CN102710288B - 一种基于互相关矩阵对角化的正交pswf脉冲设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于互相关矩阵对角化的正交PSWF脉冲设计方法，是一种正交PSWF脉冲设计方法，通过计算参与正交化设计的PSWF脉冲的互相关矩阵，将该互相关矩阵进行对角化变换，得到正交阵，再经过正交阵的转置矩阵与PSWF脉冲进行矩阵相乘运算，从而实现PSWF脉冲的正交化；该方法降低了正交PSWF脉冲设计的计算时间复杂度和存贮空间，既适用于基带PSWF脉冲的正交设计，也适用于带通PSWF脉冲的正交设计。

Description

一种基于互相关矩阵对角化的正交PSWF脉冲设计方法

技术领域

本发明涉及无线电通信中的波形设计方法，尤其涉及一种时域正交脉冲设计方法。

背景技术

椭圆球面波函数集(Prolate Spheroidal Wave Functions，PSWF)具有时-频域能量聚集性最佳、时域双正交、完备、近似时限带限、频谱可控等优良特性，自提出伊始便受到了学术界的广泛关注，并展现出良好的应用前景。Slepian和Pollak等在1961年的Bell实验室研究报告中首先提出并研究了PSWF函数集合，并在其后20年的时间里，相继发表了一系列相关研究报告。

关于PSWF的定义形式，主要有以下两种。

(1)微分方程定义式

PSWF的微分方程定义式如下：

$[{\left(\frac{T}{2}\right)}^2-t^2]\frac{d^2{\mathrm{\ψ}}_n(c,t)}{d{t}^2}-2t\frac{d{\mathrm{\ψ}}_n(c,t)}{\mathrm{dt}}+[{\mathrm{\χ}}_n\left(c\right)-c^2{\left(\frac{2t}{T}\right)}^2]{\mathrm{\ψ}}_n(c,t)=0,-T/2\≤t\≤T/2---\left(1\right)$

其中，ψ_n(c,t)为n阶PSWF，χ_n为n阶PSWF对应的特征值，c为PSWF的时间带宽积，T为PSWF的持续时间宽度。

(2)积分方程定义式

${\∫}_{-T/2}^{T/2}{\mathrm{\ψ}}_n(c,\mathrm{\τ})h(t-\mathrm{\τ})\mathrm{d\τ}={\mathrm{\λ}}_n{\mathrm{\ψ}}_n(c,t)---\left(2\right)$

其中，h(t)为PSWF的核函数，λ_n是n阶PSWFψ_n(c,t)的能量集中度因子。

①如果核函数h(t)具有理想低通特性，即h(t)＝sinΩt/πt，Ω为角频率，则其频域特性为：

$H\left(\mathrm{\&omega;}\right)=\left\{\begin{array}{cc}1,& \left|\mathrm{\&omega;}\right|<\mathrm{\&Omega;}\\ 0,& \mathrm{else}\end{array}\right.---\left(3\right)$

则PSWF的积分方程定义为：

${\&Integral;}_{-T/2}^{T/2}{\mathrm{\&psi;}}_n(c,\mathrm{\&tau;})\frac{\sin \mathrm{\&Omega;}(t-\mathrm{\&tau;})}{\mathrm{\&pi;}(t-\mathrm{\&tau;})}\mathrm{d\&tau;}={\mathrm{\&lambda;}}_n{\mathrm{\&psi;}}_n(c,t)---\left(4\right)$

此时，PSWF的频域能量聚集区间为[-Ω,+Ω]，因此，通常将式(4)定义的PSWF称为基带PSWF。

②与之相对应，如果h(t)具有理想带通特性，即核函数为：

h(t)＝sinΩ_Ht/πt-sinΩ_Lt/πt   (5)其频域特性为：

$H\left(\mathrm{\&omega;}\right)=\left\{\begin{array}{cc}1,& {\mathrm{\&Omega;}}_L<\left|\mathrm{\&omega;}\right|<{\mathrm{\&Omega;}}_H\\ 0,& \mathrm{else}\end{array}\right.---\left(6\right)$

则PSWF的积分方程定义为：

${\&Integral;}_{-T/2}^{T/2}{\mathrm{\&psi;}}_n(c,\mathrm{\&tau;})[\frac{\sin {\mathrm{\&Omega;}}_H(t-\mathrm{\&tau;})}{\mathrm{\&pi;}(t-\mathrm{\&tau;})}-\frac{\sin {\mathrm{\&Omega;}}_L(t-\mathrm{\&tau;})}{\mathrm{\&pi;}(t-\mathrm{\&tau;})}]\mathrm{d\&tau;}={\mathrm{\&lambda;}}_n{\mathrm{\&psi;}}_n(c,t)---\left(7\right)$

此时，PSWF的频域能量聚集区间为[Ω_L,Ω_H]，因此，通常将式(7)定义的PSWF称为带通PSWF。

目前，PSWF已在多个领域得到广泛应用。该函数被用于小波信号分析，可以达到比sinc函数更高的时间分辨率；用于数字图像和数字信号处理，可有效解决时间分辨率和空间分辨率矛盾，用于光学系统分析建模，具有更好的通用性；用于无线通信信道研究，可以更准确地建模高速移动通信信道和时频选择性衰落信道；用于通信信号设计，可以实现灵活的频谱控制，并具有更高的频谱效率和功率效率。

然而，PSWF不存在解析解，通常采用数值求解方法得到其近似解。在对于PSWF的近似求解方法中，主要有Parr数值解法(见文献：Parr B,Cho B,Wallace K.A novel ultra-widebandpulse design algorithm[J].IEEE Communication Letters,2003,7(5):219-221.)、重构求解方法(见文献：Khare K,George N.Sampling theory approach to prolate spheroidal wavefunctions[J].Journal of Physics,2003,36(39):10011-10021.)等。这些求解方法均包含求解矩阵特征向量的过程，因而存在实现复杂度高的问题。王红星等在文献“基于Legendre多项式逼近法”(见文献：王红星,陈昭男,赵志勇等.基于勒让德多项式的椭圆球面波脉冲设计方法[J].电波科学学报,2012,27(1):191-197.)中，针对基带PSWF提出了一种低复杂度近似求解方法。该方法根据PSWF参数计算归一化勒让德多项式的系数，通过归一化勒让德多项式加权求和来得到PSWF的近似数值解。

为了有效提高通信系统的功率效率和频谱效率，发明专利(申请号200810237849.5)公开了一种时域正交、波道交叠的正交脉冲设计方法，所设计的正交脉冲既可使通信系统具有较高的频带利用率，同时又具有较好的能量聚集性。在专利中，将整个脉冲设计频带划分为多个相互交叠的子频带，在各子频带上分别利用Parr数值解法求解各阶PSWF脉冲，最后通过Schmidt正交化方法得到正交PSWF脉冲。由于该方法具有较高计算时间复杂度和存贮空间，从而提高了对硬件水平的要求。

发明内容

为了克服现有技术的缺陷，本发明公开一种基于互相关矩阵对角化的正交PSWF脉冲设计方法。该方法通过对参与正交化设计的PSWF脉冲的互相关矩阵进行对角化变换，从而实现正交PSWF脉冲设计。

在本发明中，对于基带PSWF的正交化设计来说，在“基于勒让德多项式的椭圆球面波脉冲设计方法”的基础上，采用归一化勒让德(Legendre)多项式逼近求解PSWF的近似数值解，并对PSWF的数值求解和正交化过程进行优化整合处理，以降低实现复杂度。对于带通PSWF的正交化设计来说，本发明采用基于互相关矩阵对角化方法来替代Schmidt正交化方法。该方法可有效降低计算时间复杂度和存贮空间复杂度。

下面分别从基带PSWF正交脉冲设计和带通PSWF正交脉冲设计两个方面，来详细阐述本发明的技术措施，以实现本发明的目。

(1)基带PSWF正交脉冲设计

本发明通过分析基于归一化Legendre多项式逼近的PSWF脉冲求解算法和基于互相关矩阵对角化的正交化方法，将PSWF的近似数值求解和正交化过程进行优化合并，建立了正交PSWF脉冲与Legendre多项式之间的直接对应关系，从而实现了通过计算正交PSWF脉冲的加权求和矩阵，可直接得到由归一化Legendre多项式逼近的正交PSWF脉冲，降低了实现复杂度。

①基于归一化Legendre多项式逼近的PSWF脉冲求解算法

由文献“基于勒让德多项式的椭圆球面波脉冲设计方法”可知，基于归一化Legendre多项式展开，第j阶PSWF可表示为：

${\mathrm{\&psi;}}_j(c,t)=\underset{k=0}{\overset{\&infin;}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&beta;}}_k^j\&CenterDot;{\stackrel{\&OverBar;}{P}}_k\left(t\right),j=\mathrm{0,1},...,M---\left(8\right)$

其中，为第k阶归一化Legendre多项式，其系数向量β^j为矩阵A的特征向量，即

Aβ^j＝χ_jβ^j   (9)其中，对矩阵A做如下定义：

$A_{k,k+2}=\frac{(k+2)(k+1)}{(2k+3)\sqrt{(2k+5)(2k+1)}}\&CenterDot;c^2---\left(10\right)$

$A_{k,k}=k(k+1)+\frac{2k(k+1)-1}{(2k+3)(2k-1)}\&CenterDot;c^2---\left(11\right)$

$A_{k+2,k}=\frac{k(k-1)}{(2k-3)\sqrt{(2k-3)(2k+1)}}\&CenterDot;c^2---\left(12\right)$

其它元素为0。用ψ＝[ψ₀(c,t),ψ₁(c,t),…,ψ_M-1(c,t)]^T表示由M阶PSWF成的向量，B＝[β¹，β²,…,β^M]表示Legendre多项式加权系数矩阵，表示归一化Legendre多项式向量，则式(8)可表示为矩阵相乘形式：

ψ＝BP   (13)

②基于互相关矩阵对角化的正交化方法

对于多个PSWF脉冲，其脉冲的互相关矩阵作为一种统计指标，能够最集中地反映这种相关性。基于互相关矩阵对角化方法就是从其互相关矩阵入手，消除不同脉冲之间的相关性，实现脉冲的正交化。一组相关信号经过正交变换后总能在一定程度上消除各分量之间的相关性。互相关矩阵对角化方法是一种建立在互相关矩阵基础上的正交变换，同时，从完全消除各分量相关性的性能来看，互相关矩阵对角化方法是最佳的。

假设PSWF脉冲由M个频谱交叠的PSWF脉冲ψ_i(c,t)组成，则该脉冲的互相关矩阵C为：

其中，c_i,j为第i个脉冲和第j个脉冲的互相关函数，即互相关矩阵C为对称阵，则必有正交阵X，使X^TCX＝Λ，其中Λ是以C的M个特征值为对角元的对角阵，X即为互相关矩阵对角化方法的变换矩阵。令X＝[x₁,x₂,…,x_M]，x_i为互相关矩阵C的特征向量，则有

$x_i^{T}C{x}_i={\mathrm{\&eta;}}_i---\left(15\right)$

其中，η_i为C的第i个特征值。令变换因子x_i＝[x_i1,x_i2,…,x_iM]^T，对M个PSWF脉冲进行互相关矩阵对角化变换，得到的新脉冲ψ′_i(c,t)为

${\mathrm{\&psi;}}_i^{\&prime;}(c,t)=\underset{k=1}{\overset{M}{\mathrm{\&Sigma;}}}{x}_{\mathrm{ik}}{\mathrm{\&psi;}}_k(c,t)---\left(16\right)$

新脉冲ψ′_i(c,t)和ψ′_j(c,t)的互相关函数为

${\&Integral;}_{-T/2}^{T/2}{\mathrm{\&psi;}}_i^{\&prime;}(c,t){\mathrm{\&psi;}}_j^{\&prime;}(c,t)\mathrm{dt}=\underset{n=1}{\overset{M}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{m=1}{\overset{M}{\mathrm{\&Sigma;}}}{x}_{\mathrm{in}}{x}_{\mathrm{jm}}{\&Integral;}_{-T/2}^{T/2}{\mathrm{\&psi;}}_m(c,t){\mathrm{\&psi;}}_n(c,t)\mathrm{dt}=\underset{n=1}{\overset{M}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{m=1}{\overset{M}{\mathrm{\&Sigma;}}}{x}_{\mathrm{in}}{x}_{\mathrm{jm}}{c}_{\mathrm{mn}}---\left(17\right)$

根据X^TCX＝Λ，可得

${\&Integral;}_{-T/2}^{T/2}{\mathrm{\&psi;}}_i^{\&prime;}(c,t){\mathrm{\&psi;}}_j^{\&prime;}(c,t)\mathrm{dt}=\left\{\begin{array}{cc}{\mathrm{\&eta;}}_i& i=j\\ 0& i\&NotEqual;j\end{array}\right.---\left(18\right)$

式(18)证明了经过互相关矩阵对角化变换得到的新脉冲是相互正交的。在此基础上，对得到的正交新脉冲进行归一化处理，即得到规范正交的PSWF脉冲。

③PSWF的近似数值求解和正交化过程整合处理方法

用ψ′＝[ψ′₀(c,t),ψ′₁(c,t),…,ψ′_M-1(c,t)]^T表示正交PSWF向量，则式(16)所表示的PSWF脉冲正交化过程，可表示为矩阵相乘的形式：

ψ′＝X^Tψ   (19)

将式(13)的PSWF求解过程代入式(19)，可得：

ψ′＝X^TBP   (20)

令D＝X^TB，可以得到正交PSWF脉冲的归一化Legendre多项式拟合形式为：

ψ′＝DP   (21)

这里称D为正交PSWF脉冲的加权求和矩阵，用d_i表示该矩阵D的第i行，则第i个正交PSWF脉冲可以表示为

${\mathrm{\&psi;}}_i^{\&prime;}(c,t)=\underset{k=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}{d}_{\mathrm{ik}}{\stackrel{\&OverBar;}{P}}_k\left(t\right)---\left(22\right)$

通过分析式(22)可知，本发明公开的方法，可直接建立正交PSWF脉冲与Legendre多项式的对应关系，精简了设计步骤。因此，本发明所公开的正交脉冲设计方法，通过将PSWF的近似数值求解和正交化过程进行优化整合处理，降低了实现复杂度，从而提高了正交PSWF脉冲的设计效率。

(2)带通PSWF的正交脉冲设计方法

发明专利(申请号200810237849.5)公开了一种时域正交、波道交叠的正交脉冲设计方法。在专利中，将通信波道即脉冲占用的频谱宽度划分为多个带宽相同且相互交叠50％的子波道，在各子波道上分别利用Parr数值解法求解各阶PSWF的近似数值解，最后通过Schmidt正交化方法得到正交PSWF脉冲。然而，由Schmidt正交化方法的特性可知，随着参与正交设计脉冲个数的增加，该正交化方法会降低所设计脉冲的正交性能，用于传输作息时，使系统的抗干扰性能下降。

本发明所公开的基于互相关矩阵对角化的正交化方法，对发明专利(申请号200810237849.5)中的Schmidt正交化过程进行取代，以提高所设计的正交脉冲性能。对于带通PSWF的正交脉冲设计，本发明所公开的设计方法包括以下步骤：①波道划分、②参数设置、③构建特性函数和积分方程、④求解方程、⑤基于互相关矩阵对角化的正交化。

①波道划分

将通信波道即正交脉冲占用的频谱宽度以均匀交叠方式划分为k个带宽相同且相互交叠的子波道；

②参数设置

设置正交脉冲的参数，由正交脉冲占用的频谱宽度B、频谱下限频率f_L和频谱上限频率f_H、子波道划分个数k、椭圆球面波函数的时间带宽积因子c、频谱交叠度为ρ确定；

③构建特性函数和积分方程

针对各子波道构建特性函数和积分方程，所构建的特性函数为h_k(t)＝2f_k,H sinc(2f_k,Ht)-2f_k,L sinc(2f_k,Lt)，其中，f_k,L、f_k,H分别为第k个子波道的频率下限和上限，所构建的积分方程为其中，λ_k为基于特征值分解的数值算法求解积分方程时特性函数h_k(t)所构建矩阵的特征值，ψ_k(c,t)为λ_k所对应的特征函数，t为取值区间为[-T/2,T/2]的时间变量；

④求解方程是通过基于特征值分解的Parr数值算法分别求解各子波道所构建的积分方程，并通过取前m个最大特征值所对应的特征函数，得到各子波道的椭圆球面波函数脉冲；

⑤基于互相关矩阵对角化的正交化是指通过计算参与正交化设计的各子波道PSWF脉冲的互相关矩阵，将该互相关矩阵进行对角化变换，从而实现了PSWF脉冲的正交化。

关于步骤⑤基于互相关矩阵对角化的正交化已在本专利基带PSWF脉冲正交设计中做了详细阐述，这里不再赘述。

与现有技术相比，本发明具有如下有益效果：

①计算时间复杂度低

假设需要对M个PSWF脉冲进行正交化，每个PSWF脉冲的采样点数为K。在利用Legendre多项式逼近求解PSWF函数过程中，各阶Legendre多项式的采样点数也为K，对每个PSWF脉冲，其需要的Legendre多项式数目为其中表示向上取整，c为PSWF的时间带宽积，e为自然对数的底。构造一个正交PSWF脉冲需要对N个Legendre多项式进行加权求和，因此，需要进行NK次运算(主要是乘法运算)，因而整个过程的总运算量为MNK。

对于专利(申请号200810237849.5)所公开的设计方法中，时间复杂度主要集中在PSWF脉冲求解和Schmidt正交化两个步骤。在基于Parr算法的脉冲求解过程中，运算量来自于求解矩阵特征向量过程。采用经典的Jacobi方法求解特征向量时，对一个K×K维矩阵，运算量约为K³。Schmidt方法首先计算加权系数a_i,j，其次是加权求和过程。生成第i个正交脉冲需要计算i-1个加权系数，M个正交脉冲共需要计算(M-1)M/2个权系数。计算一个加权系数需要2K+1次运算，权系数计算过程的总运算量为(M-1)(2K+1)M/2。对于加权求和过程，对第i个新脉冲需要(i-1)K次乘法运算，所有脉冲求和过程运算量为(M-1)MK/2。整个Schmidt正交过程的运算量为(M-1)(3K+1)M/2。专利(申请号200810237849.5)的时间复杂度为：C_t＝(M-1)(3K+1)M/2+K³。

在用Parr算法产生脉冲时，假设以4倍信号带宽的采样速率进行采样，则一个脉冲需要的采样点数根据专利(申请号200810237849.5)所公开的设计方法，每个子带内进行正交化设计的脉冲数目为基于以上条件，两种正交PSWF脉冲设计方法的时间复杂度进行了比较分析，如图1所示。由图1的仿真结果可以看出，本发明的时间复杂度要明显小于专利(申请号200810237849.5)中的方法，且随着时间带宽积的增加，其时间复杂度基本不变，而专利(申请号200810237849.5)的时间复杂度快速增加。

②计算存贮空间小

从FPGA硬件实现过程中的空间复杂度来看，本发明的主要存储变量是Legendre多项式系数和拟合矩阵D。多项式组共需要存储N×K个数据，矩阵D为M×N维，所以该方法的空间复杂度S₁为：

S₁＝(M+K)N   (23)

对于专利(申请号200810237849.5)，PSWF计算过程所构建的特征矩阵为K×K维，得到的M个PSWF脉冲需要用M×K个数据表示。在Schmidt正交过程中，需要存储两个PSWF脉冲。当进行脉冲正交化时，可以释放前一脉冲求解过程中特征矩阵所占用的空间，同时由于每个脉冲的采样点数远远大于脉冲个数，即K>>M，因而与脉冲求解过程相比，Schmidt过程的空间复杂度可以忽略，专利(申请号200810237849.5)的空间复杂度主要由脉冲求解过程决定，其表达式为：

S₂＝(K+M)K   (24)

当c取值范围是[0,40]时，两种脉冲设计方法在FPGA硬件实现过程中所需空间复杂度如图2所示。

由图2中空间复杂度的对比可以看出，当采用本发明需要存储的数据量明显减少。随着时间带宽积的增加，本发明的空间复杂度增加量也要明显小于专利(申请号200810237849.5)。在时间带宽积为40时，本发明的空间复杂度要小于专利(申请号200810237849.5)的一半。从空间复杂度来看，本发明具有较大的优势。

③适用范围广

在专利(申请号200810237849.5)所公开的设计方法，采用Schmidt正交化方法实现正交PSWF脉冲设计，由Schmidt正交化过程的特性可知，该正交化过程的要求是比较苛刻的，它要求参与正交化设计的PSWF脉冲是严格线性无关的。。

而本发明所公开的相关矩阵对角化方法，只是对原PSWF脉冲进行了线性组合，即数学意义上的重构，并没有对PSWF脉冲进行根本改变。同时，该方法对于脉冲的互相关性并没有严格要求，只要原脉冲的各个脉冲之间不是线性关系，该方法即适用。因此，本发明所公开的方法适用性较广。

附图说明

图1是本发明与现有技术两种方法的时间复杂度比较图。

图2是本发明与现有技术两种方法所需的空间复杂度比较图。

图3是本发明所公开的基带正交PSWF脉冲波形产生流程图。

图4是本发明所公开的带通正交PSWF脉冲波形产生流程图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明做进一步详细描述。

(1)基带PSWF正交化设计

对于基带PSWF正交化设计来说，基于互相关矩阵对角化的正交PSWF脉冲产生流程如图3所示，可按如下步骤进行脉冲产生。

①子频带划分及参数设置

首先，将通信波道即脉冲占用的频谱宽度划分为k个带宽相同且相互交叠50％的子频带，k为大于0的正整数；然后设置正交PSWF脉冲的参数，由正交脉冲占用的频谱宽度B、频谱下限频率f_L和频谱上限频率f_H、子波道划分个数k、椭圆球面波函数的时间带宽积因子c确定，频谱宽度B与频谱下限频率f_L和频谱上限频率f_H三者满足关系式：B＝f_H-f_L，各子波道带宽为B₀＝2B/(k+1)，时间带宽积因子c与脉冲持续时间T_s、各子波道带宽B₀三者满足关系式：c＝πB₀T_s，各子波道的椭圆球面波函数脉冲个数为

②确定拟合矩阵D

根据PSWF脉冲时间带宽积因子c，由式确定PSWF脉冲所需Legendre多项式数目，其中表示向上取整，c为PSWF的时间带宽积，e为自然对数的底；

根据式(9)-(12)建立特征矩阵，通过求解该矩阵的特征向量，得到归一化勒让德多项式的系数矩阵B＝[β¹，β²,…,β^M]，由此可得到由归一化Legendre多项式逼近的PSWF脉冲信号；

对所得到的PSWF脉冲信号，计算该脉冲的互相关矩阵C：

并对该互相关矩阵进行对角化变换，即X^TCX＝Λ，得到互相关矩阵C对角化方的变换矩阵X。

根据式D＝X^TB，计算拟合矩阵D。

③由拟合矩阵D的各行向量得到正交PSWF脉冲的多项式系数向量d_i；

④根据正交PSWF脉冲的归一化Legendre多项式拟合形式：ψ′＝DP，其中P为归一化Legendre多项式，由此完成了正交PSWF脉冲设计，如图3所示。

(2)带通PSWF正交化设计

对于带通PSWF正交化设计来说，本发明所公开的正交PSWF脉冲产生流程如图4所示，可按如下步骤进行脉冲产生。

①波道划分：是将通信波道即正交脉冲占用的频谱宽度以均匀交叠方式划分为k个带宽相同且相互交叠的子波道，k为大于0的正整数，相邻子波道频谱交叠的大小ρ可用两个相邻子波道交叠的频谱带宽占子波道带宽的百分比表示，其取值范围为大于0且小于100％的百分数；

②参数设置：是设置正交脉冲的参数，由正交脉冲占用的频谱宽度B、频谱下限频率f_L和频谱上限频率f_H、子波道划分个数k、椭圆球面波函数的时间带宽积因子c、频谱交叠度为ρ确定，正交脉冲频谱宽度B与频谱下限频率f_L和频谱上限频率f_H三者满足关系式：B＝f_H-f_L，正交脉冲频谱宽度B、子频带带宽B₀与频谱交叠度ρ三者满足关系式：B＝[(1-ρ)k+ρ]B₀，当子波道相互交叠50％时，子波道各子波道带宽为B₀＝2B/(k+1)；时间带宽积因子c与脉冲持续时间T、各子波道带宽B₀三者满足关系式：c＝πB₀T，各子波道的椭圆球面波函数脉冲个数为

③构建特性函数和积分方程：是针对各子波道构建特性函数和积分方程，所构建的特性函数为h_k(t)＝2f_k,H sinc(2f_k,Ht)-2f_k,L sinc(2f_k,Lt)，其中，f_k,L、f_k,H分别为第k个子波道的频率下限和上限，所构建的积分方程为其中，λ_k为基于特征值分解的数值算法求解积分方程时特性函数h_k(t)所构建矩阵的特征值，ψ_k(c,t)为λ_k所对应的特征函数，t为取值区间为[-T/2,T/2]的时间变量；

④求解方程：是通过基于特征值分解的Parr数值算法分别求解各子波道所构建的积分方程，并通过取前m个最大特征值所对应的特征函数，得到各子波道的椭圆球面波函数脉冲；

⑤基于互相关矩阵对角化的正交化：是指通过计算参与正交化设计的各子波道PSWF脉冲的互相关矩阵，将该互相关矩阵进行对角化变换，从而实现了PSWF脉冲的正交化。

对参与正交化设计的带通PSWFψ计算其互相关矩阵C：

对该互相关矩阵进行对角化变换，即X^TCX＝Λ，得到互相关矩阵C对角化方的变换矩阵X。将变换矩阵X的转置形式与脉冲ψ进行矩阵相乘得到正交PSWF脉冲ψ′，即ψ′＝X^Tψ。从而实现了带通PSWF的正交设计。

Claims (3)

1.一种基于互相关矩阵对角化的正交PSWF脉冲设计方法，是一种正交PSWF脉冲设计方法，通过计算参与正交化设计的PSWF脉冲ψ的互相关矩阵C，该互相关矩阵其中c_i,j为第i个脉冲和第j个脉冲的互相关函数，即将该互相关矩阵进行对角化变换，即X^TCX＝Λ，得到正交阵X，其中Λ是对角阵，再经过正交阵X的转置矩阵X^T与PSWF脉冲ψ进行矩阵相乘：X^Tψ，从而实现PSWF脉冲ψ的正交化，其中，PSWF脉冲ψ既可以是基带PSWF脉冲，也可以是带通PSWF。

2.根据权利要求1所述的基于互相关矩阵对角化的正交PSWF脉冲设计方法，所述的基带PSWF脉冲正交化设计是：基于归一化Legendre多项式逼近的数值求解算法得到PSWF脉冲的Legendre多项式加权系数矩阵B，计算参与正交化设计的PSWF脉冲ψ的互相关矩阵C，将该互相关矩阵进行对角化变换：X^TCX＝Λ，得到正交阵X，其中Λ是对角阵，再将正交阵X的转置矩阵X^T与PSWF脉冲的Legendre多项式加权系数矩阵B进行矩阵相乘：X^TB，获得PSWF脉冲的加权求和矩阵D＝X^TB，从而得到正交PSWF脉冲的归一化Legendre多项式拟合形式：ψ′＝DP，即实现了PSWF脉冲ψ的正交化设计，其中P为归一化Legendre多项式。

3.根据权利要求1所述的基于互相关矩阵对角化的正交PSWF脉冲设计方法，所述的带通PSWF脉冲正交化设计，其设计步骤包括：波道划分、参数设置、构建特性函数和积分方程、求解方程、基于互相关矩阵对角化的正交化；

其中，波道划分是将通信波道即正交脉冲占用的频谱宽度以均匀交叠方式划分为多个带宽相同且相互交叠的子波道；

参数设置是设置正交脉冲的参数，由正交脉冲占用的频谱宽度B、频谱下限频率f_L和频谱上限频率f_H、子波道划分个数k、椭圆球面波函数的时间带宽积因子c、频谱交叠度为ρ确定；

构建特性函数和积分方程是针对各子波道构建带通PSWF的积分方程定义式；

求解方程是指采用Parr数值算法分别求解各子波道的带通PSWF的近似数值解；

基于互相关矩阵对角化的正交化是指：通过计算参与正交化设计的各子波道PSWF脉冲ψ的互相关矩阵C，将该互相关矩阵进行对角化变换，即X^TCX＝Λ，得到正交阵X，其中Λ是对角阵，再经过正交阵X的转置矩阵X^T与PSWF脉冲ψ进行矩阵相乘运算：X^Tψ，从而实现PSWF脉冲ψ的正交化设计。