CN102098073B - 一种基于重构滤波的时限带通椭圆球面波函数信号产生方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供一种基于重构滤波的时限带通椭圆球面波函数信号产生方法，可以以较少的离散采样值通过重构滤波产生时限带通椭圆球面波函数信号。与已有方法相比，该方法可以降低对硬件存储资源的要求，不需要带通滤波且易于工程实现。采用该方法产生时限带通椭圆球面波函数信号的步骤为：由带通采样定理确定所需的采样点数；通过数值求解算法求解所需的采样值；经重构滤波将信号采样率提高到信号最高频率的两倍以上；由数模转换和低通滤波产生连续的模拟信号波形。本发明提供的时限带通椭圆球面波函数信号产生方法适用于大相对带宽或小相对带宽的时限带通椭圆球面波函数信号产生，由其适用于小相对带宽时限带通椭圆球面波函数信号的产生。

Description

一种基于重构滤波的时限带通椭圆球面波函数信号产生方法

技术领域

本发明涉及一种椭圆球面波函数信号的产生方法，尤其涉及一种基于重构滤波的时限带通椭圆球面波函数信号的产生方法。

背景技术

椭圆球面波函数(Prolate Spheroidal Wave Function，PSWF)是二十世纪五十年代后期由美国贝尔实验室的D.Slepian和H.O.Pollack首先提出的(D.Slepian and H.O.Pollak.Prolatespheroidal wave functions，Fourier analysis，and uncertainty-I.Bell Syst.Tech.J.，1961，40(1)：43-46)。它已被证明是能量聚集性最佳的函数，可近似看作既时限又带限的函数。由于具有完备性、双正交性等优良特性，椭圆球面波函数在通信、信号处理、雷达等领域有着巨大的应用潜力。在通信领域，具有时限带通特性椭圆球面波函数(Time-limited and Bandpass ProlateSpheroidal Wave Functions，TB-PSWF)更具有实用价值，目前已在超宽带通信、认知无线电以及非正弦波通信等技术领域有一定的应用。但是，由于至今未能获得椭圆球面波函数的精确闭式解表达式，一般仅能通过数值求解方法求得其近似解。

在工程上，主要有两类方法产生椭圆球面波函数。一种是基于椭圆球面波函数微分方程表达式的波形产生方法，该方法可参考文献“Novel UWB pulse shaping using prolate spheroidalwave functions”(Reza.S.Dilmaghani，Mohammad.Ghavami，Ben Allen，etc.14^th IEEEInternational Symposium on Personal，Indoor & Mobile Radio Communication Proceedings，2003：602～606)以及“UWB multiple-pulse generator and transmitter”(R.S.Dilmaghani，Mohammad Ghavami，A.Hamid Aghvami.Joint UWBST & IWUSBS.2004 InternationalWorkshop on，IEEE，2004，3：117-121)。该方法根据椭圆球面波函数的微分方程表达式设计相应的电路，设置不同的参数值，通过脉冲信号驱动电路产生椭圆球面波函数波形。这种方法采用模拟电路，可以避免数模转换，电路结构简单。但是，该方法需要针对不同参数的椭圆球面波函数求解相应的微分方程的特征值，并转换为电路中的元件参数，每组参数对应一个椭圆球面波函数波形，因此若要产生不同的椭圆球面波函数信号，就需要改变硬件参数，不具有灵活性；若要产生多个椭圆球面波函数波形，则需要多组模拟电路，因此增大电路的硬件成本和复杂程度。目前该方法仅可用于产生UWB频段的椭圆球面波函数波形，未见其可用于其它频段和不同的信号参数的椭圆球面波，因此该方法的应用范围受限。

另一类常用方法是是基于直接数字合成技术(DDS)的任意函数波形发生器(AWG)产生方法。根据DDS的原理，首先在硬件中固化要产生的椭圆球面波信号波形采样值，在时钟信号的驱动下，依次读取信号波形采样值，并经数模转换器及低通滤波电路转换为连续的模拟信号。该方法对所存储采样值的最低要求是：必须以满足采样定理的采样率(即信号最高频率的两倍以上)对该信号进行采样。该方法存在两个主要问题：第一，采用该方法产生的输出信号是由硬件中存储的信号采样值决定的，即输入到数模转换器的输入数字信号采样率与存储的信号波形采样率是相同的、无法改变的。对数模转换器而言，这表明其输出信号的频率分辨率和精度是有限的，要提高频率分辨率和精度只能通过以更高采样速率对信号进行采样，增加存储的采样值数量来实现。第二，对于基带椭圆球面波函数或者大相对带宽的TB-PSWF而言，以满足采样定理的采样率对信号采样并存储采样值一般是容易实现的，但是对于小相对带宽的TB-PSWF，若按照采样定理对信号进行采样，将会造成函数发生器所需存储数据增大，硬件复杂度过高，消耗过多资源等问题，工程实现较为困难。因此，利用该方法产生椭圆球面波函数信号存在工程实现困难的问题，特别是小相对带宽的时限带通椭圆球面波函数信号的产生更加困难。

根据上述分析可知，利用已有方法产生时限带通椭圆球面波函数信号存在应用范围受限、工程实现困难等缺点和不足。

发明内容

本发明的目的在于提供一种基于重构滤波理论的时限带通椭圆球面波函数波形产生方法，该方法应用范围广且易于工程实现。采用本发明提供的方法不仅可以降低信号发生器对硬件存储资源的要求，降低实现成本，而且可以实现高精度模拟信号输出。本发明提供的时限带通椭圆球面波函数波形产生方法适用于大相对带宽或小相对带宽时限带通椭圆球面波函数波形的产生，尤其是在实现小相对带宽的时限带通椭圆球面波函数信号产生时较已有方法具有明显的优势。。

本发明的目的是通过如下技术措施来达到：

①确定所需采样点数。假设需要产生的时限带通椭圆球面波函数信号的中心频率为f₀，带宽为2B₀，时宽为2t₀，信号的频谱范围为[f₀-B₀，f₀+B₀]，时间带宽积因子为C₀＝4πB₀t₀。为了能够利用采样值实现重构滤波输出，根据以下方法确定时限带通椭圆球面波函数信号在一个周期内所需的采样点数：首先判断f₀和B₀是否满足这里M为正整数且M≥1。若满足，则取带宽参数B＝B₀；若不满足，则取带宽参数B＞B₀，使成立，这里M′为正整数且M-1≤M′≤M。以上两种可能情况可概括为：取B≥B₀，使成立，其中M′为正整数且M-1≤M′≤M。然后根据带通采样定理，由得到的参数B确定最低采样速率为f_s＝4B。最后，根据时间带宽积C₀、信号带宽B₀以及最低采样速率f_s，可以确定一个信号周期内的所需采样点数的最小值为

②求解时限带通椭圆球面波函数波形采样值。由时限带通椭圆球面波函数的时频参数以及第①步得到的所需采样点数的最小值N₀，采用离散数值求解算法求得函数的波形采样值。具体方法为：根据待求时限带通椭圆球面波函数的时频参数构建积分方程：

$\mathrm{\λ\ψ}\left(t\right)={\∫}_{-t_0}^{t_0}\mathrm{\ψ}\left(\mathrm{\τ}\right)h(t-\mathrm{\τ})\mathrm{d\τ}---\left(1\right)$

其中h(t)＝sinc(2B₀t)cos(2πf₀t)。对上述积分方程在时间区间[-t₀，t₀]上进行N+1点采样(N＝kN₀，其中k为自然数)，(1)式可离散化为

$\mathrm{\λ\ψ}\left[n\right]=\underset{m=-N/2}{\overset{N/2}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{\ψ}\left[m\right]\·h[n-m]---\left(2\right)$

其中n＝-N/2，…，N/2。(2)式可以写成如下的矩阵形式：

即λψ＝Hψ。求解式(3)中的矩阵H的特征值和特征向量，即可求得时限带通椭圆球面波函数的N+1个波形采样值，取对应的N₀+1个采样值作为重构所需的离散采样值，可记为ψ(0)，ψ(1)，ψ(2)，…，ψ(N₀)。关于椭圆球面波函数的数值求解算法可参考以下文献：B.Parr，B.Cho，K.Wallace.A novel ultra-wideband pulse design algorithm.IEEE Communication Letters，2003，7(5)：219～221。

③重构信号波形。根据以下重构公式，利用第②步求得的波形采样值对信号进行重构。若求得的采样值为{ψ(i)，i＝1，…，N₀}，则重构公式为

${\mathrm{\ψ}}^{\′}\left(t\right)=\underset{m=0}{\overset{N_0}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{\ψ}\left(m\right)\sin c[2\mathrm{Bt}-\frac{m}{2}+\frac{N_0}{4}]\cos \left[2\mathrm{\π}{f}_0(t-\frac{m}{4B}+\frac{N_0}{8B})\right]---\left(4\right)$

取信号波形一个周期内的任意时刻t，可通过(4)式求得该时刻的函数值，由此可以将输入到数模转换器的离散采样值的采样速率提高到两倍信号最高频率以上。

④数模转换及低通滤波。将重构得到的高采样速率信号离散采样值送入数模转换器中进行数模转换，转换为模拟信号并经低通滤波器滤除高频分量，即可得到所需的时限带通椭圆球面波函数连续模拟信号波形。

根据上述技术措施，产生时限带通椭圆球面波函数信号的具体实施步骤如图1所示。

与已有技术相比，本发明具有如下有益效果：

①可由满足带通采样速率的低采样率离散值得到连续信号波形，且不需要带通滤波，。

采用本发明方法产生时限带通椭圆球面波函数信号波形，可以在进行数模转换前由重构公式插值得到更高采样速率的信号波形离散值，若插值重构后的采样速率高于信号最高频率的两倍，则不需要在数模转换后进行带通滤波，仅需采用低通滤波即可得到连续信号波形。

②所需存储的信号采样值少，有利于工程实现。

采用已有的方法产生时限带通椭圆球面波函数信号，需要最少以信号最高频率的两倍采样率对信号进行采样，并存储采样值。本发明提出的方法可以最低以两倍带宽的带通采样速率进行采样，采样率与信号的最高频率没有直接关系。对于小相对带宽的时限带通信号而言，通常其带宽远小于最高频率，因此所需的采样点数远小于已有方法，降低了所需存储的信号采样值。采用本发明提出的方法可以在相同的硬件存储空间内存储更多组信号波形的采样值，因此可以产生更多不同参数的时限带通椭圆球面波函数信号波形。可见，由于采用本发明方法产生信号所需的信号采样值更少，需要的存储空间更小，因此更加有利于工程实现。

附图说明

图1是多采用产生时限带通椭圆球面波函数信号的实施步骤示意图。

图2是实施例一中经数值求解算法求得的信号的采样值幅度图。

图3是实施例一中经重构滤波后得到的采样率为f＝20MHz时输出采样值幅度图。

图4是实施例一中经数模转换及低通滤波后输出的时限带通椭圆球面波函数连续信号波形图。

图5是实施例二中经数模转换及低通滤波后输出的时限带通椭圆球面波函数连续信号波形图。

具体实施方式

下面结合附图和实施例对本发明作进一步详细描述。

实施例一

产生大相对带宽的时限带通椭圆球面波函数信号波形。

具体要求为：产生中心频率f₀＝5MHz，带宽2B₀＝1.6MHz，信号周期为2t₀＝2.5μs，时间带宽积因子C₀＝4π的时限带通椭圆球面波函数信号，信号的相对带宽为32％。

根据上述参数要求，可采用本发明的方法进行实现，具体过程如下：

①确定所需采样点数。首先根据中心频率f₀、带宽2B₀可以求得

$\frac{f_0}{2B_0}=\frac{5}{1.6}=3.125\≠M+\frac{1}{2}.$

因此，可以取B＝1MHz，从而使

$\frac{f_0}{2B_0}=\frac{5}{2}=2+\frac{1}{2}.$

然后可以求得信号的最低采样点数为

②求解上述时限带通椭圆球面波函数的采样值。采用离散积分数值解法，首先得到特征函数h(t)为

$h\left(t\right)=\sin c\left(2B_{0}t\right)\cos \left(2\mathrm{\π}{f}_{0}t\right)=\frac{\sin \left(1.6\mathrm{\πt}\right)}{1.6\mathrm{\πt}}\cos \left(10\mathrm{\πt}\right)---\left(5\right)$

取k＝10，在[-1.25，1.25]的时间区间上均匀的取101个离散时间点{-1.25，-1.225，…，0，0.025，…，1.25}，代入(5)式分别求得{h(-1.25)，h(-1.225)，…，h(2.5)}，对应式(3)中的h[-N]，h[-N+1]，…，h[N]，从而构建矩阵H。采用矩阵求解算法即可得到矩阵H的特征值和特征向量，最大特征值对应的特征向量ψ＝[ψ(-N)，ψ(-N+1)，…，ψ(N)]即为所要产生的时限带通椭圆球面波函数信号上的离散采样值，抽取特征向量ψ中对应的11个采样值，即为所需要的信号离散采样值{ψ(-1.25)，ψ(-1)，…，ψ(1.25)}。求得的信号采样值如图2所示。

③重构信号波形。将第②步得到的信号采样值{ψ(-1.25)，ψ(-1)，…，ψ(1.25)}及B、f₀代入式(4)中即可得到时限带通椭圆球面波函数的连续波形表达式，因此可以实现任意采样率信号输出。若输出采样率为4倍最高频率，即f＝4f₀＝20MHz，通过重构可以由原来的低采样速率信号采样值得到高采样速率的信号采样值输出。图3为经重构滤波后采样频率为f＝4f₀＝20MHz时的输出信号采样值。

④数模转换及低通滤波。重构滤波后的高采样速率的信号采样值经数模转换和低通滤波后即可产生连续的模拟信号波形。图4为经数模转换后的连续信号波形图。图5为经低通滤波后输出的连续信号波形图。

实施例二

产生小相对带宽的时限带通椭圆球面波函数信号波形。

要求：产生中心频率f₀＝5MHz，带宽2B₀＝16KHz，信号周期为2t₀＝0.25ms，时间带宽积因子C₀＝4π的时限带通椭圆球面波函数信号，信号的相对带宽为0.32％。

设计分析：与实施例一不同，本例要求产生一个相对带宽为0.32％的小相对带宽实现带通椭圆球面波函数信号。由于中心频率远大于信号带宽，因此，本例若采用已有方法产生该信号，需要至少以信号最高频率两倍的速率进行采样，并存储采样值，计算可知，需要存储的最低采样点数目为2508个，而采用本文算法仅需存储9个采样值，前者是后者的278倍。采用与实施例一相同的方法可以求得本例中可以取B＝8.0386KHz，最低采样数为9个。产生的时限带通椭圆球面波函数信号如图5所示。

Claims (1)

1.一种椭圆球面波函数脉冲信号产生方法，是一种基于重构理论的时限带通椭圆球面波函数脉冲信号产生方法，其特征是：

①为了能够利用采样值实现重构输出，确定待产生的时限带通椭圆球面波函数信号的参数：若待产生的时限带通椭圆球面波函数信号的中心频率为f₀、带宽为2B₀、时宽为2t₀、时间带宽积因子为C₀＝4πB₀t₀，则取带宽参数B≥B₀，使成立，其中M′为正整数且M-1≤M′≤M，这里M为正整数且M≥1，从而确定待产生的时限带通椭圆球面波函数信号一个周期内所需采样点数的最小值为

②由步骤①确定的参数，利用椭圆球面波函数的数值求解算法求解得到N₀+1个待产生的时限带通椭圆球面波函数波形离散采样值；

③根据步骤①②求得的参数及采样值，根据重构公式

求得任意时刻t的信号波形采样值，从而将待求解带通时限椭圆球面波函数脉冲信号采样值进行重构，将采样率提高到两倍信号最高频率以上；

④将重构得到的高采样速率信号离散采样值送入数模转换器中进行数模转换，转换为模拟信号并经低通滤波器滤除高频分量从而得到待产生的时限带通椭圆球面波函数脉冲信号。