CN112818526A - 一种非均匀图滤波器组的分布式设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种非均匀图滤波器组的分布式设计方法，其特征在于，包括如下步骤：1）设计非均匀分析滤波器组；2）非均匀图滤波器组的分布式重构。这种方法能够获得具备良好频率选择特性以及良好稀疏特性的非均匀分析滤波器组，能实现滤波器组的完全重构，同时也具有较快的收敛速度和较低的计算成本。

Description

一种非均匀图滤波器组的分布式设计方法

技术领域

本发明设计图信号处理技术领域，具体是一种非均匀图滤波器组的分布式设计方法。

背景技术

近年来，随着科技和社会的不断发展，信息数据呈现出海量化、多样化、非规则化等特点。面对复杂的非规则信号，比如传感器网络信号、交通网络信号等，传统的信号处理很难对其进行分析处理，即使可以，往往也会忽略了网络本身的一些结构特性。为了更好的处理非规则信号，研究者结合图论等知识提出图信号处理GSP(Graph Signal Processing，简称GSP)，GSP能结合数据本身的结构特性对数据进行分析。作为传统信号处理的一种拓展，图信号处理上同样也存在着傅里叶变换、滤波器以及滤波器组等概念，其中图滤波器组因其具备多分辨分析能力并能对信号进行多速率信号处理而备受研究者的关注。

图滤波器组的发展大致是从两通道发展到M通道，2006年一种可逆图滤波器组的设计方法被提出，并用于对传感器网络上信号进行多分辨分析和处理；Narang等人在2012年提出了两通道临界采样正交图滤波器组的设计，通过用切比雪夫逼近的方法设计出低通分析滤波器，根据正交特性求解出其余滤波器，该方法主要的缺点是不能满足紧支撑特性。因此2013年，Narang等人对正交性进行了松弛，变成双正交，使整个滤波器组系统满足完全重构特性和紧支撑特性，但其方法是基于对半带滤波器的分解因此无法保证良好的频谱选择性。随后，就不断的有研究者采用不同的方法设计滤波器组使其达到权衡频谱选择性和完全重构特性的目的。2014年Tanaka提出了M通道过采样图滤波器组的设计方法，通过构造过拉采样普拉斯矩阵实现过采样；此后一些基于循环图的过采样图滤波器组的设计被提出。2019年，一种M通道临界采样图滤波器组的设计方法被提出，在这种方法里，通过用插值操作取代重构部分来实现重构。但在目前的方法中，无论是两通道还是M通道，分析滤波器组的频带划分都是均匀，但由于图信号的频率是离散的，频率的分布可能会出现分布不均匀且部分集中的情况，这时非均匀的频率划分会更有意义。

在图滤波器组的研究中，分布式实现一直都是一个很重要的话题，特别是将其应用到大规模的网络数据处理中时，分布式实现能够很好的节省计算成本。目前大部分的图滤波器组都是采用切比雪夫多项式逼近的方法去实现的，这种方法通过增大阶数来获得更好的频率选择特性，但在阶数小的情况下，频率选择特性较差，却具备较好的稀疏特性，能进行分布式实现，然而这种分布式仅限于多项式形式下的滤波器，并不适用于非多项式形式的滤波器，比如节点变滤波器组(Node-Variant Filter Banks)，边变滤波器组(Edge-Variant Filter Banks)等。2019年，Jiang和Sun提出了一种非下采样两通道图滤波器组的分布式实现方法，在此方法中，滤波器的形式不再局限于多项式形式，也可以是非多项式形式的，此方法更具普适性，该方法将重构问题归结为一个最小二乘问题，利用二阶信息，采用近似牛顿法求解，其中用矩阵近似理论和图的结构特性对海森矩阵的逆进行近似，从而实现分布式。而且目前图滤波器组上的分布式方法主要还是根据矩阵近似理论对海森矩阵的逆进行近似，利用到了二阶信息，计算成本高。

发明内容

本发明针对现有技术的不足，而提供一种非均匀图滤波器组的分布式设计方法。这种方法能够获得具备良好频率选择特性以及良好稀疏特性的非均匀分析滤波器组，能实现滤波器组的完全重构，同时也具有较快的收敛速度和较低的计算成本。

实现本发明目的的技术方案是：

一种非均匀图滤波器组的分布式设计方法，包括如下步骤：

1)设计非均匀分析滤波器组：图滤波器组的输入输出关系表示为如公式(1)所示：

其中，x和

分别表示图滤波器组的输入和输出，{H₀,H₁,H₂}表示分析滤波器组，{z₀,z₁,z₂}表示滤波器组的子带信号，z₀＝H₀x,z₁＝H₁x,z₂＝H₂x，{G₀,G₁,G₂}表示重构滤波器组，T是整个系统的传输函数，传输函数T等于一个单位阵，根据图频率分布情况，采用对滤波器的通带平坦性和阻带衰减进行约束，然后采用优化问题方式得到能满足频率选择特性和稀疏特性的非均匀分析滤波器组，优化问题如公式(2)所示：

其中，h(λ)是分析滤波器的频率响应，公式(2)中的前半部分是对通带平坦性约束，a,b表示滤波器组的通带截止频率，公式(2)中的后半部分是对滤波器阻带衰减约束，c,d表示滤波器组的阻带截止频率，α是调节参数，根据公式(2)的优化问题，在确定了非均匀分析滤波器的截止频率后，就能得到非均匀分析滤波器的频率响应。

2)非均匀图滤波器组的分布式重构：依据非均匀分析滤波器组和子带信号将非均匀图滤波器组的重构问题归结为一个最小二乘问题，如公式(3)所示：

公式(3)问题的最优解如公式(4)所示：：

其中，z＝H₀ ^Tz₀+H₁ ^Tz₁+H₂ ^Tz₂，H＝H₀ ^TH₀+H₁ ^TH₁+H₂ ^TH₂；针对公式(4)的线性逆滤波问题，采用预处理分布式梯度法求解，首先，定义预处理算子P，如公式(5)所示：

其中，B(i,ω(H))＝{j∈V,ρ(i,j)≤ω(H)},ω(H)≥0表示节点i的ω(H)阶以内所有邻居节点的集合，ρ(i,j)表示从节点i到达节点j所需的最短路径，ω(H)表示矩阵H的测地距离，设置

对矩阵H进行归一化处理，采用的预处理形式是右预处理形式如公式(6)所示：

与梯度法结合后有如公式(7)所示：：

经过变换后可得公式(8)：

加入预处理算子公式(5)后，原来公式(4)的复杂矩阵求逆问题就简单，矩阵H的测地距离与非均匀分析滤波器有关，只要分析滤波器的阶数小，矩阵H的测地距离就小，整个迭代过程则为分布式实现，公式(8)在每个节点上为分布式实现，在节点i上，有：

2-1)得到节点i上的观测值z(i)以及H(i,j),j∈B(i,ω(H))；

2-2)初始化：

2-3)计算

2-4)计算

其中，

为节点i第m+1次迭代的值；

2-5)将节点i第m+1次迭代的值发送给节点i的ω(H)阶以内所有邻居节点，同时也从ω(H)阶以内所有邻居节点那接收ω(H)阶以内所有邻居节点第m+1次迭代的值

2-6)重复步骤2-4)和步骤2-5)直到迭代次数达到总的迭代次数200次，输出

本技术方案将非均匀图滤波器组的重构问题归结为一个最小二乘问题，该问题的解是一个线性逆滤波问题，采用预处理梯度法进行迭代求解，并且能分布式实现。

这种方法能够获得具备良好频率选择特性以及良好稀疏特性的非均匀分析滤波器组，能实现滤波器组的完全重构，同时也具有较快的收敛速度和较低的计算成本。

附图说明

图1为实施例中三通道非均匀图滤波器组的结构示意图；

图2为实施例中随机图信号以及其图频域表示；

图3为实施例中设计三通道非均匀分析滤波器组的频率响应示意图；

图4为实施例中不同分布式迭代算法的收敛曲线图。

具体实施方式

下面结合附图和实施例对本发明的内容作进一步的阐述，但不是对本发明的限定。

实施例：

一种非均匀图滤波器组的分布式设计方法，包括如下步骤：

1)设计非均匀分析滤波器组：图滤波器组的输入输出关系表示为如公式(1)所示：

其中，x和

分别表示图滤波器组的输入和输出，{H₀,H₁,H₂}表示分析滤波器组，{z₀,z₁,z₂}表示滤波器组的子带信号，z₀＝H₀x,z₁＝H₁x,z₂＝H₂x，{G₀,G₁,G₂}表示重构滤波器组，T是整个系统的传输函数，传输函数T等于一个单位阵，根据图频率分布情况，采用对滤波器的通带平坦性和阻带衰减进行约束，然后采用优化问题方式得到能满足频率选择特性和稀疏特性的非均匀分析滤波器组，优化问题如公式(2)所示：

其中h(λ)是分析滤波器的频率响应，公式(2)中的前半部分是对通带平坦性约束，a,b表示滤波器组的通带截止频率，公式(2)中的后半部分是对滤波器阻带衰减约束，c,d表示滤波器组的阻带截止频率，α是调节参数，根据公式(2)的优化问题可知，在确定了非均匀分析滤波器的截止频率后，就能得到非均匀分析滤波器的频率响应；

2)非均匀图滤波器组的分布式重构：依据非均匀分析滤波器组和子带信号将非均匀图滤波器组的重构问题归结为一个最小二乘问题，如公式(3)所示：

公式(3)问题的最优解如公式(4)所示：：

其中，z＝H₀ ^Tz₀+H₁ ^Tz₁+H₂ ^Tz₂，H＝H₀ ^TH₀+H₁ ^TH₁+H₂ ^TH₂。针对公式(4)的线性逆滤波问题，我们采用预处理分布式梯度法求解。首先，定义预处理算子P，如公式(5)所示：

其中，B(i,ω(H))＝{j∈V,ρ(i,j)≤ω(H)},ω(H)≥0表示节点i的ω(H)阶以内所有邻居节点的集合，ρ(i,j)表示从节点i到达节点j所需的最短路径，ω(H)表示矩阵H的测地距离，设置

对矩阵H进行归一化处理，采用的预处理形式是右预处理形式如公式(6)所示：

与梯度法结合后有如公式(7)所示：：

经过变换后可得公式(8)：

加入预处理算子公式(5)后，原来公式(4)的复杂矩阵求逆问题就简单，矩阵H的测地距离与非均匀分析滤波器有关，只要分析滤波器的阶数小，矩阵H的测地距离就小，整个迭代过程则为分布式实现，公式(8)在每个节点上为分布式实现，在节点i上，有：

2-1)得到节点i上的观测值z(i)以及H(i,j),j∈B(i,ω(H))；

2-2)初始化：

2-3)计算

2-4)计算

其中，

为节点i第m+1次迭代的值；

2-5)将节点i第m+1次迭代的值发送给节点i的ω(H)阶以内所有邻居节点，同时也从ω(H)阶以内所有邻居节点那接收ω(H)阶以内所有邻居节点第m+1次迭代的值

2-6)重复步骤2-4)和步骤2-5)直到迭代次数达到总的迭代次数200次，输出

仿真例1：

本例仿真实验目的是为了设计良好性能的非均匀分析滤波器组，依据如图2所示的频率分布特性，本例采用优化设计方法设计出具备良好频率划分特性的多项式分析滤波器组，其阶数为12，如图3所示，其中h₀,h₁,h₂表示{H₀,H₁,H₂}的频率响应，这样可得到具备良好频率划分特性以及稀疏特性的非均匀分析滤波器组。

仿真例2：

本例中已知子带信号和仿真例1中的非均匀分析滤波器组的前提下，采用不同分布式方法对输入信号进行重构，并分析结果，本例中，总的迭代次数是200次，不同算法的收敛曲线如图4所示，其中现有方法1是分布式梯度法，现有方法2是分布式近似牛顿法，横坐标表示迭代次数，纵坐标表示相对误差，定义为

x表示输入信号，

表示第m步迭代的结果，由图4中的曲线可知，本例采用方法收敛速度比现有方法1的收敛速度快了3倍，说明采用预处理技术后能明显的提高收敛速度；但本例采用方法的收敛速度比现有方法2的要慢，原因是现有方法2里利用到二阶信息，收敛速度更快，但相比较而言，本本例采用方法的计算成本会比现有方法2的低。表1里给出了不同方法迭代完成后的重构误差，由表1可以看出，迭代完成后，不同的方法都能够实现完全重构。总的来说，本例采用方法有着较快的收敛速度以及更低的计算成本，并且能分布式实现。

表1：

	现有方法1	现有方法2	本发明方法
				重构误差	4.35×10<sup>-32</sup>	3.14×10<sup>-32</sup>	3.40×10<sup>-32</sup>

。

Claims (1)

1.一种非均匀图滤波器组的分布式设计方法，其特征在于，包括如下步骤：

1)设计非均匀分析滤波器组：图滤波器组的输入输出关系表示如公式(1)所示：

其中，x和

分别表示图滤波器组的输入和输出，{H₀,H₁,H₂}表示分析滤波器组，{z₀,z₁,z₂}表示滤波器组的子带信号，z₀＝H₀x,z₁＝H₁x,z₂＝H₂x，{G₀,G₁,G₂}表示重构滤波器组，T是整个系统的传输函数，传输函数T等于一个单位阵，根据图频率分布情况，采用对滤波器的通带平坦性和阻带衰减进行约束，然后采用优化问题方式得到能满足频率选择特性和稀疏特性的非均匀分析滤波器组，优化问题如公式(2)所示：

其中，h(λ)是分析滤波器的频率响应，公式(2)中的前半部分是对滤波器的通带平坦性约束，a,b表示滤波器组的通带截止频率，公式(2)中的后半部分是对滤波器阻带衰减约束，c,d表示滤波器组的阻带截止频率，α是调节参数，根据公式(2)的优化问题，在确定非均匀分析滤波器的截止频率后，就能得到非均匀分析滤波器的频率响应；

2)非均匀图滤波器组的分布式重构：依据非均匀分析滤波器组和子带信号将非均匀图滤波器组的重构问题归结为一个最小二乘问题，如公式(3)所示：

公式(3)问题的最优解如公式(4)所示：：

其中，z＝H₀ ^Tz₀+H₁ ^Tz₁+H₂ ^Tz₂，H＝H₀ ^TH₀+H₁ ^TH₁+H₂ ^TH₂；针对公式(4)的线性逆滤波问题，采用预处理分布式梯度法求解，首先，定义预处理算子P，如公式(5)所示：

其中，B(i,ω(H))＝{j∈V,ρ(i,j)≤ω(H)},ω(H)≥0表示节点i的ω(H)阶以内所有邻居节点的集合，ρ(i,j)表示从节点i到达节点j所需的最短路径，ω(H)表示矩阵H的测地距离，设置

对矩阵H进行归一化处理，采用的预处理形式是右预处理形式如公式(6)所示：

与梯度法结合后有如公式(7)所示：：

经过变换后可得公式(8)：

加入预处理算子公式(5)后，原来公式(4)的复杂矩阵求逆问题就简单，矩阵H的测地距离与非均匀分析滤波器有关，只要分析滤波器的阶数小，矩阵H的测地距离就小，整个迭代过程则为分布式实现，公式(8)在每个节点上为分布式实现，在节点i上，有：

2-1)得到节点i上的观测值z(i)以及H(i,j),j∈B(i,ω(H))；

2-2)初始化：

2-3)计算

2-4)计算

其中，

为节点i第m+1次迭代的值；

2-5)将节点i第m+1次迭代的值发送给节点i的ω(H)阶以内所有邻居节点，同时也从ω(H)阶以内所有邻居节点那接收ω(H)阶以内所有邻居节点第m+1次迭代的值

2-6)重复步骤2-4)和步骤2-5)直到迭代次数达到总的迭代次数200次，输出

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