CN104579243B

CN104579243B - 一种dft调制滤波器组的快速设计方法

Info

Publication number: CN104579243B
Application number: CN201510071914.1A
Authority: CN
Inventors: 蒋俊正; 程小磊; 欧阳缮; 刘庆华; 谢跃雷; 江庆; 穆亚起; 郭云
Original assignee: Guilin University of Electronic Technology
Current assignee: Guilin University of Electronic Technology
Priority date: 2015-02-11
Filing date: 2015-02-11
Publication date: 2017-10-27
Anticipated expiration: 2035-02-11
Also published as: CN104579243A

Abstract

本发明公开一种DFT调制滤波器组的快速设计方法，首先根据设计要求先初始化分析原型滤波器h₀；根据系统无传递失真以及无混叠失真的频域条件得到无传递失真和和无混叠失真的时域条件；然后基于该时域条件，将设计归结为一个无约束的优化问题，目标函数为传递失真，混叠失真和原型滤波器的阻带能量的加权和；运用基于矩阵求逆等效条件的双迭代算法，根据初始化得到的分析原型滤波器h₀，快速求解分析原型滤波器h和综合原型滤波器g；由得到的原型滤波器调制得到整个滤波器组。本发明既使得滤波器组的重构误差较小，提高了滤波器组的整体性能，又使得本发明适用于滤波器组通道数过大和子带滤波器长度过长的情况，计算复杂度较低。

Description

一种DFT调制滤波器组的快速设计方法

技术领域

本发明属于滤波器组设计领域，具体涉及一种DFT调制滤波器组的快速设计方法。

背景技术

滤波器组(filter banks)作为多速率信号处理当中的核心内容一直备受关注，并广泛应用于子带编码、图像去噪以及通信信号处理等诸多领域当中。滤波器组是指一组滤波器，它们有着共同的输入，或者有着共同相加后的输出。其中具有一个输入信号多个输出信号的滤波器组称为分析原型滤波器组，具有多个输入信号只有一个输出信号的滤波器组称为综合原型滤波器组。当信号通过分析原型滤波器组时，信号被分割到不同的子带进行相应的处理，通过抽取降低其采样率；然后通过信号的插值，进而采用综合原型滤波器组对信号进行重建。在众多的滤波器组中，调制滤波器组因为其结构简单，容易实现受到广泛关注。这一类的滤波器组可由一个低通原型滤波器通过调制而得到，从而简化了设计并降低了实现的复杂性。主要有两类调制滤波器组：余弦(cosine)调制滤波器组和离散傅立叶变换(DFT)调制滤波器组，离散傅立叶变换(DFT)调制滤波器组可以将信号的正负频率分割到不同的子带进行处理，因而更适合处理复信号。

设计滤波器组的首要任务就是设法减小和消除各种失真现象，现有的滤波器组设计的方法可以归结为对目标函数和约束条件的优化问题，其中最典型方法的就是半定规划算法，运用半定规划算法虽然可以得到令人满意的过采样DFT滤波器组，但是由于这些基于半规定算法的计算复杂度太高，当滤波器组具备很大的通道数和长支撑的子带滤波器时(即大规模的滤波器组)，这种方法就无法实现该类型的滤波器组的设计。

发表在西安电子科技大学学报(自然科学版)上的“一种设计DFT调制滤波器组的新算法”中，提出了一种基于双迭代的方法，将滤波器组的设计问题归结为无约束的优化问题，其中目标函数为传递失真和阻带能量的加权和。因为在每次迭代中一个原型滤波器确定，另一原型滤波器是通过解析式求解的，因此算法复杂度降低。然而，虽然该方法可以得到较小的传递函数失真，但是由于优化目标函数没有包括混叠失真项，导致滤波器组的混叠失真较大，从而影响了滤波器组的重构误差。另一方面，当滤波器组具有大的通道数和长支撑的子带滤波器时，单步迭代都要进行大型矩阵求逆，这需要耗费大量的时间，不利于实际应用。

发明内容

本发明所要解决的是现有DFT调制滤波器组的设计方法计算复杂度高，所设计出的滤波器组失真较大且不能快速设计大规模(滤波器组的通道数和子带滤波器的支撑都很大)滤波器组的问题，提供一种DFT调制滤波器组的快速设计方法。

为解决上述问题，本发明是通过以下技术方案实现的：

一种DFT调制滤波器组的快速设计方法，包括如下步骤：

步骤1，根据设计要求，初始化分析原型滤波器，给定一个长度为L_h的低通滤波器的系数向量h₀，h₀＝[h₀(0),h₀(1),...,h₀(L_h-1)]^T；L_h为给定的正整数；

步骤2，根据滤波器组无传递失真和无混叠失真的频域条件推导得到无传递失真和无混叠失真的时域条件；

步骤3，基于该时域条件，根据滤波器组设计的性能指标，将原型滤波器的设计问题归结为一个无约束的优化问题，将滤波器组的传递失真、混叠失真以及原型滤波器的阻带能量的加权和作为目标函数，并通过双迭代的算法求解该优化问题；

步骤4，运用双迭代算法，首先根据分析原型滤波器的系数向量h₀，快速求解得到综合原型滤波器的系数向量g，g＝[g(0),g(1)...,g(L_g-1)]^T；然后再根据所得到的综合原型滤波器的系数向量g，快速求解得到分析原型滤波器的系数向量h，h＝[h(0),h(1)...,h(L_h-1)]^T；

步骤5，判断||h-h₀||₂≤δ是否成立；如果成立，则终止迭代，本次迭代所得的g和h就是所求的综合原型滤波器的系数向量和分析原型滤波器的系数向量；如果不成立，则令h₀＝h,重复步骤4；其中δ为给定的正数；

步骤6，根据步骤5所求出的综合原型滤波器的系数向量g和分析原型滤波器的系数向量h，通过以下调制公式求出各个通道滤波器的系数 h_m(n)和g_m(n)，从而确定整个DFT调制滤波器组；

式中，h_m(n)为第m通道分析原型滤波器的系数；g_m(n)为第m通道的综合原型滤波器的系数；h(n)∈h，h(n)为分析原型滤波器的系数向量h的第n个元素；g(n)∈g，g(n)为综合原型滤波器的系数向量g的第n个元素； n＝0,1,...,L_h-1，L_h为低通滤波器的长度；m＝0,1,...,M-1，M为滤波器组的通道数；D为设定的系统延迟。

为了降低了单步迭代计算代价，步骤4在求解综合原型滤波器的系数向量g和分析原型滤波器的系数向量h的过程中运用矩阵求逆的等效条件和托普利兹(Toeplitz)矩阵求逆的快速算法。

与现有技术相比，本发明保留了原有设计方法的优点，利用双迭代的方法进行求解，同时全面考虑滤波器组的各项失真，使得混叠失真，重构误差均有所减小。针对现有方法不利于设计大型通道数和滤波器长度过长的滤波器组的问题，提出了在单步迭代中运用矩阵求逆的等价条件和 Toeplitz矩阵求逆的快速算法，显著地降低了迭代的计算代价。本发明为降低设计的复杂度，实现信号的准确重建提供了简单高效的解决方案。

附图说明

图1为DFT调制滤波器组的基本结构。

图2为本发明提供的设计DFT调制滤波器组的流程图。

图3(a)为本发明实例1所得到的分析原型滤波器的幅度响应。

图3(b)为本发明实例1所得到的综合原型滤波器的幅度响应。

图4为本发明实例1所得到的滤波器组的性能指标。

图5(a)为本发明实例2所得到的分析原型滤波器的幅度响应。

图5(b)为本发明实例2所得到的综合原型滤波器的幅度响应。

图6为本发明实例2所得到的滤波器组的性能指标。

具体实施方式

图1给出了一个通道数为M,采样因子为K，延迟为D的DFT调制滤波器组。基于上述结构的一种DFT调制滤波器组的快速设计方法，如图2 所示，其包括如下步骤：

第一步：初始化分析原型滤波器，先根据设计要求，设计一个长度为 L_h的低通通滤波器h₀，h₀＝[h₀(0),h₀(1),...,h₀(L_h-1)]^T。

第二步：将滤波器组无传递失真和和混叠失真的频域条件转化为无传递失真和无混叠失真的时域条件：当传递函数等于一个纯延迟时，滤波器组无传递失真，当混叠传递函数等于0时，滤波器组无混叠失真。设h和g 分别为分析原型滤波器和综合原型滤波器，它们的单位脉冲响应为

其中，h(·)代表的是分析原型滤波器系数，L_h代表分析原型滤波器的长度，g(·)代表综合原型滤波器系数，L_g代表综合原型滤波器的长度，T代表转置，它们的频率响应分别为H(ω)和G(ω)，所有的子带滤波器都是通过 DFT调制得到：

式中，D是系统延迟，M为滤波器组的通道数，n为系数变量，m代表滤波器组通道数变量，h_m(n)代表第m通道分析原型滤波器系数，g_m(n)为第m通道的综合原型滤波器的系数。

那么分析与综合原型滤波器的频率响应为

式中，ω代表频域变量，H_m(ω)代表第m通道分析原型滤波器的频率响应， G_m(ω)代表第m通道综合原型滤波器的频率响应，H(ω)代表分析原型滤波器的频率响应，G(ω)代表综合原型滤波器的频率响应。

延迟为D的DFT调制滤波器组的混叠失真与传递失真，由下式给出：

其中，k为采样因子变量，K为滤波器组的采样因子，当k＝1,...,K-1时，T_k(ω) 代表的是混叠传递函数，当k＝0时，T₀(ω)是传递函数。

当传递函数T₀(ω)＝e^-jDω，滤波器组无传递失真，当混叠传递函数 T_k(ω)＝0时滤波器组无混叠失真。但是如果直接考虑该频域条件来控制滤波器组的传递失真与混叠失真将会十分复杂，为此我们需要推导出无传递失真与无混叠失真的时域条件。

引入中间变量f_k＝Λ_kh，k＝0,...,K-1，那么f_k＝[f_k(0)，...，f_k(L_h-1)]^T，其中diag代表对角矩阵，对角线元素由构成，f_k(·)代表的是向量f_k的系数。

引入中间变量r_k＝f_k*g。*代表卷积，那么r_k＝[r_k(0),...,r_k(L_h+L_g-2)]^T，r_k(·)代表的是向量r_k的系数。

我们将r_k＝f_k*g写成如下的矩阵相乘的形式：

r_k＝f_k*g＝F_kg＝GΛ_kh (5)

其中卷积矩阵F_k的定义为：

其中，m₁代表矩阵F_k的行变量，n₁代表矩阵F_k列变量。卷积矩阵G定义为：

其中，m₂代表矩阵G的行变量，n₂代表矩阵G的列变量。

那么(4)式可变为：

其中R_k(ω)是向量r_k的频率响应。

上式中，当n-D为M的整数倍的时候否则所以要使得混叠传递函数T_k(ω)＝0，我们可以得到：

r_k(D+Mn)＝0,-[D/M]≤n≤[(L_h+L_g-2-D)/M] (9)

上式中[·]代表下取整运算，将该条件写成一个矩阵等式：

Br_k＝b₁ (10)

式中，列向量b₁的维数为S,S＝[D/M]+[(L_g+L_h-2-D)/M]+1，[·]代表下取整运算，b₁元素均为零，矩阵B定义为：

其中[·]代表下取整运算，m₃代表矩阵B的行变量，n₃代表矩阵B的列变量。

那么我们可以得到双原型DFT调制滤波器组的无混叠失真的时域条件为 BF_kg-b₁＝0或BGΛ_kh-b₁＝0。其中0代表一个维数为S的列向量，各元素都为零。

当传递函数T₀(ω)＝e^-jDω时滤波器组无传递失真，此时：

其中，[·]代表下取整运算，将该条件写成一个矩阵等式，表示为：

Br₀＝b₂ (13)

式中，列向量b₂的维数为S，其第[D/M]+1个元素为K/M,其余元素均为零。所以滤波器组无传递失真时域条件为BF₀g-b₂＝0或者BGh-b₂＝0。其中0代表一个维数为S的列向量，其元素全为零。

第三步：基于第二步得到的滤波器无传递失真和无混叠失真的时域条件，在设计滤波器组中，传递失真可以由以下2-范数来控制

或

混叠失真可以由以下2-范数控制

或

另外，高的阻带衰减可以通过控制滤波器的阻带能量来获得，分析和综合原型滤波器的阻带能量分别表示为：

式中 H代表共轭转置。

将原型滤波器的设计问题表述为最小化滤波器组的传递失真，混叠失真和原型滤波器的阻带能量。该类设计问题可以归结为如下无约束的优化问题：

式中α和β是权值，该优化问题可以用双迭代的方法进行求解，目标函是关于分析原型滤波器h和综合原型滤波器g的双二次函数，当h给定时, 上述问题就转化为关于g的无约束的凸二次规划问题：

它的最优解为：

我们令那么：

g＝(C₁C₁ ^T+βP_g)^-1(C₁b) (20)

同理，当g给定时，优化问题就转化为一个关于h的无约束的凸二次规划问题

它的最优解为：

同样的我们令那么：

h＝(C₂C₂ ^T+βP_h)^-1(C₂b) (23)

因此优化问题可以利用双迭代机制来有效求解,在每一步迭代中,一个原型滤波器被确定,另一个原型滤波器可以通过解析式(20)或(23)求解, 然而当滤波器组的通道数很大以及滤波器长度过长时，对于(20),(23)每一次迭代都要对大型矩阵求逆，算法复杂度较高，这里我们利用矩阵求逆的等价条件来简化(20)式与(23)式，经过简化得到

g＝(βP_g)^-1C₁(I+C₁ ^T(βP_g)^-1C₁)^-1b

(24)

h＝(βP_h)^-1C₂(I+C₂ ^T(βP_h)^-1C₂)^-1b (25)

其中I代表一个2S×2S的单位矩阵。

另外式中，βP_h和βP_g是正定的Toeplitz矩阵，它们的逆可以通过Toeplitz 矩阵求逆的快速算法求解。

第四步：根据双迭代的算法，首先利用得到的分析原型滤波器h₀，代入到(24)式快速求解得到综合原型滤波器，记作g。再利用所得到的综合原型滤波器g，带入到(25)式快速求解得到分析原型滤波器，记作h；

第五步：判断||h-h₀||₂≤δ是否成立；如果成立，则终止迭代，本次迭代的g和h就是所求的综合原型滤波器的系数和分析原型滤波器的系数；如果不成立，则令h₀＝h,返回到第四步继续迭代；其中δ为给定的正数；

第六步：根据第五步所求出的综合原型滤波器的系数g和分析原型滤波器的系数h，通过以调制公式求出各个通道滤波器的系数h_m(n)和gm(n)，从而确定了整个DFT调制滤波器组；

实例1

考虑设计一个16通道的DFT调制滤波器组，其参数设置为M＝16,K＝8, D＝64，分析与综合原型滤波器的长度L_h＝L_g＝65。在本发明提供的设计方法中，参数设为α＝10和β＝0.2,δ＝10-⁵，在设计中，本发明提供的算法只进行了5次迭代，总共耗时0.0078s,单步迭代仅需0.0016s，而在相同的运行环境下，现有的算法进行了5次迭代，耗时0.016s,单步迭代需要0.0032s。图3(a)和3(b)分别画出了本发明设计所得到的分析和综合原型滤波器的幅度响应,图4列出了滤波器组的性能指标，其中ε_t代表传递函数失真，ε_a代表混叠失真，阻带水平SL指的是原型滤波器的归一化幅度响应在阻带[π/K,π]∪[-π,-π/K]内的最大值，E_r代表重构误差。从图中可以看出本发明得到的滤波器组的混叠失真减小了约3.45dB，重构误差减小了约0.85dB，一般而言，我们更关注滤波器组的重构误差，重构误差取决于传递函数失真和混叠失真。因此需要平衡传递函数失真和混叠失真，使得滤波器组的重构误差尽可能的小。所以，本发明提供设计的滤波器组具有更好重构性能。

实例2

考虑设计一个大规模的DFT调制滤波器组。滤波器组的参数为： M＝1024,K＝512,D＝4199，分析和综合原型滤波器的长度L_h＝L_g＝6144。在设计中，参数为α＝10和β＝0.02δ＝10-⁵。本发明设计的算法共进行了 20次迭代，总共用了28.28s,单步迭代只需要1.4s，而在相同的运行环境下，现有的算法迭代了20次，总共用了2138.91s,单步迭代需要106.95s。本发明得到的分析原型滤波器的幅度响应如图5(a)所示，综合原型滤波器的幅度响应如图5(b)所示，图6给出了滤波器组的性能指标。实验表明，本发明提供的算法可以快速设计DFT调制滤波器组，适用于大通道数滤波器组的设计。

本发明一方面优化的目标函数加入混叠失真项，使得滤波器组的重构误差较小，提高了滤波器组的性能，另一方面优化了设计，使得其能够适用于滤波器组通道数过大和滤波器长度过长的情况，计算复杂度较低。

Claims

1.一种DFT调制滤波器组的快速设计方法，其特征是，包括如下步骤：

步骤3，基于该时域条件，根据滤波器组设计的性能指标，将原型滤波器的设计问题归结为一个无约束的优化问题，将滤波器组的传递失真、混叠失真以及原型滤波器的阻带能量的加权和作为目标函数，并通过双迭代的算法求解该优化问题；即

g＝(βP_g)^-1C₁(I+C₁ ^T(βP_g)^-1C₁)^-1b

h＝(βP_h)^-1C₂(I+C₂ ^T(βP_h)^-1C₂)^-1b

式中，g为综合原型滤波器的系数向量，h为分析原型滤波器的系数向量，为综合原型滤波器的阻带能量矩阵,为综合原型滤波器的频率响应向量，为分析原型滤波器的阻带能量矩阵，为分析原型滤波器的频率响应向量，ω为频域变量，K为滤波器组的采样因子，L_g为综合原型滤波器的长度，L_h为分析原型滤波器的长度,B为无传递失真系数矩阵，F₀为第0个分析原型滤波器卷积矩阵，F₁为第1个分析原型滤波器卷积矩阵，G为综合原型滤波器卷积矩阵，Λ₁为调制对角矩阵，b为无传递失真向量；I为一个2S×2S的单位矩阵，S＝[D/M]+[(L_g+L_h-2-D)/M]+1，D为系统延迟，M为滤波器组的通道数；α和β是权值；T代表转置；H代表共轭转置；

步骤6，根据步骤5所求出的综合原型滤波器的系数向量g和分析原型滤波器的系数向量h，通过以下调制公式求出各个通道滤波器的系数h_m(n)和g_m(n)，从而确定整个DFT调制滤波器组；

式中，h_m(n)为第m通道分析原型滤波器的系数；g_m(n)为第m通道的综合原型滤波器的系数；h(n)∈h，h(n)为分析原型滤波器的系数向量h的第n个元素；g(n)∈g，g(n)为综合原型滤波器的系数向量g的第n个元素；n＝0,1,...,L_h-1，L_h为低通滤波器的长度；m＝0,1,...,M-1，M为滤波器组的通道数；D为设定的系统延迟。

2.根据权利要求1所述的一种DFT调制滤波器组的快速设计方法，其特征是，步骤4在求解综合原型滤波器的系数向量g和分析原型滤波器的系数向量h的过程中运用矩阵求逆的等效条件和托普利兹矩阵求逆的快速算法。