CN105391453A - 基于Xampling框架构造观测矩阵的信号压缩感知方法 - Google Patents

Abstract

基于Xampling框架构造观测矩阵的信号压缩感知方法，涉及信息及通信技术领域。它是为了解决目前压缩感知中随机观测矩阵不易在硬件中实现的问题、确定性观测矩阵重构概率低导致的信号压缩感知能力低问题。其方法：首先产生一个随机向量a；然后将随机向量a循环移位产生一个新向量a_i；再将向量a_i与随机向量a对应元素相乘，得到观测矩阵的第i行r_i；最后循环N次进行上面的步骤，构造出M×N维的观测矩阵R，进而对信号进行压缩感知。本发明适用于信号压缩感知。

Description

基于Xampling框架构造观测矩阵的信号压缩感知方法

技术领域

本发明涉及信息及通信技术领域。

背景技术

借鉴变换编码的概念，压缩感知作为一种全新的信息获取和传感器设计的框架出现了。压缩感知理论的基本观点是：对于稀疏和可压缩信号，可以用某种方法在低速率下直接获取数据的压缩形式，而不是先高速采样然后再压缩数据。这一理论一经提出，就受到了研究者们的极大关注，成为打破经典香农-奈奎斯特采样定理束缚的重要理论依据。

虽然压缩感知理论让人们看到了突破采样定理的希望，但是如何将压缩感知理论应用于模拟采样仍然存在很多问题。压缩感知起源于数学上求解欠定方程组的问题，只能解决有限维问题，如何将压缩感知理论应用于模拟采样中，成了近年来众多领域研究的热点问题。以色列学者MosheMishali和YoninaC.Eldar提出了Xampling框架的概念，这个框架旨在用已有的模拟和数字设备结合压缩感知的方法对稀疏或可压缩信号进行欠奈奎斯特采样和处理，它的提出给研究者应用压缩感知理论提供了一个可行的方案，使压缩感知逐渐从理论研究走向了工程实践。调制宽带转换器是Xampling框架的一种具体方法，它是针对多频带信号的一种欠采样系统，能够以远低于奈奎斯特频率的采样速率对信号进行采样和精确重构。本方法主要基于调制宽带转换器系统，来验证矩阵的性能。

Elad在2006年提出了观测矩阵构造的问题，观测矩阵的构造不仅与稀疏基或冗余字典的设计有关，而且对信号重构的质量起着决定性作用。在CS理论中，对观测矩阵的要求相对宽松，Donoho提出：

(1)由观测矩阵的列向量组成子矩阵，所有子矩阵的最小奇异值必须大于某一常数，也即测量矩阵的列向量必须满足一定的线性独立性；

(2)观测矩阵的列向量具有某种类似噪声的随机性；

(3)满足稀疏度要求的解是满足1-范数最小的解向量。

压缩感知的观测矩阵大致可以分为两大类：随机观测矩阵和确定性观测矩阵。常用的随机观测矩阵有高斯随机观测矩阵、伯努利随机观测矩阵等，这类矩阵虽然性能优异，但是随机性在硬件中很难实现；常用的确定性观测矩阵有部分哈达玛观测矩阵、循环观测矩阵、托普利兹观测矩阵、混沌观测矩阵等，这类矩阵较易于硬件实现，但其性能比随机观测矩阵差，需要观测矩阵具有更高的维数，这也会增加压缩感知系统硬件实现的复杂度。如何设计一种易于硬件实现且性能优异的观测矩阵，成为压缩感知从理论走向工程应用的关键。

本发明是为了解决解决现有压缩感知观测矩阵的以下问题：

(1)、随机观测矩阵需要的存储空间大，硬件实现困难；

(2)、部分哈达玛观测矩阵、循环观测矩阵、托普利兹观测矩阵等都需要随机抽取，而且矩阵的性能与抽取时的随机性有关；

(3)、部分哈达玛观测矩阵对维数有限制，并且其自身存在周期性，这给矩阵的应用带来了限制；

(4)、混沌观测矩阵算法复杂，迭代时间长，实时性差；

(5)、确定性观测矩阵所需的维数高，应用时需要硬件有更多的通道数；

导致的信号压缩感知能力低的问题，从而提供一种基于Xampling框架构造观测矩阵的信号压缩感知方法。

基于Xampling框架构造观测矩阵的信号压缩感知方法，它由以下步骤实现：

步骤一、产生一个长度为M的随机±1向量：

a＝[α₁α₂α₃...α_M]；

步骤二、将向量a向右循环移位i次产生一个新的向量：

a_i＝[α_M-i+1α_M-i+2α_M-i+3...α_M-i]

式中：i＝1，2，…，M-1；

步骤三、将向量a_i与随机向量a对应元素相乘，得到观测矩阵的第i行r_i；

步骤四、循环步骤一至步骤三N次，N为正整数，构造出M×N维的观测矩阵R：

$R=\left[\begin{array}{c}{r}_1\\ .\\ .\\ .\\ r_n\end{array}\right]$

步骤五、根据步骤四构造出的M×N维的观测矩阵R对信号进行压缩感知。

步骤一中的随机向量为任意的随机±1序列，利用该序列循环移位与原序列对应元素相乘构造观测矩阵。

本发明具有以下特点和显著进步：

1、本发明中观测矩阵的元素为±1，节省存储空间，易于硬件实现；

2、本发明中观测矩阵只需一个随机向量就可生成，随机变元少；

3、本发明中观测矩阵与循环观测矩阵相比，各行元素都不相同，矩阵的随机性更强。

4、本发明中观测矩阵不需要随机抽取，构造方法更简单，而且性能更加稳定；

5、本发明中观测矩阵对信号的重构概率明显优于其他确定性观测矩阵，达到了随机观测矩阵的效果；

6、本发明中观测矩阵只需要一个随机向量，在应用于硬件时可以保证各个通道很好的同步性，不会产生随机的时延误差。

信号压缩感知的能力得以大幅度提高。

附图说明

图1是调制宽带转换器的采样结构示意图，

本发明的观测矩阵可以用于调制宽带转换器的随机混合函数p_i(t)，矩阵的每行可以作为每个通道的随机混合函数。

图2和图3是仿真实验中所用的信号模型仿真示意图；

信号的函数表达式为：

$x\left(t\right)=\underset{i=1}{\overset{3}{\Σ}}\sqrt{E_{i}B}\sin c\left(B\right(t-{\mathrm{\τ}}_i\left)\right)\cos \left(2{\mathrm{\πf}}_i\right(t-{\mathrm{\τ}}_i\left)\right)$

图4和图5是将本发明设计的观测矩阵用于调制宽带转换器时，对信号进行欠奈奎斯特采样后恢复的信号仿真示意图；

图6是不同信噪比下随机伯努利观测矩阵、托普利兹观测矩阵、循环观测矩阵和本发明设计的观测矩阵用于调制宽带转换器中信号的重构概率仿真示意图；

图7是不同通道数下随机伯努利观测矩阵、托普利兹观测矩阵、循环观测矩阵和本发明设计的观测矩阵用于调制宽带转换器中信号的重构概率仿真示意图；

图8是信号在不同稀疏度下随机伯努利观测矩阵、托普利兹观测矩阵、循环观测矩阵和本发明设计的观测矩阵用于调制宽带转换器中信号的重构概率仿真示意图；

具体实施方式

具体实施方式一、结合图1至图5说明本具体实施方式，基于Xampling框架构造观测矩阵的信号压缩感知方法，由以下步骤实现：

步骤一、产生一个长度为M的随机±1向量a＝[α₁α₂α₃α_M]；

步骤二、将向量a向右循环移位i次产生一个新的向量：

a_i＝[α_M-i+1α_M-i+2α_M-i+3α_M-i](i＝1,2,...M-1)

步骤三、将向量a_i与随机向量a对应元素相乘，得到观测矩阵的第i行r_i；

步骤四、循环N次进行上面的步骤，构造出M×N维的观测矩阵：

$R=\left[\begin{array}{c}{r}_1\\ .\\ .\\ .\\ r_n\end{array}\right]$

步骤五、根据步骤四构造出的M×N维的观测矩阵R对信号进行压缩感知。

步骤一中的随机向量为任意的随机±1序列，利用该序列循环移位与原序列对应元素相乘构造观测矩阵。

为了验证构造的观测矩阵的性能，实施中将观测矩阵应用于调制宽带解调器，并将其性能与随机伯努利观测矩阵、托普利兹观测矩阵和循环观测矩阵的性能进行比较，说明本发明构造的观测矩阵的优异性能。为了便于理解，下面先简要的介绍调制宽带解调器。

调制宽带转换器是一种基于压缩感知的针对多频带信号的欠奈奎斯特采样系统，可以用远小于信号奈奎斯特频率的速率对信号进行采样并实现精确恢复，而且不需要信号载频的先验信息。调制宽带转换器的采样部分由一组调制器、低通滤波器和低速ADC组成，图1给出了其采样结果的示意图。

调制宽带转换器有m个并行支路，在每个支路中信号x(t)与周期为T_p的周期信号p_i(t)进行相乘，而且p_i(t)每隔T_p/M的时间间隔在±1之间随机变化，p_i(t)的表达式为

$p_i\left(t\right)={\mathrm{\α}}_{ik},k\frac{T_p}{M}\≤t\≤(k+1)\frac{T_p}{M},0\≤k\≤M-1$

其中α_ik∈{+1,-1}，并且p_i(t+nT_p)＝p_i(t)对任意整数n都成立。信号x(t)与p_i(t)相乘后，通过截止频率为1/2T_s的低通滤波器，然后以1/T_s的速率对其进行采样，采样序列为y_i[n]。本发明的观测矩阵的行向量在调制宽带转换器中可以作为一个通道内混合函数的一个周期，用于系统的混频。

在调制宽带转换器的硬件实现中，随机混合步骤一般在每一个通道内采用一个循环移位寄存器存储混合函数，然后通过循环移位的方法产生周期序列。应用本发明设计的观测矩阵则只需要一个循环移位寄存器，在每个通道中利用寄存器相邻存储单元的两个抽头输入一个同或门电路，然后以这个同或门电路的输出作为该通道的混合函数。与普通的调制宽带转换器相比，本发明的观测矩阵在应用时可以大量节省存储空间，以图4和图5的仿真为例，其仿真时通道数m＝50，每个通道内需要的混合函数的的瞬时值个数M＝195，这样系统就需要mM＝9750个存储单元，而应用本发明的观测矩阵，则只需要M＝195个存储单元和m＝50个同或门电路，这样就节省了9555个存储单元，优势相当明显。此外，如果每个通道应用一个循环移位寄存器，那么所有通道的同步性很难保证，如果存在未知的随机时延，将会影响系统对信号的恢复效果，本发明各个通道共用一个循环移位寄存器，同步性将得到很好的保证，这也是本发明应用于调制宽带转换器的优势之一。

图2和图3是适用于调制宽带转换器的多频带信号模型，信号的函数表达式为：

$x\left(t\right)=\underset{i=1}{\overset{3}{\Σ}}\sqrt{E_{i}B}\sin c\left(B\right(t-{\mathrm{\τ}}_i\left)\right)\cos \left(2{\mathrm{\πf}}_i\right(t-{\mathrm{\τ}}_i\left)\right)$

其中，sinc(x)＝sin(πx)/(πx)，能量参数E_i和时延参数τ_i随机给定，每个子信号的载频f_i随机分布在[0,5]GHz范围内，信号的奈奎斯特采样频率f_NYQ＝10GHz。

信号恢复仿真实验中，设置调制宽带转换器通道数m＝50，每个通道内低通滤波器带宽和采样频率f_p＝f_s＝f_NYQ/195≈51.3MHz，混合函数p_i(t)采用本发明构造的观测矩阵，此时系统的总采样频率mf_s≈2.56GHz，采样频率只有奈奎斯特采样频率的四分之一左右。图4和图5给出了调制宽带转换器重构的信号，可以看出，在采样频率远低于奈奎斯特频率的情况下恢复的信号几乎没有失真。这证明本发明的观测矩阵可以作为Xampling框架下的压缩感知观测矩阵。

为了分析本发明中基于Xampling框架的压缩感知观测矩阵的性能，下面分别将随机伯努利观测矩阵、托普利兹观测矩阵、循环观测矩阵和本发明设计的基于Xampling框架的压缩感知观测矩阵应用于调制宽带转换器，通过比较几种观测矩阵在不同情况下对信号的重构概率，来分析观测矩阵的性能。

当调制宽带转换器的通道数m＝50，信号的信噪比为-10dB至40dB(间隔为5dB)情况下，四种观测矩阵对信号的重构概率如图6所示，由图6可以看出，在不同信噪比下，循环观测矩阵和托普利兹观测矩阵的重构概率明显低于随机伯努利观测矩阵和本发明设计的观测矩阵，而本发明设计的观测矩阵在信噪比低于25dB时，重构概率略高于随机伯努利观测矩阵，在高信噪比时，与随机矩阵性能相当，都达到了99％以上。

当调制宽带转换器在信噪比为SNR＝30dB，通道数为10至60(间隔为5)情况下，四种观测矩阵对信号的重构概率如图7所示，由图7可以看出，当通道数小于25时，本发明设计的观测矩阵与循环观测矩阵和随机伯努利观测矩阵性能相似，明显优于托普利兹观测矩阵；当通道数大于25时，本发明设计的观测矩阵的性能与随机伯努利观测矩阵相当，略优于循环观测矩阵和托普利兹观测矩阵，表现出了很好的性能。

当调制宽带转换器在信噪比SNR＝30dB，通道数m＝50时，仿真信号的子信号在1至10，即信号的稀疏度为2至20的情况下，四种观测矩阵对信号的重构概率如图8所示，由图8可以看出，随着信号稀疏度的增大，基于循环观测矩阵和拓普利兹观测矩阵的系统的重构概率下降很快，本发明设计的观测矩阵的性能明显要优于前两者，达到了随机伯努利观测矩阵的性能。

综合考虑上述仿真实验，本发明设计的观测矩阵性能明显优于确定性观测矩阵中的循环观测矩阵和托普利兹观测矩阵，达到了随机伯努利观测矩阵的性能，而且比随机观测矩阵节省硬件资源，具有明显的优势。

Claims (2)

1.基于Xampling框架构造观测矩阵的信号压缩感知方法，其特征是：它由以下步骤实现：

步骤一、产生一个长度为M的随机±1向量：

a＝[α₁α₂α₃…α_M]；

步骤二、将向量a向右循环移位i次产生一个新的向量：

a_i＝[α_M-i+1α_M-i+2α_M-i+3…α_M-i]

式中：i＝1，2，…，M-1；

步骤三、将向量a_i与随机向量a对应元素相乘，得到观测矩阵的第i行r_i；

步骤四、循环步骤一至步骤三N次，N为正整数，构造出M×N维的观测矩阵R：

$R=\left[\begin{array}{c}{r}_1\\ .\\ .\\ .\\ r_n\end{array}\right]$

步骤五、根据步骤四构造出的M×N维的观测矩阵R对信号进行压缩感知。

2.根据权利要求1所述的基于Xampling框架构造观测矩阵的信号压缩感知方法，其特征在于步骤一中的随机向量为任意的随机±1序列，利用该序列循环移位与原序列对应元素相乘构造观测矩阵。