CN102801665B - 一种带通信号调制宽带转换器采样的重构方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种带通信号调制宽带转换器采样的重构方法，其包括构造感知矩阵，构造频域未知向量，获得频域未知向量的值，和根据映射关系得到原带通信号。

Description

一种带通信号调制宽带转换器采样的重构方法

技术领域

本发明涉及信号采样领域，特别涉及频域稀疏信号调制宽带转换器采样的重构方法。

背景技术

Shannon/Nyquist采样理论指出，对信号的采样频率至少为信道带宽的两倍。近年来随着压缩感知(也被称为“压缩采样”)技术的发展，人们发现当信号是稀疏的或者是可压缩的，则可以以低于Nyquist采样率的速率对信号进行采样，由此提出的以低于Nyquist速率的采样速率对模拟信号进行采样的方法称为子Nyquist采样方法。

Mishali等人在论文“From theory to practice:Sub-Nyquist sampling ofsparse wideband analog signals”(详见，IEEE Journal of Selected Topics inSignal Processing,vol.4,no.2,pp.375-391,April 2010)中提出的调制宽带转换器(MWC)采样就是一种子Nyquist采样方法。MWC的结构如图2所示，具体来讲，频率范围为[0,f_NYQ/2]的信号x(t)同时输入m个通道。在第i个通道，信号x(t)与周期为T_p的混频函数p_i(t)相乘，接着通过一个截止频率为1/(2T_s)的低通滤波器，滤波后的信号以f_s＝1/T_s的速率进行采样。由于1/T_s足够小，所以现有的商用ADC能用来完成采样过程。另外，该采样系统的一个重要特点就是m个通道的采样速率之和仍远小于Nyquist采样率，即mf_s□f_NYQ。

现在来分析采样序列y_i[n]与未知信号x(t)之间的关系。令f_p＝1/T_p，f_s＝1/T_s，F_p＝[-f_p/2,+f_p/2]，F_s＝[-f_s/2,+f_s/2]。考虑第i个通道。由于p_i(t)是周期信号，所以其Fourier展开式为：

$p_i\left(t\right)=\underset{l=-\∞}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{c}_{\mathrm{il}}{e}^{j\frac{2\mathrm{\π}}{T_p}\mathrm{lt}}---\left(1\right)$

其中，对于MWC，有如下表达式：

y(f)＝Az(f),f∈F_s    (2)

其中y(f)是m×1维向量，其第i个元素为y_i[n]的离散时间Fourier变换，即未知矩阵z(f)＝[z₁(f),z₂(f),...,z_L(f)]^T的长度为L＝2L₀+1，表示大于或等于a且与a最接近的整数，其中：

z_i(f)＝X(f+(i-L₀-1)f_p),1≤i≤L,f∈F_s    (3)

m×L矩阵A(被称为感知矩阵)第i行第l列元素a_il为：

$a_{\mathrm{il}}=c_{i,L_0+1-l},1\≤i\≤m,1\≤l\≤{2L}_0+1---\left(4\right)$

由式3可知，只要求得z(f)，就能得到原信号。z(f)的求解依赖于式2的求解，即在已知y(f)和A的情况下求解z(f)。式2所示的模型称为重构模型。由于m×L矩阵A中，m＜L，因此，该问题是一个欠定问题。当已知z(f)为稀疏的情况下，可以采用压缩感知理论中的信号重构方法进行求解。Mishali等人在文献“From theory to practice:Sub-Nyquistsampling of sparse wideband analog signals”中给出了一种具体的求解方法，表明了重构的可行性。

然而，Mishali等人给出的重构方法针对的是低通信号，即频率范围为[0,f_NYQ/2]的信号。而在实际中，待采样信号往往是带通信号，即频率范围为[f_start,f_end]的信号，其中f_start＞0。如果将带通信号当成频率范围为[0,f_end]的低通信号来处理，则重构时感知矩阵A以及未知向量z(f)的维度将较大，重构复杂度较高。本发明提出一种针对带通信号的MWC采样重构方法，相比于上述处理过程，感知矩阵和待求未知向量维度将降低，从而具有重构复杂度低的优势。

发明内容

本发明公开了一种带通信号调制宽带转换器采样的重构方法，其包括以下步骤：

(a)构造感知矩阵A^*，使得感知矩阵A^*中的元素为：

$a_{\mathrm{il}}^{*}=\left\{\begin{array}{cc}{c}_{i,L_2+1-l},& 1\≤i\≤m,1\≤l\≤L/2\\ c_{i,L-L_2-l},& 1\≤i\≤m,L/2+1\≤l\≤L\end{array}\right.$

其中，L＝2(L₂-L₁+1)，f_start和f_end分别为待采样频段的起始频率和终止频率，f_s＝1/T_s和f_p＝1/T_p；

(b)构造频域未知向量 $z^{*}\left(f\right)={[z_1^{*}\left(f\right),z_2^{*}\left(f\right),...,z_L^{*}\left(f\right)]}^T,$ 其中

$z_i^{*}\left(f\right)=\left\{\begin{array}{cc}X(f+(i-1-L_2)f_p),& 1\≤i\≤L/2,f\∈F_s\\ X(f+(i-L+L_2)f_p),& L/2+1\≤i\≤L,f\∈F_s\end{array}\right.$

其中X(f)为带通信号x(t)的Fourier变换，代表的是X(f)中以(i-1-L₂)f_p(1≤i≤L/2时)或(i-L+L₂)f_p(L/2+1≤i≤L时)为中心、以f_s为宽度的频段移到基带对应的分量；

(c)获得频域未知向量的值，其中：

根据对带通信号x(t)进行调制宽带转换器采样后得到的采样序列y_i[n]，可得

$Y_i\left(e^{j2\mathrm{\πf}{T}_s}\right)=\underset{l=-L_2}{\overset{{-L}_1}{\mathrm{\Σ}}}{c}_{\mathrm{il}}X(f-{\mathrm{lf}}_p)+\underset{l=L_1}{\overset{L_2}{\mathrm{\Σ}}}{c}_{\mathrm{il}}X(f-{\mathrm{lf}}_p),f\∈F_s$

其中

将该式写成矩阵形式，为

y(f)＝A^*z^*(f),f∈F_s

其中y(f)是m×1维向量，其第i个元素为根据已知的y(f)和感知矩阵A^*，获得未知的z^*(f)；

(d)根据映射关系得到原带通信号，其中根据X(f)与z^*(f)的对应关系，得到X(f)，将其做反Fourier变换得到原带通信号x(t)。

其中，在步骤(c)中，采用压缩感知领域的正交匹配追踪法来获得频域未知向量z^*(f)。

本发明可取得以下有益效果：

本发明提出的针对带通信号的MWC采样的重构模型，相比于将带通信号当成低通信号来处理的MWC采样重构模型，未知量个数更少，感知矩阵维数更小，因此，所需的计算复杂度更低，更加适合于实时应用。

附图说明

图1为本发明的重构方法流程图。

图2为调制宽带转换器采样框图。

图3为本发明重构中未知向量与原信号频谱的对应关系。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施例对本发明的带通信号调制宽带转换器采样的重构方法作进一步详细说明。

图1是本发明的带通信号调制宽带转换器采样的重构方法的流程图，如图所示，本发明的重构方法包括以下步骤：

(1)构造感知矩阵

正如在背景技术中介绍的，系数由此构造感知矩阵A^*，使得感知矩阵A^*中的元素为

$a_{\mathrm{il}}^{*}=\left\{\begin{array}{cc}{c}_{i,L_2+1-l},& 1\≤i\≤m,1\≤l\≤L/2\\ c_{i,L-L_2-l},& 1\≤i\≤m,L/2+1\≤l\≤L\end{array}\right.---\left(5\right)$

其中，L＝2(L₂-L₁+1)，f_start和f_end分别为待采样频段的起始频率和终止频率，f_s和f_p的定义与背景技术中的相同。

(2)构造未知向量

构造频域未知向量 $z^{*}\left(f\right)={[z_1^{*}\left(f\right),z_2^{*}\left(f\right),...,z_L^{*}\left(f\right)]}^T,$ 其中

$z_i^{*}\left(f\right)=\left\{\begin{array}{cc}X(f+(i-1-L_2)f_p),& 1\≤i\≤L/2,f\∈F_s\\ X(f+(i-L+L_2)f_p),& L/2+1\≤i\≤L,f\∈F_s\end{array}\right.---\left(6\right)$

其中X(f)为带通信号x(t)的Fourier变换。由式(6)可知，代表的是X(f)中以(i-1-L₂)f_p(1≤i≤L/2时)或(i-L+L₂)f_p(L/2+1≤i≤L时)为中心、以f_s为宽度的频段移到基带对应的分量。

(3)获得未知向量的值

根据对带通信号x(t)进行调制宽带转换器(MWC)采样后得到的采样序列y_i[n]，可得

$Y_i\left(e^{j2\mathrm{\πf}{T}_s}\right)=\underset{l=-L_2}{\overset{{-L}_1}{\mathrm{\Σ}}}{c}_{\mathrm{il}}X(f-{\mathrm{lf}}_p)+\underset{l=L_1}{\overset{L_2}{\mathrm{\Σ}}}{c}_{\mathrm{il}}X(f-{\mathrm{lf}}_p),f\∈F_s---\left(7\right)$

其中L₁、L₂与式(5)中定义相同。将式(7)写成矩阵形式，为

y(f)＝A^*z^*(f),f∈F_s    (8)

其中，y(f)是m×1维向量，其第i个元素为在该式中，要解决的问题是根据已知的y(f)和A^*，获得未知的z^*(f)。采用压缩感知领域的已有方法，如正交匹配追踪法，可以求解得到z^*(f)。

(4)根据映射关系得到原带通信号

求出z^*(f)后，根据式6中X(f)与z^*(f)的对应关系，可以得到X(f)，将其做反Fourier变换可得到x(t)，此即完成了原带通信号x(t)的重构，即得到原带通信号x(t)。

下面以一个具体例子来说明本发明的重构方法。

设射频带通信号x(t)的频率范围为[500MHz,1000MHz]。对该带通信号x(t)进行如图2所示的调制宽带转换器(MWC)采样，其中采样通道数取m＝24，各个p_i(t)周期的倒数f_p＝20MHz，每个通道采样频率f_s＝20MHz，各个通道的低通滤波器的截止频率为10MHz。根据对带通信号x(t)进行MWC采样后得到的采样序列y_i[n]，1≤i≤m，本发明采用如下步骤进行重构：

(1)构造感知矩阵

由在本例子中给出的上述参数，可得到 感知矩阵A^*中元素为

$a_{\mathrm{il}}^{*}=\left\{\begin{array}{cc}{c}_{i,52-l},& 1\≤i\≤m,1\≤l\≤L/26\\ c_{i,-25-l},& 1\≤i\≤m,27\≤l\≤52\end{array}\right.$

其中 $c_{\mathrm{il}}=\frac{1}{T_p}{\∫}_0^{T_p}{p}_i\left(t\right)e^{-j\frac{2\mathrm{\π}}{T_p}\mathrm{lt}}\mathrm{dt},$ T_p＝1/f_p＝0.5us。

(2)构造未知向量

未知向量的长度为L＝52，各个元素为

$z_i^{*}\left(f\right)=\left\{\begin{array}{cc}X(f+20(i-52)),& 1\≤i\≤26,f\∈[-\mathrm{20,20}]\mathrm{MHz}\\ X(f+20(i-1)),& 27\≤i\≤L,f\∈[-\mathrm{20,20}]\mathrm{MHz}\end{array}\right.$

其与原信号对应关系示意图如图3所示。由图可知，原信号Fourier变换X(f)与z^*(f)之间存在一对一的映射关系。

(3)获得未知向量的值

各个通道MWC采样后数字序列的离散Fourier变换为

$Y_i\left(e^{j2\mathrm{\πf}{T}_s}\right)=\underset{l=-L_2}{\overset{{-L}_1}{\mathrm{\Σ}}}{c}_{\mathrm{il}}X(f-20l)+\underset{l=L_1}{\overset{L_2}{\mathrm{\Σ}}}{c}_{\mathrm{il}}X(f-20l),f\∈[-\mathrm{20,20}]\mathrm{MHz}$

将其写成矩阵形式：

${y\left(f\right)}_{24\×1}=A_{24\×52}^{*}{z}^{*}{\left(f\right)}_{52\×1},f\∈[-\mathrm{20,20}]\mathrm{MHz}$

根据压缩感知领域的已有方法，如正交匹配追踪法，求得z^*(f)。

(4)根据映射关系得到原带通信号

求出z^*(f)后，根据X(f)与z^*(f)的对应关系，可以得到X(f)，将其做反Fourier变换可得到x(t)，此即完成了原带通信号x(t)的重构，即得到原带通信号x(t)。

作为比较，若将该带通信号作为低通信号(频率范围变成[0,1000]MHz)处理，按相同的MWC进行采样，则根据公式2进行重构时，未知矩阵z(f)＝[z₁(f),z₂(f),...,z_L(f)]^T的长度为L＝2L₀+1，所以L＝101。感知矩阵A维度为24×101。由此可知，本发明重构方法中感知矩阵A^*维度要小于按低通信号处理的感知矩阵A的维度，而且本发明未知向量z^*(f)长度小于按低通信号处理的未知向量z(f)的长度，因此按本发明的重构方法进行重构计算的复杂度更低。

Claims (2)

1.一种带通信号调制宽带转换器采样的重构方法，其包括以下步骤：

(a)构造感知矩阵A^*，使得感知矩阵A^*中的元素为：

$a_{\mathrm{il}}^{*}=\left\{\begin{array}{cc}{c}_{i,L_2+1-l},& 1\≤i\≤m,1\≤l\≤L/2\\ c_{i,L-L_2-l},& 1\≤i\≤m,L/2+1\≤l\≤L\end{array}\right.$

其中，L＝2(L₂-L₁+1)，f_start和f_end分别为待采样频段的起始频率和终止频率，f_s＝1/T_s和f_p＝1/T_p；

(b)构造频域未知向量 $z^{*}\left(f\right)=[z_1^{*}\left(f\right),z_2^{*}\left(f\right),...,z_L^{*}\left(f\right){]}^T,$ 其中

$z_i^{*}\left(f\right)=\left\{\begin{array}{cc}X(f+(i-1-L_2)f_p),& 1\≤i\≤L/2,f\∈F_s\\ X(f+(i-L+L_2)f_p),& L/2+1\≤i\≤L,f\∈F_s\end{array}\right.$

其中X(f)为带通信号x(t)的Fourier变换，代表的是X(f)中以(i-1-L₂)f_p(1≤i≤L/2时)或(i-L+L₂)f_p(L/2+1≤i≤L时)为中心、以f_s为宽度的频段移到基带对应的分量；

(c)获得频域未知向量的值，其中：

根据对带通信号x(t)进行调制宽带转换器采样后得到的采样序列y_i[n]，可得

$\begin{array}{cc}{Y}_i\left(e^{j2\mathrm{\πf}{T}_s}\right)=\underset{l=-L_2}{\overset{-L_1}{\mathrm{\Σ}}}{c}_{\mathrm{il}}X(f-{\mathrm{lf}}_p)+\underset{l=L_1}{\overset{L_2}{\mathrm{\Σ}}}{c}_{\mathrm{il}}X(f-{\mathrm{lf}}_p),& f\∈F_s\end{array}$

其中

将该式写成矩阵形式，为

y(f)＝A^*z^*(f),f∈F_s

其中y(f)是m×1维向量，其第i个元素为1≤i≤m，根据已知的y(f)和感知矩阵A^*，获得未知的z^*(f)；

(d)根据映射关系得到原带通信号，其中

根据X(f)与z^*(f)的对应关系，得到X(f)，将其做反Fourier变换得到原带通信号x(t)。

2.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，在步骤(c)中，采用压缩感知领域的正交匹配追踪法来获得频域未知向量z^*(f)。