CN108199988A - 频率域gfdm低复杂度最小均方误差接收方法及接收机 - Google Patents

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Abstract

本发明公开了一种频率域GFDM低复杂度最小均方误差接收方法及接收机，包括：初始化一个全零大矩阵，进而把大矩阵分割成若干个的子块Φi,j；对主对角线上的前K/2+1个子块和次对角线上的前K/2个子块做二维傅立叶变换，进而根据对称关系确定其他所有子块Φi,j的二维傅立叶变换结果；对二维傅立叶变换结果求取逆变换，对逆变换结果中的每个子块进行IDFT反对角化操作，获取反对角化结果Ψi,j；根据反对角化结果Ψi,j、矩阵N点离散傅立叶变换矩阵GFDM接收块r获取解调输出信号接收机包括：GFDM发送模块对信号进行星座映射、串并转换和GFDM调制，完成调制后信号进入频率选择性信道，加入信道时延和噪声；MMSE接收模块对信号进行解调，最后获得解调后的接收信号。

Description

频率域GFDM低复杂度最小均方误差接收方法及接收机
技术领域
本发明涉及多载波调制解调技术、信道分析、以及接收机设计，具体涉及频率域GFDM 低复杂度最小均方误差接收方法及接收机。
背景技术
下一代移动通信系统需要兼容更多场景，如机器通信(Machine TypeCommunication， MTC)[1]、触觉互联网[2]等，需要面临大量信息的爆发式传输；物联网(theInternet of Things) 系统和车载通信(vehicle-to-vehicle，V2V)[3]等需要较低的时延。作为过去十年间主流的调制方式，正交频分复用(Orthogonal Frequency DivisionMultiplexing，OFDM)系统渐渐暴露了它的局限性，如传输时延大、带外辐射高、对频偏比较敏感等。相比较而言，由Fettweis 提出的广义频分复用(Generalized FrequencyDivision Multiplexing，GFDM)[4]可在很大程度上满足第五代移动通信中出现的新需求。GFDM是一种灵活的多载波调制技术，这种灵活性允许其在特殊情况下变为循环前缀正交频分复用(Cyclic Prefix—Orthogonal Frequency Division Multiplexing,CP—OFDM)技术或者单载波频域均衡(singlecarrier frequency domain equalization,SC—FDE)技术[5]。GFDM是基于块结构的传输系统，每个符号包含若干个子载波和子符号，因此可灵活调整块的大小，以适应低时延场景下的数据爆发式传输。由于每个GFDM符号包含若干个子符号，若干个字符号才需要插入一个CP，因此 GFDM所需CP数量远小于OFDM，提高了频谱利用率。以上这些性质表明，GFDM系统是一个适合第五代移动通信系统的调制解调方式。
相比于OFDM，GFDM的优点是以误比特率(Bit,Error,Rate,BER)的增长为代价的。GFDM的波形是非正交的，相邻子载波和时隙间的非正交导致了符号间干扰。为了抑制符号间干扰，文献[6]提出了三种接收机，包括匹配(Matched Filter，MF)接收、迫零(ZeroForcing， ZF)接收和最小均方误差(Minimum Mean Square Error，MMSE)接收。相比较而言，MMSE 接收机可以实现消除自干扰和抑制噪声两个方面的权衡[7]，因此更适合作为GFDM系统的接收方式。此外，MMSE接收机本身结合了信道均衡和信号解调的过程，然而ZF和MF接收机都需要在解调之前使用信道均衡器。但是，MMSE接收机的复杂度比另外两个接收机高，因此需要一些措施来降低其复杂度和提高其可行性。
由于MMSE接收机集成了信道均衡过程，它的计算复杂度与信道冲击响应密切相关。但是现有的低复杂度算法接收机设计方案(如基于Gabor变换的接收机[8]和两步骤的MMSE接收机[6])只考虑了最理想的情况，假设信道是加性高斯白噪声(Additive WhiteGaussian Noise，AWGN)信道，信道冲击响应是单位冲击。显然，在实际情况下，信道是随机和时变的，AWGN信道模型并不适用。众所周知，无线多径信道不可避免地在接收信号中引入衰落现象，包括时间弥散，衰减和相移。因此，相比于AWGN信道模型，频谱选择性信道(Frequency Selective Channel，FSC)模型更有利于反应实际情况。
发明内容
本发明提供了一种频率域GFDM低复杂度最小均方误差接收方法及接收机，本发明利用特殊的矩阵结构和时域频域转换原理降低计算复杂度；在数学上与原始MMSE接收机等效，不会导致性能损失；该接收机适用于比高斯信道更普遍的频率选择性信道，更符合实际需求，详见下文描述：
一种频率域GFDM低复杂度最小均方误差接收方法，所述方法包括以下步骤：构造K个调制向量，对信道矩阵H做傅立叶变换获得对角阵，根据给定的滤波器构造滤波器矩阵，进而构造调制矩阵，并对调制矩阵做傅立叶变换，求得矩阵
初始化一个全零大矩阵，进而把大矩阵分割成K2个尺寸为M×M的子块Φi,j；
对主对角线上的前K/2+1个子块和次对角线上的前K/2个子块做二维傅立叶变换，进而根据对称关系确定其他所有子块Φi,j的二维傅立叶变换结果；
对二维傅立叶变换结果求取逆变换，对逆变换结果中的每个子块进行IDFT反对角化操作，获取反对角化结果Ψi,j；
根据反对角化结果Ψi,j、矩阵N点离散傅立叶变换矩阵GFDM接收块r获取解调输出信号
一种频率域GFDM低复杂度最小均方误差接收机，所述接收机包括：GFDM发送模块、以及MMSE接收模块，
GFDM发送模块对信号进行星座映射、串并转换和GFDM调制，完成调制后信号进入频率选择性信道，加入信道时延和噪声；
MMSE接收模块对信号进行解调，最后获得解调后的接收信号。
进一步地，所述GFDM调制具体为：上采样、卷积和子载波调制。
本发明提出的基于FSC的GFDM系统的频域低复杂度MMSE接收机，若用于GFDM 系统解调的实际工程领域，可产生如下有益效果：
第一、考虑了信道衰落情况，具符合实际需求。
实际环境中信道不可避免地存在衰落和噪声，本发明同时考虑了信道衰落和噪声情况，使用频率选择性信道作为信道模型设计接收机，因此更能反映实际情况，具有实用性。
第二、利用矩阵的特殊性质设计低复杂度算法，有利用实际工程实现。
本发明针对MMSE接收机复杂度过高的问题，分析了该接收机中各矩阵的结构，利用其稀疏性、重复性和准三对角结构以及循环矩阵在频域的性质设计了相应的低复杂度算法，实验结果表明本发明提出的MMSE接收机比原始MMSE接收机复杂度下降2～3个数量级，比时域算法设计方案低0.5个数量级。
第三、与原始方法在数学上等价，不会造成误码率性能下降。
本发明证明了MMSE接收机中各步骤的矩阵简化运算过程均等价于直接对矩阵进行运算，因此最终解调结果与原始MMSE接收机相同，不会造成BER性能下降。
附图说明
图1为GFDM发射机模型；
图2为CP插入和信道模型；
图3为εG中每个子载波的频谱分布示意图；
图4为当K＝8时矩阵Φ的结构示意图；
图5为当K＝8时矩阵的结构示意图；
图6为当K＝8时矩阵的结构示意图；
图7为不同子载波数量下的计算复杂度对比示意图；
图8为不同子符号数量下的计算复杂度对比示意图；
图9为FSC下三个接收机的BER性能对比示意图；
图10为本发明的硬件实施图；
图11为GFDM发送模块内部算法的流程图；
图12为MMSE接收模块内部算法的流程图。
具体实施方式
为使本发明的目的、技术方案和优点更加清楚，下面对本发明实施方式作进一步地详述。
为了填补这个领域的空白，国内一些学者提出一种在FSC下基于GFDM系统的低复杂度的MMSE接收机时域算法设计方案。
基于上述时域算法，本发明实施例提出了一种计算复杂度更低的频域算法设计方案。该方案深入分析了MMSE接收机理论表达式的5个运算步骤，并发现其中3个步骤包含有特殊的矩阵结构(如稀疏，重复，准三对角或块对称)。本发明实施例从数学上严格证明了这些特殊结构，并由此开发了一个6步骤的GFDM系统的MMSE接收机。
实施例1
一种频率域GFDM低复杂度最小均方误差接收方法，该接收方法包括以下步骤：
101：构造K个调制向量，对信道矩阵H做傅立叶变换获得对角阵，根据给定的滤波器构造滤波器矩阵，进而构造调制矩阵，并对调制矩阵做傅立叶变换，求得矩阵
102：初始化一个全零大矩阵，进而把大矩阵分割成K2个尺寸为M×M的子块Φi,j；
103：对主对角线上的前K/2+1个子块和次对角线上的前K/2个子块做二维傅立叶变换，进而根据对称关系确定其他所有子块Φi,j的二维傅立叶变换结果；
104：对二维傅立叶变换结果求取逆变换，对逆变换结果中的每个子块进行IDFT反对角化操作，获取反对角化结果Ψi,j；
105：根据反对角化结果Ψi,j、矩阵N点离散傅立叶变换矩阵GFDM接收块 r获取解调输出信号
其中，步骤102中的大矩阵满足：准三对角、关于主对角线对称和关于反次对角线共轭对称的性质。
进一步地，步骤103中的子块Φi,j满足：循环性、对角化和反对角化的性质。
进一步地，步骤104中的对二维傅立叶变换结果求取逆变换具体为：
设定三个辅助矩阵的初始值，计算辅助矩阵；
假设逆变换后的矩阵为计算其子块，计算对角线子块
依次计算第j列余下子块，利用矩阵Ψ的两个块对称性质直接获得余下子块的值。
上述方法还包括：
二进制源信号经过正交幅度调制(Quadrature Amplitude Modulation,QAM)星座映射后，生成长度为N的复数序列，经串并转换，并结合K点上采样，生成长度为N的上采样序列；
通过上采样序列与成形滤波器做循环卷积，并做上变换得到第k个分段的输出信号，对输出信号累加，得到一个GFDM符号的发送信号。
综上所述，本发明实施例通过上述步骤101-步骤105分析了接收矩阵的结构，利用稀疏性、重复性和准三对角性以及循环矩阵在频域的性质设计了相应的低复杂度算法，适用于比高斯信道更普遍的频率选择性信道，符合了实际需求。
实施例2
下面结合具体的实例、计算公式对实施例1中的方案进行进一步地介绍，详见下文描述：
201：系统输入；
其中，定义子载波数目为K、子符号数为M、滤波器为g，频率选择信道的信道矩阵为H、接收机的噪声方差为KM×1的GFDM接收块为r，令N＝KM。
202：构造K个调制向量εk，对信道矩阵H做DFT获得对角阵根据给定的滤波器 g构造滤波器矩阵G，进而构造调制矩阵A，并对调制矩阵A做DFT，求得矩阵
其中，εk＝diag[1,ej2πk/K,...,ej2πk(N-1)/K],k＝0,...,K-1,(·)CT表示共轭转置，为N点离散傅立叶变换矩阵，定义为：
其中，W＝exp(2*pi*i*x/N)/N，
G＝[g0…gm…gM-1]；
gm＝[gm(0),...,gm(N-1)]T内的元素gm(n)＝g[(n-mK)modN],n＝0,...,N-1，构造调制矩阵A＝[ε0G ε1G…εK-1G]，对其做傅立叶变换得进而求得矩阵
203：初始化一个全零的KM×KM的大矩阵Φ，进而把大矩阵Φ分割成K2个尺寸为 M×M的子块Φi,j,0≤i,j≤K-1；进而根据如下操作对各子块做幅值；
1)按下式算出子块Φi,j；
具体为，令i＝0,1,...,K/2，算出主对角线上的前K/2+1个子块Φi,i；令i＝1,...,K/2，算出次对角线上的前K/2个子块Φi,i-1，IM是维度为M×M单位矩阵。
2)进而根据如下对阵性，确定主对角线和次对角线剩下的子块，以及左下角的子块ΦK-1,0和右上角的子块Φ0,K-1；
204：对主对角线上的前K/2+1个子块和次对角线上的前K/2个子块做二维傅立叶变换，进而根据对称关系确定其他所有子块Φi,j的二维傅立叶变换结果
其中，每个子块都是对角阵。
205：对二维傅立叶变换结果求取逆变换，对逆变换结果中的每个子块进行IDFT反对角化操作，获取反对角化结果Ψi,j；
即，计算再对子块进行IDFT反对角化操作得：
206：根据反对角化结果Ψi,j、矩阵GFDM接收块r获取解调输出信号
其中，该步骤206具体为：
1)对接收信号做DFT使其变换到频域，即
2)利用已知的矩阵及其稀疏性，计算
3)最后计算矩阵Ψ与向量的乘积，即
综上所述，由于本方法实现了频率域GFDM系统的低复杂度MMSE接收，在多载波调制领域有望得到更广泛的应用。
实施例3
下面结合具体的数学公式、实例、图1-图9对实施例1和2中的方案做进一步地介绍，详见下文描述：
一、GFDM系统模型；
1)发射机模型；
假设GFDM系统模型包含K个子载波和M个子符号。如图1所示，长度为N＝KM的二进制源信号经过QAM星座映射后，生成长度为N的复数序列d。
再经过串并转换后，复数序列d被分成K个长度为M的分段其中dk＝[dk(0),...,dk(M-1)]T。然后，每个dk做K点上采样，生成长度为N的上采样序列可表示为：
其中，δ(n)表示单位冲击函数。之后，上采样序列与成形滤波器 g＝[g(0),...,g(N-1)]T做循环卷积，接着用子载波ej2πkn/K做上变换，得到第k个分段的输出信号：
其中，代表循环卷积，g(n)为成型滤波器g中的第n+1个元素。
最后，把K个并行分段的输出信号累加，得到一个GFDM符号的发送信号 x＝[x(0),...,x(N-1)]T，可用下式表示：
GFDM系统可灵活选择成形滤波器g(如RC滤波器、RRC滤波器等)，不同的g会对GFDM信号的频谱性质和BER有较大的影响。
为了方便起见，GFDM发送信号x可用矩阵形式表示：
x＝Ad (4)
其中，A是一个KM×KM的GFDM系统发送矩阵，该矩阵结构如下：
A＝[ε0G ε1G…εK-1G] (5)
其中，εk是第k个子载波的大小为KM×KM的调制矩阵，可表示为：
εk＝diag[1,ej2πk/K,...,ej2πk(N-1)/K]，
其中，diag(·)表示生成对角矩阵，G是一个大小为KM×M的滤波矩阵，它的结构为：
G＝[g0…gm…gM-1] (6)
在式(6)的矩阵中，第m列的向量gm＝[gm(0),...,gm(N-1)]T可表示为：
gm＝g[(n-mK)modN],n＝0,...,N-1 (7)
所以，g0就是原型滤波器g，之后的每一列gm,m＝1,...,M-1是其前一列gm-1的K点循环移位。
为了抵抗信道衰落，每个GFDM数据块前面需要插入一个长度为NCP的CP，生成一个更长的数据块xCP，如图2所示。
2)信道模型
如前所述，为了尽可能的反映无线传输的多径效应，需要建立FSC模型来替代AWGN模型。具体说来，FSC的冲击响应为其中Nch代表信道时延的长度，为了抵抗信道时延，NCP必须大于该长度。
如图2所示，接收信号rCP可表示为：
rCP＝xCP*h+n (8)
其中，“*”代表线性卷积，代表方差为的高斯白噪声。
3)MMSE接收机模型
假设接收机的载波同步和符号同步都理想的情况下，移除CP后的接收信号r可描述为
其中，是信道冲击响应h补零后的结果，长度与x相同。
为了在消除自干扰和抑制噪声之间实现权衡，在本发明实施例中采用MMSE作为GFDM系统的接收机。理论上，GFDM系统MMSE接收机的解调信号是：
其中，IKM代表KM×KM的单位矩阵。信道矩阵H是一个第一列为的循环矩阵。由于式(10)中包含信道矩阵H，MMSE接收机不需要外加信道均衡，这与MF接收机和ZF 接收机不同。
为了方便说明，本发明实施例把式(10)的MMSE理论解调公式分解成如下5个运算步骤：
随着子载波数量K和子符号数量M增加，式(11)的5个运算步骤中，B＝(HA)CT和BBCT包含大量复数乘法操作。此外，维度为KM×KM的矩阵求逆运算复杂度也十分高。这些问题会导致该接收机难以应用于实际，因此需要在FSC下设计低复杂度的GFDM系统MMSE接收机。
二、低复杂度的MMSE接收机
设计低复杂度MMSE接收机的目的是有效地获得式(10)中的输出显然，式(10)中的计算量主要集中在三个方面：
1)计算KM×KM矩阵B＝(HA)CT；
2)计算KM×KM矩阵Φ；
3)计算KM×KM矩阵Φ的逆矩阵。
由于矩阵H、A、Φ和它的逆矩阵Ψ＝Φ-1具有一些特殊的性质，如循环性、稀疏、重复、准三对角或块对称，本发明实施例利用这些性质完成低复杂度设计。
三、循环矩阵的性质
本节作为讨论低复杂度的MMSE接收机频域算法前的预备知识，将描述循环矩阵的2个性质：
1)对循环矩阵做两次DFT操作，即可使其对角化；
2)对上述循环矩阵的共轭矩阵进行对角化处理后，其结果的对角线元素等于对上述结果的对角线元素做循环翻转后再取共轭。
首先描述第一条性质。假设矩阵C是一个维度为N×N的循环矩阵，其形式如下：
对于循环矩阵C，可利用傅立叶变换使其对角化，表达式如下
其中，是对角化后矩阵对角线上的值。令向量并假设向量为矩阵的第一列，则向量c与满足：
把式(14)代入式(13)可得：
由式(15)可知，一个循环矩阵可通过两次傅立叶变换使其对角化，变换后矩阵的对角线元素等于对该循环矩阵第一列元素做傅立叶变换后的结果。
其次，对于第二条性质，假设矩阵C的共轭矩阵为：
令向量为矩阵的第一列，显然，向量是向量c的共轭向量。根据式(15)可得：
其中，(·)*表示对矩阵的对角线元素做循环反转后再取共轭。因此，对共轭矩阵做对角化处理后矩阵的对角线元素，等于原矩阵做对角化处理后矩阵的对角线元素做循环翻转再取共轭。
四、矩阵H和A的结构
式(5)的发送矩阵A中，对于第k个子载波εkG的M列具有相同的元素，因为式(6)的矩阵G的M列是由一个原型滤波器g通过循环移位得到。所以，在矩阵HA的KM列中，只有K列是互相独立的，其余KM-K列可以由这K列做循环移位得到。
此外，由于信道矩阵H是由补零信道冲击响应通过循环移位得到，因此它的每一行的KM个元素中只有Nch个非零值，进而，计算矩阵HA的每个元素时只需进行Nch次复数乘法。
基于以上分析，较低计算量的矩阵HA计算方法，计算量是直接计算该矩阵乘的为了进一步降低此操作所消耗的计算量，需要利用矩阵H和矩阵A的物理意义。
由上文知信道矩阵H是一个循环矩阵，传输矩阵A由成形滤波器排列而成，且成形滤波器具有低通性质。本节中，考虑矩阵数据的循环性和频域低通性，使矩阵进一步稀疏化，达到降低乘法计算量的目的。
为了利用信道矩阵H和传输矩阵A在频域的性质，首先考虑对矩阵B逐列做N点的傅里叶变换，即：
考虑到，是归一化的傅里叶变换矩阵，则因此式(18)可拓展为：
式(19)中，为了表达方便，令
把式(20)和式(21)代入式(19)中，则
由于信道矩阵H是一个循环矩阵，根据上述所述，矩阵是一个N×N的对角矩阵，因此矩阵中只有对角线上的N个非零元素。此外，矩阵的物理意义是对传输矩阵A按列做DFT，把每一列的滤波器变换到频域。根据式(5)传输矩阵A的每一列是由原型滤波器经过循环移位和子载波调制得到的，因此矩阵的每一列具有相同的通带宽度。原型滤波器具有有限带宽特性，通带宽度为2M。换言之，矩阵的每一列只有2M个非零值。综上所述，矩阵和都属于高度稀疏化的矩阵，计算矩阵乘法所需的计算量将大幅降低。
五、矩阵Φ的结构
因为式(10)中的是一个单元素对角阵，所以矩阵Φ和矩阵(HA)CTHA具有相同的结构。显然，KM×KM矩阵Φ可分成K2个子块，如下式：
其中，Φi,j(i,j＝0,...,K-1)是一个M×M的矩阵。
本节中，为了节省内存和降低计算量，需要利用上一节的结果来计算矩阵Φ。
由式(10)的MMSE理论表达式的分解可知：
式(5)两边同时左乘信道矩阵H得到：
HA＝[Hε0G Hε1G…HεK-1G] (25)
结合式(23)和式(24)、(25)，可得到：
对式(25)两边同时乘以FFT矩阵，可把矩阵的内容组成详细表示为：
利用类似式(19)中的变换方式，把式(20)带入到式(27)中，矩阵可表示为：
根据式(24)，矩阵可用矩阵表示。再根据式(28)的矩阵分解，可推知矩阵Φ的子块Φi,j,0≤i,j≤K-1可表示为：
下面将证明矩阵Φ的3个关于各分块之间的性质：准三对角矩阵、关于主对角线对称和关于反次对角线共轭对称。
1)准三对角矩阵Φ
如式(6)所示，矩阵G中的每个gm都具有低通传输特性，移位它们都是原型滤波器g的时域循环移位版本。如图3所示，对于每个εiG，调制矩阵εi的作用是把低通的原型滤波器搬移到相应的频段ω∈[(i-0.5)2π/K,(i+0.5)2π/K]。
显然，每个子载波占有相同的带宽Δω＝2π/K。所以当所选择的成形滤波器有足够大的旁瓣衰减，εiG的频谱只会与其相邻两侧的频谱(即εi-1G和εi+1G)重叠。此外，对于两个不同的子载波εiG和εjG，如果它们的间隔大于Δω(即|i-j|＝2,3,...,K-2)，它们相互的干扰可忽略，即：
结合式(23)、(24)和(29)，矩阵Φ可写成：
从式(31)可知，矩阵Φ中除了三条对角线上和矩阵两个角上共3K个子块，其余的子块均为零矩阵。在本发明实施例中称这种矩阵为准三对角矩阵。
2)关于对角线对称矩阵
从式(29)可推知，矩阵Φ是一个托普利兹矩阵，即：
因此，式(31)中关于对角线对称的子块满足：
此外，结合式(29)、(33)和调制矩阵εi、εi-1之间的相位补偿，有：
式(34)表明Φ是一个关于对角线块对称的矩阵。
3)关于反次对角线共轭对称矩阵：
从调制矩阵的定义εk＝diag[1,ej2πk/K,...,ej2πk(N-1)/K]易知：
其中，是εK-i的共轭。
令j分别等于i、i-1和i+1，并结合式(35)与式(29)、(30)有：
对于矩阵Φ位于两个角上的子块Φ0,K-1和ΦK-1,0，把i＝K-1和j＝0代入式(36)第三行，并结合式(34)可得：
式(36)、(37)表明，矩阵Φ关于反次对角线共轭对称。
为了直观表示，取K＝8作为例子，矩阵Φ的结构如图4所示。图中两条虚线分别代表主对角线和反次对角线。由于矩阵Φ的3个性质，只有阴影部分的K+1个子块需要计算，其余可以根据性质直接得到，计算量节省(K2-K-1)/K2×100％＝85.94％。
六、子块Φi,j的循环性
本小节将证明子块Φi,j的循环性，命题为：在矩阵Φ中，所有维度为M×M的子块Φi,j均是循环矩阵，如果用数学语言表达，则其内部元素Φi,j(p,q)满足：
Φi,j(p,q)＝Φi,j[(M-(q-p))modM,0)],p,q＝0,1,...,M-1 (38)
证明：对传输矩阵逐列做N点DFT后，得到的矩阵可写成如下形式：
其中，ai,p是一个N×1的列向量。
根据式(6)中滤波矩阵的定义，其中的第p个滤波器gp是由原型滤波器g0做pK点的循环移位后得到的。由式(39)可知，向量对应滤波器做N点DFT后的结果。根据数字信号处理中的时域循环移位定理，信号在时域中做循环移位，变换到频域后表现为相位偏移。因此，式(39)中的向量ai,p和的内部元素ai,0满足如下关系：
类似地，由于矩阵是一个对角矩阵，矩阵也可以表示为如下形式：
其中，列向量bi,p＝Hai,p。因此，向量bi,p与bi,0的内部元素也满足式(40)中的相位偏移关系，即：
令，则矩阵Φ`的子块中的内部元素Φ`i,j(p,q)可表示为：
把p＝[(M-(q-p))modM,0]、q＝0代入式中，则：
比较式(44)和式(38)可知，子块Φ`i，j是一个循环矩阵。进而显然，加上对角矩阵不影响矩阵中的子块的循环性。因此，矩阵Φ中的子块也是循环矩阵，命题得证。
七、子块对角化
子块Φi,j是一个循环矩阵。进而，利用循环矩阵可对角化性质，对矩阵Φ中的每一个子块做两次DFT操作，即：
其中，是M点的归一化DFT矩阵。对矩阵Φ做对角化处理后得到的矩阵可表示为：
其中，每个子块Φi,j都是维度为M×M的对角矩阵。根据上述所述，矩阵Φ具有3个性质，即准三对角性、关于主对角线块对称性和关于反次对角线块共轭对称性。显然，在本节中对子块的对角化处理不影响其准三对角性和关于主对角线的块对称性。对于块共轭对称性，式(26)中的矩阵经过对角化处理后可表示为：
综上，矩阵可表示为：
为了直观表示式(48)中矩阵的结构，取K＝8作为例子，矩阵如图5所示，其中两条虚线分别代表主对角线和反次对角线，小方块表示矩阵的子块。根据子块间的对称性以及式(33)中的关系，矩阵的对角化操作只需对图5中阴影部分的子块进行，其余子块可通过对应关系直接获得。需注意，在矩阵中的子块都是对角矩阵，因此该矩阵的稀疏程度比图4中的矩阵Φ高。
八、求解逆矩阵
为了实现更低的计算复杂度，本小节将利用稀疏度更高的对角化矩阵计算矩阵。假设对矩阵求逆后的矩阵为并把它分为K2个的M×M子块，即：
显然，矩阵为矩阵Ψ对角化处理后的结果。根据上一节所述，矩阵Φ的3个性质中，第二个和第三个性质都是关于矩阵的对称性。根据文献[9]，当原矩阵是准三对角，它的逆矩阵具有与原矩阵相同的对称性。所以，也具有2个块对称的性质，即关于主对角线对称和关于反次对角线共轭对称。此外，关于反次对角线共轭对称性对应变为关于反次对角线对称的子块的对角线元素是子块对角线元素的循环翻转再取共轭。综上，矩阵子块间的关系可表示为：
为了帮助理解，对角线元素循环翻转再取共轭的操作(·)*在本式中的作用可用数学表达式如下：
把(50)代入(49)中，可得：
当K＝8时，矩阵的结构如图6所示，其中两条虚线分别代表主对角线和反次对角线。图6中，由于矩阵有2个块对称性质，因此只需计算阴影部分的K+K2/4个子块，其余子块可根据对称性直接得到。这意味着计算量可节省(3/4-1/K)×100％。
下面需要求解逆矩阵具体地，把式(49)和式(52)代入然后把矩阵的所有行分别与矩阵的第j列可获得以下K个方程组：
其中，IM代表M×M的单位阵。
如图5所示，由于矩阵的两个块对称性质，式(53)中只需解前K/2+1个方程组。根据文献[10]中的推导过程，本发明实施例提出一个用于计算逆矩阵的3步骤方法如下(其中涉及的矩阵维度均为M×M)：
1)初始化：令三个辅助矩阵初始值为XK-1＝0，和
2)计算辅助矩阵：首先，用下式依次计算XK-2,XK-3,...,X0
其次，用下式依次计算YK-2,YK-3,...,Y0
最后，用下式依次计算Z1,Z2,...,ZK-1
3)计算矩阵子块：首先，用ZK-1，X0和Y0计算对角线子块然后依次计算矩阵第0列余下子块如下式所示：
其次，对于矩阵第j列(j＝1,...,K/2-1)，用Xj和Yj计算对角线子块然后依次计算第j列余下子块如下式所示：
再次，对于矩阵Ψ第K/2列，只需计算子块ΨK/2,K/2如下：
最后，利用式(50)中矩阵Ψ的两个块对称性质直接获得余下子块的值。
为了加快上文所述的3步骤求逆算法的运算速度，本发明实施例提出如下建议：
1)在计算辅助矩阵Z0,Z1,...,ZK-1时，只需保存ZK-1，前K-1个在后面计算中没有使用。
2)当获得第j列的对角线子块和下一个子块后，为了提高计算效率，第j列的余下子块和第j+1列子块可并行计算。
九、子块的反对角化
本小节需要把对角化的子块进行反对角化处理，还原成子块Ψi,j。该操作可表示为：
在实际操作中，可利用式(15)中的等价关系，取子块的对角线元素做M点反离散傅里叶变换(Inverse Discrete Fourier Transform，IDFT)即可得到子块Ψi,j的第一列元素，然后根据子块元素的循环关系得到其余列的元素。
十、计算解调信号
为了降低计算解调信号d的计算复杂度，本小节把式(11)的最后一行d＝ΨBCTr拓展为：
根据式(18)，矩阵已经计算得到，且该矩阵的每一列只有2M个非零元素。因此，将其带入式(63)可得：
根据式(64)，解调信号d的计算可分成如下3个步骤：
1)对接收信号做DFT使其变换到频域，即
2)利用已知的矩阵及其稀疏性，计算
3)最后计算矩阵Ψ与向量的乘积，即
十一、计算复杂度分析
根据式(11)，本节使用计算所需的复数乘法(Complex Multiplication,CM)次数作为评价指标，详细分析对比了原始的MMSE接收机和本发明提出的接收机的计算量。
1)原始MMSE接收机所需的CMs
显然，式(11)的前两步运算(B＝(HA)CT和)都需要进行KM×KM的矩阵乘法，因此总共需要消耗2(KM)3次CM。此外，由于矩阵Φ是正定对称矩阵，可利用Cholesky分解计算其逆矩阵Ψ，需要消耗(KM)3/3次CMs。对于式(11)的后两步运算 (q＝Br和)，都需要计算矩阵与向量的乘法，因此总共需要消耗2(KM)2次CM。因此，原始MMSE接收机总共所需消耗的CMs为[4]
2)本发明的MMSE接收机所需的CMs
首先引入MMSE接收机时域算法求逆运算次数表，如：
表1 MMSE接收机求逆时域算法的矩阵运算次数
本节将分析频域低复杂度MMSE接收机算法的计算复杂度。该算法也分成4个阶段。
第一阶段，利用稀疏性在频域计算矩阵乘法HA，即根据上述所述，矩阵是一个N×N的对角矩阵，因此矩阵中只有对角线上的N个非零元素。此外，由式(5)可知，矩阵的物理意义是对传输矩阵A按列做DFT变换到频域。传输矩阵A的每一列是由同一个原型滤波器经过循环移位和子载波调制得到的，因此矩阵的每一列具有相同的通带宽度。如图3所示，原型滤波器具有有限带宽特性，通带宽度为2M。换言之，矩阵的每一列只有2M个非零值。由于矩阵可在前一次信道估计中计算得到，矩阵也可在接收机之前预先计算。所以，计算KM×KM矩阵需要2KM2次复数乘法。
第二阶段，利用特殊结构分块计算矩阵由第一阶段可知，矩阵每一列只有2M个非零元素，所以计算矩阵Φ的每一个元素只需要2M次复数乘法。此外，根据第3.4节的命题，矩阵Φ的每一个M×M的子块Φi,j都是循环矩阵。所以，对于每个子块，只需计算第一列的M个元素，其余元素可由循环性直接获得。最后，由第3.3节可知，矩阵Φ只有K+1个独立子块，所以计算该矩阵所需的复数乘法次数为2(K+1)M2。
第三阶段，计算逆矩阵Ψ。本阶段可分成3个部分，其中第一部分是对子块Φi,j做对角化处理，得到子块每一个子块的对角化需要先对子块的第一列做M点的DFT得到M×1的列向量，然后重排成M×M的对角矩阵，因此需要Mlog2M次复数乘法。由第二阶段可知，矩阵Φ只有K+1个独立子块，因此第一部分总共需要(K+1)Mlog2M次复数乘法。第二部分是利用3步骤的求逆算法获得逆矩阵其中计算辅助矩阵和子块所需的矩阵乘法和矩阵求逆次数与表1中相同，分别为K2/4+4K-3次和3K2/4+9K-9次。但是，此处的求逆算法不同之处在于算法中涉及的辅助矩阵和输入输出子块均为M×M的对角矩阵，每个对角矩阵相乘和求逆操作均只需M次复数乘法。因此第二部分总共需要 (K2+13K-12)M次复数乘法。第三部分是对子块做反对角化处理，得到子块Ψi,j。与对角化处理相反，反对角化需要先提取对角线元素并排列成列向量，再对该列向量做IDFT 得到子块Ψi,j的第一列，最后根据循环性获得余下各列。因此每一个子块的反对角化处理需要Mlog2M次复数乘法。根据上述描述，矩阵Ψ有个独立子块，因此第三部分总共需要(次复数乘法。综合以上三个部分，第三阶段的矩阵求逆计算总共需要：
次复数乘法。
第四阶段，计算解调信号d。本阶段可分为3个步骤，第一步对接收信号做N点DFT，得到频域的接收信号需要KMlog2KM次复数乘法。第二步计算基于特殊结构的矩阵－向量乘法根据第一阶段所述，矩阵每一列只有2M个非零元素，所以相应的矩阵－向量乘法所需的复数乘法次数为2KM2。第三步是计算矩阵－向量乘法所需的复数乘法次数为(KM)2。综合以上3个步骤，第四阶段的解调信号计算总共需要 K2M2+KM(2M+log2KM)次复数乘法。
综上所述，本文提出的频域低复杂度MMSE接收机算法的计算复杂度为：
综上所述，由于本方法实现了频率域GFDM系统的低复杂度MMSE接收，在多载波调制领域有望得到更广泛的应用。
实施例4
下面结合具体的计算公式，对实施例3中对矩阵Ψ的求解做进一步地介绍，分成3种情况进行讨论，详见下文描述：
由于矩阵Ψ有两个对称块性(关于主对角线对称和关反次对角线共轭对称)，所以式(53) 只需解前K/2+1个方程组。按照矩阵各列标号，本发明实施例把方程组的解分为三种情况： j＝0，1≤j≤K/2-1和j＝K/2。
情况一：当j＝0，把式(53)的方程组E0写为：
从式(66)的最后一行开始，把该式写为：
ΨK-1,0＝-(ΦK-1,K-1-XK-1)-1(ΦK-1,K-2ΨK-2,0-YK-1Ψ0,0) (67)
其中，XK-1＝0，YK-1＝-ΦK-1,0。把式(67)代入式(66)倒数第二行可得
ΨK-2,0＝-(ΦK-2,K-2-XK-2)-1(ΦK-2,K-3ΨK-3,0-YK-2Ψ0,0), (68)
其中：
XK-2＝ΦK-1,K-2(ΦK-1,K-1-XK-1)-1ΦK-1,K-2 (69)
YK-2＝-ΦK-1,K-2(ΦK-1,K-1-XK-1)-1YK-1 (70)
类似地，把式(68)代入式(66)倒数第三行可得：
ΨK-3,0＝-(ΦK-3,K-3-XK-3)-1(ΦK-3,K-4ΨK-4,0-YK-3Ψ0,0). (71)
其中：
XK-3＝ΦK-2,K-3(ΦK-2,K-2-XK-2)-1ΦK-2,K-3 (72)
YK-3＝-ΦK-2,K-3(ΦK-2,K-2-XK-2)-1YK-2. (73)
按照以上规律，可归纳得到：
其中：
情况二：当1≤j≤K/2-1时，把式(53)的方程组Ej写为：
由图6可知，当0≤i≤j-1时：
Ψi,j＝Ψj,i (79)
当j+1≤i≤K-1时，按照情况一的推导方法可得：
Ψi,j＝-(Φi,i-Xi)-1(Φi,i-1Ψi-1,j-YiΨj,0) (80)
当i＝j时，把式(79)和(80)连续代入式(78)的第一行可得：
Ψj,j＝-(Φj,j-Xj)-1(Φj,j-1Ψj,j-1-YjΨj,0-IM) (81)
情况三：当j＝K/2时，只有ΨK/2,K/2需要解。式(53)的方程组EK/2的第K/2行方程为：
ΦK/2,K/2-1ΨK/2-1,K/2+ΦK/2,K/2ΨK/2,K/2+ΦK/2,K/2+1ΨK/2+1,K/2＝IM. (82)
根据两个块对称性可解得：
综上所述，由于本方法实现了频率域GFDM系统的低复杂度MMSE接收，在多载波调制领域有望得到更广泛的应用。
实施例5
本发明实施例将根据已有的3种MMSE接收机算法及本方法的计算复杂度分析，采用不同的子载波数和子符号数，对4种算法的复杂度做横向对比。此外，本节还将以上各低复杂度算法运用到GFDM系统的仿真中，统计并对比各算法的误码率性能。
信道长度Nch取为当子符号数M＝11，子载波数取值区间为K＝2a,a∈[1,7]时，4种MMSE接收机算法的计算复杂度对比如图7所示。当子载波数K＝128，子符号数取值区间为M∈[1,15](其中M取奇数)时，4种MMSE接收机算法的计算复杂度对比如图 8所示。
由图7、图8可看出，低复杂度MMSE接收机时域算法的计算量比直接计算MMSE 接收机的理论表达式的计算量降低约2个数量级，但仍比由Matthe等人提出的基于块循环结构的MMSE接收机简化算法的计算量高出约1个数量级。这是因为基于块循环结构的MMSE接收机简化算法利用了表达式中各矩阵的频域特性，通过DFT和离散ZAK变换使矩阵进一步稀疏。
为了改进时域算法使其复杂度降低，本方法的低复杂度MMSE接收机频域算法也利用了矩阵的频域特性，使计算过程中矩阵稀疏程度提高。此外，由于本方法中传输矩阵是按照子符号顺序排列的，因此矩阵分块大小为M×M。而基于块循环结构的MMSE接收机简化算法中传输矩阵是按照子载波顺序排列的，其中涉及的矩阵分块大小为K×K。在通常情况下，GFDM系统中子载波数要比子符号数大得多，所以本方法的频域算法矩阵分块更小，计算量更低。从图7、图8也可看出，本方法的计算量比基于块循环结构的MMSE 接收机简化算法的计算量低约0.5个数量级。
本节通过实验仿真，实现在FSC下，原始MMSE和本发明提出的MMSE接收机之间的BER性能比较。实验所选用的FSC冲击响应为实验所需的其他参数如表2所示。
表2实验参数设置
本实验中取Eb/N0范围为[0,28]dB，对于每个Eb/N0点，进行1000次Monte-carlo仿真，每次仿真使用10个GFDM符号。图9给出了三个接收机的BER性能曲线。
从图中可看出三个接收机的BER曲线是一致的，说明本发明提出的低复杂度MMSE接收机不会造成BER性能下降。因此也证明了本发明中低复杂度算法与时域低复杂度 MMSE接收机算法以及原始算法在数学上是等价的。
实施例6
本发明实施例提供了一种频率域GFDM低复杂度最小均方误差接收机，该实施例是与实施例1-4中的接收方法相对应，该接收机包括：
在图10中，首先对把二进制序列分段输入到GFDM发送模块中，每段长度等于一个GFDM符号长度。然后对信号进行星座映射、串并转换和GFDM调制。之后信号进入频率选择性信道，加入信道时延和噪声。接收端用MMSE接收模块对信号进行解调，其中包括利用3种性质的低复杂度矩阵乘法和3步骤的低复杂度矩阵求逆。最后获得解调后的接收信号。
其中，图10的GFDM发送模块和MMSE接收模块为核心器件，在信号的发送和接收过程中，完成如下主要功能：
1)调用内部核心算法，对输入信号进行星座映射、串并转换；
2)对串并转换后的信号进行GFDM调制，其中包括上采样、卷积和子载波调制；
3)进行信道估计，利用信道矩阵和发送矩阵的性质完成高效的矩阵乘法运算；
4)完成3步骤的矩阵求逆运算。
GFDM发送模块和MMSE接收模块的内部算法流程如图11、图12所示。
本发明实施例将所提出的“适于频率选择性信道的GFDM系统频域低复杂度最小均方误差接收机设计”的MMSE接收模块内，基于此完成低复杂度的GFDM接收信号解调。
图12的流程分为如下几个步骤：
系统输入：子载波数目K、子符号数M、滤波器g，频率选择信道的信道矩阵H、接收机的噪声方差和KM×1的GFDM接收块r，令N＝KM。
步骤1：构造K个调制向量εk＝diag[1,ej2πk/K,...,ej2πk(N-1)/K],k＝0,...,K-1,对信道矩阵H 做傅立叶变换获得对角阵根据给定的滤波器g，构造KM×M的滤波器矩阵 G＝[g0…gm…gM-1]，其中gm＝[gm(0),...,gm(N-1)]T内的元素：
gm(n)＝g[(n-mK)modN],n＝0,...,N-1，构造调制矩阵A＝[ε0G ε1G…εK-1G],对其做傅立叶变换得进而求得矩阵
步骤2：初始化一个全零的KM×KM的大矩阵Φ，进而把Φ分割成K2个尺寸为 M×M的子块Φi,j,0≤i,j≤K-1。进而根据如下操作对各子块做幅值。
1)按下式算出子块Φi,j
具体为，令i＝0,1,...,K/2，算出主对角线上的前K/2+1个子块Φi,i令i＝1,...,K/2，算出次对角线上的前K/2个子块Φi,i-1。
2)进而根据如下对阵性，确定主对角线和次对角线剩下的子块，以及左下角的子块ΦK-1,0和右上角的子块Φ0,K-1
步骤3：进而对主对角线上的前K/2+1个子块和次对角线上的前K/2个子块的做二维傅立叶变换，进而根据对称关系确定其他所有子块Φi,j的二维傅立叶变换结果这时每个子块都是对角阵；
步骤4：计算再对子块进行IDFT反对角化操作得：
步骤5：计算解调输出信号具体操作如下：
1)对接收信号做DFT使其变换到频域，即
2)利用已知的矩阵及其稀疏性，计算
3)最后计算矩阵Ψ与向量的乘积，即
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Claims (10)

1.一种频率域GFDM低复杂度最小均方误差接收方法，其特征在于，所述方法包括以下步骤：构造K个调制向量，对信道矩阵H做傅立叶变换获得对角阵，根据给定的滤波器构造滤波器矩阵，进而构造调制矩阵，并对调制矩阵做傅立叶变换，求得矩阵
初始化一个全零大矩阵，进而把大矩阵分割成K2个尺寸为M×M的子块Φi,j；
对主对角线上的前K/2+1个子块和次对角线上的前K/2个子块做二维傅立叶变换，进而根据对称关系确定其他所有子块Φi,j的二维傅立叶变换结果；
对二维傅立叶变换结果求取逆变换，对逆变换结果中的每个子块进行IDFT反对角化操作，获取反对角化结果Ψi,j；
根据反对角化结果Ψi,j、矩阵N点离散傅立叶变换矩阵GFDM接收块r获取解调输出信号
2.根据权利要求1所述的一种频率域GFDM低复杂度最小均方误差接收方法，其特征在于，所述大矩阵满足：准三对角、关于主对角线对称和关于反次对角线共轭对称的性质。
3.根据权利要求1所述的一种频率域GFDM低复杂度最小均方误差接收方法，其特征在于，所述子块Φi,j满足：循环性、对角化和反对角化的性质。
4.根据权利要求1所述的一种频率域GFDM低复杂度最小均方误差接收方法，其特征在于，所述接收方法的复杂度为：
5.根据权利要求1所述的一种频率域GFDM低复杂度最小均方误差接收方法，其特征在于，所述对二维傅立叶变换结果求取逆变换具体为：
设定三个辅助矩阵的初始值，计算辅助矩阵；
假设逆变换后的矩阵为计算其子块，计算对角线子块
依次计算第j列余下子块，利用矩阵Ψ的两个块对称性质直接获得余下子块的值。
6.根据权利要求5所述的一种频率域GFDM低复杂度最小均方误差接收方法，其特征在于，所述方法还包括：
在计算辅助矩阵时，只需保存ZK-1；
当获得第j列的对角线子块和下一个子块后，第j列的余下子块 和第j+1列子块可并行计算。
7.根据权利要求1所述的一种频率域GFDM低复杂度最小均方误差接收方法，其特征在于，所述根据反对角化结果Ψi,j、矩阵N点离散傅立叶变换矩阵GFDM接收块r获取解调输出信号具体为：
对接收信号做DFT，即利用矩阵及其稀疏性，计算
最后计算矩阵Ψ与向量的乘积，即
8.根据权利要求1所述的一种频率域GFDM低复杂度最小均方误差接收方法，其特征在于，所述方法还包括：
二进制源信号经过QAM星座映射后，生成长度为N的复数序列，经串并转换，并结合K点上采样，生成长度为N的上采样序列；
通过上采样序列与成形滤波器做循环卷积，并做上变换得到第k个分段的输出信号，对输出信号累加，得到一个GFDM符号的发送信号。
9.一种用于实施权利要求1-8中任一权利要求所述的一种频率域GFDM低复杂度最小均方误差接收方法的接收机，其特征在于，
所述接收机包括：GFDM发送模块、以及MMSE接收模块，
GFDM发送模块对信号进行星座映射、串并转换和GFDM调制，完成调制后信号进入频率选择性信道，加入信道时延和噪声；
MMSE接收模块对信号进行解调，最后获得解调后的接收信号。
10.根据权利要求9所述的接收机，其特征在于，
所述GFDM调制具体为：上采样、卷积和子载波调制。
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