CN107241082B - 基于凸优化松弛的dft调制滤波器组的设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开基于凸优化松弛的DFT调制滤波器组的设计方法，通过约束滤波器组的完全重构时域条件，使设计所得的DFT调制滤波器组重构误差更小，整体性能更加优异。同时，本发明利用迭代方法并且通过凸优化松弛将高度非线性非凸规划问题转换成凸规划问题，显著降低了DFT调制滤波器组的设计代价。所以本发明为降低设计的复杂度，实现信号的准确重建提供了简单高效的解决方案。

Description

基于凸优化松弛的DFT调制滤波器组的设计方法

技术领域

本发明涉及滤波器组设计技术领域，具体涉及一种基于凸优化松弛的DFT调制滤波器组的设计方法。

背景技术

多速率滤波器组在语音信号处理、子带编码、图像处理、雷达信号处理、多媒体信号处理等诸多领域都有着广泛的应用。尤其在通信方面，滤波器组展现出了一定的优势。从1974年将DFT调制滤波器组应用到数字多路转化器当中，并用于电话传输再到2007年利用滤波器组来替换OFDM里面的IDFT/DFT，研究学者从未削弱对滤波器组的研究热情。如今，FBMC可能是未来5G通信标准之一。5G通信需要超高数据处理速率，可利用多速率技术来降低信号的处理复杂度，数据的传输率和存储量。由此可见，设计好的多速率滤波器组能有效的提高通信系统性能。而对于一般结构的滤波器组而言，往往需要分别设计各个子带的滤波器，优化规模较大。调制滤波器组的提出有效地解决了这个问题，因为此类滤波器组只需设计原型滤波器即可。两类主要的调制滤波器组是余弦调制滤波器组和离散傅立叶变换(DFT)调制滤波器组。其中，DFT调制滤波器组的子带滤波器是单边谱，可将信号的正负频率分割至不同的子带来进行处理，这一特性使其更加适用于复值信号处理。

至今，已有许多DFT调制滤波器组的设计方法。如Wilbur M R等人在《IEEETransactions on Signal Processing》发表的《Efficient design of oversampled NPRGDFT filterbanks》的方法采用半定规划算法设计过采样的单原型DFT调制滤波器组，其设计问题被描述成一个半无穷的规划问题，利用线性矩阵不等式将设计问题转化为一个半定规划问题，进而得到全局最优解。如Dam H H等人在《IEEE Transactions on Circuits andSystems Ii-Express Briefs》发表的《Iterative method for the design of DFTfilter Bank》方法采用双迭代的半定规划法来设计过采样的双原型DFT调制滤波器组，其分析和综合原型滤波器都是采用半定规划算法迭代求解。

然而，上述设计DFT调制滤波器组所采用的方法仍有不足之处：权衡滤波器的性能指标，其设计所得的滤波器组虽在阻带衰减上表现良好，但是其在重构误差性能上表现不佳，其整体性能仍有提升空间。

发明内容

本发明所要解决的技术问题是现有现有DFT调制滤波器的设计方法存在整体性能不佳的问题，提供一种基于凸优化松弛的DFT调制滤波器组的设计方法。

为解决上述问题，本发明是通过以下技术方案实现的：

基于凸优化松弛的DFT调制滤波器组的设计方法，具体包括如下步骤：

步骤1、根据滤波器组的性能指标，将DFT调制滤波器的设计问题归结为一个关于分析原型滤波器的带约束优化问题，目标函数为最小化分析原型滤波器阻带能量，并约束滤波器组的完全重构时域条件；

步骤2、引入迭代增量，将DFT调制滤波器的设计问题由关于分析原型滤波器的优化问题转换为关于迭代增量的优化问题；并通过凸优化松弛即保证|d_ki|≤β_k，将优化问题中关于迭代增量的高度非线性非凸规划问题转换成凸规划问题；

步骤3、给定一个长度为N的初始的分析原型滤波器h₀；

步骤4、运用凸优化松弛方法和迭代求解方法，利用上次迭代所得的分析原型滤波器的系数向量h_k-1去求解步骤2的优化问题，得到本次迭代的迭代增量d_k；

步骤5、将上次所得的迭代分析原型滤波器的系数向量h_k-1与本次迭代求解所得的迭代增量d_k相加，求得本次迭代的分析原型滤波器的系数向量h_k；即h_k＝h_k-1+d_k；

步骤6、判断||h_k-1-h_k||₂≤η是否满足；若满足，则终止迭代，将本次迭代得到的分析原型滤波器的系数向量h_k作为最终的分析原型滤波器的系数向量h；若不满足，则令迭代次数k加1，并返回步骤4；

步骤7、根据所求出的分析原型滤波器的系数向量h，通过调制公式求出各个通道滤波器的分析原型滤波器的系数系数和综合原型滤波器的系数，从而确定整个DFT调制滤波器组；

上述β_k为预设的第k次迭代约束值；d_ki为第k次迭代增量d_k的第i个分量；k为迭代次数，k＝1,2,…；i＝0,1,…,N-1，N为分析原型滤波器的长度；η为给定的迭代终止判断值。

上述步骤2中所构建的优化问题为：

min(h_k-1+d_k)^TS(h_k-1+d_k)

s.t.||A(h_k-1)h_k-1+2A(h_k-1)d_k-b||₂≤ξ

|d_ki|≤β_k

式中，h_k-1为第k-1次迭代所得的分析原型滤波器的系数向量；d_k为第k次迭代迭代增量，d_k＝[d_k(0),d_k(1),…,d_k(N-1)]^T，d_ki为迭代增量d_k的第i个分量；k为迭代次数，k＝1,2,…；i＝0,1,…,N-1，N为分析原型滤波器的长度；A(h_k-1)为关于h_k-1的正定矩阵；b为列向量，b为b＝[1/M,…,1/M,0,…,0]^T，其中1/M的数量为K，0的数量为N-K，M为滤波器组的通道数，K为采样因子，N为分析原型滤波器的长度；ξ为给定的完全重构条件约束值；β_k为预设的第k次迭代约束值；

c(ω,N)＝[1,e^-jω,…,e^-j(N-1)ω]^T，ω为频率，上标^T表示转置，上标^H表示共轭转置。

上述第k+1次迭代约束值为第k次迭代约束值的1/10。

上述步骤7中所述的调制公式为：

其中，g_m(n)为第m通道的综合原型滤波器的系数，h_m(n)为第m通道分析原型滤波器的系数，h(n)为分析原型滤波器的系数向量h的第n个元素，W_M＝exp(-j2π/M)；n＝0,1,…,N-1，N为分析原型滤波器的长度；m＝0,1,…,M-1，M为滤波器组的通道数；D为设定的系统延迟。

与现有技术相比，本发明通过约束滤波器组的完全重构时域条件，使设计所得的DFT调制滤波器组重构误差更小，整体性能更加优异。同时，本发明利用迭代方法并且通过凸优化松弛将高度非线性非凸规划问题转换成凸规划问题，显著降低了DFT调制滤波器组的设计代价。所以本发明为降低设计的复杂度，实现信号的准确重建提供了简单高效的解决方案。

附图说明

图1为DFT调制滤波器组的基本结构。

图2为本发明提供的设计DFT调制滤波器组的流程图。

图3为本发明的实例1中Wilbur方法原型滤波器的幅度响应。

图4为本发明的实例1的幅度响应。

图5为本发明的实例2中Wilbur方法原型滤波器的幅度响应。

图6为本发明的实例2的幅度响应。

具体实施方式

图1给出了一个通道数为M，采样因子为K，延迟为D的DFT调制滤波器组的基本结构。在上述结构的基础上所提出的基于凸优化松弛的DFT调制滤波器组的设计方法，如图2所示，其包括如下步骤：

第一步：H(ω)和G(ω)分别为分析和综合滤波器的频率响应。本文仅考虑单原型滤波器组，即分析和综合滤波器是相同的。设长度为N的低通滤波器h和g分别为分析和综合原型滤波器，故有两者的频率响应存在如下关系：

G(ω)＝H(ω)＝c^T(ω,N)h (1)

式中c(ω,N)＝[1,e^-jω,…,e^-j(N-1)ω]^T。

系统延迟为D的DFT调制滤波器组的调制公式为：

式中W_M＝exp(-j2π/M)。其频率响应为：

滤波器组的输入输出关系如下式：

式中，

其中，t＝1,2,…,K-1，X(ω)和

分别代表输入信号和输出信号的频率响应。T₀(ω)代表系统的传递函数，A_t(ω)代表系统的混叠传递函数。

第二步：阻带能量E_s(h)的表达式如下：

式中，

h表示分析原型滤波器，上标^T表示转置，上标^H表示共轭转置。

第三步：滤波器完全重构的时域条件表达式如下：

A(h)h＝b (8)

式中，

其中，N_k,l表示的是

序列中r的数量。

第四步：在过采样的DFT调制滤波器组的设计中包含了传递函数失真、混叠失真、带内混叠、重构误差、原型滤波器的阻带衰减和通带平坦性等性能指标。高的阻带衰减和小的重构误差是DFT调制滤波器组设计所期待的。一维单原型DFT调制滤波器组的设计关键在于原型滤波器的设计，其性能直接决定了滤波器组的整体性能。

低的阻带能量和好的重构特性可以保证获得整体性能较好的滤波器组。因此本发明从分析原型滤波器的阻带能量和其完全重构时域条件出发，首先将设计问题描述成目标函数为分析原型滤波器的阻带能量，约束函数为滤波器组的完全重构时域条件的优化问题，表示为：

min h^TSh (11)

s.t.||A(h)h-b||₂≤ξ

其中，ξ是一个很小的正数。在该优化问题中，约束函数是关于h的一个高度非线性非凸的问题，求解起来比较困难。本发明引入迭代思想。设第k次迭代的迭代增量为d_k，上一次迭代所得的分析原型滤波器为h_k-1，本次迭代所得的分析原型滤波器为h_k，则有：

h_k＝h_k-1+d_k (12)

式中，d_k＝[d_k(0),d_k(1),…,d_k(N-1)]^T。

在每次迭代中，用所得的h_k-1来更新原型滤波器的设计。在设计的初次迭代中需要确定初始的原型滤波器h₀，一旦确定h₀后，之后的迭代求解则由关于h_k的优化求解转化为关于迭代增量d_k的优化求解。即原优化问题(11)转化为如下优化问题：

min(h_k-1+d_k)^TS(h_k-1+d_k) (13)

s.t.||A(h_k-1+d_k)(h_k-1+d_k)-b||₂≤ξ

令f(h_k-1)＝A(h_k-1)h_k-1-b，则f(h_k)为：

f(h_k)＝A(h_k-1+d_k)(h_k-1+d_k)-b (14)

将式子(14)代入式子(13)可得：

min(h_k-1+d_k)^TS(h_k-1+d_k) (15)

s.t.||A(h_k-1)h_k-1+2A(h_k-1)d_k+A(d_k)d_k-b||₂≤ξ

由式子(15)可见此时的约束函数是一个关于增量d的非凸问题，仍然较难求解。受Lu W S等人在《IEEE Transactions on Circuits&Systems I Regular Papers》发表的《asecond-order cone programming approach》中二阶锥规划方法的启示，引入凸优化松弛思想。只要保证每次迭代中增量d_k的第i个分量|d_ki|≤β_k，其中β_k为每次迭代中预设的很小的正数，就可以将f(h_k)近似表示为：

其中，

综上所述，通过凸优化松弛后可将设计问题(10)转化为如下优化问题：

min(h_k-1+d_k)^TS(h_k-1+d_k) (17)

s.t.||A(h_k-1)h_k+2A(h_k-1)d_k-b||₂≤ξ

|d_ki|≤β_k

将原优化问题转化为问题(17)后，约束函数转化成了关于迭代增量d_k的凸规划问题，进而可以利用凸规划工具包来进行求解。

第五步：根据设计要求，设计一个长度为N的低通滤波器的迭代初值h₀，h₀＝[h₀(0),h₀(1),…,h₀(N-1)]^T；N为给定的正整数；

第六步：利用得到的h_k-1，求解优化问题(17)得到d_k；

第七步：利用式(12)更新分析原型滤波器；

第八步：判断||h_k-1-h_k||₂≤η(η是一个很小的预设的正数)是否成立；如果成立，则终止迭代，本次迭代的h_k作为最终结果；若不成立，则令迭代次数k加1即k＝k+1，β_k设置为上一次的1/10即β_k＝β_k/10，并返回至第六步继续迭代过程，并返回至第六步继续迭代过程。

第九步：根据第八步求出的原型滤波器h_k，通过调制公式(2)求出各个通道滤波器的系数h_m和g_m，从而确定了整个DFT调制滤波器组。

下面通过具体的仿真实例对本发明的性能进行进一步说明。

实例1

考虑设计一个30通道的DFT调制滤波器组，其相关参数设置为：M＝30，K＝15，N＝121，D＝120。首先利用Wilbur M R等人在《IEEE Transactions on Signal Processing》发表的《Efficient design of oversampled NPR GDFT filterbanks》的方法进行设计，失真参数设置为ε_r＝2×10^-8。接着利用本发明方法，相关参数设置为：ξ＝1×10^-4，η＝1×10^-3，初始迭代设置β₁＝0.1，之后在每次迭代中，β_k设置为上一次的1/10。Wilbur M R等人提出的方法设计所得的原型滤波器的幅度响应如图3所示，本发明的原型滤波器的幅度响应如图4所示。表1列出了相关的性能指标。

表1

从表中可以看出，本发明设计的滤波器组重构误差比现有方法低了约10dB。在滤波器组的设计中，为了能更好的恢复原信号，需要滤波器组应具有更小的重构误差，因此本发明设计算法有着更好的重构性能。

实例2

考虑设计一个40通道的DFT调制滤波器组，其相关参数设置为：M＝40，K＝20，N＝161，D＝160。其中，在利用Wilbur M R等人在《IEEE Transactions on SignalProcessing》发表的《Efficient design of oversampled NPR GDFT filterbanks》的方法设计时，失真参数设置为ε_r＝2×10^-8。接着利用本发明的方法，相关参数设置为：ξ＝1×10^-4，η＝1×10^-3，初始迭代设置β₀＝0.1，之后在每次迭代中，β_k设置为上一次的1/10。WilburM R等人提出的方法设计所得的原型滤波器的幅度响应如图5所示，本发明的原型滤波器的幅度响应如图所示图6。表2列出了相关的性能指标。

表2

从表中可以看出，本发明方法设计的滤波器组的阻带能量水平比现有方法高了约5dB，重构误差比现有方法低了约10dB。虽然本发明较现有方法在阻带能量水平上表现稍差，但本发明设计的滤波器组在重构误差上比现有方法表现更优。权衡滤波器组设计的性能指标，本发明设计的滤波器组整体性能更佳。

一方面，由于本发明所提出的优化问题的约束是滤波器组的完全重构条件，故其设计所得的滤波器组具有更好的完全重构特性，提高滤波器组的性能。另一方面，本发明围绕一维单原型DFT调制滤波器组的设计问题，提出了基于凸优化松弛的DFT调制滤波器组的设计方法，通过凸优化松弛将原非凸规划问题转化为凸规划问题后再进行迭代求解，降低计算复杂度。

Claims (3)

1.基于凸优化松弛的DFT调制滤波器组的设计方法，其特征是，包括如下步骤：

步骤1、根据滤波器组的性能指标，将DFT调制滤波器的设计问题归结为一个关于分析原型滤波器的带约束优化问题，目标函数为最小化分析原型滤波器阻带能量，并约束滤波器组的完全重构时域条件；

步骤2、引入迭代增量，将DFT调制滤波器的设计问题由关于分析原型滤波器的优化问题转换为关于迭代增量的优化问题；并通过凸优化松弛即保证|d_ki|≤β_k，将优化问题中关于迭代增量的高度非线性非凸规划问题转换成凸规划问题；

min(h_k-1+d_k)^TS(h_k-1+d_k)

s.t.||A(h_k-1)h_k-1+2A(h_k-1)d_k-b||₂≤ξ

|d_ki|≤β_k

式中，h_k-1为第k-1次迭代所得的分析原型滤波器的系数向量；d_k为第k次迭代迭代增量，d_k＝[d_k(0),d_k(1),…,d_k(N-1)]^T，d_ki为迭代增量d_k的第i个分量；k为迭代次数，k＝1,2,…；i＝0,1,…,N-1，N为分析原型滤波器的长度；A(h_k-1)为关于h_k-1的正定矩阵；b为列向量，b为b＝[1/M,…,1/M,0,…,0]^T，其中1/M的数量为K，0的数量为N-K，M为滤波器组的通道数，K为采样因子，N为分析原型滤波器的长度；ξ为给定的完全重构条件约束值；β_k为预设的第k次迭代约束值；

c(ω,N)＝[1,e^-jω,…,e^-j(N-1)ω]^T，ω为频率，上标T表示转置，上标H表示共轭转置；

步骤3、给定一个长度为N的初始的分析原型滤波器h₀；

步骤4、运用凸优化松弛方法和迭代求解方法，利用上次迭代所得的分析原型滤波器的系数向量h_k-1去求解步骤2的优化问题，得到本次迭代的迭代增量d_k；

步骤5、将上次迭代所得的分析原型滤波器的系数向量h_k-1与本次迭代求解所得的迭代增量d_k相加，求得本次迭代的分析原型滤波器的系数向量h_k；即h_k＝h_k-1+d_k；

步骤6、判断||h_k-1-h_k||₂≤η是否满足；若满足，则终止迭代，将本次迭代得到的分析原型滤波器的系数向量h_k作为最终的分析原型滤波器的系数向量h；若不满足，则令迭代次数k加1，并返回步骤4；

步骤7、根据所求出的分析原型滤波器的系数向量h，通过调制公式求出各个通道滤波器的分析原型滤波器的系数系数和综合原型滤波器的系数，从而确定整个DFT调制滤波器组；

上述β_k为预设的第k次迭代约束值；d_ki为第k次迭代增量d_k的第i个分量；k为迭代次数，k＝1,2,…；i＝0,1,…,N-1，N为分析原型滤波器的长度；η为给定的迭代终止判断值。

2.根据权利要求1所述的基于凸优化松弛的DFT调制滤波器组的设计方法，其特征是，第k+1次迭代约束值为第k次迭代约束值的1/10。

3.根据权利要求1所述的基于凸优化松弛的DFT调制滤波器组的设计方法，其特征是，步骤7中所述的调制公式为：

其中，g_m(n)为第m通道的综合原型滤波器的系数，h_m(n)为第m通道分析原型滤波器的系数，h(n)为分析原型滤波器的系数向量h的第n个元素，W_M＝exp(-j2π/M)；n＝0,1,…,N-1，N为分析原型滤波器的长度；m＝0,1,…,M-1，M为滤波器组的通道数；D为设定的系统延迟。

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