g-平面上的虚轴上。

利用频率变换关系公式(2)，可以将平面的传输零点(其中，k＝1,…,N)变换至g-平面内，得到对应的点g_0k＝x_0k+jy_0k(其中，k＝1,…,N)；于是，可以利用这些g-平面内的点g_0k＝x_0k+jy_0k(其中，k＝1,…,N)在g-平面内构造相应的函数，使其在模拟滤波器的通带或阻带内具有指定的特征，然后将频率变换关系公式(2)代入到该函数之中，得到模拟滤波器的系统函数。

以双通带模拟滤波器的设计为例，可以利用g-平面内的点g_0k＝x_0k+jy_0k(其中k＝1,…,N)来构造下面的函数：

$f\left(g\right)=\frac{\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Π}}}{(g_i+g)}^2+\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Π}}}{(g_i-g)}^2}{2\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Π}}}(g_i^2-g^2)}---\left(3\right)$

该函数在g-平面内的虚轴上是等幅振荡的。在频率变换关系公式(2)中取正号，令M＝2，然后代入到公式(3)之中，得到用来计算双通带模拟滤波器的传输多项式和反射多项式的公式，即：

$\frac{1}{2}[\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Π}}}{(g_i+g)}^2+\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Π}}}{(g_i-g)}^2]=\underset{v=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{a}_{2v}{g}^{2v}---\left(4\right)$

$\mathrm{\β}\·F\left(\stackrel{\‾}{s}\right)=F_0\left(\stackrel{\‾}{s}\right)=\underset{v=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{a}_{2v}{[({\stackrel{\‾}{s}}^2+{\stackrel{\‾}{\mathrm{\Ω}}}_{u,1}^2)\·({\stackrel{\‾}{s}}^2+{\stackrel{\‾}{\mathrm{\Ω}}}_{u,2}^2)]}^v{\left[\right({\stackrel{\‾}{s}}^2+{\stackrel{\‾}{\mathrm{\Ω}}}_{d,2}^2\left)\right]}^{N-v}---\left(5\right)$

$\mathrm{\ϵ}\·P\left(\stackrel{\‾}{s}\right)=P_0\left(\stackrel{\‾}{s}\right)=\left\{\begin{array}{c}{[{({\stackrel{\‾}{\mathrm{\Ω}}}_{u,1}^2{\stackrel{\‾}{\mathrm{\Ω}}}_{u,2}^2-{\stackrel{\‾}{\mathrm{\Ω}}}_{d,1}^2{\stackrel{\‾}{\mathrm{\Ω}}}_{d,2}^2)s}^{-4}+{\stackrel{\‾}{\mathrm{\Ω}}}_{d,1}^2{\stackrel{\‾}{\mathrm{\Ω}}}_{u,1}^2{({\stackrel{\‾}{\mathrm{\Ω}}}_{u,2}^2-{\stackrel{\‾}{\mathrm{\Ω}}}_{d,2}^2)s}^{-2}+{\stackrel{\‾}{\mathrm{\Ω}}}_{d,2}^2{\stackrel{\‾}{\mathrm{\Ω}}}_{u,2}^2{({\stackrel{\‾}{\mathrm{\Ω}}}_{u,1}^2-{\stackrel{\‾}{\mathrm{\Ω}}}_{d,1}^2)s}^{-2}]}^{N_p}\\ \·{[{({\stackrel{\‾}{\mathrm{\Ω}}}_{d,1}^2-{\stackrel{\‾}{\mathrm{\Ω}}}_{u,1}^2)s}^{-2}+{({\stackrel{\‾}{\mathrm{\Ω}}}_{d,2}^2-{\stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}}_{u,2}^2)s}^{-2}+({\stackrel{\‾}{\mathrm{\Ω}}}_{d,1}^2{\stackrel{\‾}{\mathrm{\Ω}}}_{d,2}^2-{\stackrel{\‾}{\mathrm{\Ω}}}_{u,1}^2{\stackrel{\‾}{\mathrm{\Ω}}}_{u,2}^2)]}^{N_L}\\ \·\underset{k=1}{\overset{N_m}{\mathrm{\Π}}}{[({\stackrel{\‾}{s}}_{0k}^2+{\stackrel{\‾}{\mathrm{\Ω}}}_{u,1}^2)({\stackrel{\‾}{s}}_{0k}^2+{\stackrel{\‾}{\mathrm{\Ω}}}_{u,2}^2)({\stackrel{\‾}{s}}^2+{\stackrel{\‾}{\mathrm{\Ω}}}_{d,1}^2)({\stackrel{\‾}{s}}^2+{\stackrel{\‾}{\mathrm{\Ω}}}_{d,2}^2)-({\stackrel{\‾}{s}}_{0k}^2+{\stackrel{\‾}{\mathrm{\Ω}}}_{d,1}^2)({\stackrel{\‾}{s}}_{0k}^2+{\stackrel{\‾}{\mathrm{\Ω}}}_{d,2}^2)({\stackrel{\‾}{s}}^2+{\stackrel{\‾}{\mathrm{\Ω}}}_{u,1}^2)({\stackrel{\‾}{s}}^2+{\stackrel{\‾}{\mathrm{\Ω}}}_{u,2}^2)]}^2\end{array}\right\}---\left(6\right)$

其中，a_2v是的展开系数；系数β取为多项式的最高次项的系数，以使多项式的最高次项的系数为1；系数ε可在通带的归一化上边界角频率或下边界角频率(其中k＝1,…,M)处，由指定的通带内插入损耗A_p(单位：dB)来确定，即 $\mathrm{\ϵ}=\sqrt{{10}^{A_p/10}-1}\·{\left|\frac{P_0\left(\stackrel{\‾}{s}\right)}{F\left(\stackrel{\‾}{s}\right)}\right|}_{\stackrel{\‾}{s}=j{\stackrel{\‾}{\mathrm{\Ω}}}_{u,k}}.$

求出传输多项式和反射多项式之后，由能量守恒关系来确定共有多项式

$E\left(\stackrel{\‾}{s}\right)E^{*}\left(\stackrel{\‾}{s}\right)=F\left(\stackrel{\‾}{s}\right)F^{*}\left(\stackrel{\‾}{s}\right)+P\left(\stackrel{\‾}{s}\right)P^{*}\left(\stackrel{\‾}{s}\right)---\left(7\right)$

其中，上标“*”表示取共轭运算。

求解并取位于左半面的零点来构成这样确保所设计的模拟滤波器是稳定的，从而保证所设计的数字滤波器也是稳定的，于是最终得到模拟滤波器的系统函数的一般形式为：

$H_a\left(\stackrel{\‾}{s}\right)=\frac{P\left(\stackrel{\‾}{s}\right)}{E\left(\stackrel{\‾}{s}\right)}=\frac{\underset{q=0}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{d}_q{\stackrel{\‾}{s}}^q}{\underset{p=0}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{u}_p{\stackrel{\‾}{s}}^p}---\left(8\right)$

其中，n是传输多项式的阶数，d_q是其展开系数，变量q＝1,2，…,n；m是共有多项式的阶数，u_p是其展开系数，变量p＝1,2，…,m。

S3:将所得到的模拟滤波器的系统函数转化为待设计数字滤波器的系统函数。

在得到模拟滤波器的系统函数之后，将其转化为待设计的数字滤波器的系统函数。例如，可以通过下面归一化双线性变换关系：

$\stackrel{\‾}{s}=\stackrel{\‾}{c}\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}---\left(9\right)$

其中，f_s是抽样频率；f_s0是作为归一化的基准频率(可以任意选定f_s0，在本实施例中选择f_s0＝f_s)；系数其中复数模拟频率定义为s＝jΩ，则归一化的复数模拟频率为数字滤波器的系统函数为：

$H\left(z\right)=H_a\left(\stackrel{\‾}{s}\right){|}_{\stackrel{\‾}{s}=\stackrel{\‾}{c}\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}}---\left(10\right)$

于是得到：

$H\left(z\right)=\frac{\underset{q=0}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{d}_q\·{\stackrel{\‾}{c}}^q{(1-z^{-1})}^q{(1+z^{-1})}^{m-q}}{\underset{p=0}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{u}_p\·{\stackrel{\‾}{c}}^p{(1-z^{-1})}^p{(1+z^{-1})}^{m-p}}---\left(11\right)$

最后就可以选择恰当的结构来实现，例如直接I型、直接II型、级联型和并联型等结构。

下面通过具体实例说明：

设计一个双通带数字滤波器，指标要求：抽样频率为f_s＝1000，归一化基准频率为f_s0＝1000，第一个通带位于[0.3π，0.33π]，第二个通带位于[0.5π,0.55π]，通带波动为0.1dB。自由设置两个位于有限频率上的传输零点，一个在0.2π，一个在0.7π。

首先利用变换公式(1)将待设计数字滤波器的指标变换为对应的模拟滤波器的指标，得到模拟滤波器的两个通带分别位于[1.0191,1.1408]和[2.0000,2.3417]，待设计数字滤波器所指定的两个传输零点被变换至和

根据模拟滤波器的指标，由公式(4-6)得到下面的

$F\left(\stackrel{\‾}{s}\right)={\stackrel{\‾}{s}}^8+{11.7069s}^{-6}+{44.9709s}^{-4}+63.6129s^{-2}+29.6362---\left(12\right)$

$P\left(\stackrel{\‾}{s}\right)=0.08978s^{-8}+1.8250s^{-6}+{7.3906s}^{-4}+{9.2058s}^{-2}+2.7041---\left(13\right)$

$\begin{array}{c}E\left(\stackrel{\‾}{s}\right)={1.0040s}^{-8}+{1.0512s}^{-7}+{12.3734s}^{-6}+8.2475s^{-5}+47.7516s^{-4}+18.3543s^{-3}\\ +{66.5802s}^{-2}+11.9365\stackrel{\‾}{s}+29.7593\end{array}---\left(14\right)$

由这些多项式可以构成相应的散射参数，即和在图2中给出了本实施例的模拟滤波器的频率响应。于是，模拟滤波器的系统函数为 $H_a\left(\stackrel{\‾}{s}\right)=P\left(\stackrel{\‾}{s}\right)/E\left(\stackrel{\‾}{s}\right).$

对模拟滤波器的系统函数进行双线性变换之后，代入公式(11)，最终得到待设计数字滤波器的系统函数为：

$H\left(z\right)=\frac{\begin{array}{c}297.5581-482.1347z^{-1}+860.7548z^{-2}-815.7925z^{-3}+971.4879z^{-4}\\ -815.7925z^{-5}+860.7548z^{-6}-482.1347z^{-7}+297.5581z^{-8}\end{array}}{\begin{array}{c}2678.2110-4818.7103z^{-1}+10603.2838z^{-2}-11471.7906z^{-3}+14077.1744z^{-4}\\ -9777.8618z^{-5}+7810.4628z^{-6}-3022.2535z^{-7}+1539.8596z^{-8}\end{array}}---\left(15\right)$

此系统函数的极点为：

|z_1,2|＝0.9325，|z_3,4|＝0.9392，|z_5,6|＝0.8968，|z_7,8|＝0.9654     (16)

所以所得到的数字滤波器是稳定的，该数字滤波器的幅度响应在图3中给出，可以看到，该数字滤波器的两个通带的位置被准确的控制，且四个位于有限频率处的传输零点也被实现。

如果将待设计数字滤波器的两个传输零点分别从有限频率处移动到零频率处和无穷远处，依照上面的处理过程，可以得到下面的系统函数。

$H\left(z\right)=\frac{\begin{array}{c}116.0325-142.1781z^{-1}+39.3384z^2+142.1780z^{-3}-310.7419z^{-4}\\ +142.1781z^{-5}+39.3384z^{-6}-142.1781z^{-7}+116.0325z^{-8}\end{array}}{\begin{array}{c}2694.5385-4842.4676z^{-1}+10631.2978z^{-2}-11470.5001z^{-3}+14025.4837z^{-4}\\ -9698.3204z^{-5}+7708.3737z^{-6}-2962.4475z^{-7}+1502.5708z^{-8}\end{array}}---\left(17\right)$

此系统函数的极点为：

|z_1,2|＝0.9294，|z_3,4|＝0.9349，|z_5,6|＝0.8923，|z_7,8|＝0.9632     (18)

可以看出，所得到的数字滤波器是稳定的，该数字滤波器的幅度响应在图4中给出。从这两个例子可以看到，在不改变阶数的情况下，通过调整传输零点的位置，待设计的数字滤波器的幅度响应可以被灵活的控制。

综上所述，本发明所述方法可以在不改变滤波器阶数的前提下，通过移动传输零点的位置来灵活得控制数字滤波器的性能。本发明所述方法可以应用于单通带、双通带乃至多通带数字滤波器的设计，也能用于单阻带、双阻带或多阻带数字滤波器的设计。与传统的优化方法相比，本发明是解析方法，具有简单、快速、灵活和准确的特点。

Claims (8)

1.一种数字滤波器设计方法，包括如下步骤：

S1.将待设计数字滤波器的指标变换为对应的模拟滤波器的指标；

S2.根据对应的模拟滤波器的指标直接在相应的频率域中综合模拟滤波器，得到模拟滤波器的系统函数；

S3.将所得到的模拟滤波器的系统函数转化为待设计的数字滤波器的系统函数。

2.根据权利要求1所述的数字滤波器设计方法，其特征在于，假设待设计数字滤波器具有M个频带，分别位于其中，i＝1,…,M，ω_u,i和ω_d,i分别是第i个通带的上边界角频率和下边界角频率；

通过下面的关系将待设计数字滤波器的指标变换为对应的模拟滤波器的指标，即

$\stackrel{\‾}{\mathrm{\Ω}}=\stackrel{\‾}{c}\tan \frac{\mathrm{\ω}}{2}---\left(1\right)$

其中，f_s0为归一化的基准频率系数；其中，模拟频率Ω被基准频率f_s0归一化之后，变为f_s是抽样频率；

通过变换公式(1)将待设计数字滤波器的指标变换为对应的模拟滤波器的指标，得到模拟滤波器的指标为：待设计的模拟滤波器具有M个频带，分别位于其中k＝1,…,M，和分别是第k个频带的归一化上边界角频率和下边界角频率；待设计数字滤波器具有N个传输零点，其中，N_p个传输零点位于零频率，N_m个传输零点位于有限频率处，N_L个传输零点位于频率π处，其总数为N＝N_p+N_m+N_L，所述N个传输零点(即p_0k，其中，k＝1,…,N)被变换公式(1)变换到模拟滤波器的平面内为：其中，k＝1,…,N。

3.根据权利要求2所述的数字滤波器设计方法，其特征在于，得到模拟滤波器的系统函数的具体过程如下：

根据模拟滤波器的频带数目M来构造下面的频率变换关系。

$g^2=\±A\underset{k=1}{\overset{M}{\mathrm{\Π}}}\frac{{\stackrel{\‾}{s}}^2+{\stackrel{\‾}{\mathrm{\Ω}}}_{u,k}^2}{{\stackrel{\‾}{s}}^2+{\stackrel{\‾}{\mathrm{\Ω}}}_{d,k}^2},\mathrm{Reg}\≤0---\left(2\right)$

其中，临时复数变量g＝x+jy；A是预先设定的系数；Re是指取实部的运算；

当频率变换关系公式(2)中取正号时，如果时，对应的将会被变换至g-平面上的虚轴上；当频率变换关系公式(2)中取负号时，如果时，对应的将会被变换至g-平面上的虚轴上；

利用频率变换关系公式(2)，将平面的传输零点变换至g-平面内，得到对应的点g_0k＝x_0k+jy_0k，其中，k＝1,…,N；利用g-平面内的点g_0k＝x_0k+jy_0k在g-平面内构造相应的函数，使其在模拟滤波器的通带或阻带内具有指定的特征；然后将频率变换关系公式(2)代入到该函数之中，得到模拟滤波器的系统函数。

4.根据权利要求3所述的数字滤波器设计方法，其特征在于，所述的模拟滤波器利用g-平面内的点g_0k＝x_0k+jy_0k构造下面的函数：

$f\left(g\right)=\frac{\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Π}}}{(g_i+g)}^2+\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Π}}}{(g_i-g)}^2}{2\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Π}}}(g_i^2-g^2)}---\left(3\right)$

该函数在g-平面内的虚轴上是等幅振荡的，在频率变换关系公式(2)中取正号，令M＝2，然后代入到公式(3)之中，得到用来计算双通带模拟滤波器的传输多项式和反射多项式的公式，即：

$\frac{1}{2}[\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Π}}}{(g_i+g)}^2+\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Π}}}{(g_i-g)}^2]=\underset{v=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{a}_{2v}{g}^{2v}---\left(4\right)$

$\mathrm{\β}\·F\left(\stackrel{\‾}{s}\right)=F_0\left(\stackrel{\‾}{s}\right)=\underset{v=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{a}_{2v}{[({\stackrel{\‾}{s}}^2+{\stackrel{\‾}{\mathrm{\Ω}}}_{u,1}^2)\·({\stackrel{\‾}{s}}^2+{\stackrel{\‾}{\mathrm{\Ω}}}_{u,2}^2)]}^v{\left[\right({\stackrel{\‾}{s}}^2+{\stackrel{\‾}{\mathrm{\Ω}}}_{d,2}^2\left)\right]}^{N-v}---\left(5\right)$

$\mathrm{\ϵ}\·P\left(\stackrel{\‾}{s}\right)=P_0\left(\stackrel{\‾}{s}\right)=\left\{\begin{array}{c}{[{({\stackrel{\‾}{\mathrm{\Ω}}}_{u,1}^2{\stackrel{\‾}{\mathrm{\Ω}}}_{u,2}^2-{\stackrel{\‾}{\mathrm{\Ω}}}_{d,1}^2{\stackrel{\‾}{\mathrm{\Ω}}}_{d,2}^2)s}^{-4}+{\stackrel{\‾}{\mathrm{\Ω}}}_{d,1}^2{\stackrel{\‾}{\mathrm{\Ω}}}_{u,1}^2{({\stackrel{\‾}{\mathrm{\Ω}}}_{u,2}^2-{\stackrel{\‾}{\mathrm{\Ω}}}_{d,2}^2)s}^{-2}+{\stackrel{\‾}{\mathrm{\Ω}}}_{d,2}^2{\stackrel{\‾}{\mathrm{\Ω}}}_{u,2}^2{({\stackrel{\‾}{\mathrm{\Ω}}}_{u,1}^2-{\stackrel{\‾}{\mathrm{\Ω}}}_{d,1}^2)s}^{-2}]}^{N_p}\\ \·{[{({\stackrel{\‾}{\mathrm{\Ω}}}_{d,1}^2-{\stackrel{\‾}{\mathrm{\Ω}}}_{u,1}^2)s}^{-2}+{({\stackrel{\‾}{\mathrm{\Ω}}}_{d,2}^2-{\stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}}_{u,2}^2)s}^{-2}+({\stackrel{\‾}{\mathrm{\Ω}}}_{d,1}^2{\stackrel{\‾}{\mathrm{\Ω}}}_{d,2}^2-{\stackrel{\‾}{\mathrm{\Ω}}}_{u,1}^2{\stackrel{\‾}{\mathrm{\Ω}}}_{u,2}^2)]}^{N_L}\\ \·\underset{k=1}{\overset{N_m}{\mathrm{\Π}}}{[({\stackrel{\‾}{s}}_{0k}^2+{\stackrel{\‾}{\mathrm{\Ω}}}_{u,1}^2)({\stackrel{\‾}{s}}_{0k}^2+{\stackrel{\‾}{\mathrm{\Ω}}}_{u,2}^2)({\stackrel{\‾}{s}}^2+{\stackrel{\‾}{\mathrm{\Ω}}}_{d,1}^2)({\stackrel{\‾}{s}}^2+{\stackrel{\‾}{\mathrm{\Ω}}}_{d,2}^2)-({\stackrel{\‾}{s}}_{0k}^2+{\stackrel{\‾}{\mathrm{\Ω}}}_{d,1}^2)({\stackrel{\‾}{s}}_{0k}^2+{\stackrel{\‾}{\mathrm{\Ω}}}_{d,2}^2)({\stackrel{\‾}{s}}^2+{\stackrel{\‾}{\mathrm{\Ω}}}_{u,1}^2)({\stackrel{\‾}{s}}^2+{\stackrel{\‾}{\mathrm{\Ω}}}_{u,2}^2)]}^2\end{array}\right\}---\left(6\right)$

其中，a_2v是的展开系数；系数β取为多项式的最高次项的系数，以使多项式的最高次项的系数为1；系数ε可在通带的归一化上边界角频率或下边界角频率处，其中，k＝1,2，由预先设定的通带内插入损耗来确定，即 $\mathrm{\ϵ}=\sqrt{{10}^{A_p/10}-1}\·{\left|\frac{P_0\left(\stackrel{\‾}{s}\right)}{F\left(\stackrel{\‾}{s}\right)}\right|}_{\stackrel{\‾}{s}=j{\stackrel{\‾}{\mathrm{\Ω}}}_{u,k}};$

求出传输多项式和反射多项式之后，由能量守恒关系来确定共有多项式

$E\left(\stackrel{\‾}{s}\right)E^{*}\left(\stackrel{\‾}{s}\right)=F\left(\stackrel{\‾}{s}\right)F^{*}\left(\stackrel{\‾}{s}\right)+P\left(\stackrel{\‾}{s}\right)P^{*}\left(\stackrel{\‾}{s}\right)---\left(7\right)$

其中，上标“*”表示取共轭运算；

求解并取位于左半面的零点来构成于是最终得到模拟滤波器的系统函数的一般形式为：

$H_a\left(\stackrel{\‾}{s}\right)=\frac{P\left(\stackrel{\‾}{s}\right)}{E\left(\stackrel{\‾}{s}\right)}=\frac{\underset{q=0}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{d}_q{\stackrel{\‾}{s}}^q}{\underset{p=0}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{u}_p{\stackrel{\‾}{s}}^p}---\left(8\right)$

其中，n是传输多项式的阶数，d_q是其展开系数，变量q＝1,2，…,n；m是共有多项式的阶数，u_p是其展开系数，变量p＝1,2，…,m。

5.根据权利要求3或4所述的数字滤波器设计方法，其特征在于，在得到模拟滤波器的系统函数之后，将其转化为待设计的数字滤波器的系统函数的具体过程如下：

通过式(9)的归一化双线性变换关系进行转化：

$\stackrel{\‾}{s}=\stackrel{\‾}{c}\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}---\left(9\right)$

其中，z＝e^jω；复数模拟频率定义为s＝jΩ，则归一化的复数模拟频率为数字滤波器的系统函数为：

$H\left(z\right)=H_a\left(\stackrel{\‾}{s}\right){|}_{\stackrel{\‾}{s}=\stackrel{\‾}{c}\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}}---\left(10\right)$

于是得到：

$H\left(z\right)=\frac{\underset{q=0}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{d}_q\·{\stackrel{\‾}{c}}^q{(1-z^{-1})}^q{(1+z^{-1})}^{m-q}}{\underset{p=0}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{u}_p\·{\stackrel{\‾}{c}}^p{(1-z^{-1})}^p{(1+z^{-1})}^{m-p}}---\left(11\right)$

6.根据权利要求5所述的数字滤波器设计方法，其特征在于，所述的f_s0＝f_s。

7.一种模拟滤波器综合方法，具体为：根据对应的模拟滤波器的指标直接在相应的频率域中综合模拟滤波器，得到模拟滤波器的系统函数，所述得到模拟滤波器的系统函数的具体过程如下：

根据模拟滤波器的频带数目M来构造下面的频率变换关系。

$g^2=\±A\underset{k=1}{\overset{M}{\mathrm{\Π}}}\frac{{\stackrel{\‾}{s}}^2+{\stackrel{\‾}{\mathrm{\Ω}}}_{u,k}^2}{{\stackrel{\‾}{s}}^2+{\stackrel{\‾}{\mathrm{\Ω}}}_{d,k}^2},\mathrm{Reg}\≤0---\left(2\right)$

其中，临时复数变量g＝x+jy；A是预先设定的系数；Re是指取实部的运算；

当频率变换关系公式(2)中取正号时，如果时，对应的将会被变换至g-平面上的虚轴上；当频率变换关系公式(2)中取负号时，如果时，对应的将会被变换至g-平面上的虚轴上；

利用频率变换关系公式(2)，将平面的传输零点变换至g-平面内，得到对应的点g_0k＝x_0k+jy_0k，其中，k＝1,…,N；利用g-平面内的点g_0k＝x_0k+jy_0k在g-平面内构造相应的函数，使其在模拟滤波器的通带或阻带内具有指定的特征；然后将频率变换关系公式(2)代入到该函数之中，得到模拟滤波器的系统函数。

8.根据权利要求7所述的模拟滤波器综合方法，其特征在于，所述的模拟滤波器具体为双通带模拟滤波器，利用g-平面内的点g_0k＝x_0k+jy_0k构造下面的函数：

$f\left(g\right)=\frac{\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Π}}}{(g_i+g)}^2+\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Π}}}{(g_i-g)}^2}{2\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Π}}}(g_i^2-g^2)}---\left(3\right)$

该函数在g-平面内的虚轴上是等幅振荡，在频率变换关系公式(2)中取正号，令M＝2，然后代入到公式(3)之中，得到用来计算双通带模拟滤波器的传输多项式和反射多项式的公式，即：

$\frac{1}{2}[\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Π}}}{(g_i+g)}^2+\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Π}}}{(g_i-g)}^2]=\underset{v=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{a}_{2v}{g}^{2v}---\left(4\right)$

$\mathrm{\β}\·F\left(\stackrel{\‾}{s}\right)=F_0\left(\stackrel{\‾}{s}\right)=\underset{v=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{a}_{2v}{[({\stackrel{\‾}{s}}^2+{\stackrel{\‾}{\mathrm{\Ω}}}_{u,1}^2)\·({\stackrel{\‾}{s}}^2+{\stackrel{\‾}{\mathrm{\Ω}}}_{u,2}^2)]}^v{\left[\right({\stackrel{\‾}{s}}^2+{\stackrel{\‾}{\mathrm{\Ω}}}_{d,2}^2\left)\right]}^{N-v}---\left(5\right)$

$\mathrm{\ϵ}\·P\left(\stackrel{\‾}{s}\right)=P_0\left(\stackrel{\‾}{s}\right)=\left\{\begin{array}{c}{[{({\stackrel{\‾}{\mathrm{\Ω}}}_{u,1}^2{\stackrel{\‾}{\mathrm{\Ω}}}_{u,2}^2-{\stackrel{\‾}{\mathrm{\Ω}}}_{d,1}^2{\stackrel{\‾}{\mathrm{\Ω}}}_{d,2}^2)s}^{-4}+{\stackrel{\‾}{\mathrm{\Ω}}}_{d,1}^2{\stackrel{\‾}{\mathrm{\Ω}}}_{u,1}^2{({\stackrel{\‾}{\mathrm{\Ω}}}_{u,2}^2-{\stackrel{\‾}{\mathrm{\Ω}}}_{d,2}^2)s}^{-2}+{\stackrel{\‾}{\mathrm{\Ω}}}_{d,2}^2{\stackrel{\‾}{\mathrm{\Ω}}}_{u,2}^2{({\stackrel{\‾}{\mathrm{\Ω}}}_{u,1}^2-{\stackrel{\‾}{\mathrm{\Ω}}}_{d,1}^2)s}^{-2}]}^{N_p}\\ \·{[{({\stackrel{\‾}{\mathrm{\Ω}}}_{d,1}^2-{\stackrel{\‾}{\mathrm{\Ω}}}_{u,1}^2)s}^{-2}+{({\stackrel{\‾}{\mathrm{\Ω}}}_{d,2}^2-{\stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}}_{u,2}^2)s}^{-2}+({\stackrel{\‾}{\mathrm{\Ω}}}_{d,1}^2{\stackrel{\‾}{\mathrm{\Ω}}}_{d,2}^2-{\stackrel{\‾}{\mathrm{\Ω}}}_{u,1}^2{\stackrel{\‾}{\mathrm{\Ω}}}_{u,2}^2)]}^{N_L}\\ \·\underset{k=1}{\overset{N_m}{\mathrm{\Π}}}{[({\stackrel{\‾}{s}}_{0k}^2+{\stackrel{\‾}{\mathrm{\Ω}}}_{u,1}^2)({\stackrel{\‾}{s}}_{0k}^2+{\stackrel{\‾}{\mathrm{\Ω}}}_{u,2}^2)({\stackrel{\‾}{s}}^2+{\stackrel{\‾}{\mathrm{\Ω}}}_{d,1}^2)({\stackrel{\‾}{s}}^2+{\stackrel{\‾}{\mathrm{\Ω}}}_{d,2}^2)-({\stackrel{\‾}{s}}_{0k}^2+{\stackrel{\‾}{\mathrm{\Ω}}}_{d,1}^2)({\stackrel{\‾}{s}}_{0k}^2+{\stackrel{\‾}{\mathrm{\Ω}}}_{d,2}^2)({\stackrel{\‾}{s}}^2+{\stackrel{\‾}{\mathrm{\Ω}}}_{u,1}^2)({\stackrel{\‾}{s}}^2+{\stackrel{\‾}{\mathrm{\Ω}}}_{u,2}^2)]}^2\end{array}\right\}---\left(6\right)$

其中，a_2v是的展开系数；系数β取为多项式的最高次项的系数，以使多项式的最高次项的系数为1；系数ε可在通带的归一化上边界角频率或下边界角频率处，其中，k＝1,2，由预先设定的通带内插入损耗来确定，即 $\mathrm{\ϵ}=\sqrt{{10}^{A_p/10}-1}\·{\left|\frac{P_0\left(\stackrel{\‾}{s}\right)}{F\left(\stackrel{\‾}{s}\right)}\right|}_{\stackrel{\‾}{s}=j{\stackrel{\‾}{\mathrm{\Ω}}}_{u,k}};$

求出传输多项式和反射多项式之后，由能量守恒关系来确定共有多项式

$E\left(\stackrel{\‾}{s}\right)E^{*}\left(\stackrel{\‾}{s}\right)=F\left(\stackrel{\‾}{s}\right)F^{*}\left(\stackrel{\‾}{s}\right)+P\left(\stackrel{\‾}{s}\right)P^{*}\left(\stackrel{\‾}{s}\right)---\left(7\right)$

其中，上标“*”表示取共轭运算；

求解并取位于左半面的零点来构成于是最终得到模拟滤波器的系统函数的一般形式为：

$H_a\left(\stackrel{\‾}{s}\right)=\frac{P\left(\stackrel{\‾}{s}\right)}{E\left(\stackrel{\‾}{s}\right)}=\frac{\underset{q=0}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{d}_q{\stackrel{\‾}{s}}^q}{\underset{p=0}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{u}_p{\stackrel{\‾}{s}}^p}---\left(8\right)$

其中，n是传输多项式的阶数，d_q是其展开系数，变量q＝1,2，…,n；m是共有多项式的阶数，u_p是其展开系数，变量p＝1,2，…,m。