CN107959648A - 双原型fbmc-oqam系统中原型滤波器的设计方法 - Google Patents
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Abstract
本发明公开一种双原型FBMC‑OQAM系统中原型滤波器的设计方法，首先，本发明所考虑的调制结构，其接收端和发送端采用了不同的原型滤波器，其设计自由度是传统FBMC‑OQAM调制结构的两倍。后续的仿真印证了这一结构具备更好的整体性能；其次，本发明将原型滤波器的设计问题归结为无约束优化问题，采用双迭代机制求解问题。并且在每一步迭代中采用矩阵求逆的等价条件以及Toeplitz矩阵求逆快速方法。相比于现有技术，本发明不仅具备更好的性能，而且求解复杂度低很多。
Description
技术领域
本发明涉及原型滤波器设计技术领域，具体涉及一种双原型FBMC-OQAM系统中原型滤波器的设计方法。
背景技术
在FBMC技术中，发送端通过综合滤波器组来实现多载波调制，接收端通过分析滤波器组来实现多载波解调。综合滤波器组和分析滤波器组由一组并行的成员滤波器构成，其中各个成员滤波器都是由原型滤波器经载波调制得到。FBMC系统设计含有如下几个关键技术：原型滤波器的设计、多相滤波器组原理和调制方式。其中，原型滤波器的设计是FBMC实现方案的核心所在，其性能将直接决定整个系统的性能，例如阻带衰减、符号间干扰和子载波间干扰。
FBMC系统主要有三种实现方式：余弦多音调制(Cosine Modulated Multitone,CMT)，滤波器多音调制(Filtered Multitone,FMT)和FBMC-OQAM(Filter BankMulticarrier with Offeset Orthogonal Amplitude Modulation)。其中，FMT频谱利用率低下，而CMT和FBMC-OQAM二者采用正交的子载波设计，提高频谱利用率。OQAM是QAM调制的正交优化形式，其在符号速率和抗噪声能力上具有更大的优势。
对于FBMC-OQAM中原型滤波器的设计而言，需要满足以下几点：第一，阻带能量越低越好，以尽量防止来源于原型滤波器的符号间的干扰和子载波间的干扰。第二，还需要满足近似完全重构条件，即在一定的信道干扰下，接收端滤波器能近似重构出发送端信号。目前，FBMC-OQAM系统原型滤波器的设计方法主要有：频率采样方法、窗函数方法和直接设计方法。频率采样方法先是在频域上对理想滤波器频率响应进行等间隔采样，然后对其进行傅里叶逆变换，得到原型滤波器的冲激响应函数。窗函数方法先是直接设计满足频域要求的传输函数，后进行傅里叶逆变换将其转换到时域，对其进行时域截断得到相应的FIR滤波器。不同于前二者，直接设计方法的特点是可以直接对原型滤波器的所有参数进行优化，因此这类方法往往能获得性能更佳的滤波器组。然而，直接设计方法的计算复杂度会随着原型滤波器的长度增大而急剧升高。除此之外，当设计问题需满足近似完全重构条件时，设计问题就归结为很难求解的高度非凸非线性问题。
为解决上述问题，《Prototype Filter Optimization to Minimize StopbandEnergy With NPR Constraint for Filter Bank Multicarrier Modulation Systems》提出了一种基于αBB(α-based Branch and Bound)算法来最小化FBMC-OQAM系统原型滤波器阻带能量的方法(下文简称αBB算法)，其设计思路是对优化问题进行有效地近似，大大地减少优化变量的个数，从而较大地降低直接设计方法的求解规模。在文献《FBMC系统中原型滤波器的迭代设计算法》中，作者将设计问题归结为无约束的优化问题，运用修正的牛顿迭代法进行优化求解。上述的所有算法设计都是围绕传统的FBMC-OQAM系统设计，即综合滤波器组和分析滤波器组均由同一原型低通滤波器调制而来。然而，上述设计FBMC-OQAM系统原型滤波器设计所采用的方法仍有不足之处：1、综合滤波器组和分析滤波器组均由同一原型滤波器调制而来，系统设计受限；2、设计所得FBMC-OQAM系统的均方误差和系统中原型滤波器的阻带衰减性能仍有提升空间。
发明内容
本发明所要解决的是现有FBMC-OQAM系统中原型滤波器设计自由度不高和整体性能不佳的问题，提供一种双原型FBMC-OQAM系统中原型滤波器的设计方法。
为解决上述问题，本发明是通过以下技术方案实现的：
双原型FBMC-OQAM系统中原型滤波器的设计方法，包括步骤如下：
步骤1、设定FBMC-OQAM系统发送端的综合滤波器组和接收端的分析滤波器组由2个不同的低通原型滤波器调制而来；
步骤2、根据FBMC系统的性能指标，将双原型FBMC-OQAM系统中综合滤波器组的综合原型滤波器的系数向量h和分析滤波器组的分析原型滤波器的系数向量g的设计问题均归结为一个无约束的优化问题，目标函数是双原型FBMC-OQAM系统的符号间干扰、载波间干扰和原型滤波器阻带能量的加权和；
步骤3、通过推导步骤2所得的目标函数的梯度向量为零，得到综合原型滤波器的系数向量h和分析原型滤波器的系数向量g的最优解的表达式，该表达式即为所需求解的优化问题；
步骤4、给定一个长度为L的综合滤波器组的初始原型滤波器h0；
步骤5、运用双迭代方法以及求逆的等效条件和Toeplitz矩阵求逆的快速方法，利用上次迭代所得的综合原型滤波器的系数向量hi-1去求解步骤3的优化问题，得到本次迭代的分析原型滤波器的系数向量gi，再利用本次迭代的分析原型滤波器的系数向量gi去求解步骤3的优化问题，得到本次迭代的综合原型滤波器的系数向量hi；
步骤6、判断||hi-hi-1||2≤δ是否成立；若成立，则停止迭代过程，本次迭代的综合原型滤波器的系数向量hi和分析原型滤波器的系数向量gi分别作为最终的综合原型滤波器的系数向量h和分析原型滤波器的系数向量g；若不成立，则将(hi+hi-1)/2作为上次迭代所得的综合原型滤波器的系数向量hi-1，并将迭代次数i加1后返回步骤5；其中δ为设定值；
步骤7、根据步骤6所求出的最终的综合原型滤波器的系数向量h和分析原型滤波器的系数向量g，通过调制公式求出各个子载波的综合原型滤波器的系数和分析原型滤波器的系数，从而确定整个双原型FBMC-OQAM系统发送端的综合滤波器组和接收端的分析滤波器组。
上述步骤2中所构建的优化问题为：
式中，εISI/ICI(h,g)表示FBMC-OQAM中ISI和ICI的最小干扰的近似表达式，εt(h,g)表示在设计中综合滤波器组的原型滤波器h和分析滤波器组的原型滤波器g需要满足的最小化条件，Es(h)表示综合滤波器组的原型滤波器h的阻带能量，Es(g)表示分析滤波器组的原型滤波器g的阻带能量，α是阻带能量权值。
上述步骤3中，综合原型滤波器的系数向量h和分析原型滤波器的系数向量g的最优解的表达式为：
式中，h为综合原型滤波器的系数向量；g为分析原型滤波器的系数向量；为第一平移矩阵，为第二平移矩阵，为第一对角矩阵，为第二对角矩阵，k′为第k′个接收端，n′为接收端接收的第n′个符号；α是阻带能量权值；c(ω,L)＝[1,e-jω,…,e-j(L-1)ω]T，ωs为阻带下限频率，ω为频率，L为滤波器的长度；b＝[b1,b2]T，b1＝[b0,1,b0]T，b0为第一零向量，b2是为第二零向量；上标T表示转置。
上述步骤4中，求解本次迭代的综合原型滤波器的系数向量hi和分析原型滤波器的系数向量gi的表达式为：
式中，hi为第i次迭代所得综合原型滤波器的系数向量；gi为第i次迭代所得分析原型滤波器的系数向量；hi为第i-1次迭代所得综合原型滤波器的系数向量；为第一平移矩阵，为第二平移矩阵，为第一对角矩阵，为第二对角矩阵，k′为第k′个接收端，n′为接收端接收的第n′个符号；α是阻带能量权值；I为单位矩阵；c(ω,L)＝[1,e-jω,…,e-j(L-1)ω]T，ωs为阻带下限频率，ω为频率，L为滤波器的长度；b＝[b1,b2]T，b1＝[b0,1,b0]T，b0为第一零向量，b2是为第二零向量；上标T表示转置。
上述步骤5中，调制公式为：
其中，hk(l)为第k通道的综合原型滤波器的系数，gk(l)为第k通道分析原型滤波器的系数，h(l)为综合原型滤波器的系数向量h的第l个元素，g(l)为分析原型滤波器的系数向量g的第l个元素，l＝0,1,…,L-1，L为综合原型滤波器和分析原型滤波器的长度，WN＝exp(-j2π/N)，k＝0,1,…,N-1，N为滤波器组的通道数；D为设定的系统延迟。
本发明考虑FBMC-OQAM调制系统的设计方法，首先，本发明所考虑的调制结构，其接收端的合成滤波器组和发送端的分析滤波器组由不同的原型滤波器调制而来，其设计自由度是传统FBMC-OQAM调制结构的两倍。后续的仿真印证了这一结构具备更好的整体性能；其次，本发明将原型滤波器的设计问题归结为无约束优化问题，采用双迭代机制求解问题。并且在每一步迭代中采用矩阵求逆的等价条件以及Toeplitz矩阵求逆快速方法。相比于现有技术，本发明不仅具备更好的性能，而且求解复杂度低很多。
附图说明
图1为双原型FBMC-OQAM系统基本结构。
图2为本发明提供的设计双原型FBMC-OQAM系统中综合滤波器组和分析滤波器组的流程图。
图3为本发明实例1中设计所得长度是L＝4N-1的原型滤波器与原始滤波器的幅度响应对比图；其中(a)为原始h0和本发明设计所得h的幅度响应对比图，(b)为原始h0和本发明设计所得g的幅度响应对比图。
图4为本发明实例1中FBMC-OQAM系统在高斯白噪声信道下误码率性能的比较。
图5为本发明的实例2中本发明方法与频率采样法设计所得原型滤波器的幅度响应；其中(a)为频率采样法设计所得的h和本发明设计所得h幅度响应对比图，(b)为频率采样法设计所得的h和本发明设计所得g幅度响应对比图。
具体实施方式
为使本发明的目的、技术方案和优点更加清楚明白，以下结合具体实例，并参照附图，对本发明进一步详细说明。
图1给出了本发明所考虑的双原型FBMC-OQAM系统模型。图1中h和g表示长度为L的低通原型滤波器，系统的综合滤波器组和分析滤波器组分别由二者调制而来。在上述结构的基础上所提出的双原型FBMC-OQAM系统中原型滤波器的设计方法，如图2所示，其包括如下步骤：
第一步：ak(n)，bk(n)是第k个通道上第n个输入信号的实部和虚部，则输入信号为xk(n)＝ak(n)+jbk(n)。在偏移正交振幅调制(OQAM)中，干扰系数都是实虚交替分布的，时间间隔为符号周期T/2，其中传输信号的周期T，N是综合滤波器通道数，每个通道之间的载波频率为1/T。FBMC-OQAM的基带输入信号为：
式中，在完全理想的传输信道中，基带信号的调制端信号等于基带解调端的信号，此时，系统的第k个接收端输出符号可表示为：
式中和分别为信号的实部和虚部，且表达式为：
双原型FBMC-OQAM系统的完全重构条件为：
其中，δ(k′-k,n′-n)是冲激函数，当k′＝k，n′＝n时，δ(k′-k,n′-n)＝1，其它情况下为0。当原型滤波器h(t)和g(t)为实且偶函数时，式子(5b)，(5c)即可成立。
第二步：令为ISI/ICI对实部信号ak(n)的干扰，为ISI/ICI对虚部信号bk(n)的干扰。由于ISI/ICI对虚部信号bk(n)的干扰与实部相同，则在以下本发明的设计中只需要考虑即可，其干扰能量表达式为[16]：
式(6)中的E[·]表示期望，表示信号xk′(n′)对输出信号的分量，其表达式为：
其中，
为了设计长度为L的离散时间原型滤波器，将h(t)和g(t)转换为离散形式可得：
由于ak′(n′)和bk′(n′)的分量是相互独立的，因此，将式子(9a)和式子(9b)代入式子(10)可得：
特别地，当k′＝k，n′＝n时，则有：C″k,n,k′,n′＝0，则原型滤波器h(l)和g(l)需要满足的条件为[16]：
由于对于不同的(k′,n′)，ak′(n′)是相互独立的，故(6)式可以被写为：
ISI/ICI的整体水平可由式子(12)来确定，且其不会因为k和n的值而改变。为了便于计算，令k＝n＝0，可得到：
其中：
式子(14a)和(14b)也可表示为：
其中，h＝[h(0),h(1),…,h(L-1)]T和g＝[g(0),g(1),…,g(L-1)]T分别为综合和分析原型滤波器的系数向量。式中，是L×L矩阵，为对角矩阵，其定义如下：
第三步：令综合和分析原型滤波器的频率响应分别为H(ejω)和G(ejω)，H(ejω)＝cT(ω,L)h，G(ejω)＝cT(ω,L)g，其中，c(ω,L)＝[1,e-jω,…,e-j(L-1)ω]T。h和g的阻带能量分别记为Es(h)和Es(g)，则有：
其中S为L×L的Toeplitz矩阵。
第四步：在FBMC-OQAM通信系统中，由于相邻通道的ISI/ICI远大于非相邻通道对输出信号的影响[8]，所以在本发明具体实施中考虑在k′＝-2,-1,0,1,2的情况。根据式(14a)和(14b)可得，当k′＝-2和k′＝2时，C′0,0,k′,n′和C″0,0,k′,n′绝对值不变，同理，当k′＝-1和k′＝1时，C′0,0,k′,n′和C″0,0,k′,n′的绝对值也不变。因此控制k′＝0,1,2的情况即可。
基于以上分析，FBMC-OQAM中ISI/ICI的最小干扰可以近似地归结为：
此外，原型滤波器还需要满足式子(11)，故在设计中，需要将式(20)最小化。
εt(h,g)＝(hTg-1)2 (20)
基于以上分析，可以将原型滤波器的设计问题归结为式：
其中，α是阻带能量权值，可以通过控制其值实现灵活地平衡系统ISI/ICI与阻带能量之间的关系。为了简化运算，εISI/ICI(h,g)+εt(h,g)可以归结为：
或
式中，考虑到相邻符号对输出信号的干扰最大，因此本发明考虑-2≤n′≤2的情况。向量b＝[b1,b2]T，其中b1＝[b0,1,b0]T，b0是长度为12的零向量，b2是长度为25的零向量。在本发明设计中，向量b的维度R为50。b2的长度为b0长度的两倍加一。
综上，优化问题可由(21)转换为：
或
由式(23a)和(23b)可看出，优化问题为双二次函数，难以直接求解。本文采用双迭代方法进行求解。具体步骤为：首先，当h已知时，目标函数退化为关于分析原型滤波器g的无约束凸二次函数：
求关于g的目标函数为零的梯度向量，即有：
可求得最优解为：
g＝(AT(h)A(h)+αS)-1AT(h)b (26)
同理，当g固定时，目标函数转化为一个关于综合原型滤波器h的无约束凸二次函数：
令关于h的目标函数梯度为零，即有：
可求得最优解为：
h＝(BT(g)B(g)+αS)-1BT(g)b (29)
本文所采用双迭代机制可总结为，选取一个合适的初始原型滤波器h0，利用式(26)和(29)交替优化原型滤波器，每次迭代可依次用式(30)更新。
由于FBMC-OQAM系统支撑的是未来5G通信的高数据速率，需要的子载波通道数较大及长支撑的子带滤波器。因此，在设计中，式(30)涉及大型矩阵求逆，运算量巨大。在本发明方法设计中，通过运用式(31)矩阵求逆的等效条件来有效减小矩阵求逆的运算量：
(BBT+A)-1B＝A-1B(I+BTA-1B)-1 (31)
式中I为R×R(即50×50)的单位矩阵。通过式(31)，可将式(30)等价转换为：
第五步：根据设计要求，设计一个长度为L的低通滤波器的迭代初值h0，h0＝[h0(0),h0(1),…,h0(L-1)]T；L为给定的正整数。
第六步：利用得到hi-1，通过式(32)先求得分析原型滤波器gi，然后利用得到的gk再求解式(32)，得到hi。
第七步：判断||hi-hi-1||2≤δ(δ是给定的很小的正数)是否成立；若成立，则停止迭代过程，hi和gi分别作为最终的综合原型滤波器的系数向量h和分析原型滤波器的系数向量g；若不成立，则令并且令hi-1＝(hi+hi-1)/2，然后令迭代次数i加1，并返回至第六步继续迭代过程。
第八步：根据第七步所求出的原型滤波器的系数向量h和g，通过调制公式求出各个子载波的综合原型滤波器的系数和分析原型滤波器的系数，从而确定整个双原型FBMC-OQAM系统发送端的综合滤波器组和接收端的分析滤波器组。调制公式为：
其中，hk(l)为第k通道的综合原型滤波器的系数，gk(l)为第k通道分析原型滤波器的系数，h(l)为综合原型滤波器的系数向量h的第l个元素，g(l)为分析原型滤波器的系数向量g的第l个元素，l＝0,1,…,L-1，L为综合原型滤波器和分析原型滤波器的长度，WN＝exp(-j2π/N)，k＝0,1,…,N-1，N为滤波器组的通道数；D为设定的系统延迟。
下面通过具体的仿真实例对本发明的性能进行进一步说明。
实例1：
考虑通道数N＝256的FBMC-OQAM系统，设计长度为L＝3N-1和L＝4N-1的原型滤波器。首先在传统的FBMC-OQAM系统中，分别利用频率采样法、优化频率采样法、窗函数法、算法和单原型迭代算法进行设计，其中穆亚起在《电子技术应用》发表的《FBMC系统中原型滤波器的迭代设计算法》单原型迭代算法设计的参数设置为：η＝1×10-5、α＝0.1。然后在双原型FBMC-OQAM系统中，利用本发明方法设计，相关参数设置为：δ＝1×10-3、α＝0.1。在L＝3N-1和L＝4N-1的情况下，本发明方法迭代次数分别为6次和1次，CPU运行时间分别为9.8296s和4.1123s。表1给出了本例中所有设计算法设计所得的性能指标。图3为本发明实例1中设计所得长度是L＝4N-1的原型滤波器与原始滤波器的幅度响应对比图；其中(a)为原始h0和本发明设计所得h的幅度响应对比图，(b)为原始h0和本发明设计所得g的幅度响应对比图。另外，图4给出了L＝4N-1时，文献《FBMC系统中原型滤波器的迭代设计算法》的单原型迭代方法和本发明方法所设计的系统在高斯白噪声信道下误码率性能的比较。由图可看出，在相同的高斯白噪声信道下，本发明方法设计所得的双原型FBMC-OQAM系统与文献《FBMC系统中原型滤波器的迭代设计算法》中的传统FBMC-OQAM系统误码率性能基本相同。
表1例1中FBMC-OQAM系统的性能指标
从表1可看出，与αBB算法相比，本发明方法阻带能量低了约0.4～0.6dB，在L＝3N-1时，所得系统均方误差低了两个数量级，在L＝4N-1时，均方误差低了三个数量级，综合性能指标评价，本发明设计方法的系统整体性能更佳。
实例2：
考虑设计大规模通道FBMC-OQAM系统，分别利用频率采样方法、单原型方法和本发明方法进行设计，相关参数设置为：子载波通道数N＝1024，原型滤波器的长度为L＝3N-1，α＝0.1。图5为本发明的实例2中本发明方法与频率采样法设计所得原型滤波器的幅度响应；其中(a)为频率采样法设计所得的h和本发明设计所得h幅度响应对比图，(b)为频率采样法设计所得的h和本发明设计所得g幅度响应对比图。表2给出了各个方法设计所得的FBMC-OQAM系统性能，可得本发明方法设计所得的原型滤波器阻带衰减总体水平比频率采样法高。
表2例2中FBMC-OQAM系统的性能指标
从表2中原型滤波器的阻带衰减和系统重构误差可以得出，本发明方法设计的FBMC-OQAM系统整体性能最佳。
一方面，本发明考虑的FBMC-OQAM调制结构，其接收端和发送端采用了不同的原型滤波器，其设计自由度是传统的FBMC-OQAM调制结构的两倍。后续的仿真印证了这一结构具备更好的整体性能。另一方面，本发明将原型滤波器的设计问题归结为无约束优化问题，采用双迭代机制求解问题。并且在每一步迭代中采用矩阵求逆的等价条件和Toeplitz矩阵求逆快速算法。相比于现有方法，本发明方法不仅具备更优的性能，而且求解复杂度低很多。
需要说明的是，尽管以上本发明所述的实施例是说明性的，但这并非是对本发明的限制，因此本发明并不局限于上述具体实施方式中。在不脱离本发明原理的情况下，凡是本领域技术人员在本发明的启示下获得的其它实施方式，均视为在本发明的保护之内。
Claims (5)
1.双原型FBMC-OQAM系统中原型滤波器的设计方法，其特征是，包括步骤如下：
步骤1、设定FBMC-OQAM系统发送端的综合滤波器组和接收端的分析滤波器组由2个不同的低通原型滤波器调制而来；
步骤2、根据FBMC系统的性能指标，将双原型FBMC-OQAM系统中综合滤波器组的综合原型滤波器的系数向量h和分析滤波器组的分析原型滤波器的系数向量g的设计问题均归结为一个无约束的优化问题，目标函数是双原型FBMC-OQAM系统的符号间干扰、载波间干扰和原型滤波器阻带能量的加权和；
步骤3、通过推导步骤2所得的目标函数的梯度向量为零，得到综合原型滤波器的系数向量h和分析原型滤波器的系数向量g的最优解的表达式，该表达式即为所需求解的优化问题；
步骤4、给定一个长度为L的综合滤波器组的初始原型滤波器h0；
步骤5、运用双迭代方法以及求逆的等效条件和Toeplitz矩阵求逆的快速方法，利用上次迭代所得的综合原型滤波器的系数向量hi-1去求解步骤3的优化问题，得到本次迭代的分析原型滤波器的系数向量gi，再利用本次迭代的分析原型滤波器的系数向量gi去求解步骤3的优化问题，得到本次迭代的综合原型滤波器的系数向量hi；
步骤6、判断||hi-hi-1||2≤δ是否成立；若成立，则停止迭代过程，本次迭代的综合原型滤波器的系数向量hi和分析原型滤波器的系数向量gi分别作为最终的综合原型滤波器的系数向量h和分析原型滤波器的系数向量g；若不成立，则将(hi+hi-1)/2作为上次迭代所得的综合原型滤波器的系数向量hi-1，并将迭代次数i加1后返回步骤5；其中δ为设定值；
步骤7、根据步骤6所求出的最终的综合原型滤波器的系数向量h和分析原型滤波器的系数向量g，通过调制公式求出各个子载波的综合原型滤波器的系数和分析原型滤波器的系数，从而确定整个双原型FBMC-OQAM系统发送端的综合滤波器组和接收端的分析滤波器组。
2.根据权利要求1所述的双原型FBMC-OQAM系统中原型滤波器的设计方法，其特征是，步骤2中所构建的优化问题为：
<mfenced open = "" close = "">
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<mi>g</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
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</mtable>
</mfenced>
式中，εISI/ICI(h,g)表示FBMC-OQAM中ISI和ICI的最小干扰的近似表达式，εt(h,g)表示在设计中综合滤波器组的原型滤波器h和分析滤波器组的原型滤波器g需要满足的最小化条件，Es(h)表示综合滤波器组的原型滤波器h的阻带能量，Es(g)表示分析滤波器组的原型滤波器g的阻带能量，α是阻带能量权值。
3.根据权利要求1所述的双原型FBMC-OQAM系统中原型滤波器的设计方法，其特征是，步骤3中，综合原型滤波器的系数向量h和分析原型滤波器的系数向量g的最优解的表达式为：
<mfenced open = "{" close = "">
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</mrow>
<mi>b</mi>
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</mtr>
</mtable>
</mfenced>
式中，h为综合原型滤波器的系数向量；g为分析原型滤波器的系数向量； 为第一平移矩阵，为第二平移矩阵，为第一对角矩阵，为第二对角矩阵，k′为第k′个接收端，n′为接收端接收的第n′个符号；α是阻带能量权值；c(ω,L)＝[1,e-jω,…,e-j(L-1)ω]T，ωs为阻带下限频率，ω为频率，L为滤波器的长度；b＝[b1,b2]T，b1＝[b0,1,b0]T，b0为第一零向量，b2是为第二零向量；上标T表示转置。
4.根据权利要求1所述的双原型FBMC-OQAM系统中原型滤波器的设计方法，其特征是，步骤4中，求解本次迭代的综合原型滤波器的系数向量hi和分析原型滤波器的系数向量gi的表达式为：
<mfenced open = "{" close = "">
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</mtr>
</mtable>
</mfenced>
式中，hi为第i次迭代所得综合原型滤波器的系数向量；gi为第i次迭代所得分析原型滤波器的系数向量；hi为第i-1次迭代所得综合原型滤波器的系数向量； 为第一平移矩阵，为第二平移矩阵，为第一对角矩阵，为第二对角矩阵，k′为第k′个接收端，n′为接收端接收的第n′个符号；α是阻带能量权值；I为单位矩阵；ωs为阻带下限频率，ω为频率，L为滤波器的长度；b＝[b1,b2]T，b1＝[b0,1,b0]T，b0为第一零向量，b2是为第二零向量；上标T表示转置。
5.根据权利要求1所述的双原型FBMC-OQAM系统中原型滤波器的设计方法，其特征是，步骤5中，调制公式为：
<mfenced open = "{" close = "">
<mtable>
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<mtd>
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</mtable>
</mfenced>
其中，hk(l)为第k通道的综合原型滤波器的系数，gk(l)为第k通道分析原型滤波器的系数，h(l)为综合原型滤波器的系数向量h的第l个元素，g(l)为分析原型滤波器的系数向量g的第l个元素，l＝0,1,…,L-1，L为综合原型滤波器和分析原型滤波器的长度，WN＝exp(-j2π/N)，k＝0,1,…,N-1，N为滤波器组的通道数；D为设定的系统延迟。
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